Seconde / Etude de fonctions 36 exercices (100% corrigés)

a
ChingQuizz : 1 exercice disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Encadrement par une fonction affine E.9403 Soit x un nombre réel ayant pour encadrement 2 x 4 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 2 x + 1 b − x + 3 c 2 x d 3 x − 5 E.4975 Soit x un nombre réel ayant pour encadrement − 1 <x 3 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 3 x + 1 b − 2 x − 5 E.9407 Soit x un nombre réel ayant pour encadrement − 1 <x 3 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 3 x + 1 b − 2 x − 5 c x + 2 d 1 − 2 · x 2. Encadrement par une fonction du second degré E.8283 Soit x un nombre réel ayant pour encadrement : 2 x 4 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a x 2 b 2 − x 2 c x − 4 2 d ( x + 1) 2 + 1 E.8282 Soit x un nombre réel ayant pour encadrement : 1 <x 4 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a x − 5 2 − 2 b ( x + 1) 2 + 1 E.338 Soit x un nombre réel tel que 0 <x 2 . Donner les encadrements des nombres suivants : a ( x − 2) 2 b − 2 · x 2 − 1 c ( x + 1) 2 + 1 E.9371 Soit x un nombre réel vérifiant l’encadrement 2 x< 5 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 1 − x 2 b x − 4 2 E.412 À partir de l’encadrement 2 x 4 , en déduire les encadrements des expressions algébriques suiv-antes : a 3 x − 4 2 + 2 b x 2 + 1 d 2 x − 6 2 3. Fonction carré: étude de fonctions du second degré E.2846 On considère la fonction f définie sur − 5 ; 3 dont la représentation est donnée ci-dessous : https://chingmath.fr quizzChap/1267 chapExoCorrec/9403 sacados/9403 chapExoCorrec/4975 sacados/4975 chapExoCorrec/9407 sacados/9407 chapExoCorrec/8283 sacados/8283 chapExoCorrec/8282 sacados/8282 chapExoCorrec/338 sacados/338 chapExoCorrec/9371 sacados/9371 chapExoCorrec/412 sacados/412 chapExoCorrec/2846 sacados/2846 -5-4-3-2-123I-2-123456JOCf
Les questions suivantes doivent être traitées graphiquement et sans justification. 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 Dresser le tableau de signes de la fonction f . 3 Résoudre l’inéquation: f ( x ) > 5 2 4 Déterminer les images des intervalles suivants : a 1 ; 3 b − 4 ; − 2 c − 15 4 ; 1 4. Encadrement par une fonction rationnelle E.7375 Soit x un nombre réel vérifiant l’encadrement : 2 x< 5 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 3 2 · x − 3 E.9369 Soit x un nombre réel tel que : 1 <x 4 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 1 x b 1 x + 2 c 1 − 1 x + 2 E.9370 Soit x un nombre réel tel que : − 1 <x 3 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 1 x + 2 b 1 x 2 + 1 c 2 ( x − 1) 2 + 1 E.350 Soit x un nombre réel ayant pour en-cadrement − 1 <x 3 . Pour chaque question, déterminer un encadrement de l’expression littérale proposée : a 1 x + 2 b 1 x 2 + 1 c 2 ( x − 1) 2 + 1 E.9408 À partir de l’encadrement 2 x 4 , en déduire les encadrements des expressions algébriques suiv-antes : a 1 x + 2 b 1 x 2 c x 2 2 x + 1 5. Fonction inverse: étude de fonction homographique E.7862 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ 3 x + 1 x − 3 1 Montrer que, pour tout x ∈ R \ 3 , on a: 3 x + 1 x − 3 = 3 + 10 x − 3 2 Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle −∞ ; 3 . E.4984 On considère la fonction g définie sur R \ 2 par : g ( x ) = x + 1 2 − x 1 Déterminer les réels a et b réalisant l’identité: g ( x ) = a + b 2 − x 2 Dresser le tableau de variations de la fonction g E.9406 Soit f la fonction définie sur R \ 3 2 par la relation: f ( x ) = 8 x − 11 2 x − 3 1 Déterminer les réels a et b réalisant l’identité: f ( x ) = a + b 2 x − 3 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.8163 On considère la fonction f définie par : f ( x )= 8 − 5 · x x − 2 1 Déterminer les valeurs des nombres réels a et b réalisant l’identité ci-dessous : f ( x ) = a + b x − 2 2 Établir que la fonction f est croissante sur l’intervalle −∞ ; 2 . E.6573 On considère la fonction f définie sur R par l’expression : f ( x ) = 2 · x 2 + 4 · x + 1 x 2 + 2 · x + 2 1 Déterminer les deux réels a et b vérifiant l’identité: f ( x ) = a + b x + 1 2 + 1 2 a Déterminer le sens de variations de la fonction f sur l’intervalle − 1 ; + ∞ . b Démontrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle −∞ ; − 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7375 sacados/7375 chapExoCorrec/9369 sacados/9369 chapExoCorrec/9370 sacados/9370 chapExoCorrec/350 sacados/350 chapExoCorrec/9408 sacados/9408 chapExoCorrec/7862 sacados/7862 chapExoCorrec/4984 sacados/4984 chapExoCorrec/9406 sacados/9406 chapExoCorrec/8163 sacados/8163 chapExoCorrec/6573 sacados/6573
