Seconde / Droites dans le plan 63 exercices corrigés

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ChingQuizz : 6 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels: fonctions affines E.9805 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé O ; I ; J , on considère les deux droites ( d 3 ) et ( d 4 ) admettant les équations réduites suivantes : ( d 3 ) : y = 3 2 · x + 1 ; ( d 4 ) : y = 4 x − 2 1 Les droites ( d 3 ) et ( d 4 ) sont-elles parallèles? 2 Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d 3 ) et ( d 4 ) . 2. Equation cartésienne de droites E.2111 On considère la droite ( d ) d’équation y =3 x − 2 et les points du plan suivant : A (2 ; 4) ; B ( − 1 ; 1) ; C − 1 2 ; − 7 2 D 2 3 ; 0 ; E 2 5 ; − 2 5 ; F ( − 3 ; − 2) 1 Parmi ces points, lesquels appartiennent à la droite ( d ) ? 2 Parmi ces points, lesquelles vérifient l’équation suivante : y − 3 x + 2 = 0 3 Quelle observation peut-on faire? Pourquoi? E.5318 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère la droite ( d ) admettant pour équa-tion : 2 · x − y + 5 = 0 1 Parmi les points ci-dessous, lesquels appartiennent à la droite ( d ) : A (1 ; 7) ; B − 3 2 ; 2 ; C ( − 4 ; − 4) Justifier votre réponse. 2 Déterminer les coordonnées du point D appartenant à la droite ( d ) ayant pour abscisse 2 . 3 Déterminer les coordonnées du point E appartenant à la droite ( d ) ayant pour ordonnée − 1 2 . E.7507 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère la droite ( d ) admettant pour équa-tion : 3 · x − 2 · y + 1 = 0 1 Parmi les points ci-dessous, lesquels appartiennent à la droite ( d ) : A (3 ; 5) ; B − 1 2 ; − 1 8 ; C − 2 3 ; − 1 2 Justifier votre réponse. 2 Déterminer les coordonnées du point D appartenant à la droite ( d ) ayant pour abscisse 2 . 3 Déterminer les coordonnées du point E appartenant à la droite ( d ) ayant pour ordonnée − 3 . E.1842 Une droite ( d ) passe par les points : A ( − 2 ; 5 ; 3) ; B 3 2 ; 1 . Parmi les trois équations cartésiennes, dire celle qui corre-spond à la droite ( d ) : a 2 x + 2 y − 1 = 0 b − 4 x − 3 y + 9 = 0 c 2 x + 4 y − 7 = 0 https://chingmath.fr quizzChap/1199 chapExoCorrec/9805 sacados/9805 chapExoCorrec/2111 sacados/2111 chapExoCorrec/5318 sacados/5318 chapExoCorrec/7507 sacados/7507 chapExoCorrec/1842 sacados/1842
E.9803 Dans le repère ( O ; I ; J ) orthonormé ci-dessous, on considère la droite ( d ) représentée ci-dessous : Parmi les équations cartésiennes ci-dessous, laquelle représente la droite ( d ) ? a x + 4 y − 3 = 0 b − 4 x − y + 3 = 0 c − x − 4 y − 3 = 0 d 4 x − y + 3 = 0 E.5334 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on donne la représentation des quatre droites ( d 1 ) , ( d 2 ) , ( d 3 ) et ( d 4 ) ci-dessous : Associer à chacune des droites ci-dessous une des équations cartésiennes présentées ci-dessous : ( E 1 ) : 3 · x + 4 · y + 4 = 0 ; ( E 2 ) : − x + 2 · y − 3 = 0 ( E 3 ) : 1 2 · x − y − 1 = 0 ; ( E 4 ) : 3 4 · x + y − 3 2 = 0 3. Equations cartésiennes: construction de la représentation graphique E.5328 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre droites ci-dessous définies par leur équation cartésienne : ( d 1 ) : 2 x − 3 y + 3 = 0 ; ( d 2 ) : − 2 x − y + 1 = 0 1 Pour chacune de ces droites, déterminer un point de cette droite et un coefficient directeur. 2 Tracer chacune de ces droites dans le repère ci-dessous : 4. Vecteurs directeurs E.5315 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthogonal : https://chingmath.fr chapExoCorrec/9803 sacados/9803 -4-3-2-1234I-2-123JO(d chapExoCorrec/5334 sacados/5334 -4-3-2-1234I-2-12JO(d1(d4(d3(d2 chapExoCorrec/5328 sacados/5328 -4-3-2-101234-2-1123ij chapExoCorrec/5315 sacados/5315 -4-3-2-101234-1123ij
