Image absente : /home/_math/_exercice/d11/11736/metapost/dessin.svg
/home/_math/_exercice/d11/11736/metapost dessin
Compilation SVG ex:11736 fichier:dessin.mp
/usr/bin/mpost -interaction=nonstopmode -halt-on-error -tex=/usr/bin/latex -s 'outputformat="svg"' -s prologues=3 -s 'outputtemplate="%j-%c.svg"' '\def filenametemplate text t = enddef; fontmapfile "=/home/_siteWeb/chingmath.fr/gestion/svg/psfonts-nouveau.map"; input dessin' 2>&1
Erreur MetaPost ex:11736
This is MetaPost, version 2.10 (TeX Live 2025/dev/Debian) (kpathsea version 6.4.0/dev)
! I can't write on file `dessin.log'.
Please type another transcript file name
Seconde
/ Droites dans le plan 63 exercices (100% corrigés)
Rappels : fonctions affines (1 exercice) Equation cartésienne de droites (6 exercices) Equations cartésiennes : construction de la représentation graphique (1 exercice) Vecteurs directeurs (4 exercices) Vecteurs directeurs et tracés de droites (2 exercices) Déterminer une équation cartésienne (6 exercices) Fonctions affines et équations cartésiennes (2 exercices) Fonctions affines et vecteurs directeurs (7 exercices) Système d'équations : introduction (3 exercices) Système d'équations : résolution graphique (1 exercice) Système d'équations : résolution par combinaison linéaire (6 exercices) Système d'équations : résolution par substitution (3 exercices) Droites parallèles et vecteurs directeurs (4 exercices) Droites parallèles et système d'équations (4 exercices) Intersection de droites avec équations cartésiennes (5 exercices) Position relative de droite et géométrie (4 exercices) Projecté orthogonal (1 exercice)
ChingQuizz
:
6
exercices
disp onibles
p our
l’ev aluation
par
QCM
:
1.
Rapp els :
fonctions
affines
E.9805
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
or- thonormé
O
;
I
;
J
,
on
considère
les
deux
droites
(
d
3
)
et
(
d
4
)
admettant
les
équations
réduites
suiv an tes
:
(
d
3
)
:
y
=
3
2
·
x
+
1
;
(
d
4
)
:
y
=
4
x
−
2
1
Les
droites
(
d
3
)
et
(
d
4
)
sont-elles
parallèles?
2
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
d’in tersection
des
droites
(
d
3
)
et
(
d
4
)
.
2.
Equation
c artésienne
de
dr oites
E.2111
On
considère
la
droite
(
d
)
d’équation
y
=3
x
−
2
et
les
p oin ts
du
plan
suiv an t
:
A
(2
;
4 )
;
B
(
−
1
;
1 )
;
C
−
1
2
;
−
7
2
D
2
3
;
0
;
E
2
5
;
−
2
5
;
F
(
−
3
;
−
2)
1
P armi
ces
p oin ts,
lesquels
appartiennen t
à
la
droite
(
d
)
?
2
P armi
ces
p oin ts,
lesquelles
v érifien t
l’équation
suiv an te
:
y
−
3
x
+
2
=
0
3
Quelle
observ ation
p eut-on
faire?
P ourquoi?
E.5318
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
la
droite
(
d
)
admettant
p our
équa- tion
:
2
·
x
−
y
+
5
=
0
1
P armi
les
p oin ts
ci-dessous,
lesquels
appartiennen t
à
la
droite
(
d
)
:
A
(1
;
7 )
;
B
−
3
2
;
2
;
C
(
−
4
;
−
4)
Justifier
v otre
rép onse.
2
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
D
appartenant
à
la
droite
(
d
)
ay an t
p our
abscisse
2
.
3
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
E
appartenant
à
la
droite
(
d
)
ay an t
p our
ordonnée
−
1
2
.
E.7507
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
la
droite
(
d
)
admettant
p our
équa- tion
:
3
·
x
−
2
·
y
+
1
=
0
1
P armi
les
p oin ts
ci-dessous,
lesquels
appartiennen t
à
la
droite
(
d
)
:
A
(3
;
5 )
;
B
−
1
2
;
−
1
8
;
C
−
2
3
;
−
1
2
Justifier
v otre
rép onse.
2
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
D
appartenant
à
la
droite
(
d
)
ay an t
p our
abscisse
2
.
3
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
E
appartenant
à
la
droite
(
d
)
ay an t
p our
ordonnée
−
3
.
E.1842
Une
droite
(
d
)
passe
par
les
p oin ts
:
A
(
−
2
;
5
;
3 )
;
B
3
2
;
1
.
