Seconde / Ensemble de nombres et calculs 90 exercices (100% corrigés)

a
ChingQuizz : 7 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Calcul dans N , Z et Q E.11326 Définitions: On classe les nombres suivants leurs natures : l’ensemble des nombres rationnels , noté Q , est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme d’une fraction. l’ensemble des nombres décimaux , noté D , est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme d’une fraction décimale (dont le dénominateur est une puis-sance de 10 ) . 1 Montrer que chacun des nombres suivants appartiennent à Q et à D : a 5 4 b 0 ; 54 c 12 2 Montrer que chacun des nobmres suivants appartiennent à Q , mais pas à D : a 1 3 b 1 + 4 7 E.8270 On considère les deux expressions : A = 5 − 4 x ; B = 2 · x + 2 x − 1 1 Calculer chacune des deux expressions A et B pour cha-cun des nombres x =2 et x = − 5 . 2 Compléter le tableau ci-dessous avec les ensembles N , Z ou Q pour indiquer le plus petit ensemble auquel appar- tient chacun de ces nombres : x =2 x = − 5 A =5 − 4 x B = 2 · x +2 x − 1 E.8271 On considère les deux expressions : A = x 2 − 3 x + 1 ; B = − 6 x 2 + x + 3 1 Évaluer chacune des deux expressions A et B pour cha-cun des nombres x = − 1 et x = 1 2 . 2 Compléter le tableau ci-dessous avec les ensembles N , Z , D ou Q pour indiquer le plus petit ensemble auquel appartient chacun de ces nombres : x = − 1 x = 1 2 A = x 2 − 3 x +1 B = − 6 x 2 + x +3 E.8505 Soit n un entier naturel ( n ∈ N ) . 1 Établir l’identité pour tout n ∈ N : 4 − 6 n + 2 = 4 n + 2 n + 2 2 En déduire les trois valeurs de n pour lesquelles l’entier n +2 est un diviseur de l’entier 4 n +2 2. Ensemble D et encadrement E.8272 Définition: un nombre décimal est un nombre qui s’écrit sous la forme d’une fraction décimale (où le dénom-inateur est une puissance de 10 ) . L’ensemble de tous les nombres décimaux se note D . 1 On considère le nombre ı dont une valeur approchée est : ı ≈ 3 ; 14159265 a Donner l’encadrement du nombre ı au dixième près. b Donner l’encadrement du nombre ı au millième près 2 On considère le nombre 2 dont une valeur approchée est : 2 ≈ 1 ; 4142136 a Donner l’encadrement du nombre 2 au dixième près. b Donner l’encadrement du nombre 2 au millième près E.8506 1 Donner un nombre d appartenant à l’ensemble D et véri-fiant l’encadrement : 4 49 <d< 5 49 2 Donner un nombre d tel que d ∈ D et 2 <d < 3 . https://chingmath.fr quizzChap/1178 chapExoCorrec/11326 sacados/11326 chapExoCorrec/8270 sacados/8270 chapExoCorrec/8271 sacados/8271 chapExoCorrec/8505 sacados/8505 chapExoCorrec/8272 sacados/8272 chapExoCorrec/8506 sacados/8506
E.8273 On considère le carré et le disque ci-dessous : 1 Sachant que l’aire du carré est de 5 m 2 , donner un en-cadrement, au centième près, de la mesure du côté de ce carré. 2 Sachant que l’aire du disque est de 4 m 2 , donner un en-cadrement, au centième près, de la mesure du rayon du disque. E.1735 Proposition: (admise) Une fraction a b irréductible appartient à l’ensemble D si, et seulement si, son dénominateur admet une décomposition en produits de facteurs premiers de la forme 2 m × 5 n avec m et n des entiers naturels. On considère les trois nombres : A = 36 359 363 519 ; B = 0 ; 1000195313 ; C = 5 121 51 200 1 À l’aide de la calculatrice, Comparer les valeurs ap-prochées de ces trois nombres. Quelle conjecture peut-on émettre? 