et les points A et B de coordonnées : A − 3 ; − 1 2 ; B (1 ; 1) 1 Tracer la droite ( AB ) dans le repère ci-dessus. 2 Donner quatre vecteurs directeurs de la droite ( AB ) dont un, au moins, a des coordonnées entières. E.5319 Proposition: dans le plan muni d’un repère, on considère la droite ( d ) d’équation cartésienne a · x + b · y + c =0 . Le vecteur −→ u ( − b ; a ) est un vecteur directeur de ( d ) . Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre droites suivantes : ( d 1 ) : 3 · x − 2 · y − 2 = 0 ; ( d 2 ) : − x + 3 · y + 1 = 0 ( d 3 ) : 2 · x + y = 0 ; ( d 4 ) : − 2 · x − 2 · y + 1 = 0 Donner un vecteur directeur de chacune de ces droites. E.2112 Dans le plan muni d’un repère, on considère les équations cartésiennes de droites suivantes : ( d 1 ) : 5 x + y − 2 = 0 ; ( d 2 ) : 3 x − y + 5 = 0 Pour chacune des droites, donner un vecteur directeur associé. E.9827 Dans le plan muni d’un repère, on considère les équations cartésiennes de droites suivantes : ( d 1 ) : 5 x + 2 y + 1 = 0 ; ( d 2 ) : 2 x + 1 2 y − 5 = 0 Pour chacune des droites, donner un vecteur directeur associé. 5. Vecteurs directeurs et tracés de droites E.9800 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les deux droites ci-dessous définies par leur équation cartésienne : ( d 1 ) : 2 x + 4 y − 5 = 0 ; ( d 2 ) : − 3 x + y + 4 = 0 1 Pour chacune des droites, donner un point et un vecteur directeur de cette droite. 2 Tracer chacune de ces droites dans le repère ci-dessous : E.11149 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre droites ci-dessous définies par leur équation cartésienne : ( d 1 ) : 2 x − 3 y + 3 = 0 ; ( d 2 ) : − 2 x − y + 1 = 0 1 Pour chacune de ces droites, déterminer un point de cette droite et un coefficient directeur. 2 Tracer chacune de ces droites dans le repère ci-dessous : 6. Déterminer une équation cartésienne E.5336 Proposition: dans le plan muni d’un repère, si la droite ( d ) admet le vecteur −→ u ( − b ; a ) pour vecteur directeur alors ( d ) admet pour équation cartésienne : a · x + b · x + c = 0 . On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Pour chaque question, déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) passant par le point A et admettant le vecteur −→ u pour vecteur directeur : a A (2 ; 1) et −→ u 2 3 b A (0 ; 3) et −→ u − 2 1 E.9836 On considère le plan muni d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) orthonormé. Pour chacune des questions, déterminer l’équation cartésienne de la droite passant par le point M et ayant le vecteur −→ u pour vecteur directeur : a M (1 ; 2) ; −→ u 3 2 b M ( − 4 ; 1) ; −→ u − 2 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5319 sacados/5319 chapExoCorrec/2112 sacados/2112 chapExoCorrec/9827 sacados/9827 chapExoCorrec/9800 sacados/9800 -4-3-2-101234-1123ij chapExoCorrec/11149 sacados/11149 -4-3-2-101234-3-2-1123ij chapExoCorrec/5336 sacados/5336 chapExoCorrec/9836 sacados/9836
E.9828 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Pour chaque question, déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) passant par le point A et ayant pour vecteur directeur −→ u : a A (3 ; − 2) et −→ u 1 2 − 1 b A − 2 ; 1 2 et −→ u 3 − 5 3 E.6508 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé, on considère la droite ( d ) et le point A représentés ci-dessous : 1 Donner une équation cartésienne de la droite ( d ) . 2 Donner une équation cartésienne de la droite ( d ) passant par le point A et parallèle à la droite ( d ) . E.5335 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les droites ci-dessous : ( d 1 ): 3 · x − 12 · y + 10 = 0 ( d 2 ): (1 + 2) · x + 3 · y − 1 = 0 ( d 3 ): − 3 · x − ( − 1 + 2) · y + 2 = 0 ( d 4 ): (1 + 2) · x + (1 − 2) · y − 1 = 0 1 Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite ( d 1 ) ayant ses coordonnées entières. 