P armi
les
trois
équations
cartésiennes,
dire
celle
qui
corre- sp ond
à
la
droite
(
d
)
:
a
2
x
+
2
y
−
1
=
0
b
−
4
x
−
3
y
+
9
=
0
c
2
x
+
4
y
−
7
=
0
https:/ /c hingmath.fr
quizzChap/1199 chapExoCorrec/9805 sacados/9805 chapExoCorrec/2111 sacados/2111 chapExoCorrec/5318 sacados/5318 chapExoCorrec/7507 sacados/7507 chapExoCorrec/1842 sacados/1842
E.9803
Dans
le
rep ère
(
O
;
I
;
J
)
orthonormé
ci-dessous,
on
considère
la
droite
(
d
)
représentée
ci-dessous
:
P armi
les
équations
cartésiennes
ci-dessous,
laquelle
représen te
la
droite
(
d
)
?
a
x
+
4
y
−
3
=
0
b
−
4
x
−
y
+
3
=
0
c
−
x
−
4
y
−
3
=
0
d
4
x
−
y
+
3
=
0
E.5334
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
donne
la
représen tation
des
quatre
droites
(
d
1
)
,
(
d
2
)
,
(
d
3
)
et
(
d
4
)
ci-dessous
:
Asso cier
à
c hacune
des
droites
ci-dessous
une
des
équations
cartésiennes
présen tées
ci-dessous
:
(
E
1
)
:
3
·
x
+
4
·
y
+
4
=
0
;
(
E
2
)
:
−
x
+
2
·
y
−
3
=
0
(
E
3
)
:
1
2
·
x
−
y
−
1
=
0
;
(
E
4
)
:
3
4
·
x
+
y
−
3
2
=
0
3.
Equations
c artésiennes :
c onstruction
de
la
r epr ésentation
gr aphique
E.5328
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
quatre
droites
ci-dessous
définies
par
leur
équation
cartésienne
:
(
d
1
)
:
2
x
−
3
y
+
3
=
0
;
(
d
2
)
:
−
2
x
−
y
+
1
=
0
1
P our
c hacune
de
ces
droites,
déterminer
un
p oin t
de
cette
droite
et
un
co efficien t
directeur.
2
T racer
c hacune
de
ces
droites
dans
le
rep ère
ci-dessous
:
4.
Ve cteurs
dir e cteurs
E.5315
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
orthogonal
:
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/9803 sacados/9803 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -2 -1 2 3 J O ( d chapExoCorrec/5334 sacados/5334 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -2 -1 2 J O ( d 1 ( d 4 ( d 3 ( d 2 chapExoCorrec/5328 sacados/5328 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 i j chapExoCorrec/5315 sacados/5315 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 1 2 3 i j
et
les
p oin ts
A
et
B
de
co ordonnées
:
A
−
3
;
−
1
2
;
B
(1
;
1 )
1
T racer
la
droite
(
AB
)
dans
le
rep ère
ci-dessus.
2
Donner
quatre
v ecteurs
directeurs
de
la
droite
(
AB
)
dont
un,
au
moins,
a
des
co ordonnées
en tières.
E.5319
Proposition :
dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
la
droite
(
d
)
d’équation
cartésienne
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=0
.
Le
v ecteur
−→
u
(
−
b
;
a
)
est
un
v ecteur
directeur
de
(
d
)
.
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
quatre
droites
suiv an tes
:
(
d
1
)
:
3
·
x
−
2
·
y
−
2
=
0
;
(
d
2
)
:
−
x
+
3
·
y
+
1
=
0
(
d
3
)
:
2
·
x
+
y
=
0
;
(
d
4
)
:
−
2
·
x
−
2
·
y
+
1
=
0
Donner
un
v ecteur
directeur
de
c hacune
de
ces
droites.
E.2112
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
équations
cartésiennes
de
droites
suiv an tes
:
(
d
1
)
:
5
x
+
y
−
2
=
0
;
(
d
2
)
:
3
x
−
y
+
5
=
0
Pour
c hacune
des
droites,
donner
un
v ecteur
directeur
asso cié.
E.9827
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
équations
cartésiennes
de
droites
suiv an tes
:
(
d
1
)
:
5
x
+
2
y
+
1
=
0
;
(
d
2
)
:
2
x
+
1
2
y
−
5
=
0
Pour
c hacune
des
droites,
donner
un
v ecteur
directeur
asso cié.
5.
Ve cteurs
dir e cteurs
et
tr ac és
de
dr oites
E.9800
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
deux
droites
ci-dessous
définies
par
leur
équation
cartésienne
:
(
d
1
)
:
2
x
+
4
y
−
5
=
0
;
(
d
2
)
:
−
3
x
+
y
+
4
=
0
1
P our
c hacune
des
droites,
donner
un
p oin t
et
un
v ecteur
directeur
de
cette
droite.
2
T racer
c hacune
de
ces
droites
dans
le
rep ère
ci-dessous
:
E.11149
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
quatre
droites
ci-dessous
définies
par
leur
équation
cartésienne
:
(
d
1
)
:
2
x
−
3
y
+
3
=
0
;
(
d
2
)
:
−
2
x
−
y
+
1
=
0
1
P our
c hacune
de
ces
droites,
déterminer
un
p oin t
de
cette
droite
et
un
co efficien t
directeur.
2
T racer
c hacune
de
ces
droites
dans
le
rep ère
ci-dessous
:
6.
