Seconde / Colinéarité et parallélisme 106 exercices (100% corrigés)

a
ChingQuizz : 9 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Vecteurs opposés et soustractions E.8530 Définition: soit −→ u un vecteur. On appelle vecteur opposé du vecteur −→ u , le vecteur noté − −→ u définit par : la même direction que le vecteur −→ u le sens opposé au vecteur −→ u la même longueur que −→ u Dans le plan, on considère les 7 vecteurs ci-dessous : 1 Nommer le ou les vecteurs opposés au vecteur −→ u . 2 Tracer un vecteur −→ e opposé au vecteur −→ d . E.524 Définition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs. On définit la sous-traction du vecteur −→ u par le vecteur −→ v par la relation: −→ u − −→ v = −→ u + − −→ v Autrement dit, on n’effectue jamais la soustraction par un vecteur, on ajoute son opposé Soit −→ u et −→ v deux vecteurs du plan. 1 Que peut-on dire de la différence : −→ u − −→ u ? 2 Pour chacun des trois cas représentés ci-dessous, dessiner un représentant de la soustraction : −→ u − −→ v E.495 Déterminer un représentant de chacune des sommes ci-dessous : 1 −→ EI − −−→ GF 2 −−→ HE + −→ BI − −→ JF 3 −−→ FG − −→ IF − −−→ GE E.9342 Soit ABCD un parallélogramme. On note : I le milieu du segment [ AB ] ; J le milieu du segment [ DC ] . Déterminer dans chaque cas un représentant du vecteur résul-tant : a −→ AC − −→ AJ b −−→ AB + −→ IJ − −→ DJ c −−→ DJ − −→ JB E.8531 Dans le plan, on considère les deux vecteurs −→ u et −→ w représentés ci-dessous. Dessiner le vecteur −→ v réalisant la relation: −→ u − −→ v = −→ w E.6488 On munit le plan d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) et les trois points : A 1+ 2 ; 2 − 2 ; B 2 − 1 ; 2+1 ; C 2+3 ; 3 − 3 2 1 Montrer que les vecteurs −−→ AB et −→ AC sont opposés. 2 Que peut-on dire du point A relativement au segment [ BC ] . 2. Multiplication par un entier https://chingmath.fr quizzChap/1200 chapExoCorrec/8530 sacados/8530 −u−w−v−a−b−c−d chapExoCorrec/524 sacados/524 uvuvuv chapExoCorrec/495 sacados/495 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/9342 sacados/9342 chapExoCorrec/8531 sacados/8531 −u−w chapExoCorrec/6488 sacados/6488
E. 9713 Proposition: dans le plan, on considère un vecteur −→ u et un entier n ∈ N ∗ . On définit le vecteur n · −→ u par : n · −→ u = −→ u + −→ u + · · · + −→ u  n fois Dans le plan, on considère les trois vecteurs et les trois points représentés ci-dessous : 1 Placer le point B tel que : −−→ AB = 3 · −→ u 2 Placer le point C tel que : −−→ CD = 2 · −→ v 3 Placer le point F tel que : −→ w = 4 · −−→ EF E. 515 Sur une droite graduée, sont placés les points A , B , C , D , E : Pour chaque question, compléter les pointillés correctement : a −−→ BC = : : : : : : ×−→ AC b −−→ ED = : : : : : : ×−→ AC c −→ AC = : : : : : : ×−→ CA d −−→ ED = : : : : : : ×−→ CA e −→ EA = : : : : : : ×−−→ AB f −−→ BA = : : : : : : ×−−→ BE E.9716 Le dessin ci-dessous représente une droite munit d’une graduation régulière. Compléter les pointillés par le nombre manquant : a −−→ DG = : : : : : : −−→ DE b −−→ CE = : : : : : : −→ GI c −−→ DB = : : : : : : −−→ DF d −→ EI = : : : : : : −→ AC E.5287 Sur une droite graduée, on place les points A , B , C , D , E : Pour chaque question, déterminer la valeur du nombre k véri-fiant l’égalité: a −−→ BC = k · −→ AC b −−→ ED = k · −→ AC c −→ AC = k · −→ CA d −−→ ED = k · −→ CA e −→ EA = k · −−→ AB f −→ AC = k · −−→ BA E.9811 Soit A , B , C trois points du plan non-alignés : Simplifier l’expression : 2 · −−→ AB − −−→ BA E. 2077 On considère, dans le plan, les deux vecteurs −→ u et −→ v ci-dessous : Tracer dans le quadrillage un représentant du vecteur −→ w défini par : −→ w = 2 −→ u + 3 −→ v . E.2106 On considère le plan ci-dessous muni d’un quadrillage régulier. Soit −→ u et −→ v deux vecteurs du plan : 1 Tracer un représentant −→ w du vecteur −→ v −−→ u . 2 Tracer un représentant −→ x du vecteur 4 −→ u +3 −→ v . E.4813 On considère le parallélogramme ABCD représenté ci-dessous où les points I et J sont les milieux respectifs des segments [ AB ] et [ CD ] . Pour chaque question, donner sans justification un vecteur égal à l’expression proposée : a 2 ×−→ DJ + −−→ BD b 3 · −→ DJ + 2 · −→ IA c 2 · −→ AJ − −−→ BC 3. Multiplications par un reel https://chingmath.fr chapExoCorrec/9713 sacados/9713 −u−v−wADE chapExoCorrec/515 sacados/515 ABCDE chapExoCorrec/9716 sacados/9716 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/5287 sacados/5287 ABCDE chapExoCorrec/9811 sacados/9811 chapExoCorrec/2077 sacados/2077 −u−v chapExoCorrec/2106 sacados/2106 −u−v chapExoCorrec/4813 sacados/4813 ABCDIJ
E.523 Définition: dans le plan, on considère un vecteur −→ u et un nombre k ∈ R . Les vecteurs −→ u et k · −→ u sont colinéaires et : −→ u et k · −→ u −→ v k< 0 sens opposé − k × −→ u k =0 × 0 k> 0 même sens k × −→ u Le dessin ci-dessous représente une droite munit d’une grad-uation régulière. Compléter les pointillés par le nombre manquant : a −−→ EF = : : : : : : −→ GJ b −−→ BD = : : : : : : −−→ CF c −→ JI = : : : : : : −→ AC d −−→ EF = : : : : : : −→ JG e −→ AE = : : : : : : −−→ FC f −−→ CG = : : : : : : −−→ KA E.484 Soient A et B deux points du plan, on note I le milieu du segment [ AB ] 1 Compléter les pointillés pour vérifier la relation vecto-rielle suivante : −→ AI + −→ AI = −−−→ A:::::: 2 Recopier et compléter avec les mots ˇ double ı et ˇ moitié ı les phrases suivantes : a −→ AI est . . . de −−→ AB b −−→ AB est . . . de −→ AI 3 En rapport avec la question précédente, compléter les pointillés avec le nombre adéquat : a −→ AI = : : : : : : −−→ AB b −−→ AB = : : : : : : −→ AI E.485 Soit ABC un triangle quelconque. Placer les points D et E vérifiant les relations vectorielles suivantes : −−→ AD = 2 · −−→ AB ; −→ AE = 2 · −→ AC Comparer −−→ BC et −−→ DE . Justifier. E.6544 On considère les deux cercles con-centriques de centre O et dont le rayon de l’un est le double de l’autre: 1 Justifier l’égalité vectorielle: −→ LJ = 2 · −−→ DB 2 Sans justification, compléter les égalités: a −−→ ED = −−−→ : : : : : : = 1 2 · −−−→ : : : : : : = 1 2 · −−−→ : : : : : : b −−→ FB = 2 · −−−→ : : : : : : = 2 · −−−→ : : : : : : = 1 2 · −−−→ : : : : : : E. 509 On considère ci-dessous les deux vecteurs −→ u et −→ v : 1 Tracer un vecteur −→ w représentant de : 3 · −→ u +1 ; 5 · −→ v 2 Tracer un vecteur −→ y représentant de : −→ v − 1 ; 5 · −→ u 4. Simplification et manipulation algébrique E.9809 Dans le plan, on considère les trois points A , B , C et on définit les deux vecteurs −→ r et −→ s par : −→ r = 5 · −→ AC − 2 · −−→ BC ; −→ s = 2 · −−→ AB + 3 · −→ AC Montrer que les deux vecteurs −→ r et −→ s sont égaux. E.8532 On considère le parallélogramme ABCD représenté ci-dessous où les points I et J sont les milieux respectifs des segments [ AB ] et [ CD ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/523 sacados/523 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/484 sacados/484 chapExoCorrec/485 sacados/485 chapExoCorrec/6544 sacados/6544 OABCDEFGHIJKLMNPQ chapExoCorrec/509 sacados/509 −u−v chapExoCorrec/9809 sacados/9809 chapExoCorrec/8532 sacados/8532 ABCDIJ
À l’aide des points de la figure, donner un représentant de la somme : 2 · −→ AJ + 2 · −−→ CB E.8533 Dans le plan, on considère A , B , C trois points du plan non-alignés. Pour chaque question, déterminer la valeur du réel k vérifiant l’égalité: a 3 · −−→ AB − −−→ CB + −→ CA = k · −−→ AB b 3 −−→ AB − −−→ BC + −→ AC + 2 · −−→ BA = k · −−→ AB 5. Vecteurs et distributivité E. 2047 Proposition: dans le plan, on considère les deux vecteurs −→ u et −→ v et un réel k . On a les deux identités ci-dessous : k · −→ u + −→ v = k · −→ u + k · −→ v k · −→ u − −→ v = k · −→ u − k · −→ v Soit −→ u et −→ v deux vecteurs. Simplifier chacune des sommes vectorielles suivantes : a 3 −→ u − 2 −→ v + 2 −→ u − −→ v b 2 · −→ u + −→ v − −→ u d − −→ u + −→ v + 2 · −→ u − −→ v e 2 3 · 2 · −→ u − 3 2 · −→ v − 1 6 −→ u E.2947 Soit A , B , C trois points du plan non-alignés : Pour chaque question, déterminer la valeur du réel k vérifiant la relation proposée : a 2 · −−→ AB +2 −−→ BC + −→ AC = k · −→ AC b 3 · −−→ AB − 3 · −−→ CB = k · −→ AC E.2048 1 a Placer trois points A , B et C non-alignés dans le plan. b Tracer un représentant de la somme : −→ u = −−−→ AB − 2 · −−→ BC + 2 · −→ AC c Quelle conjecture peut-on émettre? 2 Établir que : −→ u = −−→ AB Indication : On utilisera la relation de Chasles : −−→ BC = −−→ BA + −→ AC E. 9720 Dans le plan, on considère A , B , C trois points du plan non-alignés. Pour chaque question, déterminer la valeur du réel k vérifiant l’égalité: a 2 · −−→ AB + 2 · −−→ BC + −→ AC = k · −→ AC b −−→ AB + 2 · −→ AC + 4 −−→ BC = k · −→ AC + −−→ BC 6. Décomposition dans une base vectorielle E.937 Définition: on dit que les vecteurs −→ i et −→ j forment une base vectorielle s’ils ont des directions différentes. Dans le graphique ci-dessous, sont représentés deux vecteurs −→ i et −→ j de directions différentes. Le but de cet exercice est de décomposer tout vecteur du plan en fonction des vecteurs −→ i et −→ j . 1 a Tracer un représentant du vecteur −→ y défini par : −→ y = 4 ×−→ i b Placer le point B tel que : −−→ AB = −→ y 2 a Placer le point D tel que : −−→ CD = −−→ i . b Placer le point F tel que : −−→ EF = − 3 ·−→ j 3 a Placer le point H tel que : −−→ GH =2 ·−→ i . b Placer le point K tel que : −−→ HK =4 ·−→ j . c Compléter l’égalité suivante : −−→ GK = : : : : : : · −→ i + : : : : : : · −→ j 4 Compléter les pointillés suivants : −→ u = : : : : : : · −→ i ; −→ v = : : : : : : · −→ j −−→ LM = : : : : : : · −→ i + : : : : : : · −→ j 5 Compléter les pointillés suivants : a −→ w = : : : · −→ i + : : : · −→ j b −→ z = : : : · −→ i + : : : · −→ j c −→ r = : : : · −→ i + : : : · −→ j d −→ s = : : : · −→ i + : : : · −→ j https://chingmath.fr chapExoCorrec/8533 sacados/8533 chapExoCorrec/2047 sacados/2047 chapExoCorrec/2947 sacados/2947 chapExoCorrec/2048 sacados/2048 chapExoCorrec/9720 sacados/9720 chapExoCorrec/937 sacados/937 jisuLvMrwzGACE
E.486 1 Placer le point W tel que : −−→ AW = −−→ i +2 ·−→ j . Placer le point Z tel que : −−→ BZ = − 2 −→ i + 5 3 ·−→ j Les vecteurs −→ i et −→ j sont deux vecteurs de directions dif-férentes. Pour tout vecteur −→ u du plan, il existe deux réels ¸ et ˛ réalisant l’égalité: −→ u = ¸ · −→ i + ˛ · −→ j Cette décomposition est appelée ˇ combinaison linéaire ı. 2 a Déterminer la combinaison linéaire de chacun des vecteurs représentés dans le graphique en fonction des vecteurs −→ i et −→ j . b En déduire l’égalité des vecteurs −−→ QR et −→ a ? 