2 Donner les coordonnées d’un vecteur directeur des droites ( d 2 ) , ( d 3 ) , ( d 4 ) ayant pour abscisse une valeur entière. E.546 On considère le plan muni d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) orthonormé. Pour chacune des questions, déterminer l’équation cartésienne de la droite passant par le point M et ayant le vecteur −→ u pour vecteur directeur : a M (0 ; 2) ; −→ u 1 1 2 b M 0 ; − 3 2 ; −→ u 2 1 7. Fonctions affines et équations cartésiennes E.9798 On considère les quatre équations ci-dessous représentant chacune une équation cartésienne de droite : ( d 1 ) : y + 3 x − 2 = 0 ( d 2 ) : y + 5 2 x + 4 = 0 ( d 3 ) : 1 2 y − 2 + 5 4 x = 0 ( d 4 ) : − y − 3 x − 2 = 0 1 Donner l’équation réduite représentant chacune de ces droites. 2 Déterminer laquelle des droites ( d 1 ) , ( d 2 ) , ( d 3 ) ou ( d 4 ) est représentée par chacune des équations suivantes : ( E ) : 3 y + 9 x − 6 = 0 ; ( F ) : 4 y + 10 x + 16 = 0 E.9799 Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite ( d ) admettant pour équation cartésienne : 2 · x + 3 · y − 1 = 0 1 Justifier que la droite ( d ) est la représentation d’une fonction affine. 2 Donner l’expression de la fonction affine f admettant la droite ( d ) pour représentation. 8. Fonctions affines et vecteurs directeurs E.5316 On considère les fonctions affines f et g définies par la relation: f ( x ) = 3 2 · x + 2 ; g ( x ) = − 2 x + 1 Dans le plan muni d’un repère, on note ( d ) et ( d ) les droites représentatives respectives des fonctions f et g . 1 Donner trois vecteurs directeurs de la droite ( d ) . 2 Donner trois vecteurs directeurs de la droite ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9828 sacados/9828 chapExoCorrec/6508 sacados/6508 xxyy-4-3-2-1234I-3-2-12JO(dA chapExoCorrec/5335 sacados/5335 chapExoCorrec/546 sacados/546 chapExoCorrec/9798 sacados/9798 chapExoCorrec/9799 sacados/9799 chapExoCorrec/5316 sacados/5316
E.9837 On munit le plan d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) orthonormé : On considère la droite (Δ) dont l’équation réduite est : (Δ) : y = − 3 4 · x + 1 1 a Tracer la droite (Δ) et un représentant du vecteur −→ u 4 − 3 . b Quelle conjecture peut-on établir entre la droite (Δ) et le vecteur −→ u ? 2 Justifier que le vecteur −→ u est un vecteur directeur de la droite (Δ) . E.7415 On considère la droite ( d ) admettant l’équation réduite : y = 1 2 · x + 3 Donner un vecteur directeur de la droite ( d ) . E.2904 Associer à chacune des équations de droite ci-dessous : 1 y = 2 x + 1 2 y = − 3 2 x − 2 3 − 2 x − y + 3 = 0 4 y = 2 3 x + 1 5 y = 1 6 x − 1 2 6 − x + 3 y − 2 = 0 un vecteur directeur parmi : a −→ u 3 2 b −→ v − 2 − 4 c −→ w − 2 4 d −→ r 1 2 1 6 e −→ s 6 1 f −→ t − 4 6 E.5317 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère une droite ( d ) de vecteur directeur −→ u . Pour chaque question, donner le coefficient directeur de ( d ) : a −→ u 1 3 b −→ u 2 − 3 c −→ u 5 2 1 E.541 Dans le plan muni du repère O ; I ; J , on considère les quatre droites ci-dessous : Associer à chacune de ses droites un vecteur directeur parmi les vecteurs proposés ci-dessous : −→ u − 2 6 ; −→ v 2 4 ; −→ w 4 1 ; −→ r − 1 4 ; −→ s 2 − 2 E.552 On munit le plan d’un repère ( O ; −→ i ; −→ j ) orthonormé : On considère les points A ( − 2 ; 75 ; − 0 ; 5) , B (3 ; 25 ; 1) et le vecteur −→ u 1 0 ; 25 . 1 a Tracer la droite ( d ) et le vecteur −→ u . b Quelle conjecture peut-on émettre sur la droite ( AB ) et le vecteur −→ u ? 2 a Déterminer l’équation réduite de la droite ( AB ) . b Justifier que le vecteur −→ u est un vecteur directeur de la droite ( AB ) . 9. Système d’équations: introduction E.11734 Déterminer le prix de chacun des deux objets : https://chingmath.fr chapExoCorrec/9837 sacados/9837 -3-2-123I-12JO chapExoCorrec/7415 sacados/7415 chapExoCorrec/2904 sacados/2904 chapExoCorrec/5317 sacados/5317 chapExoCorrec/541 sacados/541 -4-3-2-1234I-3-2-123JO(d2(d1(d4(d3 chapExoCorrec/552 sacados/552 -3-2-1234I-12JO chapExoCorrec/11734 sacados/11734 2422