E.4877 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − 4 · x 2 − 2 x 2 + 1 1 Démontrer l’égalité suivante : f ( x )= 2 x 2 +1 − 4 2 a Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle −∞ ; 0 . b Établir le sens de variation sur l’intervalle 0 ; + ∞ de la fonction f . c Dresser le tableau de variations de la fonction f (on indiquera les valeurs des extrémums locaux) . 3 Déduire de la question précédente, la valeur maximale de la fonction f . 4 a Déterminer algébriquement, les antécédents du nom-bre − 3 par la fonction f . b Résoudre l’équation suivante : f ( x )= − x − 2 6. Racine carrée: utilisation E.4973 Soit f la fonction dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = − 2 x + 1 + 3 1 Justifier que l’ensemble de définition de la fonction f est : D f = − 1 ; + ∞ 2 Établir que la fonction f est décroissante sur son ensem-ble définition. E.4974 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − 2 x + 3 1 Justifier que l’ensemble de définition de f est R + . 2 Établir que f est strictement croissante sur R + . E.8166 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = − x 2 − 2 · x + 7 9 1 a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; ;J , on considère la courbe C f représentative de la fonction f et le cercle C de centre A ( − 1 ; 0) et de rayon 4 3 . a Montrer que tout point M de la courbe C f appartient au cercle C . b On considère le demi-cercle E formé par l’ensemble des points du cercle C dont l’ordonnée est positive ou nulle. Ce sous-ensemble peut se noter : E = M ( x ; y ) ∈ C ⏐ ⏐ y > 0 Réciproquement, justifier que chaque point de E ap-partient à la courbe C f représentative de la fonction f . E.7380 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; 1 par la relation: f ( x ) = 1 − x 2 dont la courbe C f représentative est donnée ci-dessous dans un repère O ; I ; J ci-dessous : Soit x un nombre réel appartenant à l’intervalle 0 ; 1 . On note respectivement A et B les points de la courbe C f respec-tivement d’abscisses x et − x . Déterminer l’abscisse du point A afin que l’aire du triangle OAB soit maximale. Indication : on pourra établir l’identité: x 2 − x 4 = 1 4 − x 2 − 1 2 2 7. Fonction cube: utilisation E.8281 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 + 6 · x 2 + 12 · x + 12 1 Établir que pour tout nombre réel x , on a: f ( x ) = x + 2 3 + 4 2 Établir que la fonction f est croissante sur R . 8. Etude algébrique des variations https://chingmath.fr chapExoCorrec/4877 sacados/4877 chapExoCorrec/4973 sacados/4973 chapExoCorrec/4974 sacados/4974 chapExoCorrec/8166 sacados/8166 chapExoCorrec/7380 sacados/7380 AB-1IJOCf chapExoCorrec/8281 sacados/8281
E.7335 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 + x + 2 1 Soit a et b deux nombres réels quelconques. Déterminer l’identité: f ( a ) − f ( b ) = a − b · b 2 + a · b + a 2 + 1 2 Établir que la fonction f est strictement croissante sur −∞ ; 0 E.8312 On considère la fonction f définie sur R \{ 1 par la relation: f ( x ) = 1 x − 1 1 Montrer que la fonction f est décroissante sur 1 ; + ∞ 2 a Soit a et b deux nombres réels distincts de 1 . Mon-trer que : f ( a ) − f ( b ) = b − a a − 1 b − 1 b En déduire que la fonction f est décroissante sur −∞ ; 1 E.8164 On considère la fonction f définie par l’expression : f ( x ) = 1 x 2 + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Pour tous nombres réels a et b , établir l’identité suiv-ante : f ( b ) − f ( a ) = a − b a + b a 2 + 1 b 2 + 1 b En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle R − . E.7376 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 2 · x 2 + x + 1 1 Justifier que la fonction f est définie sur R . 