3 a Tracer un représentant du vecteur −→ u + −→ v . b Graphiquement, exprimer le vecteur −→ u + −→ v à l’aide des vecteurs −→ i et −→ j . c Retrouver cette décomposition à l’aide de celles des vecteurs −→ u et −→ v obtenues lors de la question 2 . E.5290 Dans le plan, on considère le tri-angle quelconque ABC . On note respectivement I et J les imagesrespectives de B et de C par la symétri de centre A : Dans le repère A ; −−→ AB ; −→ AC , donner les coordonnées des vecteurs suivants : a −→ IA b −→ AJ c −−→ BC d −−→ CB e −→ IJ f −→ IC E.9808 Dans le plan, on considère les trois points A , B , C . On considère le vecteur −→ u défini par : −→ u = 5 6 · −→ AC − 1 2 · −−→ AB − 1 3 · −−→ BC + 1 3 · −→ CA 1 Exprimer le vecteur −→ u en fonction de −−→ AB et −→ AC : 2 Dans le repère A ; −−→ AB ; −→ AC , donner les coordonnées du vecteur −→ u . E.7215 Dans le plan, on considère le repère O ; −→ i ; −→ j et les deux vecteurs −−→ AB et −−→ CD non colinéaires représentés ci-dessous : Sans justification, donner les décompositions des vecteurs −−→ AB et −−→ CD dans la base −→ i ; −→ j . 7. Base vectorielle et introduction aux opérations sur les coordonnées E.8534 Définition: dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on appelle vecteur unitaire des abscisses (resp. des ordonnées) , noté −→ i (resp. −→ j ) , le vecteur −→ OI (resp. −→ OJ ) . Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les deux points A et B représentés ci-dessous : 1 Décomposer le vecteur −−→ AB dans la base vectorielle −→ i ; −→ j . C’est-à-dire, compléter les pointillés de https://chingmath.fr chapExoCorrec/486 sacados/486 −j−i−u−v−aCDEFGHKLMNOPQRSTBA chapExoCorrec/5290 sacados/5290 ABCIJ chapExoCorrec/9808 sacados/9808 chapExoCorrec/7215 sacados/7215 O−i−jABCD chapExoCorrec/8534 sacados/8534 x-6-5-4-3-2-12Iy-12JOijAB
l’égalité: −−→ AB = : : : : : : ×−→ i + : : : : : : ×−→ j 2 a Donner les coordonnées des points A et B . b Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ AB . 3 Quelle comparaison peut-on faire des coordonnées d’un vecteur et de sa décomposition dans la base vectorielle des vecteurs unitaires du repère? E.527 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . 1 Donner, sans justification, les coordonnées des vecteurs −→ u et −→ v . 2 a Tracer un représentant du vecteur −→ w défini par : −→ w = 3 · −→ u . b Graphiquement, donner les coordonnées de −→ w . c Comparer les coordonnées des vecteurs −→ u et −→ w . 3 a Tracer un représentant du vecteur −→ z défini par : −→ z = −→ u + −→ v b Graphiquement, donner les coordonnées de −→ z . c Comparer les coordonnées du vecteur −→ z relativement à celles des vecteurs −→ u et −→ v . 8. Coordonnées de points E.9814 On considère le rectangle ABCD représenté ci-dessous On considère le plan muni du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD . 1 a Compléter les pointillés dans l’égalité: −→ AC = : : : · −−→ AB + : : : · −−→ AD En déduire les coordonnées du point C . b Donner les coordonnées des points A , B , D . 2 Le point E est le milieu du segment [ CD ] . Déterminer les coordonnées du point E . 3 On définit le F par l’égalité: −−→ CF = 1 3 · −→ CA Donner les coordonnées du point F . 9. Opérations sur les coordonnées E.8535 Dans le plan muni du repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les deux vecteurs −→ u et −→ v représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/527 sacados/527 -4-3-2-101234-3-2-1123ijuv chapExoCorrec/9814 sacados/9814 ABCEDF chapExoCorrec/8535 sacados/8535 -5-4-3-2-101234-1123ij−u−v
1 Donner les coordonnées des vecteurs −→ u et −→ v . 2 Soit −→ w le vecteur défini par : −→ w = −→ u +2 · −→ v a Tracer le vecteur −→ w . b Graphiquement, lire les coordonnées du vecteur −→ w . c Que remarquez-vous? 3 Soit −→ z le vecteur défini par : −→ z = −→ u −−→ v a Tracer le vecteur −→ z . b Graphiquement, lire les coordonnées du vecteur −→ z . c Que remarquez-vous? Proposition: soit −→ u ( x ; y ) et −→ v ( x ; y ) deux vecteurs et k un nombre réel ( k ∈ R ) . Le vecteur −−→ u , opposé du vecteur −→ u , a pour coordon-nées : −−→ u =( − x ; − y ) La somme −→ u + −→ v a pour coordonnées : −→ u + −→ v ( x + x ; y + y ) Le vecteur k ×−→ u a pour coordonnées : k ×−→ u ( k × x ; k × y ) E.8536 On considère muni du repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé et des trois points A , B , C représen-tés ci-dessous : 1 a Donner, sans justification, les coordonnées des vecteurs : −−→ AB ; −−→ BC ; −→ AC b Déterminer les coordonnées du vecteur −→ u défini par : −→ u = 3 · −−→ AB − −−→ CB + −→ CA 2 Déterminer l’unique nombre réel k ( k ∈ R ) vérifiant : −→ u = k ×−−→ AB E.8537 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les trois points A , B , C définis par : A (2 ; − 3) ; B ( − 4 ; 2) ; C (0 ; − 1) 1 Déterminer les coordonnées du vecteur −→ u défini par : −→ u = 2 ×−−→ AB + 2 ×−−→ BC + −→ AC 2 Quelle expression simplifiée admet le vecteur −→ u ? 10. Opérations et recherche des coordonnées d’un point E.516 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque et les trois points suivants déterminés par leurs coordonnées : A (2 ; 1) ; B (3 ; 2) 1 Déterminer les coordonnées du vecteur 3 · −−→ AB . 2 Déterminer les coordonnées du point D tel que : −−→ AD = 3 · −−→ AB . E.307 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points A , B et C de coor-données : A (2 ; 1) ; B ( − 1 ; 3) ; C (0 ; − 2) Déterminer les coordonnées du point M vérifiant la relation vectorielle suivante : −−→ CM = 2 · −−→ AB E.8539 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque et les trois points suivants déterminés par leurs coordonnées : A (2 ; 1) ; B (3 ; 2) ; C ( − 1 ; − 1) 1 Déterminer les coordonnées du vecteur défini par l’expression : 2 · −−→ AB − 4 · −→ AC 2 Déterminer les coordonnées du point E vérifiant la rela-tion : −→ AE =2 · −−→ AB − 4 · −→ AC E.8201 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . On considère les trois points A , B , C vérifiant les relations suivantes : 2 −→ OA 4 6 ; 3 −−→ AB 9 3 ; 2 −−→ BC − −−→ OB = −→ u où le vecteur −→ u a pour coordonnées : −→ u 3 3 Déterminer les coordonnées des points A , B et C . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8536 sacados/8536 -6-5-4-3-2-10123456-4-3-2-112ijABC chapExoCorrec/8537 sacados/8537 chapExoCorrec/516 sacados/516 chapExoCorrec/307 sacados/307 chapExoCorrec/8539 sacados/8539 chapExoCorrec/8201 sacados/8201