Déterminer
une
é quation
c artésienne
E.5336
Proposition :
dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
si
la
droite
(
d
)
admet
le
v ecteur
−→
u
(
−
b
;
a
)
pour
v ecteur
directeur
alors
(
d
)
admet
p our
équation
cartésienne
:
a
·
x
+
b
·
x
+
c
=
0
.
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
.
P our
c haque
question,
déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
passant
par
le
p oin t
A
et
admettan t
le
v ecteur
−→
u
pour
v ecteur
directeur
:
a
A
(2
;
1 )
et
−→
u
2
3
b
A
(0
;
3 )
et
−→
u
−
2
1
E.9836
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
(
O
;
−→
i
;
−→
j
)
orthonormé.
P our
c hacune
des
questions,
déterminer
l’équation
cartésienne
de
la
droite
passan t
par
le
p oin t
M
et
a y an t
le
v ecteur
−→
u
pour
v ecteur
directeur
:
a
M
(1
;
2 )
;
−→
u
3
2
b
M
(
−
4
;
1 )
;
−→
u
−
2
1
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/5319 sacados/5319 chapExoCorrec/2112 sacados/2112 chapExoCorrec/9827 sacados/9827 chapExoCorrec/9800 sacados/9800 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 1 2 3 i j chapExoCorrec/11149 sacados/11149 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 i j chapExoCorrec/5336 sacados/5336 chapExoCorrec/9836 sacados/9836
E.9828
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
.
P our
c haque
question,
déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
passant
par
le
p oin t
A
et
a y an t
p our
v ecteur
directeur
−→
u
:
a
A
(3
;
−
2)
et
−→
u
1
2
−
1
b
A
−
2
;
1
2
et
−→
u
3
−
5
3
E.6508
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
orthonormé,
on
considère
la
droite
(
d
)
et
le
p oin t
A
représentés
ci-dessous
:
1
Donner
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
.
2
Donner
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
passant
par
le
p oin t
A
et
parallèle
à
la
droite
(
d
)
.
E.5335
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
droites
ci-dessous
:
(
d
1
):
3
·
x
−
12
·
y
+
10
=
0
(
d
2
):
(1
+
2)
·
x
+
3
·
y
−
1
=
0
(
d
3
):
−
3
·
x
−
(
−
1
+
2)
·
y
+
2
=
0
(
d
4
):
(1
+
2)
·
x
+
(1
−
2)
·
y
−
1
=
0
1
Donner
les
co ordonnées
d’un
v ecteur
directeur
de
la
droite
(
d
1
)
ay an t
ses
co ordonnées
en tières.
2
Donner
les
co ordonnées
d’un
v ecteur
directeur
des
droites
(
d
2
)
,
(
d
3
)
,
(
d
4
)
ay an t
p our
abscisse
une
v aleur
en tière.
E.546
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
(
O
;
−→
i
;
−→
j
)
orthonormé.
P our
c hacune
des
questions,
déterminer
l’équation
cartésienne
de
la
droite
passan t
par
le
p oin t
M
et
a y an t
le
v ecteur
−→
u
pour
v ecteur
directeur
:
a
M
(0
;
2 )
;
−→
u
1
1
2
b
M
0
;
−
3
2
;
−→
u
2
1
7.
Fonctions
affines
et
é quations
c artésiennes
E.9798
On
considère
les
quatre
équations
ci-dessous
représen tan t
c hacune
une
équation
cartésienne
de
droite
:
(
d
1
)
:
y
+
3
x
−
2
=
0
(
d
2
)
:
y
+
5
2
x
+
4
=
0
(
d
3
)
:
1
2
y
−
2
+
5
4
x
=
0
(
d
4
)
:
−
y
−
3
x
−
2
=
0
1
Donner
l’équation
réduite
représen tan t
c hacune
de
ces
droites.
2
Déterminer
laquelle
des
droites
(
d
1
)
,
(
d
2
)
,
(
d
3
)
ou
(
d
4
)
est
représen tée
par
c hacune
des
équations
suiv an tes
:
(
E
)
:
3
y
+
9
x
−
6
=
0
;
(
F
)
:
4
y
+
10
x
+
16
=
0
E.9799
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
la
droite
(
d
)
admettant
p our
équation
cartésienne
:
2
·
x
+
3
·
y
−
1
=
0
1
Justifier
que
la
droite
(
d
)
est
la
représen tation
d’une
fonction
affine.
2
Donner
l’expression
de
la
fonction
affine
f
admettant
la
droite
(
d
)
pour
représen tation.
8.
Fonctions
affines
et
ve cteurs
dir e cteurs
E.5316
On
considère
les
fonctions
affines
f
et
g
définies
par
la
relation :
f
(
x
)
=
3
2
·
x
+
2
;
g
(
x
)
=
−
2
x
+
1
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
note
(
d
)
et
(
d
)
les
droites
représen tativ es
resp ectiv es
des
fonctions
f
et
g
.