E.11735 Déterminer le prix de chacun des deux objets : E.11736 Déterminer le prix de chacun des deux objets : 10. Système d’équations: résolution graphique E.2118 On munit le plan d’un repère et on considère les deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) d’équations cartési-ennes respectives : 3 x − 2 y + 2 = 0 ; x + 4 y − 11 = 0 1 Justifier que les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) sont sécantes. 2 a Tracer dans le repère les deux droites b En déduire graphiquement l’ensemble des solutions du système d’équation ( S ) : 3 x − 2 y + 2 = 0 x + 4 y − 11 = 0 11. Système d’équations: résolution par combinaison linéaire E.7368 On considère le système ( S ) défini par : x − 3 y = 8 4 x + y = − 7 Résoudre le système ( S ) . E.5544 On considère le système ( S ) défini par : 4 x − 2 y = 6 3 x + 2 y = 29 Résoudre le système ( S ) . E.5542 On considère le système ( S ) d’équations : 2 x + 3 y = 14 5 x − 2 y = 16 Déterminer l’unique couple solution du système ( S ) . E.5541 On considère le système ( S ) défini : 3 x + 2 y = 13 2 x + 3 y = 17 Résoudre le système ( S ) . E.9831 On considère le système ( S ) d’équations : 2 x + 3 y = 10 5 x + 10 y = 20 Résoudre le système ( S ) d’équations. E.7369 Résoudre le système suivant : S : x + 2 y − z = − 2 3 x + y + 2 z = − 1 x − y + 3 z = 3 Indication : on montrera que ce système admet un unique triplet solution 12. Système d’équations: résolution par substitution https://chingmath.fr chapExoCorrec/11735 sacados/11735 2913 chapExoCorrec/11736 sacados/11736 213 chapExoCorrec/2118 sacados/2118 -4-3-2-1234I234JO chapExoCorrec/7368 sacados/7368 chapExoCorrec/5544 sacados/5544 chapExoCorrec/5542 sacados/5542 chapExoCorrec/5541 sacados/5541 chapExoCorrec/9831 sacados/9831 chapExoCorrec/7369 sacados/7369
E.5547 On considère le système ( S ) d’équations : 3 x = y x + y = 8 ; 4 Résoudre le système ( S ) . E.5548 On considère le système suivant : ( S ) : 2 x + y = 5 3 x + 2 y = 8 Résoudre le système ( S ) . E.1007 On considère le système ( S ) d’équations : 3 x + 2 y = 23 x − y = 1 Résoudre le système d’équations ( S ) . 13. Droites parallèles et vecteurs directeurs E.9801 Proposition: soit ( d ) et ( d ) deux droites parallèles. Si au moins un point de la droite ( d ) n’appartient pas à la droite ( d ) alors les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles distinctes. On considère les deux droites ( d 5 ) et ( d 6 ) définies par les équations cartésiennes suivantes : ( d ) : 3 x + 6 y − 1 = 0 ; ( d ) : 2 x + 4 y + 5 = 0 1 a Donner les coordonnées d’un vecteur −→ u directeur de la droite ( d ) et un vecteur −→ v directeur de la droite ( d ) . b Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles. 2 a Donner les coordonnées du point A appartenant à ( d ) et d’abscisse 1 . b Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles et distinctes. E.9834 Proposition: soit ( d ) et ( d ) deux droites parallèles. Si au moins un point de la droite ( d ) appartient à la droite ( d ) alors les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles confondues. On considère les deux droites ( d ) et ( d ) définies par les équa-tions cartésiennes suivantes : ( d ) : 2 x + 6 y − 8 = 0 ; ( d ) : − 3 x − 9 y + 12 = 0 1 a Donner les coordonnées d’un vecteur −→ u directeur de la droite ( d ) et un vecteur −→ v directeur de la droite ( d ) . b Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles. 2 a Donner les coordonnées du point A appartenant à ( d ) et d’abscisse 1 . b Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles et distinctes. E.9835 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j et les droites ( d ) et ( d ) d’équations cartési-ennes : ( d ): 4 x − 6 y + 2 = 0 ; ( d ): x − 3 2 · y + 2 = 0 1 Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles. 2 Les droites ( d ) et ( d ) sont-elles parallèles distinctes ou parallèles confondues. E.7506 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les points A et B de coordonnées : A 22 5 ; 14 5 ; B 42 5 ; 4 5 On considère également la droite ( d ) admettant pour équa-tion cartésienne : ( d ) : 3 · x + 6 · y − 12 = 0 1 a Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ AB . b Justifier que le segment [ AB ] a pour mesure 20 . 2 Justifier que les droites ( AB ) et ( d ) sont parallèles. 3 a Déterminer les points C et D intersection de la droite ( d ) respectivement avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. b Justifier que le quadrilatère ABCD est un losange. 14. Droites parallèles et système d’équations E.4735 Proposition: dans le plan muni d’un repère, on considère deux droites ( d ) et ( d ) d’équations cartésiennes : a · x + b · y + c = 0 ; a · x + b · y + c = 0 Si le système a · x + b · y + c = 0 a · x + b · y + c = 0 n’admet aucune so-lution alors les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles et dis-tinctes. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5547 sacados/5547 chapExoCorrec/5548 sacados/5548 chapExoCorrec/1007 sacados/1007 chapExoCorrec/9801 sacados/9801 chapExoCorrec/9834 sacados/9834 chapExoCorrec/9835 sacados/9835 chapExoCorrec/7506 sacados/7506 -12345678910I-1234JOBA chapExoCorrec/4735 sacados/4735
1 Résoudre le système ( S ) : 6 x − 15 y + 24 = 0 − 4 x + 10 y + 16 = 0 2 Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux droites ( d ) et ( d ) d’équation cartésienne : ( d ) : 6 x − 15 y + 24 = 0 ; ( d ) : − 4 x + 10 y + 16 = 0 Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles dis-tinctes. E.9802 Proposition: dans le plan muni d’un repère, on considère deux droites ( d ) et ( d ) d’équations cartésiennes : a · x + b · y + c = 0 ; a · x + b · y + c = 0 Si le système a · x + b · y + c = 0 a · x + b · y + c = 0 admet une infinité de solutions alors les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles et confondues. 1 Résoudre le système ( S ) : 5 x − 4 y + 5 = 0 4 x − 16 5 y + 4 = 0 2 Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux droites ( d ) et ( d ) définies par les équations cartésiennes suivantes : ( d ) : 5 x − 4 y + 5 = 0 ; ( d ) : 4 x − 16 5 y + 4 = 0 Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles et con-fondues. E.9829 1 Résoudre le système d’équations : 6 x − 3 y + 9 = 0 − 4 x + 2 y − 6 = 0 2 Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux droites ( d ) et ( d ) définies par les équations cartésiennes : ( d ) : 6 x − 3 y + 9 = 0 ; ( d ) : − 4 x + 2 y − 6 = 0 Préciser la position relative des droites ( d ) et ( d ) . E.9830 1 Résoudre le système ( S ) : 2 x + 6 y − 7 = 0 − 3 x − 9 y + 12 = 0 2 Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux droites (Δ) et (Δ ) définies par leurs équations cartési-ennes : (Δ) : 2 x + 6 y − 7 = 0 ; (Δ ) : − 3 x − 9 y + 12 = 0 Préciser la position relative des droites (Δ) et (Δ ) . 15. Intersection de droites avec équations cartésiennes E.5745 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J dans lequel la droite ( d ) passe par les points A ( − 3 ; − 1) et B (2 ; 0) : 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) . On considère la droite (Δ) ayant pour équation cartésienne : x + 2 y − 3 = 0 2 a Justifier que les droites ( d ) et (Δ) sont sécantes. b Tracer la droite (Δ) dans le repère ci-dessus. 