Seconde / Fonctions de référence 46 exercices (100% corrigés)

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ChingQuizz : 4 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Fonction carré: variations E.8285 Nous allons étudier la fonction carrée h définie par : f : x ↦−→ x 2 1 Donner l’ensemble de définition D f de la fonction carré. 2 a Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x − 3 − 1 − 0 ; 5 0 0 ; 5 2 4 f ( x ) b Tracer la courbe représentative C f dans le repère ci-dessous : 3 a Pour a et b non tous les deux nuls, établir l’égalité suivante : f ( b ) − f ( a ) = b + a b − a . b En déduire le sens de variation de la fonction carrée sur R − et sur R + . 4 La courbe représentative de la fonction f possède-t-elle un axe de symétrie ou un centre de symétrie? E.4853 Soit f la fonction carrée: 1 Compléter le tableau de valeurs suivant : x − 10 −√ 5 − 3 2 0 1 3 2 1+ 2 f ( x ) 2 a Que peut-on dire de la comparaison de deux nom-bres négatifs et de leurs carrés? b Que peut-on dire de la comparaison de deux nombres positifs et de leurs carrés? E.4865 Proposition: Deux nombres positifs et leurs carrés sont comparés dans le même ordre. Deux nombres négatifs et leurs carrés sont comparés dans l’ordre contraire. Comparer les couples de nombres suivants : a 3 3 ; 5 b − 1 2 5 ; − 1 5 c 2 √ 3 3 ; 3 4 4 d 2+ 5 ; 3 2. Fonction carré: images d’intervalle E.4817 Définition: on appelle image de l’intervalle [ a ; b ] par la fonction f , l’ensemble constitué des images de tous les éléments de l’intervalle [ a ; b ] . Exemple: Voici deux animations pour mieux appréhender l’image d’intervalles. Les deux graphiques ci-dessous présente deux parties C 1 et C 2 de la courbe représentative de la fonction carrée: 1 a Déterminer l’ensemble de nombres formé par toutes les abscisses des points de la courbe C 1 . b Déterminer l’ensemble de nombres formé par toutes les ordonnées des points de la courbe C 1 . c En déduire l’image de l’intervalle 2 ; 4 . 2 a Déterminer l’ensemble de nombres formé par toutes https://chingmath.fr chapExoCorrec/8285 sacados/8285 -4-3-2-1234I246810121416JO chapExoCorrec/4853 sacados/4853 chapExoCorrec/4865 sacados/4865 chapExoCorrec/4817 sacados/4817 r513-1 r513-3 01234481216C1 -2-101232468C2
les abscisses des points de la courbe C 2 . b Déterminer l’ensemble de nombres formé par toutes les ordonnées des points de la courbe C 2 . c En déduire l’image de l’intervalle − 1 ; 2 . E.416 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on con-sidère la courbe C f représenta-tive de la fonction carrée. Graphiquement et sans justifica-tion, donner l’image de chacun des intervalles ci-dessous par la fonction f : a [2 ; 5 b − 3 ; − 1 c 2 ; 1 ; 3 d − 4 ; − 1 ; 5 E.9365 Ci-dessous dans un repère, est don-née la courbe représentative de la fonction carrée: 1 a Donner les deux intervalles I et J tels que : I ⊂ R − ; J ⊂ R + ; I ∪ J = − 1 ; 5 b En déduire l’image de l’intervalle − 1 ; 5 par la fonc-tion f . 2 Sans justification, don-ner l’image des intervalles suivants par la fonction carrée: a − 4 ; 2 b − 1 ; 3 E.2692 Donner, sans justification, les images des intervalles suivants par la fonction carrée: a 2 ; 3 b − 5 ; − 1 c − 2 ; 4 E.2831 Donner, sans justification, l’image des intervalles suivants par la fonction carrée: a √ 3 ; 5 b − 1 2 ; − 3 7 c − √ 10 2 ; 7 3 E.2081 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormal, est donnée ci-dessous la courbe C f représentative de la fonction carrée: Sans justification, recopier et com-pléter les assertions