1
Donner
trois
v ecteurs
directeurs
de
la
droite
(
d
)
.
2
Donner
trois
v ecteurs
directeurs
de
la
droite
(
d
)
.
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/9828 sacados/9828 chapExoCorrec/6508 sacados/6508 x x y y -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -3 -2 -1 2 J O ( d A chapExoCorrec/5335 sacados/5335 chapExoCorrec/546 sacados/546 chapExoCorrec/9798 sacados/9798 chapExoCorrec/9799 sacados/9799 chapExoCorrec/5316 sacados/5316
E.9837
On
m unit
le
plan
d’un
rep ère
(
O
;
−→
i
;
−→
j
)
orthonormé
:
On
considère
la
droite
(Δ)
dont
l’équation
réduite
est
:
(Δ)
:
y
=
−
3
4
·
x
+
1
1
a
T racer
la
droite
(Δ)
et
un
représen tan t
du
v ecteur
−→
u
4
−
3
.
b
Quelle
conjecture
p eut-on
établir
en tre
la
droite
(Δ)
et
le
v ecteur
−→
u
?
2
Justifier
que
le
v ecteur
−→
u
est
un
v ecteur
directeur
de
la
droite
(Δ)
.
E.7415
On
considère
la
droite
(
d
)
admettant
l’équation
réduite
:
y
=
1
2
·
x
+
3
Donner
un
v ecteur
directeur
de
la
droite
(
d
)
.
E.2904
Asso cier
à
c hacune
des
équations
de
droite
ci-dessous
:
1
y
=
2
x
+
1
2
y
=
−
3
2
x
−
2
3
−
2
x
−
y
+
3
=
0
4
y
=
2
3
x
+
1
5
y
=
1
6
x
−
1
2
6
−
x
+
3
y
−
2
=
0
un
v ecteur
directeur
parmi
:
a
−→
u
3
2
b
−→
v
−
2
−
4
c
−→
w
−
2
4
d
−→
r
1
2
1
6
e
−→
s
6
1
f
−→
t
−
4
6
E.5317
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
une
droite
(
d
)
de
v ecteur
directeur
−→
u
.
P our
c haque
question,
donner
le
co efficien t
directeur
de
(
d
)
:
a
−→
u
1
3
b
−→
u
2
−
3
c
−→
u
5
2
1
E.541
Dans
le
plan
m uni
du
rep ère
O
;
I
;
J
,
on
considère
les
quatre
droites
ci-dessous
:
Asso cier
à
c hacune
de
ses
droites
un
v ecteur
directeur
parmi
les
v ecteurs
prop osés
ci-dessous
:
−→
u
−
2
6
;
−→
v
2
4
;
−→
w
4
1
;
−→
r
−
1
4
;
−→
s
2
−
2
E.552
On
m unit
le
plan
d’un
rep ère
(
O
;
−→
i
;
−→
j
)
orthonormé
:
On
considère
les
p oin ts
A
(
−
2
;
75
;
−
0
;
5)
,
B
(3
;
25
;
1 )
et
le
v ecteur
−→
u
1
0
;
25
.
1
a
T racer
la
droite
(
d
)
et
le
v ecteur
−→
u
.
b
Quelle
conjecture
p eut-on
émettre
sur
la
droite
(
AB
)
et
le
v ecteur
−→
u
?
2
a
Déterminer
l’équation
réduite
de
la
droite
(
AB
)
.
b
Justifier
que
le
v ecteur
−→
u
est
un
v ecteur
directeur
de
la
droite
(
AB
)
.
9.
Système
d’é quations :
intr o duction
E.11734
Déterminer
le
prix
de
c hacun
des
deux
ob jets
:
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/9837 sacados/9837 -3 -2 -1 2 3 I -1 2 J O chapExoCorrec/7415 sacados/7415 chapExoCorrec/2904 sacados/2904 chapExoCorrec/5317 sacados/5317 chapExoCorrec/541 sacados/541 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -3 -2 -1 2 3 J O ( d 2 ( d 1 ( d 4 ( d 3 chapExoCorrec/552 sacados/552 -3 -2 -1 2 3 4 I -1 2 J O chapExoCorrec/11734 sacados/11734 24 22
E.11735
Déterminer
le
prix
de
c hacun
des
deux
ob jets
:
E.11736
Déterminer
le
prix
de
c hacun
des
deux
ob jets
:
10.
Système
d’é quations :
r ésolution
gr aphique
E.2118
On
m unit
le
plan
d’un
rep ère
et
on
considère
les
deux
droites
(
d
1
)
et
(
d
2
)
d’équations
cartési- ennes
resp ectiv es
:
3
x
−
2
y
+
2
=
0
;
x
+
4
y
−
11
=
0
1
Justifier
que
les
droites
(
d
1
)
et
(
d
2
)
sont
sécan tes.
2
a
T racer
dans
le
rep ère
les
deux
droites
b
En
déduire
graphiquemen t
l’ensem ble
des
solutions
du
système
d’équation
(
S
)
:
3
x
−
2
y
+
2
=
0
x
+
4
y
−
11
=
0
11.