2 a Vérifier l’égalité: 363 519 = 3 2 × 13 2 × 239 Puis, justifier que le nombre A n’appartient pas à D . b Justifier que les nombres A et B sont distincts. 3 a Donner le chiffre des unités du produit : 1 000 195 313 × 512 b Justifier que les nombres B et C sont distincts. 3. Ensemble Q et appartenance à D E.8511 Définition: l’ ensemble des nombres rationnels , noté Q , est l’ensemble des nombres admettant une expression sous forme de quotient a b où a et b sont deux entiers relat-ifs. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) . Par question, une seule réponse est exacte. 1 Pour le nombre 1 3 : 1 3 =0 ; 33 1 3 =0 ; 34 1 3 =0 ; 3333 1 3 =0 ; 3334 les réponses précédentes sont fausses. 2 L’écriture décimale du nombre 1 3 a sa partie décimale qui est composée de : 10 chiffres 100 chiffres 10 0000 chiffres les réponses précédentes sont fausses. 3 Pour le nombre 1 3 , on a: 1 3 ∈ N 1 3 ∈ Z 1 3 ∈ D 1 3 ∈ Q E.8274 1 On considère le nombre x =0 ; 333333 . L’assertion ˇ 3 × x = 1 ı est-elle vraie ou fausse? 2 On considère le nombre y =0 ; 333334 . L’assertion ˇ 3 × y = 1 ı est-elle vraie ou fausse? 3 On considère l’équation: ( E ): 3 × z =1 . a Résoudre l’équation ( E ) dans Q . b Que peut-on dire de la résolution de l’équation ( E ) dans D . E.8510 On considère un quotient a b où a ∈ N , b ∈ N ∗ . 1 Donner un quotient tel que : a b ∈ D et b a ∈ D . 2 Donner un quotient tel que : a b ∈ D et b a ∈ D . 4. Comparaison de quotients E.346 Sans s’aider de la calculatrice, com-parer les quotients suivants : a 6 5 et 9 5 b 5 8 et 5 9 c − 7 3 et − 10 3 d 10 27 et 10 31 E.9443 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, comparer les deux quotients : n n + 1 et n n − 1 . E.291 Pour n un entier naturel, n ∈ N , com-parer les rationnels suivants : n + 1 n + 2 ; n + 6 n + 3 ; n + 7 n + 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8273 sacados/8273 Aı×r2rAc2c chapExoCorrec/1735 sacados/1735 chapExoCorrec/8511 sacados/8511 chapExoCorrec/8274 sacados/8274 chapExoCorrec/8510 sacados/8510 chapExoCorrec/346 sacados/346 chapExoCorrec/9443 sacados/9443 chapExoCorrec/291 sacados/291
E.243 1 Effectuer les calculs suivants : a 1 2 − 1 3 b 1 3 − 1 4 c 1 4 − 1 5 d 1 5 − 1 6 2 a Soit m un entier strictement positif, faîtes une con-jecture sur l’écriture de la différence suivante : 1 m − 1 m + 1 b Démontrer cette conjecture. E.313 Soit a> 1 : 1 Comparer : a a − 1 et a 1+ a . 2 Classer ces nombres dans l’ordre croissant : 0 ; a 1 + a ; a a − 1 ; 1 ; a 1 − a ; − a 1 + a E.314 Pour x un nombre positif. Comparer les nombres : x x + 1 ; x + 1 x + 2 E.10220 Comparer les quotients suivants : a 3 ı et 5 − ı b 2 7 et 2 5 5. Calculs dans Q E.8275 Calculer et donner le résultat sous forme de fractions simplifiées. a 3 4 + 2 6 b 2 15 + 3 20 c 5 12 − 9 8 d 5 6 − 13 9 e 5 12 − 2 15 f 15 66 − 10 44 E.11289 Calculer et donner l’expression ré-duite des calculs : a 1 3 + 35 3 × 5 14 b 5 9 − 2 3 5 4 − 7 6 E.8276 Calculer les fractions suivantes et écrivez-les sous formes irréductibles : a 3 4 + 5 6 × 3 2 b 1 2 − 1 3 × 5 6 c 5 − 3 × 7 5 + 9 × 3 E.8313 En laissant les étapes de calculs dans votre rédaction, effectuer les calculs ci-dessous en donnant le résultat sous la forme d’une fraction réduite : a 2 7 + 5 14 b 3 4 − 5 6 c 1 3 + 5 3 × 2 4 d 3 7 − 2 7 × 21 8 E.8277 Effectuer les calculs suivants : a 5 7 + 1 7 × 5 + 1 2 b 1 3 + 4 3 10 9 c 2 3 + 1 2 17 9 − 1 3 d 2 13 − 5 13 ÷ 10 16 E.4418 Effectuer les calculs suivants : a 1 + 3 7 2 − 8 3 b 5 2 + 7 2 11 3 − 5 2 c 1 1 + 1 1 + 1 2 E.1717 Effectuer les calculs ci-dessous ; attention, on ne peut simplifier une fraction que lorsque son numérateur et son dénominateur sont entièrement déter-minés : a 1 + 1 2 2 − 23 7 b 5 − 2 − 3 5 − 9 3 + 1 4 + 9 − 4 3 c 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 E.241 Effectuer les calculs : a 2 2 1 4 + 2 − 1 b 1 − 3 2 3 3 5 3 − 101 c 52 1 1 + 1 2 + 5 6 − 3 6. Nombres irrationnels E.776 Ci-dessous sont indiqués des ˇ dia-grammes commutant ı. Retrouver les valeurs manquantes ainsi que les opérations inverses. https://chingmath.fr chapExoCorrec/243 sacados/243 chapExoCorrec/313 sacados/313 chapExoCorrec/314 sacados/314 Trop dur chapExoCorrec/10220 sacados/10220 chapExoCorrec/8275 sacados/8275 chapExoCorrec/11289 sacados/11289 chapExoCorrec/8276 sacados/8276 chapExoCorrec/8313 sacados/8313 chapExoCorrec/8277 sacados/8277 chapExoCorrec/4418 sacados/4418 chapExoCorrec/1717 sacados/1717 chapExoCorrec/241 sacados/241 chapExoCorrec/776 sacados/776 ×2?5?−2?÷25 ?×43?−5?;4−2;2
E.265 Dans cet exercice, nous allons mon-trer que, pour tout entier naturel a , a est soit un nombre entier, soit un nombre non-décimal. Un nombre décimal X (en base 10) est un nombre admettant l’écriture: X = x 0 ;x 1 x 2 x 3 · · · x n où x 0 est sa partie entière, n est le nombre de décimales de X x 1 , x 2 ,. . . , x n des entiers compris entre 0 et 9 La première remarque est que puisque X est un nombre ayant n décimales, alors x n est non-nul. Exemple: pour X =25 ; 153 . On a: x 0 =25 n =3 x 1 =1 , x 2 =5 , x 3 =3 Soit a un entier naturel, supposons que a est un nombre décimal non entier: a ∈ D ; a ∈ N Ainsi, a admet la décomposition décimale suivante : a = x 0 ;x 1 x 2 x 3 : : : x n où n est non-nul. 1 a Effectuer, en les posant, les opérations suivantes : 1 ; 1 × 1 ; 1 ; 1 ; 2 × 1 ; 2 ; 1 ; 3 × 1 ; 3 ; . . . ; 1 ; 9 × 1 ; 9 b Justifier que le carré d’un nombre décimal possédant un seul chiffre dans la partie décimale ne peut être un entier. 2 En déduire que a ne peut être un nombre décimal. E.779 On souhaite montrer que 2 est un nombre irrationnel. C’est-à-dire que le nombre 2 ne peut s’écrire sous la forme d’un quotient a b irréductible où a et b seraient deux entiers. On notera alors 2 = ∈ Q . Nous allons faire un raisonnement par l’ absurde . On suppose l’existence de deux entiers a et b vérifiant l’égalité 2= a b et tels que cette fraction soit irréductible. Et nous allons développer notre raisonnement jusqu’à aboutir une contradiction mettant ainsi en échec notre hypothèse de départ. 1 Montrer que a et b vérifie l’égalité: a 2 =2 b 2 2 En déduire que a est un entier pair. Ainsi, il existe un entier c tel que : a =2 × c . 3 En utilisant la question 1 , en déduire la parité de b . 4 Est-ce que la fraction a b est irréductible? Nous venons d’aboutir à une contradiction. Notre raison-nement étant correct, nous devons remettre en cause notre hypothèse de départ : le nombre 2 ne peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible. 7. Ensemble des nombres réels R E.8023 Définitions: On classe les nombres suivants leurs natures : Tous les nombres entiers positifs ou nul forment l’ensemble des nombres naturels noté N . Tous les nombres entiers (positifs, nul, négatifs) for-ment l’ensemble des nombres relatifs noté Z . Tous les nombres s’écrivant comme une fraction déci-male (dénominateur est une puissance de 10 ) forment l’ensemble des nombres décimaux noté D . Tous les nombres admettant une écriture sous la forme d’un quotient de deux entiers forment l’ensemble des nombres rationnels noté Q . Tous les nombres existants forment l’ensemble des nombres réels noté R . Relier chacun des nombres au plus petit ensemble auquel il appartient : https://chingmath.fr 2√32√252?1 ?