3 Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . E.5823 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) représentée ci-dessous : 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) . On considère la droite (Δ) ayant pour équation cartésienne : (Δ) : 5 x + 6 y − 6 = 0 2 a Justifier que les droites ( d ) et (Δ) sont sécantes. b Effectuer le tracé dans le repère ci-dessous de la droite (Δ) . 3 Algébriquement, déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9802 sacados/9802 chapExoCorrec/9829 sacados/9829 chapExoCorrec/9830 sacados/9830 chapExoCorrec/5745 sacados/5745 -4-3-2-1234I-2-12JOAB(d chapExoCorrec/5823 sacados/5823 xxyy-4-3-2-1234I-2-12JO(d
E.5395 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et les deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) admettant pour équations cartésiennes : ( d 1 ) : x − 2 y + 3 = 0 ; ( d 2 ) : 3 x + 4 y − 13 = 0 1 Justifier que les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) sont sécantes. 2 Représenter dans le graphique ci-dessous les deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) . 3 Déterminer les coordonnées du point d’intersection des deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) . E.2911 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les points A ( − 2 ; 3) et B (1 ; − 1) et la droite ( d ) dont une équation cartésienne est donnée ci-dessous : ( d ) : 2 x − y + 3 = 0 1 Justifier que la droite ( AB ) admet l’équation ci-dessous comme équation cartésienne : 4 x + 3 y − 1 = 0 2 Justifier que les droites ( AB ) et ( d ) sont sécantes. 3 a Résoudre le système d’équation suivant : 2 x − y + 3 = 0 4 x + 3 y − 1 = 0 b Que représente, graphiquement, le point de coordon-née ( x ; y ) solution du système précédent. E.2916 Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux droites ( d ) et ( d ) d’équations cartésiennes : ( d ) : 2 x − y + 1 = 0 ; ( d ) : 3 x + y − 2 = 0 1 Quelles sont les positions relatives des droites ( d ) et ( d ) ? 2 a Résoudre le système : 2 x − y + 1 = 0 3 x + y − 2 = 0 b Interpréter graphiquement l’ensemble des solutions du système précédent. 16. Position relative de droite et géométrie E.5338 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre points A , B , C , D de coordonnées : A ( − 2 ; 1) ; B (4 ; 3) ; C (3 ; − 4) ; D ( − 2 ; − 2) 1 a Déterminer une équation cartésienne de la droite ( AC ) . b Déterminer une équation cartésienne de la droite ( BD ) . 2 Déterminer les coordonnées du point d’intersection des diagonales du quadrilatère ABCD . E.5396 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les trois points suivants : A ( − 3 ; − 2) ; B (1 ; 1) ; C ( − 2 ; 2) 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( AB ) . 2 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) pas-sant par le point C et parallèle à la droite ( AB ) . 3 a Déterminer les coordonnées du point M milieu du segment [ AC ] . b Déterminer une équation cartésienne de la droite ( BM ) c Déterminer les coordonnées du point D , intersection des droites ( BM ) et ( d ) . d Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5395 sacados/5395 -4-3-2-1234I-1234JO chapExoCorrec/2911 sacados/2911 chapExoCorrec/2916 sacados/2916 chapExoCorrec/5338 sacados/5338 chapExoCorrec/5396 sacados/5396 -8-7-6-5-4-3-2-12I-3-2-123JOABC