Système
d’é quations :
r ésolution
p ar
c ombinaison
liné air e
E.7368
On
considère
le
système
(
S
)
défini
par
:
x
−
3
y
=
8
4
x
+
y
=
−
7
Résoudre
le
système
(
S
)
.
E.5544
On
considère
le
système
(
S
)
défini
par
:
4
x
−
2
y
=
6
3
x
+
2
y
=
29
Résoudre
le
système
(
S
)
.
E.5542
On
considère
le
système
(
S
)
d’équations
:
2
x
+
3
y
=
14
5
x
−
2
y
=
16
Déterminer
l’unique
couple
solution
du
système
(
S
)
.
E.5541
On
considère
le
système
(
S
)
défini
:
3
x
+
2
y
=
13
2
x
+
3
y
=
17
Résoudre
le
système
(
S
)
.
E.9831
On
considère
le
système
(
S
)
d’équations
:
2
x
+
3
y
=
10
5
x
+
10
y
=
20
Résoudre
le
système
(
S
)
d’équations.
E.7369
Résoudre
le
système
suiv an t
:
S
:
x
+
2
y
−
z
=
−
2
3
x
+
y
+
2
z
=
−
1
x
−
y
+
3
z
=
3
Indication
:
on
mon trera
que
ce
système
admet
un
unique
triplet
solution
12.
Système
d’é quations :
r ésolution
p ar
substitution
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/11735 sacados/11735 29 13 chapExoCorrec/11736 sacados/11736 chapExoCorrec/2118 sacados/2118 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I 2 3 4 J O chapExoCorrec/7368 sacados/7368 chapExoCorrec/5544 sacados/5544 chapExoCorrec/5542 sacados/5542 chapExoCorrec/5541 sacados/5541 chapExoCorrec/9831 sacados/9831 chapExoCorrec/7369 sacados/7369
E.5547
On
considère
le
système
(
S
)
d’équations
:
3
x
=
y
x
+
y
=
8
;
4
Résoudre
le
système
(
S
)
.
E.5548
On
considère
le
système
suiv an t
:
(
S
)
:
2
x
+
y
=
5
3
x
+
2
y
=
8
Résoudre
le
système
(
S
)
.
E.1007
On
considère
le
système
(
S
)
d’équations
:
3
x
+
2
y
=
23
x
−
y
=
1
Résoudre
le
système
d’équations
(
S
)
.
13.
Droites
p ar al lèles
et
ve cteurs
dir e cteurs
E.9801
Proposition :
soit
(
d
)
et
(
d
)
deux
droites
parallèles.
Si
au
moins
un
p oin t
de
la
droite
(
d
)
n’appartient
pas
à
la
droite
(
d
)
alors
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
distinctes.
On
considère
les
deux
droites
(
d
5
)
et
(
d
6
)
définies
par
les
équations
cartésiennes
suiv an tes
:
(
d
)
:
3
x
+
6
y
−
1
=
0
;
(
d
)
:
2
x
+
4
y
+
5
=
0
1
a
Donner
les
co ordonnées
d’un
v ecteur
−→
u
directeur
de
la
droite
(
d
)
et
un
v ecteur
−→
v
directeur
de
la
droite
(
d
)
.
b
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles.
2
a
Donner
les
co ordonnées
du
p oin t
A
appartenant
à
(
d
)
et
d’abscisse
1
.
b
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
et
distinctes.
E.9834
Proposition :
soit
(
d
)
et
(
d
)
deux
droites
parallèles.
Si
au
moins
un
p oin t
de
la
droite
(
d
)
appartient
à
la
droite
(
d
)
alors
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
confondues.
On
considère
les
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
définies
par
les
équa- tions
cartésiennes
suiv an tes
:
(
d
)
:
2
x
+
6
y
−
8
=
0
;
(
d
)
:
−
3
x
−
9
y
+
12
=
0
1
a
Donner
les
co ordonnées
d’un
v ecteur
−→
u
directeur
de
la
droite
(
d
)
et
un
v ecteur
−→
v
directeur
de
la
droite
(
d
)
.
b
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles.
2
a
Donner
les
co ordonnées
du
p oin t
A
appartenant
à
(
d
)
et
d’abscisse
1
.
b
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
et
distinctes.
E.9835
On
considère
le
plan
m uni
d’un
repère
O
;
−→
i
;
−→
j
et
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
d’équations
cartési- ennes
:
(
d
):
4
x
−
6
y
+
2
=
0
;
(
d
):
x
−
3
2
·
y
+
2
=
0
1
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles.
2
Les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont-elles
parallèles
distinctes
ou
parallèles
confondues.
E.7506
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
p oin ts
A
et
B
de
co ordonnées
:
A
22
5
;
14
5
;
B
42
5
;
4
5
On
considère
égalemen t
la
droite
(
d
)
admettant
p our
équa- tion
cartésienne
:
(
d
)
:
3
·
x
+
6
·
y
−
12
=
0
1
a
Déterminer
les
co ordonnées
du
v ecteur
−− →
AB
.
b
Justifier
que
le
segmen t
[
AB
]
a
p our
mesure
20
.