√42√1;442?2 chapExoCorrec/265 sacados/265 chapExoCorrec/779 sacados/779 Utilise l'expression des nombres pairs chapExoCorrec/8023 sacados/8023 0;65−3√243NZDQR
E.8028 Vocabulaire : ci-dessous, sont représentés les cinq ensem-bles de nombres les plus connus : l’ensemble des nom-bres naturels ( N ) , l’ensemble des nombres relatifs ( Z ) , l’ensemble des nombres décimaux ( D ) , l’ensemble des nom-bres rationnels ( Q ) , l’ensemble des nombres réels ( R ) , Relier chacun des nombres ci-dessous au plus petit des ensem-bles auquel il appartient : E.8315 Pour chacun des nombres ci-dessous, donner le plus petit ensemble de nombres auquel il appar-tient : a − 4 + 2 × 5 2 b − 9 + 8 4 c 1 ı d 8 × 2 − 2 3 E.11407 Parmi N , Z , D , Q et R , indiquer pour chaque nombre le plus petit ensemble auquel il appar-tient : a − 56 8 b √ 64 c 12 9 d √ 2 e 6 ; 25 E.11429 Parmi N , Z , D , Q et R , indiquer pour chaque nombre le plus petit ensemble auquel il appar-tient : a 24 6 b − 72 8 c √ 3 d √ 64 e 0 ; 49 E.269 Pour chacun des nombres ci-dessous, déterminer le plus petit ensemble de nombre auquel il appar-tient : a 3 4 b 5 3 c 0 ; 3 2 ; 4 d 5 ; 1 1 ; 7 e 18 f 121 g 24 6 h 1 ; 44 E.1726 Nombre Nature On écrit 1 Entier naturel 1 ∈ N − 5 − 5 ∈ − 3 ; 12 − 3 ; 12 ∈ 1 3 1 3 ∈ 4 5 4 5 ∈ 2 2 ∈ 2+1 2 − 1 2 2+1 2 − 1 2 ∈ 3 6 × 4 4 × 15 2 3 7 × 2 3 3 6 × 4 4 × 15 2 3 7 × 2 3 ∈ E.9528 Donner la nature de chacun des nom-bres suivants : a 2 b 4 × 10 10 c 6 2 − 3 2 d − 5 2 e 3 × 10 5 × 14 × 10 12 21 × 10 4 f 7 − 3 7+ 3 E.278 Pour chacun des nombres ci-dessous, indiquer le plus petit ensemble auquel il appartient (indiquer vos calculs si nécessaire) : a 1 + 1 3 b 5 3 2 9 c 2 d 7 500 e 2 12 f 1+ ı g 1+ 2 2 h cos 60 o 2 8. Intervalle E.8314 Définition: On appelle intervalle tout sous-ensemble de nombres qui peut être définie par la délimitation d’un ou de deux nombres appelés ses bornes . Voici les différents types d’intervalles et leurs notations : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8028 sacados/8028 N1055Z-1-4-101D0,25-5,72,4Q1357211R√2ı2√ 28−7ı3−6−2−43−32NZDQR chapExoCorrec/8315 sacados/8315 chapExoCorrec/11407 sacados/11407 chapExoCorrec/11429 sacados/11429 chapExoCorrec/269 sacados/269 chapExoCorrec/1726 sacados/1726 chapExoCorrec/9528 sacados/9528 chapExoCorrec/278 sacados/278 chapExoCorrec/8314 sacados/8314 a∞a∞−∞a−∞aababababxax>axax<aaxbax<ba<xba<x<bl’ensembledesnombressupérieurouégalàal’ensembledesnombresstrictementsupérieuràal’ensembledesnombresinférieurouégalàal’ensembledesnombresstrictementinférieureàal’ensembledesnombressupérieursouégalàaetinférieurouégalàbl’ensembledesnombressupérieursouégalàaetstrictementinférieuràbl’ensembledesnombresstrictementsupérieursàaetinférieurouégalàbl’ensembledesnombresstrictementsupérieursàaetstrictementinférieuràb∞a∞a−∞a−∞aabababab