E.6663 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, les deux points A et B : A ( − 1 ; 1) ; B 1 ; 7 3 et la droite (Δ) admettant pour équation cartésienne : (Δ) : 3 · x + 2 · y − 10 3 = 0 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( AB ) . 2 a Justifier que les droites ( AB ) et (Δ) sont sécantes. b Déterminer les coordonnées du point N , intersection des droites ( AB ) et (Δ) . 3 a Justifier que le point M 2 ; − 4 3 appartient à la droite (Δ) . b Justifier que la droite (Δ) est la médiatrice du segment [ AB ] . Le repère ci-dessous est donné à titre indicatif ... E.7505 On considère le billard représenté ci-dessous où la boule blanche est modélisée par le point A et on souhaite déterminer la position du point M de contact sur la bande de gauche afin que la boule rejoigne en une bande le trou modélisé par le point B . À l’aide du repère O ; −→ i ; −→ j où les bandes d’en bas et de gauche sont confondues respectivement avec les axes des ab-scisses et des ordonnées, on a les coordonnées : A (5 ; 1) ; B (8 ; 4) On note M le point de contact du rebond sur la bande de gauche. En supposant le rebond parfait sur la bande, on admet que, si la droite ( AM ) admet le vecteur −→ u (1 ; a ) , où a ∈ R , alors le vecteur −→ v ( − 1 ; a ) est un vecteur directeur de la droite ( MB ) . Déterminer les coordonnées du M . Indication : toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. 17. Projecté orthogonal E.4596 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les deux points : A (2 ; 2) ; B (0 ; − 1) La droite ( d ) est la droite d’équation : y = 1 2 · x − 1 On considère un point M sur la droite ( d ) ayant pour abscisse x . On souhaite déterminer la position du point M afin que la distance AM soit minimale; on admet que ce point est le projeté orthogonal du point A sur la droite ( d ) . 1 a Justifier que le point B est un point de la droite ( d ) . b Le point M ayant pour abscisse x et appartenant à la droite ( d ) , donner les coordonnées du point M . 2 Montrer que la longueur du segment [ AM ] vaut : AM 2 = 5 4 · x 2 − 7 · x + 13 3 On considère maintenant le point M réalisant la situa-tion : ˇ AM est minimal ı a Montrer que l’abscisse du point M vérifie l’équation: 5 2 · x 2 − 7 · x = 0 b En déduire les coordonnées du point M . 18. Exercices non-classés E.5974 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J . On note A et B les points de coordonnées respectives ( − 3 ; 2) et (3 ; 0) . 1 a Donner les coordonnées d’un vecteur −→ u directeur de la droite ( AB ) . b Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( AB ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6663 sacados/6663 -4-3-2-1234I-2-1234JO chapExoCorrec/7505 sacados/7505 OBA−i−jM¸¸ chapExoCorrec/4596 sacados/4596 chapExoCorrec/5974 sacados/5974
2 On considère le point C ( − 1 ; − 2) et un vecteur −→ v de coordonnées : −→ v 2 1 . a Justifier que tous les points de la droite ( AB ) ont pour coordonnées x ; − 1 3 · x +1 . b Déterminer les coordonnées du point D appartenant à la droite ( AB ) tel que les vecteurs −−→ CD et −→ v soit colinéaire. 3 On considère la droite ( d ) admettant l’équation suivante pour équation cartésienne : ( d ) : x − y + 2 = 0 Déterminer les coordonnées des points d’intersection des droites ( AB ) et ( d ) . E.4727 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les quatre points suivants. A ( − 2 ; 3) ; B (2 ; 1) ; C (2 ; − 4) ; D (5 ; 2) Le but de l’exercice est de démontrer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont perpendiculaires. 1 Justifier que les droites ( AB ) et ( CD ) ne sont pas paral-lèles. 2 Déterminer les coordonnées du point M , intersection des droites ( AB ) et ( CD ) . 3 Déterminer les coordonnées de l’unique B vérifiant que le point M soit le milieu du segment [ BB ] . 4 Justifier que la droite ( CD ) est la médiatrice du segment [ BB ] . 5 Conclure sur la position relative des droites ( AB ) et ( CD ) . E.2271 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé et On considère les quatre points suiv-ants du plan : C (3 ; 2) ; D ( − 1 ; 1) ; E 2 ; − 5 2 ; F 0 ; 11 2 Montrer la droite ( EF ) est la médiatrice du segment [ CD ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4727 sacados/4727 chapExoCorrec/2271 sacados/2271