2
Justifier
que
les
droites
(
AB
)
et
(
d
)
sont
parallèles.
3
a
Déterminer
les
p oin ts
C
et
D
intersection
de
la
droite
(
d
)
respectiv emen t
a v ec
l’axe
des
abscisses
et
l’axe
des
ordonnées.
b
Justifier
que
le
quadrilatère
ABC D
est
un
losange.
14.
Droites
p ar al lèles
et
système
d’é quations
E.4735
Proposition :
dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
d’équations
cartésiennes
:
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
;
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
Si
le
système
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
n’admet
aucune
so- lution
alors
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
et
dis- tinctes.
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/5547 sacados/5547 chapExoCorrec/5548 sacados/5548 chapExoCorrec/1007 sacados/1007 chapExoCorrec/9801 sacados/9801 chapExoCorrec/9834 sacados/9834 chapExoCorrec/9835 sacados/9835 chapExoCorrec/7506 sacados/7506 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I -1 2 3 4 J O B A chapExoCorrec/4735 sacados/4735
1
Résoudre
le
système
(
S
)
:
6
x
−
15
y
+
24
=
0
−
4
x
+
10
y
+
16
=
0
2
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
d’équation
cartésienne
:
(
d
)
:
6
x
−
15
y
+
24
=
0
;
(
d
)
:
−
4
x
+
10
y
+
16
=
0
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
dis- tinctes.
E.9802
Proposition :
dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
d’équations
cartésiennes
:
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
;
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
Si
le
système
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
a
·
x
+
b
·
y
+
c
=
0
admet
une
infinité
de
solutions
alors
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
et
confondues.
1
Résoudre
le
système
(
S
)
:
5
x
−
4
y
+
5
=
0
4
x
−
16
5
y
+
4
=
0
2
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
définies
par
les
équations
cartésiennes
suivan tes
:
(
d
)
:
5
x
−
4
y
+
5
=
0
;
(
d
)
:
4
x
−
16
5
y
+
4
=
0
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(
d
)
sont
parallèles
et
con- fondues.
E.9829
1
Résoudre
le
système
d’équations
:
6
x
−
3
y
+
9
=
0
−
4
x
+
2
y
−
6
=
0
2
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
définies
par
les
équations
cartésiennes
:
(
d
)
:
6
x
−
3
y
+
9
=
0
;
(
d
)
:
−
4
x
+
2
y
−
6
=
0
Préciser
la
p osition
relativ e
des
droites
(
d
)
et
(
d
)
.
E.9830
1
Résoudre
le
système
(
S
)
:
2
x
+
6
y
−
7
=
0
−
3
x
−
9
y
+
12
=
0
2
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
deux
droites
(Δ)
et
(Δ
)
définies
par
leurs
équations
cartési- ennes
:
(Δ)
:
2
x
+
6
y
−
7
=
0
;
(Δ
)
:
−
3
x
−
9
y
+
12
=
0
Préciser
la
p osition
relativ e
des
droites
(Δ)
et
(Δ
)
.
15.
Intersection
de
dr oites
ave c
é quations
c artésiennes
E.5745
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
dans
lequel
la
droite
(
d
)
passe
par
les
p oin ts
A
(
−
3
;
−
1)
et
B
(2
;
0 )
:
1
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
.
On
considère
la
droite
(Δ)
ay an t
p our
équation
cartésienne
:
x
+
2
y
−
3
=
0
2
a
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(Δ)
sont
sécan tes.
b
T racer
la
droite
(Δ)
dans
le
rep ère
ci-dessus.
3
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
d’in tersection
des
droites
(
d
)
et
(Δ)
.
E.5823
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
,
on
considère
la
droite
(
d
)
représentée
ci-dessous
:
1
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
.
On
considère
la
droite
(Δ)
ay an t
p our
équation
cartésienne
:
(Δ)
:
5
x
+
6
y
−
6
=
0
2
a
Justifier
que
les
droites
(
d
)
et
(Δ)
sont
sécan tes.
b
Effectuer
le
tracé
dans
le
rep ère
ci-dessous
de
la
droite
(Δ)
.
3
Algébriquemen t,
déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
d’in tersection
des
droites
(
d
)
et
(Δ)
.
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/9802 sacados/9802 chapExoCorrec/9829 sacados/9829 chapExoCorrec/9830 sacados/9830 chapExoCorrec/5745 sacados/5745 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -2 -1 2 J O A B ( d chapExoCorrec/5823 sacados/5823 x x y y -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -2 -1 2 J O ( d
E.5395
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
et
les
deux
droites
(
d
1
)
et
(
d
2
)
admettant
p our
équations
cartésiennes
:
(
d
1
)
:
x
−
2
y
+
3
=
0
;
(
d
2
)
:
3
x
+
4
y
−
13
=
0
1
Justifier
que
les
droites
(
d
1
)
et
(
d
2
)
sont
sécan tes.