E.8538 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les trois points A , B et C de co-ordonnées : A (2 ; 1) ; B ( − 1 ; 3) ; C (0 ; − 2) Déterminer les coordonnées du point N vérifiant la relation vectorielle suivante : 4 · −−→ AN − −−→ BN − 2 · −−→ CN = −→ 0 E.518 On considère le plan muni d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) orthonormé et les trois points A , B et C de coor-données respectives ( − 2 ; 1) , (0 ; 3) et (3 ; 0) . 1 a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB et −→ AC . b Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ AB + −→ AC . 2 On considère le point D vérifiant la relation: −−→ AB + −→ AC = −−→ AD a En notant ( x D ; y D ) les coordonnées du point D , justi-fier qu’on a les deux égalités: x D + 2 = 7 y D − 1 = 1 b En déduire les coordonnées du point D . E.11715 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points A , B , C : A (5 ; − 2) ; B ( − 3 ; 1) ; C (4 ; 4) Déterminer les coordonnées du point M tel que : −−→ CM = 4 · −−→ AB 11. Colinéarité de vecteurs E.8543 Définition: Soit −→ u et −→ v deux vecteurs non-nul du plan. Deux vecteurs sont dits colinéaires s’il existe un nombre réel k tels que : −→ u = k · −→ v Le nombre réel k s’appelle le coefficient de colinéarité de −→ u par rapport à −→ v . 1 Soit −→ u et −→ v deux vecteurs tels que : 2 −→ u = 3 −→ v Justifier que les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires et que leur coefficient de colinéarité est 3 2 . 2 Soit −→ u et −→ v deux vecteurs tels que : −→ u + −→ v = −→ 0 . Justifier que ces deux vecteurs sont colinéaires. 3 Pour chacune des questions ci-dessous, les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. Déterminer la valeur du coefficient de colinéarité de −→ u par rapport à −→ v : a 1 2 · −→ u = 3 4 · −→ v b 3 · −→ u − 2 · −→ v = −→ 0 E.6998 Dans le plan, on considère les trois points O , A , B ci-dessous et le vecteur −−→ AB : 1 a Tracer le vecteur −−−→ A B image du vecteur −−→ AB par l’homothétie de centre O et de rapport 3 . b Tracer le vecteur −−−→ A  B  image du vecteur −−→ AB par l’homothétie de centre O et de rapport − 1 2 . 2 Que peut-on dire des vecteurs −−→ AB , −−−→ A B et −−−→ A  B  ? E.520 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Pour chaque question, déterminer si les deux vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. S’ils le sont, donner le coefficient associé de colinéarité de −→ u par rapport à −→ v : a −→ u − 1 2 ; −→ v 4 − 8 b −→ u 3 2 ; −→ v 9 4 c −→ u 2 3 ; −→ v 4 ; 2 6 ; 3 d −→ u 0 ; 7 4 ; 1 ; −→ v − 2 ; 8 16 ; 4 E.5295 Pour chaque question, préciser si les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires et, le cas échéant, donner le coefficient de colinéarité du vecteur −→ u par rapport au vecteur −→ v : a −→ u − 2 − 10 et −→ v 4 20 b −→ u 0 5 et −→ v − 5 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8538 sacados/8538 chapExoCorrec/518 sacados/518 chapExoCorrec/11715 sacados/11715 chapExoCorrec/8543 sacados/8543 chapExoCorrec/6998 sacados/6998 ABO chapExoCorrec/520 sacados/520 chapExoCorrec/5295 sacados/5295
E.8202 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les cinq points : A (2 ; − 2) ; B (11 ; − 14) ; C ( − 3 ; 1) ; D (5 ; 3) ; E (12 ; − 19) Parmi les quatre vecteurs ci-dessus, un seul est colinéaire au vecteur −−→ AB . Lequel? Justifier votre réponse. −−→ BC ; −−→ CD ; −−→ DE ; −−→ CE E.9813 Pour chaque question, préciser si les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires et, le cas échéant, donner le coefficient de colinéarité du vecteur −→ u par rapport au vecteur −→ v : a −→ u − 6 9 et −→ v 1 4 − 1 2 b −→ u − 4 3 4 et −→ v 3 − 9 c −→ u 1 3 2 5 et −→ v 5 6 d −→ u 6 − 5 et −→ v 14 5 − 2 E.6624 On munit le plan d’un repère O ; I ; J et on considère les points A , B et C ci-dessous : 1 a Donner les coordonnées des points A , B et C . b Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB et −−→ BC . c En déduire les coordonnées du vecteur −→ v défini par : −→ v = −−→ AB + 2 · −−→ BC 2 Justifier que les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. E.500 Dans le plan, on considère les points A , B , C , D et E tels que : C est le milieu de [ AF ] ; B est le milieu de [ AD ] . Le quadrilatère ABEC est un parallélogramme. On munit le plan du repère A ; B ; C quelconque. 1 Dans le repère A ; B ; C , donner, sans justification, les coordonnées des six points de ce plan. 2 Justifier que les points E , F et D sont alignés. 12. Colinéarité et manipulation algébrique E.9718 Soit A , B , C et D quatre points du plan vérifiant la relation: −−→ AB + −−→ AD = −→ AC Montrer que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. E.9812 Pour chacune des questions ci-dessous, les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. Déterminer la valeur du coefficient de colinéarité de −→ u par rapport à −→ v : a 3 · −→ u − 2 · −→ v = −→ 0 b − 2 · −→ u + −→ v = 2 · −→ u + 3 · −→ v E.4812 On considère les trois points A , B et C présentés dans le quadrillage ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8202 sacados/8202 chapExoCorrec/9813 sacados/9813 chapExoCorrec/6624 sacados/6624 -3-2-12345I-2-123JOABCu chapExoCorrec/500 sacados/500 ABCDEF chapExoCorrec/9718 sacados/9718 chapExoCorrec/9812 sacados/9812 chapExoCorrec/4812 sacados/4812