1 Parmi les intervalles ci-dessous, lequel représente l’ensemble des nombres x vérifiant l’encadrement : − 1 x< 4 : a − 1 ; 4 b − 1 ; 4 c − 1 ; 4 d − 1 ; 4 2 Parmi les intervalles donnés ci-dessous, lequel représente l’ensemble des nombres x réalisant l’inégalité x> 4 : a −∞ ; 4 b −∞ ; 4 c 4 ; + ∞ d 4 ; + ∞ E.4202 Quatre ensembles de nombres sont représentés ci-dessous sur une droite graduée : a b c d Associer à chacun de ces ensembles de nombres, l’encadrement qui est vérifié par tous les nombres de cet ensemble : 1 − 1 x 4 2 − 1 <x < 4 3 − 1 x < 4 4 − 1 <x 4 E.4201 Sur chaque droite ci-dessous, est représenté un ensemble de nombres : a b c Utiliser un intervalle pour décrire chacun de ces ensembles. E.6512 Recopier les informations man-quantes sur votre copie : − 4 x < 1 a b c x < 2 d − 3 <x 1 9. Intervalle et appartenance E.316 Compléter à l’aide des symboles ∈ et = ∈ : a 3 : : : 0 ; 5 2 b 0 ; 33 : : : 1 3 ; 1 c − 3 : : : 2 ; 4 d 1 : : : − 0 ; 2 ; 3 E.11430 Compléter les pointillés avec les symboles ∈ et = ∈ : a − 2 ::: − 5 ; − 3 b 1 ; 41 ::: 1 ; 5 ; 4 c 8 9 ::: 1 ; 1 ; 5 d −√ 3 ::: − 6 ; − 1 ; 7 E.11408 Compléter les pointillés avec les symboles ∈ et = ∈ : a 3 ::: 2 ; 4 b − 3 ; 2 ::: − 7 ; − 4 c 5 3 ::: 2 ; 6 ; 5 d −√ 2 ::: − 3 ; − 1 ; 2 E.8571 À l’aide des symboles d’appartenance ( ∈ ) et de non-appartenance ( ∈ ) , indiquer les nombres appar-tenant à l’intervalle [ − 2; 1] : 0 ; − 2 ; 3 ; 4 3 ; ı 4 E.9328 Compléter les pointillés avec les sym-boles ∈ ou ∈ : a ı : : : ]3 ; 14; 5] c 2 : : : [2; 3] b ı : : : 0 ; 5 ; 3 ; 1 d ı : : : 3 ; 1 ; 4 e 1 3 : : : 0 ; 0 ; 33 E.311 Recopier et compléter à l’aide du symbole d’appartenance ( ∈ ) et de non-appartenance les lignes suivantes : a 2 ::: ]1 ; 3[ b 2 2 ::: [ 2 ; 5] c 1 −√ 11 √ 11 ::: ] −∞ ; 0[ d 16 4 : : : − 4 ; 4 10. Inclusion d’intervalles E.9475 Ci-dessous est représenté l’univers des issues Ω d’une expérience aléatoire et quatre de ces événe-ments A , B , C et D : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4202 sacados/4202 −14 −14 −14 −14 chapExoCorrec/4201 sacados/4201 −3 −14 1 chapExoCorrec/6512 sacados/6512 -∞∞−41 -∞∞−4 -∞∞02 chapExoCorrec/316 sacados/316 chapExoCorrec/11430 sacados/11430 chapExoCorrec/11408 sacados/11408 chapExoCorrec/8571 sacados/8571 chapExoCorrec/9328 sacados/9328 chapExoCorrec/311 sacados/311 chapExoCorrec/9475 sacados/9475 ABCD
À l’aide du symbole ⊂ , écrire la relation d’inclusion induite par le diagramme ci-dessus. E.601 Dire si les inclusions suivantes sont vraies ou fausses : a 3 ; 17 ⊂ −∞ ; 4 b − 2 3 ; 2 2 ⊂ − 1 ; 1 2 E.337 Donner deux nombres réels a et b vérifiant les deux conditions suivantes : b − a = 1 et [ a ; b ] ⊂ 3 4 ; 5 2 . 11. Réunion et intersection d’intervalles E.5243 1 a Représenter, sur la droite graduée ci-dessous, les deux intervalles − 1 ; 3 et 0 ; 4 : b Donner l’intervalle obtenu par la réunion des inter-valles − 1 ; 3 et 0 ; 4 . 2 a Représenter, sur la droite graduée ci-dessous, les deux intervalles − 3 ; 1 et − 1 ; 2 : b Donner l’intervalle obtenu par l’intersection des inter-valles − 3 ; 1 et − 1 ; 2 . E.8394 1 a Représenter, sur la droite graduée ci-dessous, les deux intervalles 0 ; 4 et − 2 ; 5 : b Donner l’intervalle obtenu par la réunion des inter-valles 0 ; 4 et − 2 ; 5 . 