2 a Soit a et b deux nombres réels, établir l’identité: f ( b ) − f ( a ) = b − a · 2 · b + 2 · a + 1 2 · b 2 + b + 1 + 2 · a 2 + a + 1 b En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle − 1 4 ; + ∞ 9. Un peu plus loin - ensemble de définition E.2141 On considère les deux fonctions suiv-antes : f : x ↦−→ 2 x − 1 · 4 x + 3 ; g : x ↦−→ 2 x − 1 4 x + 3 1 a À l’aide d’une calculatrice graphique, tracer la courbe représentative de la fonction f , puis celle de la fonction g . b Graphiquement, donner l’intervalle sur lequel ces deux fonctions coïncident. 2 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 3 a Déterminer le tableau de signes de l’expression al-gébrique (2 x − 1)(4 x +3) . b En déduire le domaine de définition de la fonction g . E.536 1 Développer l’expression : ( x +1)(3 − 2 x )( x − 1) . 2 On considère les deux fonctions f et g dont leurs images du nombre x sont définies de la manière suivante : f ( x ) = − 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x − 3 x 2 − 1 ; g ( x ) = 3 − 2 x a Déterminer l’ensemble de définition de chacune de ces fonctions. b Établir que les deux fonctions f et g sont égales sur un ensemble qu’on précisera. E.2194 1 On considère les deux fonctions f et g dont l’image de x est définie par les relations : f ( x ) = − x 2 − 3 x + 4 (3 x − 2)( − x + 1) ; g ( x ) = x + 4 3 x − 2 a Simplifier l’expression : g ( x ) − f ( x ) . b Comparer les fonctions f et g . 2 On considère les deux fonctions j et ‘ définies par : j ( x ) = 1 3 x + 1 + 4 − x ; ‘ ( x ) = 3 x + 1 − 4 − x 4 x − 3 a Déterminer l’ensemble de définition de ces deux fonc-tions. b Développer l’expression suivante : A = 3 x + 1 + 4 − x 3 x + 1 − 4 − x c Montrer que les deux fonctions j et ‘ sont égales sur l’ensemble − 1 3 ; 4 \ 3 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7335 sacados/7335 chapExoCorrec/8312 sacados/8312 chapExoCorrec/8164 sacados/8164 chapExoCorrec/7376 sacados/7376 chapExoCorrec/2141 sacados/2141 chapExoCorrec/536 sacados/536 chapExoCorrec/2194 sacados/2194
E.2694 1 On considère les deux fonctions : f : x ↦−→ 3 x − 2 ; g : x ↦−→ 14 x + 7 2 x + 1 a Établir l’égalité suivante : 6 x 2 + 13 x + 5 = (2 x + 1)(3 x + 5) b On considère la fonction f + g . Établir l’égalité: f + g ( x ) = 3 x + 5 c Donner l’ensemble sur lequel la fonction f + g est définie. 2 On considère les deux fonctions suivantes : f : x ↦−→ 2 x + 1 x 2 + x ; g : x ↦−→ ( x + 1)( − 3 x + x 2 ) a On considère la fonction f · g . Établir l’égalité suivante : f × g ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 b Donner l’ensemble sur lequel la fonction f · g est définie. 3 On considère les deux fonctions f et g définies par : f : x ↦−→ x 2 − x ; g : x ↦−→ x + x a Établir l’égalité suivante : f g ( x ) = x − x b Donner l’ensemble sur lequel la fonction f g est définie. 10. Encadrements et sens de variation E.1904 Soit x un nombre réel: 1 Supposons que 1 <x 3 . Donner un encadrement de cha-cun des nombres suivants : a x 2 b 1 − 1 x c 3 − 2 x 2 Supposons que − 4 <x< 1 et considérons y un nombre réel vérifiant l’encadrement 2 <y< 4 . a Donner un encadrement des expressions suivantes : x + y ; ( x + 4) · y b Justifier, par un contre-exemple, que l’encadrement ci-dessous est faux : − 8 <x · y < 4 E.2832 Soit x un nombre vérifiant l’encadrement : 3 <x 5 Déterminer un encadrement de chacune de ces expressions : a 2 · 1 2 · x − 3 2 − 2 b 1 (2 − x ) 2 11. Exercices non-classés E.1941 1 Soit a et b deux nombres appartenant à l’intervalle − 2 ; 0 tels que a<b . Établir la comparaison suivante : 3 a 2 +1 < 3 b 2 +1 2 En déduire le sens de variation, sur l’intervalle [ − 2 ; 0] , de la fonction f définie par : f : x ↦−→ 3 x 2 +1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2694 sacados/2694 chapExoCorrec/1904 sacados/1904 chapExoCorrec/2832 sacados/2832 chapExoCorrec/1941 sacados/1941