1 a Placer le point M vérifiant la relation vectorielle: −−→ AM = 2 · −→ CA b Placer le point N vérifiant la relation vectorielle: −−→ AN = −−→ AB + 2 · −−→ CB c Quelle conjecture peut-on faire sur les vecteurs −−→ AB et −−→ MN ? 2 Démontrer, à l’aide du calcul vectoriel, établir l’égalité: −−→ MN = 3 · −−→ AB E.9717 Soit A , B , C et D quatre points du plan tels que : −−→ AD + −−→ BD + 2 · −−→ CB = −→ 0 1 Établir l’égalité: −−→ AB = − 2 · −−→ CD 2 Que peut-on dire des vecteurs −−→ AB et −−→ CD ? E.510 Soit A , B , C et D quatre points du plan vérifiant la relation: −→ AC − 3 · −−→ BD + 2 · −−→ BC = −→ 0 Montrer que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. E.501 Dans chaque cas, on considère trois points A , B , C du plan vérifiant une relation vectorielle. Mon-trer que dans chaque cas, les points A , B et C sont alignés : a 3 · −−→ AB + −−→ BC = − 2 · −→ AC b − 2 · −−→ AB = 3 × −−→ CB + −→ CA E.2917 Dans le plan, représenté ci-dessous muni d’un quadrillage, on considère les points A , B , C , M : Donner un représentant du vecteur −→ u défini par la relation: −→ u = 2 · −−→ AB + −−→ CB − −→ AC 1 Placer le point N tel que : −−→ MN = −→ u . 2 On définit le vecteur −→ v défini par : −→ v = −−→ CB + 1 3 · −→ AC Montrer que les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. E.5293 Soit A , B , C et D quatre points du plan tels que : 5 · −−→ AD = 2 · −→ AC + 3 · −−→ BD Démontrer que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. E.9719 Soit A , B , C et D quatre points du plan tels que : 3 · −−→ AD + 4 · −−→ BC = 7 · −→ AC Démontrer que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. E.8122 On considère les quatre points A , B , C et D vérifiant la relation vectorielle: 2 · −−→ DC + 5 · −−→ CB + 5 · −−→ AD − 3 · −−→ AB = −→ 0 Démontrer que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. E.2055 Soit A , B , C trois points du plan vérifiant la relation: − 1 2 · −−→ AB + 5 2 · −−→ BC − −−→ BA + −−→ CB = −→ 0 1 Montrer que ces trois points vérifient : −−→ AB = 3 2 · −→ AC 2 Que peut-on dire des points A , B , C ? E.5343 Dans le plan, on considère un trian-gle ABC non aplati. On considère les trois points M , N et P définis par : −−→ BM = 1 3 · −−→ BA ; −−→ BN = 1 2 · −−→ BC ; −→ AP = 2 · −→ AC Montrer que les points M , N et P sont alignés. E.2903 Soit A , B , C trois points du plan. Montrer que le vecteur −→ u défini ci-dessous est colinéaire au vecteur −→ AC par : −→ u = 3 · −−→ AB + 2 3 · −−→ BC − 5 3 · −→ CA + 7 3 · −−→ BA https://chingmath.fr ABC chapExoCorrec/9717 sacados/9717 chapExoCorrec/510 sacados/510 chapExoCorrec/501 sacados/501 chapExoCorrec/2917 sacados/2917 ABCM chapExoCorrec/5293 sacados/5293 chapExoCorrec/9719 sacados/9719 chapExoCorrec/8122 sacados/8122 chapExoCorrec/2055 sacados/2055 chapExoCorrec/5343 sacados/5343 chapExoCorrec/2903 sacados/2903
E.5294 Considérons un triangle ABC et M un point appartenant au côté [ AB ] vérifiant la relation: AM = 2 3 · AB P est le point d’intersection de la droite ( BC ) et de la parallèle à ( AC ) passant par le point M . N est le point d’intersection des droites ( AC ) et de la parallèle à ( AB ) pas-sant par le point P 1 Réaliser une représentation de cette configuration. 2 Montrer que : AN = 1 3 · AC ; CP = 2 3 · CB . 3 Décomposer les vecteurs ci-dessous en fonction des vecteurs −−→ AB et −→ AC : a −→ AP b −−→ MC 4 Décomposer les vecteurs ci-dessous en fonction des vecteurs −→ CA et −−→ CB : a −→ AP b −−→ NM 13. Introduction au critère de colinéarité E.8364 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère deux vecteurs −→ u ( x ; y ) et −→ v ( x ; y ) tels que : 0 <x <x ; 0 <y <y On considère les deux points A et B tels que : −→ OA = −→ u ; −−→ OB = −→ v 1 a Exprimer les aires des figures suivantes en fonction de x , x , y et y : OBB ; OAA ; AA B B b En déduire l’expression de l’aire du triangle OAB en fonction de x , x , y et y . 2 a Que peut-on dire des points O , A , B lorsque : x × y − x × y =0 ? b La réciproque est-elle vraie? 14. Critères de colinéarités E.8541 Définition: soit −→ u x y et −→ v x y , on appelle détermi-nant des vecteurs −→ u et −→ v , noté det( −→ u ; −→ v ) , défini par : det( −→ u ; −→ v ) = x × y − x × y Pour chacun des couples de vecteurs −→ u et −→ v défini ci-dessous, déterminer la valeur de det( −→ u ; −→ v ) : a −→ u 2 − 1 ; −→ v 3 4 b −→ u − 5 1 ; −→ v 2 − 2 E.11689 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les points : A ( − 3 ; 2) ; B (1 ; 4) ; C (5 ; − 1) Déterminer la valeur de det −−→ AB ; −→ AC . E.5288 Proposition: Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux vecteurs −→ u et −→ v . Les deux vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires entre eux si, et seulement si, leur déterminant est nul. On considère le plan muni d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) et les qua-tre points : A (3 ; − 5) ; B (1 ; − 1) ; C (13 ; 2) ; D (18 ; − 8) Établir que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. E.504 On considère le plan munit d’un repère O ; −→ i ; −→ j et des deux vecteurs : −→ u 1 − 2 √ 3 3+ 2 ; −→ v 6 − 3 − 3 − 6 Établir que les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. E.512 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les deux vecteurs : −→ u 2 + 3 2 1 − 10 ; −→ v 5 2 + 4 3 2 − 2 5 Établir que les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires. E.8542 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les deux vecteurs colinéaires: −→ u x + y 2 4 ; −→ v 2 2 − 1 − 2 où x et y sont deux entiers relatifs. Déterminer les valeurs de x et y . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5294 sacados/5294 chapExoCorrec/8364 sacados/8364 OIJAABBuvuv chapExoCorrec/8541 sacados/8541 chapExoCorrec/11689 sacados/11689 chapExoCorrec/5288 sacados/5288 chapExoCorrec/504 sacados/504 chapExoCorrec/512 sacados/512 chapExoCorrec/8542 sacados/8542
E.7888 On munit le plan d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé et on considère les points : A 1 4 ; 1 3 ; B 1 ; 5 6 ; C − 1 2 ; 7 6 Montrer que les vecteurs −−→ AB et −→ AC ne sont pas deux vecteurs colinéaires. E.11716 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A (5 ; 1) ; B (9 ; 3) ; C ( − 9 ; − 5) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB et −→ AC . 2 Est ce que les vecteurs −−→ AB et −→ AC sont colinéaires? Jus-tifier votre réponse. 15. Parallélisme et colinéarité E.499 Dans le plan, on considère le repère ( O ; −→ i ; −→ j ) et les points : O (49 ; − 100) ; P (14 ; 5) ; Q (1 ; − 85) ; R ( − 58 ; 92) Déterminer si les droites ( OP ) et ( QR ) sont parallèles. E.5289 Dans le plan muni d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) , on considère les trois points : A ( − 3 ; − 1) ; B (1 ; 5) ; C ( − 1 ; 2) Montrer que les points A , B , C sont alignés. E.6507 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre points : A (2 ; − 5) ; B ( − 2 ; 2) ; C ( − 4 ; 5) ; D 2 ; − 11 2 Justifier que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles. E.5296 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé. On considère les quatre points suivants du plan : A − 2 ; − 6 ; B 2 2 ; 0 ; C ( − 2 √ 3 ; 3 ) ; D (0 ; 5) Montrer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles. E.8540 On munit le plan d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) et les trois points : A 2 2+1;3+2 √ 2 ; B 2 − 1; 2+1 ; C 2+5; 2+7 Montrer que les points A , B et C sont alignés. E.5313 On considère le plan muni du repère O ; −→ i ; −→ j représenté ci-dessous : On considère les quatre vecteurs ci-dessous : −→ u 9 4 − 3 4 ; −→ v 7 2 − 3 2 ; −→ w − 15 4 5 4 1 Représenter les trois vecteurs −→ u , −→ v et −→ w avec pour orig-ine le point O . 2 a Conjecturer la colinéarité des vecteurs −→ u , −→ v et −→ w entre eux. b Établir votre conjecture. E.1144 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé, on considère les points : D (5 ; − 2) ; E ( − 3 ; 10) ; F ( − 3 ; − 2) ; G (3 ; − 11) Montrer que les droites ( DE ) et ( FG ) sont parallèles. Indication : pour montrer que les droites ( DE ) et ( FG ) sont parallèles, il suffit de montrer que les vecteurs −−→ DE et −−→ FG sont colinéaires. 16. Modélisation et colinéarité E.9806 Dans le plan, on considère le rectan-gle ABCD tel que AB =4 cm et AD =2 cm et les deux points E et F vérifiant : F ∈ AB et AF =9 cm ; E ∈ AD et AE =3 ; 6 cm . On munit le plan du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD . 1 a Compléter les égalités suivantes : −→ AE = : : : −−→ AD ; −→ AF = : : : −−→ AB https://chingmath.fr chapExoCorrec/7888 sacados/7888 chapExoCorrec/11716 sacados/11716 chapExoCorrec/499 sacados/499 chapExoCorrec/5289 sacados/5289 chapExoCorrec/6507 sacados/6507 chapExoCorrec/5296 sacados/5296 chapExoCorrec/8540 sacados/8540 chapExoCorrec/5313 sacados/5313 -4-3-2-101234-2-112ij chapExoCorrec/1144 sacados/1144 chapExoCorrec/9806 sacados/9806 ABCDEF
b Dans le repère A ; −−→ AB ; −−→ AD , donner les coordonnées des six points de ce plan . 2 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ CE et −−→ CF . 3 En déduire que les points C , E , F sont alignés. E.5824 Dans le plan, on considère le paral-lélogramme ABCD . On note I le milieu du segment [ AB ] et J le point du segment [ AC ] vérifiant la relation: AJ = 1 3 · AC On munit le plan du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD . 1 Déterminer les coordonnées des points D , I et J . 2 Démontrer que les points D , I et J sont alignés. E.7214 On considère la figure ci-dessous constituée des deux carrés ABEF et BCDE : On note G le point d’intersection des droites ( AD ) et ( BF ) et H le point du plan vérifiant la relation vectorielle −→ AG = −−→ GH 1 En se plaçant dans le repère A ; −−→ AB ; −→ AF , déterminer les coordonnées du point G . 2 Établir que les points E , H et C sont alignés. E.5394 On considère la figure ci-dessus com-posée d’un carré ABCD et de deux triangles équilatéral DIC et BJC : Démontrer que les points A , I , J sont alignés. Indication : dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. dans un triangle équilatéral de côté a , on admet que toutes ses hauteurs ont pour longueur a √ 3 2 E.5393 On considère le triangle ci-contre où I et G sont les mi-lieux respectifs des segments [ AB ] et [ CI ] , le point J est défini par la relation: −→ CJ = 1 3 · −→ CA On considère la base vectorielle −−→ AB ; −→ AC . 