2
Représen ter
dans
le
graphique
ci-dessous
les
deux
droites
(
d
1
)
et
(
d
2
)
.
3
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
d’in tersection
des
deux
droites
(
d
1
)
et
(
d
2
)
.
E.2911
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
,
on
considère
les
p oin ts
A
(
−
2
;
3 )
et
B
(1
;
−
1)
et
la
droite
(
d
)
dont
une
équation
cartésienne
est
donnée
ci- dessous
:
(
d
)
:
2
x
−
y
+
3
=
0
1
Justifier
que
la
droite
(
AB
)
admet
l’équation
ci-dessous
comme
équation
cartésienne
:
4
x
+
3
y
−
1
=
0
2
Justifier
que
les
droites
(
AB
)
et
(
d
)
sont
sécan tes.
3
a
Résoudre
le
système
d’équation
suiv an t
:
2
x
−
y
+
3
=
0
4
x
+
3
y
−
1
=
0
b
Que
représen te,
graphiquemen t,
le
p oin t
de
co ordon- née
(
x
;
y
)
solution
du
système
précéden t.
E.2916
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère,
on
considère
les
deux
droites
(
d
)
et
(
d
)
d’équations
cartésiennes
:
(
d
)
:
2
x
−
y
+
1
=
0
;
(
d
)
:
3
x
+
y
−
2
=
0
1
Quelles
son t
les
p ositions
relativ es
des
droites
(
d
)
et
(
d
)
?
2
a
Résoudre
le
système
:
2
x
−
y
+
1
=
0
3
x
+
y
−
2
=
0
b
In terpréter
graphiquemen t
l’ensem ble
des
solutions
du
système
précéden t.
16.
Position
r elative
de
dr oite
et
gé ométrie
E.5338
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
quatre
p oin ts
A
,
B
,
C
,
D
de
co ordonnées
:
A
(
−
2
;
1 )
;
B
(4
;
3 )
;
C
(3
;
−
4)
;
D
(
−
2
;
−
2)
1
a
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
AC
)
.
b
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
BD
)
.
2
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
d’in tersection
des
diagonales
du
quadrilatère
ABC D
.
E.5396
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
,
on
considère
les
trois
p oin ts
suiv an ts
:
A
(
−
3
;
−
2)
;
B
(1
;
1 )
;
C
(
−
2
;
2 )
1
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
AB
)
.
2
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
d
)
pas-san t
par
le
p oin t
C
et
parallèle
à
la
droite
(
AB
)
.
3
a
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
M
milieu
du
segmen t
[
AC
]
.
b
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
BM
)
c
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
D
,
in tersection
des
droites
(
BM
)
et
(
d
)
.
d
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
ABC D
?
Justifier
v otre
rép onse.
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/5395 sacados/5395 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -1 2 3 4 J O chapExoCorrec/2911 sacados/2911 chapExoCorrec/2916 sacados/2916 chapExoCorrec/5338 sacados/5338 chapExoCorrec/5396 sacados/5396 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 I -3 -2 -1 2 3 J O A B C
E.6663
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
orthonormé,
les
deux
p oin ts
A
et
B
:
A
(
−
1
;
1 )
;
B
1
;
7
3
et
la
droite
(Δ)
admettant
p our
équation
cartésienne
:
(Δ)
:
3
·
x
+
2
·
y
−
10
3
=
0
1
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
AB
)
.
2
a
Justifier
que
les
droites
(
AB
)
et
(Δ)
sont
sécan tes.
b
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
N
,
in tersection
des
droites
(
AB
)
et
(Δ)
.
3
a
Justifier
que
le
p oin t
M
2
;
−
4
3
appartient
à
la
droite
(Δ)
.
b
Justifier
que
la
droite
(Δ)
est
la
médiatrice
du
segmen t
[
AB
]
.
Le
rep ère
ci-dessous
est
donné
à
titre
indicatif
...
E.7505
On
considère
le
billard
représen té
ci-dessous
où
la
b oule
blanc he
est
mo délisée
par
le
p oin t
A
et
on
souhaite
déterminer
la
p osition
du
p oin t
M
de
con tact
sur
la
bande
de
gauc he
afin
que
la
b oule
rejoigne
en
une
bande
le
trou
mo délisé
par
le
p oin t
B
.
À
l’aide
du
rep ère
O
;
−→
i
;
−→
j
où
les
bandes
d’en
bas
et
de
gauc he
son t
confondues
resp ectiv emen t
a v ec
les
axes
des
ab- scisses
et
des
ordonnées,
on
a
les
co ordonnées
:
A
(5
;
1 )
;
B
(8
;
4 )
On
note
M
le
p oin t
de
con tact
du
reb ond
sur
la
bande
de
gauc he.