2 a Représenter, sur la droite graduée ci-dessous, les deux intervalles − 2 ; 0 et − 1 ; 2 : b Donner l’intervalle obtenu par l’intersection des inter-valles − 2 ; 0 et − 1 ; 2 . E.8425 Donner l’expression simplifiée de chacun des ensembles ci-dessous : a 2 ; 5 ∪ 0 ; 4 b − 1 ; 2 ∩ 3 ; 5 c 2 ; 4 ∩ − 1 ; 3 E.298 Dans chaque cas, représenter sur une droite graduée les deux intervalles. Puis, déterminer leurs intersections et leurs réunions : a 0 ; 2 ; 1 ; 3 b 0 ; 2 ; 2 ; 3 c 0 ; 33 ; 2] ; 0 ; 5 ; 1 E.8168 1 Donner, si possible, une expression simplifiée des unions d’intervalles suivants : a 3 ; 5 ∪ 0 ; 4 b − 3 ; 3 ∪ − 2 ; 2 c − 1 ; 2 ∪ 4 ; 7 2 Donner l’expression des intersections d’intervalles: a 3 ; 5 ∩ 0 ; 4 b − 3 ; 3 ∩ − 2 ; 2 c − 1 ; 2 ∩ 4 ; 7 E.1935 Avant d’effectuer l’opération sur les intervalles demandés, représenter chacun des deux intervalles sur une droite graduée, puis donner l’ensemble résultant. a 2 ; 5 ∪ − 1 ; 7 b 3 ; + ∞ ∪ 0 ; 3 ∪ 3 c 2 ; 5 ∩ − 1 ; 7 d −∞ ; 3 ∩ 3 ; + ∞ E.9347 Pour chaque question, représenter l’ensemble obtenu sur une droite graduée, puis donner, si pos-sible, une écriture simplifiée de cet ensemble. a [ − 1 ; 1] ∪ [1 ; 4] b [1 ; 4] ∪ [ − 4 ; − 1] c [4 ; 5] ∩ [ − 1 ; 4] d [ − 1 ; 1] ∩ [2 ; 3] E.1794 Ci-dessous sont représentés des sous-ensembles de R : en hachurant les intervalles constituants ce sous-ensemble ; en marquant d’une croix les points isolés lui-appartenant. À l’aide des notations ensemblistes, décrire chacun de ces sous-ensembles : a b c d E.1905 Représenter sur une droite graduée chacun des ensembles ci-dessous et donner leur écriture al-gébrique : a − 1 ; ı ∪ 2 ; 5 b −∞ ; 2 ∪ − 1 ; 5 ; + ∞ c − 2 ; 8 ∩ −∞ ; 3 d −∞ ; − 3 ∩ − 3 ; + ∞ https://chingmath.fr chapExoCorrec/601 sacados/601 chapExoCorrec/337 sacados/337 chapExoCorrec/5243 sacados/5243 -4-3-2-1012345 -4-3-2-1012345 chapExoCorrec/8394 sacados/8394 -4-3-2-1012345 -4-3-2-1012345 chapExoCorrec/8425 sacados/8425 chapExoCorrec/298 sacados/298 chapExoCorrec/8168 sacados/8168 chapExoCorrec/1935 sacados/1935 chapExoCorrec/9347 sacados/9347 chapExoCorrec/1794 sacados/1794 R−413 R−3;5−101 R−2;5ı√21 R−4103 chapExoCorrec/1905 sacados/1905
E.8632 Pour chaque question, représenter l’ensemble obtenu sur une droite graduée, puis donner, si pos-sible, une écriture simplifiée de cet ensemble. a [1 ; 2] ∪ 3 2 ; 14 8 b − 2 ; 5 4 ∩ [1 ; 100] E.2711 Simplifier l’écriture des ensembles suivants : a −∞ ; 3 ∩ − 2 ; 5 b 5 2 ; 10 ∩ 3 ; ı c − 12 5 ; 3 ∪ − 3 ; 9 4 E.8546 Pour chaque couple d’intervalle, don-ner l’ensemble résultat de leur intersection et de leur réunion : a 1 ; 6 et 3 ; 8 b − 2 ; 1 3 et 1 3 ; 5 c −∞ ; ı et 1 ; + ∞ E.859 Déterminer l’ensemble des nombres réalisant simultanément les deux inéquations ci-dessous et représenter cet ensemble sur une droite graduée : 2 x + 4 < 3 x − 2 3 x − 5 < 2 x + 2 12. Valeurs absolues et distance E.354 Définition: on notera d ( x ; y ) la distance, sur une droite graduée, entre les points d’abscisses respectives x et y . Remarque: comme conséquence directe, on a la propriété : pour tout nombre x et y : d ( x ; y ) = d ( y ; x ) 1 Calculer les distances indiquées ci-dessous : a d (5 ; 2) = : : : : : : b d (1 ; 7) = : : : : : : c d (0 ; 5) = : : : : : : e d ( − 2 ; 5 ; 0) = : : : : : : f d ( − 1 ; 5) = : : : : : : g d ( − 3 ; − 4) = : : : : : : h d ( − 1 ; − 5) = : : : : : : i d (4 ; − 2) = : : : : : : j d ( − 2 ; 5 ; − 1 ; 5) = : : : : : : On pourra utiliser de la droite graduée ci-dessous : 2 a Compléter le tableau suivant : x y x − y d ( x ; y ) 5 2 3 7 − 2 5 1 − 3 − 1 − 6 b Comparer x − y et d ( x ; y ) ? 