1 Exprimer les vecteurs −→ AI et −→ AJ dans la base vectorielle −−→ AB ; −→ AC . 2 Établir que la décomposition vectorielle du vecteur −→ AG : −→ AG = 1 4 · −−→ AB + 1 2 · −→ AC 3 En déduire l’alignement des points B , G , J . 17. Colinéarité et recherche des coordonnées E.5291 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Soit A , B , C et D quatre points du plan de coordonnées : A ( − 5 ; 1) ; B (2 ; 4) ; C ( − 1 ; − 2) ; D (3 ; y D ) Déterminer les coordonnées du point D tel que les droites ( AB ) et ( CD ) soient parallèles et que le point D ait 3 pour abscisse. E.8200 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Soit A , B et C trois points du plan de coordonnées respec-tives : (4 ; − 1) ; (1 ; 3) ; (1 ; − 2) Déterminer les coordonnées du point D tel que les droites ( AB ) et ( CD ) soient parallèles et que le point D ait 3 pour abscisse. E.5314 Dans un plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les trois points A , B , C de coor-données : A (1 ; 2) ; B − 2 ; 5 2 ; C ( − 1 ; 4) Déterminer la valeur de x afin que le point D de coordonnées ( x ; 3) soit tel que les droites −−→ AB et −−→ CD soient colinéaires. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5824 sacados/5824 ABCDIJ chapExoCorrec/7214 sacados/7214 ABCDEFGH chapExoCorrec/5394 sacados/5394 ABCDIJ chapExoCorrec/5393 sacados/5393 ABCIJG chapExoCorrec/5291 sacados/5291 chapExoCorrec/8200 sacados/8200 chapExoCorrec/5314 sacados/5314
E.5822 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé, on considère les trois points suiv-ants : A ( − 1 ; 1) ; B ( − 3 ; − 1) ; C (2 ; 3) 1 Les points A , B et C sont-ils alignés? Justifier votre réponse. 2 Déterminer les coordonnées de l’unique point D ayant pour abscisse − 2 tel que les droites ( AB ) et ( CD ) soient parallèles. E.5746 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j et les quatre points : A ( − 3 ; 2) ; B (2 ; − 1) ; C (1 ; 5) ; D (7 ; 2) 1 Les droites ( AB ) et ( CD ) sont-elles parallèles? 2 Déterminer les coordonnées du point E ayant pour ab-scisse 7 afin que les vecteurs −−→ AB et −−→ CE soient colinéaires. E.2080 On considère le plan muni d’un repère quelconque ( O ; −→ i ; −→ j ) et les trois points suivants du plan : A (3 ; 2) ; B ( − 1 ; 3) ; D ( − 4 ; − 1) 1 Déterminer les coordonnées du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. 2 Déterminer les coordonnées du point E appartenant à l’axe des abscisses tel que : ( BD ) == ( AE ) . E.507 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j et les trois points : A 4+4 2 ; 3+3 2 ; B 2 − 2 ; 2 2+1 ; C 2+1 ; y C où y C est un nombre réel. Sachant que les points A , B et C sont alignés, déterminer l’ordonnée du point C sous la forme a + b 2 où a et b sont deux nombres réels. E.6625 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Soit A , B , C , D quatre points du plan de coordonnées respec-tives : A 2 ; 8 3 ; B 2 3 ; 2 ; C 4 5 ; 0 ; D x D ; − 1 2 où x D est un nombre réel. Sachant que les droites ( AB ) et ( CD ) soient parallèles, déter-miner les coordonnées du point D . 18. Géométrie vectorielle E.2107 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé : 1 Placer les trois points A , B , C dans le repère ci-dessous : A (3 ; − 3) ; B ( − 4 ; 3) ; C ( − 5 ; − 1) 2 Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [ AB ] . 3 a Déterminer les longueurs AB et MC . b Établir que le triangle ABC est rectangle en C . 4 On note N le point d’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite parallèle à ( CM ) passant par le point B . a Placer le point N dans le repère. b Déterminer les coordonnées du point N . E.2918 Dans le plan muni du repère O ; I ; J , on considère les droites ( d ) et ( d ) ci-dessous : 1 Déterminer graphiquement les équations réduites des droites ( d ) et ( d ) . 2 a Donner graphiquement les coordonnées des points M et N . b Justifier que la droite ( MN ) est parallèle à la droite ( d ) . 3 Soit Q un point de la droite ( d ) tel que la droite ( MQ ) soit parallèle à ( d ) . On note x l’abscisse du point Q . a Justifier que les vecteurs −−→ MQ et −→ u 1 − 1 3 sont col-inéaires. b Justifier que le vecteur −−→ MQ a pour coordonnée en fonc-tion de x : −−→ MQ x + 3 5 4 · x + 3 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5822 sacados/5822 chapExoCorrec/5746 sacados/5746 chapExoCorrec/2080 sacados/2080 chapExoCorrec/507 sacados/507 chapExoCorrec/6625 sacados/6625 chapExoCorrec/2107 sacados/2107 -6-5-4-3-2-1234I-3-2-1234JO chapExoCorrec/2918 sacados/2918 -4-3-2-1234I-2-123JO(d(dMN