En
supp osan t
le
reb ond
parfait
sur
la
bande,
on
admet
que,
si
la
droite
(
AM
)
admet
le
v ecteur
−→
u
(1
;
a
)
,
où
a
∈
R
,
alors
le
v ecteur
−→
v
(
−
1
;
a
)
est
un
v ecteur
directeur
de
la
droite
(
MB
)
.
Déterminer
les
co ordonnées
du
M
.
Indication
:
toute
trace
de
rec herc he
ou
d’initiativ e,
même
incomplète,
sera
prise
en
compte
dans
l’év aluation.
17.
Proje cté
ortho gonal
E.4596
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
orthonormé,
on
considère
les
deux
p oin ts
:
A
(2
;
2 )
;
B
(0
;
−
1)
La
droite
(
d
)
est
la
droite
d’équation
:
y
=
1
2
·
x
−
1
On
considère
un
p oin t
M
sur
la
droite
(
d
)
ay an t
p our
abscisse
x
.
On
souhaite
déterminer
la
p osition
du
p oin t
M
afin
que
la
distance
AM
soit
minimale ;
on
admet
que
ce
p oin t
est
le
pro jeté
orthogonal
du
p oin t
A
sur
la
droite
(
d
)
.
1
a
Justifier
que
le
p oin t
B
est
un
p oin t
de
la
droite
(
d
)
.
b
Le
p oin t
M
ay an t
p our
abscisse
x
et
appartenan t
à
la
droite
(
d
)
,
donner
les
co ordonnées
du
p oin t
M
.
2
Mon trer
que
la
longueur
du
segmen t
[
AM
]
vaut
:
AM
2
=
5
4
·
x
2
−
7
·
x
+
13
3
On
considère
main tenan t
le
p oin t
M
réalisant
la
situa- tion
:
ˇ
AM
est
minimal
ı
a
Mon trer
que
l’abscisse
du
p oin t
M
vérifie
l’équation :
5
2
·
x
2
−
7
·
x
=
0
b
En
déduire
les
co ordonnées
du
p oin t
M
.
18.
Exercic es
non-classés
E.5974
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
.
On
note
A
et
B
les
p oin ts
de
co ordonnées
resp ectiv es
(
−
3
;
2 )
et
(3
;
0 )
.
1
a
Donner
les
co ordonnées
d’un
v ecteur
−→
u
directeur
de
la
droite
(
AB
)
.
b
Déterminer
l’équation
cartésienne
de
la
droite
(
AB
)
.
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/6663 sacados/6663 -4 -3 -2 -1 2 3 4 I -2 -1 2 3 4 J O chapExoCorrec/7505 sacados/7505 O B A − i − j M ¸ ¸ chapExoCorrec/4596 sacados/4596 chapExoCorrec/5974 sacados/5974
2
On
considère
le
p oin t
C
(
−
1
;
−
2)
et
un
v ecteur
−→
v
de
co ordonnées
:
−→
v
2
1
.
a
Justifier
que
tous
les
p oin ts
de
la
droite
(
AB
)
ont
p our
co ordonnées
x
;
−
1
3
·
x
+1
.
b
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
D
appartenant
à
la
droite
(
AB
)
tel
que
les
v ecteurs
−− →
CD
et
−→
v
soit
colinéaire.
3
On
considère
la
droite
(
d
)
admettant
l’équation
suiv an te
p our
équation
cartésienne
:
(
d
)
:
x
−
y
+
2
=
0
Déterminer
les
co ordonnées
des
p oin ts
d’in tersection
des
droites
(
AB
)
et
(
d
)
.
E.4727
Dans
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
orthonormé,
on
considère
les
quatre
p oin ts
suiv an ts.
A
(
−
2
;
3 )
;
B
(2
;
1 )
;
C
(2
;
−
4)
;
D
(5
;
2 )
Le
but
de
l’exercice
est
de
démon trer
que
les
droites
(
AB
)
et
(
CD
)
sont
p erp endiculaires.
1
Justifier
que
les
droites
(
AB
)
et
(
CD
)
ne
son t
pas
paral- lèles.
2
Déterminer
les
co ordonnées
du
p oin t
M
,
in tersection
des
droites
(
AB
)
et
(
CD
)
.
3
Déterminer
les
co ordonnées
de
l’unique
B
vérifian t
que
le
p oin t
M
soit
le
milieu
du
segmen t
[
BB
]
.
4
Justifier
que
la
droite
(
CD
)
est
la
médiatrice
du
segmen t
[
BB
]
.
5
Conclure
sur
la
p osition
relativ e
des
droites
(
AB
)
et
(
CD
)
.
E.2271
On
considère
le
plan
m uni
d’un
rep ère
O
;
I
;
J
orthonormé
et
On
considère
les
quatre
p oin ts
suiv- an ts
du
plan
:
C
(3
;
2 )
;
D
(
−
1
;
1 )
;
E
2
;
−
5
2
;
F
0
;
11
2
Montrer
la
droite
(
EF
)
est
la
médiatrice
du
segmen t
[
CD
]
.
https:/ /c hingmath.fr
chapExoCorrec/4727 sacados/4727 chapExoCorrec/2271 sacados/2271