13. Valeurs absolues E.321 De manière algébrique, calculer les expressions suivantes : a | 2 − 3 | b | 5 + 3 | c | 2 × (4 − 5) | d | 4 × 2 − 5 × 7 | e | 7 + 2 |×| 4 − 6 | f | 2 − 3 |× 2 g | 5 ; 5 | + |− 5 ; 5 | h |− 5 ; 5 | − | 4 ; 5 | i | 2 × 3 − 7 | E.11409 Effectuer les calculs suivants : a ⏐ ⏐ − 5 ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ 7 ⏐ ⏐ − 6 b ⏐ ⏐ 2 × 3 − 4 × 5 ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ 3 − 3 × 2 ⏐ ⏐ E.11431 Effectuer les calculs suivants : a ⏐ ⏐ − 3 ⏐ ⏐ − 10 − ⏐ ⏐ 3 ⏐ ⏐ b ⏐ ⏐ 5 − 5 × 4 ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ 3 × 2 − 6 × 4 ⏐ ⏐ E.1595 Effectuer les calculs suivants : a 2 ×| 3 × 2 − 7 | − | 5 − 3 | b | 3 × 2 − 4 |×| 3 − 5 | c | 8 − 11 × 2 | | +5 | + |− 5 | d | 2 × 4 − 7 | | 3 × 3 − 12 | E.1936 Effectuer les calculs suivants : a 2 × ⏐ ⏐ ⏐ 3 × 1 4 − 2 ⏐ ⏐ ⏐ + 1 b | 3 | + |− 3 | ⏐ ⏐ ⏐ 2 − 1 3 ⏐ ⏐ ⏐ c ⏐ ⏐ ⏐ 2 ×| 2 × 5 − 12 | − 7 ⏐ ⏐ ⏐ E.11290 Effectuer les calculs suivants : a ⏐ ⏐ 2 − 3 × 2 ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ 2 − 5 2 ⏐ ⏐ b ⏐ ⏐ 5 × 2 − 2 × 9 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 5 × 2 − 2 ⏐ ⏐ E.4376 Effectuer les calculs suivants : a ⏐ ⏐ ⏐ | 5 − 4 | + | 4 − 5 | ⏐ ⏐ ⏐ b ⏐ ⏐ ⏐ 2 ×| 3 − 5 | + 2 ⏐ ⏐ ⏐ − 5 E.9329 Simplifier les expressions suivantes : a | 2 − 3 | b | 3 − ı | c | ı − 4 | https://chingmath.fr chapExoCorrec/8632 sacados/8632 chapExoCorrec/2711 sacados/2711 chapExoCorrec/8546 sacados/8546 chapExoCorrec/859 sacados/859 chapExoCorrec/354 sacados/354 -5-4-3-2-1012345678 chapExoCorrec/321 sacados/321 chapExoCorrec/11409 sacados/11409 chapExoCorrec/11431 sacados/11431 chapExoCorrec/1595 sacados/1595 chapExoCorrec/1936 sacados/1936 chapExoCorrec/11290 sacados/11290 chapExoCorrec/4376 sacados/4376 chapExoCorrec/9329 sacados/9329
14. Centre d’un intervalle et équation E.9332 1 Quels sont les points qui sont à une distance de 5 du nombre 3 ? 2 Résoudre l’équation: ⏐ ⏐ x − 3 ⏐ ⏐ = 5 E.332 Résoudre les équations suivantes : a | x | = 3 b | x − 2 | = 3 c | x − 4 | = 7 d | x + 2 | = 3 e | x − 4 | = 0 f | x − 2 | = − 1 E.330 En traduisant les équations suivantes en un problème sur les distances, donner l’ensemble des solu- tions des équations. Exemple: | x + 2 | = 3 se traduit en d ( x ; − 2) = 3 . a | x − 4 | = 3 b | x + 2 | = 1 ; 5 c | x − 5 | = ı d | x + 5 | = 2 e | x − 5 | = | x − 1 | f | x + 2 | = | x − 2 | E.11292 Donner les deux nombres solutions de l’équation: ⏐ ⏐ 3 × x − 5 ⏐ ⏐ = 4 15. Centre d’un intervalle et inéquation E.9331 1 Résoudre l’équation: ⏐ ⏐ x − 3 ⏐ ⏐ =5 2 a Exprimer, sous forme d’intervalle, l’ensemble des nombres x vérifiant la relation: ⏐ ⏐ x − 3 ⏐ ⏐ 5 b Quelle relation peut-on établir entre le nombre 3 et les extrémités de l’intervalle solution obtenu à la question a ? E.8287 1 Donner le centre de chacun des intervalles: a 5 ; 9 b − 2 ; 6 c 0 ; 4 2 Compléter les pointillées: a x ∈ 5 ; 9 = ⇒ d ( x; 7) ::: b x ∈ − 2 ; 6 = ⇒ d ( x;::: ) 4 c x ∈ 0 ; 4 = ⇒ d ( x;::: ) ::: E.349 Compléter les pointillés: 1 | 2 − x | 1 équivaut à x ∈ ::::::::: 2 | x + : : : | : : : 1 équivaut à x ∈ [2 ; 4] 3 3 ×| x + 2 | 1 équivaut à x ∈ ::::::::: 4 | x + 5 | 2 équivaut à x ∈ ::::::::: ∪ ::::::::: E.9330 Compléter les pointillés ci-dessous : a ⏐ ⏐ x − 3 ⏐ ⏐ 2 = ⇒ x ∈ 1 ; : : : b ⏐ ⏐ x − 5 ⏐ ⏐ 1 = ⇒ x ∈ : : : ; : : : c ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ 2 = ⇒ x ∈ : : : ; : : : E.352 Compléter le tableau suivant ligne par ligne. 16. Développement illimité E.68 Déterminer les écritures fractionnaires associées aux développements décimaux illimités suivants : a x = 0 ; 7 1 b y = 1 ; 2 17 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9332 sacados/9332 chapExoCorrec/332 sacados/332 chapExoCorrec/330 sacados/330 chapExoCorrec/11292 sacados/11292 chapExoCorrec/9331 sacados/9331 chapExoCorrec/8287 sacados/8287 chapExoCorrec/349 sacados/349 chapExoCorrec/9330 sacados/9330 chapExoCorrec/352 sacados/352 EntermededistanceEncadrementValeurabsolueIntervalleDroitegraduéeLadistancedexà2estinférieureouégaleà3−1x5|x−2|3x−15-153<x<7x−41|x1|<1 chapExoCorrec/68 sacados/68