c Résoudre l’équation: x +3= − 3 · 5 4 · x + 3 4 . d En déduire les coordonnées du point Q . E.2902 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la droite ( d ) représentée ci-dessous et le point M de coordonnée ( − 2 ; 1) : 1 Déterminer l’équation réduite de la droite ( d ) . 2 a Tracer un représentant du vecteur −→ u (2 ; 1) . b Déterminer les coordonnées du point P appartenant à la droite ( d ) tel que les vecteurs −−→ MP et −→ u soient colinéaires. 3 Résoudre l’équation suivante : (1 − 2 x ) (10 x + 13) = ( x + 2) (15 x + 24) 4 Soit N le point de coordonnées − 13 10 ; 1 5 . Soit x un nombre réel, on considère les deux points R et S ap-partenant respectivement aux droites ( d ) et (Δ) ayant chacun pour abscisse la valeur x a On admet que l’équation réduite de la droite (Δ) est : y = 1 2 · x + 1 Exprimer en fonction de x les coordonnées des deux vecteurs −−→ MR et −−→ NS . On souhaite déterminer une valeur de x pour laquelle les vecteurs −−→ MR et −−→ NS sont colinéaires. Supposons désormais que x vérifie cette contrainte : b Justifier que x vérifie la condition suivante : x + 13 10 − 2 3 x + 1 3 = x + 2 1 2 x + 4 5 c En déduire les coordonnées des points R et S . 19. Approfondissement: repères quelconques E.4968 On munit le plan d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque représenté ci-dessous : 1 a Dans le repère ci-dessous, placer les deux points : A ( − 1 ; 2) ; B (4 ; 1) b Justifier graphiquement que le vecteur −−→ AB a pour co-ordonnées (5 ; − 1) . 2 On considère les deux vecteurs suivants : −→ u 3 2 ; −→ v − 2 − 2 Donner un représentant de votre choix de chacun de ces deux vecteurs dans le repère ci-dessus. E.5339 On munit le plan d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque représenté ci-dessous : 1 Tracer un représentant de chacun des deux vecteurs : −→ u 5 2 ; −→ v − 3 − 2 2 a Tracer un représentant du vecteur −→ w défini par : −→ w = −→ u + −→ v b Graphiquement, déterminer les coordonnées du vecteur −→ w . c Comparer les coordonnées du vecteur −→ w relativement à celles des vecteurs −→ u et −→ v . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2902 sacados/2902 -4-3-2-1234I-2-123JO(dM chapExoCorrec/4968 sacados/4968 O−i−j-1123456789-112 chapExoCorrec/5339 sacados/5339 O−i−j-1123456789-112345
E.5744 Dans le plan, on considère les deux vecteurs −→ i et −→ j non colinéaire représentés ci-dessous : La représentation des vecteurs −→ u et −→ v sont également représentés ci-dessus. 1 Dans la base vectorielle de −→ i ; −→ j , donner les coordon-nées des vecteurs −→ u et −→ v . 2 Par la méthode de votre choix, déterminer les coordon-nées du vecteur somme : −→ w = −→ u + −→ v . 3 Par la méthode de votre choix, déterminer les coordon-nées du vecteur −→ t réalisant l’égalité suivante : −→ v = −→ u + −→ t 20. Approfondissement: base quelconque et fonction affine E.4592 Soit ABCD un parallélogramme. On note E le point appartenant au segment [ AC ] vérifiant : AE = 2 3 · AC Les droites ( BE ) et ( CD ) s’interceptent au point G . Le plan est muni du repère A ; −−→ AB ; −→ AC . 1 Donner, sans justification, les coordonnées des points : A ; B ; C ; D ; E 2 a Justifier que la droite ( BE ) admet pour équation : y = − 2 3 · x + 2 3 b En déduire les coordonnées du point G . 3 Que représente le point G pour le segment [ CD ] ? Justi-fier. E.2074 On considère un carré ABCD de côté 1 cm . Le point I est l’unique point tel que le triangle AIB soit équilatéral et soit contenu dans le carré ABCD ; Le point J est l’unique point tel que le triangle BCJ soit équilatéral et soit extérieur au carré ABCD . On note : K est le pied de la hauteur issue du sommet I dans le triangle AIB . L est le pied de la hauteur issue de J dans le triangle BCJ . Voici la représentation de cette configuration : Le but de l’exercice est de démontrer que les points D , I et J sont alignés. On considère le plan munit du repère ( A ; −−→ AB ; −−→ AD ) . 1 Quelle est la nature du repère ( A ; −−→ AB ; −−→ AD ) ? 2 a Déterminer la longueur du segment [ KI ] . b Donner les coordonnées du point I dans le repère con-sidéré. 3 En admettant que la longueur LJ mesure √ 3 2 , donner les coordonnées du point J . 4 Considérons la droite ( d ) d’équation : y = 3 − 2 x + 1 Montrer que les trois points D , I et J appartiennent à la droite ( d ) . 21. Approfondissement: décomposition de vecteurs dans une base quelconque E.8112 Considérons un rectangle ABCD et les trois points E , F , G définis par : −→ AE = 1 2 · −−→ AB ; −−→ DF = 2 3 · −−→ DC ; −−→ DG = 4 · −−→ DA https://chingmath.fr chapExoCorrec/5744 sacados/5744 −i−juv chapExoCorrec/4592 sacados/4592 ABCDEG chapExoCorrec/2074 sacados/2074 Utilisation de la simplification de radicaux KLABCDIJ chapExoCorrec/8112 sacados/8112
On considère les deux vecteurs −−→ AB et −−→ AD non colinéaire for-mant une base vectorielle. 1 Déterminer la décomposition du vecteur −−→ EF dans la base −−→ AB ; −−→ AD . 2 Établir la décomposition du vecteur −−→ EG dans la base −−→ AB ; −−→ AD : −−→ EG = − 1 2 · −−→ AB − 3 · −−→ AD 3 Démontrer que les point E , F et G sont alignés. E.6664 Dans le plan, on considère le triangle ABC représenté ci-dessous : Les points M , N et P sont définis par les relations : −−→ AM = 4 5 · −−→ AB ; −−→ BN = 1 2 · −−→ BC ; −→ AP = 4 3 · −→ AC L’étude s’effectuera dans le repère B ; −−→ BA ; −−→ BC . 1 Donner les coordonnées des points M et N . 2 a Déterminer les coordonnées du vecteur −→ AC . b En déduire les coordonnées du point P . 3 Justifier que les points M , N et P sont alignés. E.5342 Dans le plan, on considère le triangle ABC : On considère les points M et N définis par : −−→ BM = 1 4 · −−→ BA ; −−→ BN = 1 2 · −−→ BC On définit le point P par la relation vectorielle: −→ AP = ¸ · −→ AC où ¸ ∈ R 1 Exprimer −→ AC en fonction des vecteurs −−→ BA et −−→ BC . 2 On munit le plan du repère B ; −−→ BA ; −−→ BC : a Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ MN et du vecteur −−→ MP en fonction du réel ¸ . b Déterminer la valeur de ¸ afin que les points M , N et P soient alignés. https://chingmath.fr ABCDEFG chapExoCorrec/6664 sacados/6664 ABCMNP chapExoCorrec/5342 sacados/5342 ABCMNP