E.67 1 Donner les écritures fractionnaires des développements décimaux suivants : A = 0 ; 1 7 ; B = 0 ; 784 84 2 En justifiant votre démarche, donner le développement illimité du nombre fractionnaire B = 5 6 . 17. Partage E.9531 Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous forme simplifiée : a 1 2 + 1 2 × 5 3 b 1 4 + 3 10 × 5 2 c 1 9 + 2 6 16 3 Indication : le détail des étapes de calculs sera pris en compte lors de l’évaluation. 18. Exercices non-classés E.312 1 Traduire les équations suivantes en termes de distance et donner leurs solutions : a | x +2 | =5 b | x − ı | = 2 c | x − 2 | = | x +2 2 | 2 Résoudre les équations suivantes de manière algébrique: a | x − 3 | = 1 b | x − 3 | = 3 c | 2 x + 1 | = | 3 x − 4 | 3 Dans chaque cas, représenter sur une droite graduée les solutions des inéquations suivantes : a | x + 2 | > 2 b | x − 3 | 5 c | 2 x + 1 | > − 1 E.322 1 En termes de distance, que doit vérifier x dans l’équation | x − 10 | =5 ? Donner alors les valeurs possibles de x . 2 En termes de distance, que doit vérifier x dans l’équation | x − 10 | 5 ? Donner alors les valeurs possibles de x . E.308 On cherche à comparer les nombres suivants : A = 513 6103515625 ; B =0 ; 000 000 084 049 9 ; C = 1 11897691 1 Comparer ces trois nombres à l’aide de votre calculatrice. Faîtes une conjecture. 2 a À l’aide de la calculatrice, donner la valeur de 5 14 . b Montrer que : A = 8 404 992 10 14 c Quelle est la nature du nombre A ? 3 On admet la proposition suivante : Proposition: une fraction a b irréductible est un nombre décimal si, et seulement si, son dénominateur admet une dé-composition en produits de facteurs premiers de la forme 2 m × 5 n avec m et n des entiers naturels. Justifier que le nombre C est n’est pas un nombre déci-mal. 4 Reprendre votre conjecture de la question 1 . E.9476 Soit a , b , c , d et e cinq nombres distincts deux à deux. On considère les ensembles suivants : A = a ; c ; d ; B = c ; e ; C = a ; d Déterminer l’expression des ensembles suivants : a A ∩ B b A ∪ B c B ∩ C d A ∩ B ∩ C E.9477 Définition: on appelle cardinal d’un ensemble A le nom-bre d’éléments composant cet ensemble. On note ce nombre card ( A ) On considère Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléa-toire et A et B deux événements de cet univers. 1 Donner le nombre d’événements élémentaires composant cette expérience aléatoire. 2 a Déterminer la valeur des nombres suivants : card ( A ) ; card ( B ) ; card ( A ∪ B ) ; card ( A ∩ B ) b Quelle formule retrouve-t-on? 3 Déterminer la valeur des nombres suivants : card ( A ∩ B ) ; card ( A ∪ B ) ; card ( A ∩ B ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/67 sacados/67 chapExoCorrec/9531 sacados/9531 chapExoCorrec/312 sacados/312 chapExoCorrec/322 sacados/322 chapExoCorrec/308 sacados/308 fichierPlus/308/ Cet exercice est fait pour une calculatrice avec un affichage de 10 chiffres. chapExoCorrec/9476 sacados/9476 chapExoCorrec/9477 sacados/9477 AB