suivantes : 1 Si x ∈ 1 ; 3 alors x 2 ∈ : : : : : : 2 Si x ∈ − 1 ; 2 alors x 2 ∈ : : : : : : 3 Si x ∈ − 3 ; − 2 ∪ 2 ; 3 alors x 2 ∈ : : : : : : 4 Si x ∈ −√ 11 ; − 2 ∪ √ 2 ; √ 7 alors x 2 ∈ : : : : : : 3. Fonction carré: équations et inéquations E.9367 Résoudre les équations : a x 2 = 2 b x 2 = 0 c x 2 = − 1 E.9361 On considère la fonction car-rée notée f dont la courbe représentative C f dans un repère O ; I ; J est donnée ci-dessous : Graphiquement et sans jus-tification, donner l’ensemble des solutions des inéquations suivantes : a f ( x ) 1 b f ( x ) 2 c f ( x ) < 3 d f ( x ) > 4 E.9375 On note f la fonction carrée. Sans justification, donner les ensembles de solutions, sous forme simplifiée, des inéquations : a f ( x ) 10 16 b f ( x ) 9 4 c f ( x ) > ı Remarque: on pourra s’appuyer sur une résolution graphique. E.9374 Pour chaque question, donner le plus grand ensemble de nombres vérifiant l’inégalité ou l’encadrement : a x 2 < 3 b x 2 1 c 2 x 2 4 Remarque: on s’appuyera sur des calculs et sur une ré-solution graphique en s’aidant de la courbe de la fonction carrée: https://chingmath.fr chapExoCorrec/416 sacados/416 -2-12I234JOCf chapExoCorrec/9365 sacados/9365 -4-3-2-1234I246810121416JO chapExoCorrec/2692 sacados/2692 chapExoCorrec/2831 sacados/2831 chapExoCorrec/2081 sacados/2081 -3-2-123I23456789JOCf chapExoCorrec/9367 sacados/9367 chapExoCorrec/9361 sacados/9361 -2-12I234JOCf chapExoCorrec/9375 sacados/9375 chapExoCorrec/9374 sacados/9374 a-abIJO
4. Fonction inverse: variations E.8284 Nous allons étudier la fonction in-verse f définie par : f : x ↦−→ 1 x 1 Donner l’ensemble de définition D f de la fonction inverse. 2 a Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x − 4 − 2 − 1 − 0 ; 5 0 ; 25 1 2 4 f ( x ) b Tracer la courbe représentative C f dans le repère ci-dessous : 3 a Pour a et b non tous les deux nuls, établir l’égalité suivante : f ( b ) − f ( a ) = a − b a · b . b En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur R ∗ + . 4 La courbe représentative de la fonction f possède-t-elle un axe de symétrie ou un centre de symétrie? E.4854 1 Soit f la fonction qui, à tout nombre non-nul, renvoie son inverse. Compléter le tableau avec les valeurs décimales des im-ages arrondies au centième près : x − 10 − 3 − 2 − 0 ; 5 0 ; 2 0 ; 75 2 f ( x ) 2 a Que peut-on dire de la comparaison de deux nom-bres négatifs et de leurs inverses? b Que peut-on dire de la comparaison de deux nombres positifs et de leurs inverses? E.340 Soient a et b deux nombres stricte-ment positifs. 1 Pour a = b , exprimer la différence ci-dessous sous la forme d’un quotient : 1 a − 1 b . 2 Supposons que b<a : a Déterminer le signe de : 1 a − 1 b . b Comparer : 1 a et 1 b . E.9381 Comparez les couples de nombres suivants : a 1 3 ; 1 6 b 1 ı ; 1 3 c − 1 5 ; 15 ; − 1 5 ; 105 5. Fonction inverse: images d’intervalle E.2818 On considère la fonction inverse notée f dont la courbe représentative C f dans un repère O ; I ; J est donnée ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8284 sacados/8284 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/4854 sacados/4854 chapExoCorrec/340 sacados/340 chapExoCorrec/9381 sacados/9381 chapExoCorrec/2818 sacados/2818 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf
Graphiquement et sans justification, donner l’image par la fonction f des intervalles suivants : a 1 ; 2 b − 3 ; − 0 ; 5 c 0 ; 25 ; 4 E.9363 Donner, sans justification, l’image des intervalles suivants par la fonction inverse : a − 4 ; − 1 b 2 ; 5 2 c 0 ; 0001 ; 1 ; 5 E.9373 Sans justification, donner l’image des intervalles ci-dessous par la fonction inverse : a 10 − 1 ; 10 5 b 10 − 10 ; 10 − 9 c − 10 6 ; − 10 5 E.2161 On considère les représentations ci-dessous des fonctions carrées et inverses dans les repères ci-dessous : À l’aide des représentations graphiques ci-dessus, déter-miner les images des ensembles suivant par la fonction inverse : a − 3 ; − 1 b 1 9 ; 1 2 c − 1 ; 0 ∪ 0 ; 1 E.9366 Dans un repère O ; I ; J orthonor-maux, est donnée la courbe C f représentative de la fonction inverse : Compléter, sans justification, les assertions suivantes : 1 Si x ∈ 2 ; 4 alors 1 x ∈ :::::: 2 Si x ∈ 0 ; 2 alors 1 x ∈ :::::: 3 Si x ∈ −∞ ; − 1 2 alors 1 x ∈ :::::: E.9364 Donner, sans justification, les images des intervalles suivants par la fonction inverse : a 1 ; 2 b 0 ; 5 c 3 ; + ∞ E.9376 On considère la fonction inverse notée f . Sans justification, donner les images des intervalles ci-dessous par la fonction f : a 3 ; + ∞ b −∞ ; − 1 c 0 ; 1 2 6. Fonction inverse: équation et inéquation E.9368 Résoudre les équations suivantes : a 1 x = 2 b 1 x = 0 c 1 x = − 4 E.9362 On considère la fonction inverse notée f dont la courbe représen-tative C f dans un repère O ; I ; J est donnée ci-contre : Graphiquement et sans justifi-cation, donner l’ensemble des solutions des inéquations suiv-antes : a 1 x 1 b 1 x < − 3 c 1 x > 7 E.9377 Représentation de la fonction inverse: Soit f la fonction inverse. Ci-dessous sont donnés la courbe représentative et le tableau de variations de la fonction f : En se basant sur la courbe représentative ou le tableau de variations de la fonction inverse, donner, sans justification, les ensembles de solutions pour chacune des inéquations suiv-antes : a 1 x 1 5 b 1 x > 3 4 c 1 x < − 1 3 E.9378 Sans justification, donner l’ensemble des solutions des inéquations suivantes : a 1 x > − 1 b 1 x < 2 7. Racine carré: variation https://chingmath.fr chapExoCorrec/9363 sacados/9363 chapExoCorrec/9373 sacados/9373 chapExoCorrec/2161 sacados/2161 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/9366 sacados/9366 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/9364 sacados/9364 chapExoCorrec/9376 sacados/9376 chapExoCorrec/9368 sacados/9368 chapExoCorrec/9362 sacados/9362 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/9377 sacados/9377 -3-2-123I-3-2-123JO −∞0∞∞0−∞0xVariationdef chapExoCorrec/9378 sacados/9378
E.403 Nous allons étudier la fonction racine carrée h définie par : f : x ↦−→ x 1 Donner l’ensemble de définition D f de la fonction racine carrée. 2 a Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x 0 0 ; 125 0 ; 25 1 2 4 9 f ( x ) b Tracer la courbe représentative C f dans le repère ci-dessous : 3 a Pour a et b non tous les deux nuls, établir l’égalité suivante : a − b = a − b a + b . b En déduire le sens de variation de la fonction racine carrée sur R + . 4 La courbe représentative de la fonction f possède-t-elle un axe de symétrie ou un centre de symétrie? 8. Racine carré: image d’intervalle E.4515 Représentation de la fonction racine carrée : Ci-dessous sont donnés la courbe représentative et le tableau de variation de la fonction racine carrée: Sans justification, donner les images des intervalles ci-dessous par la fonction racine carrée: a 1 ; 4 b 0 ; 81 ; 2 ; 25 c 5 ; 9 9. Racine carré: équation et inéquation E.4972 Sans justification, donner l’ensemble de solutions des inéquations suivantes : a x> 4 b x< 9 E.4535 Sans justification, donner l’ensemble des solutions des inéquations suivantes : a x> 3 b x< 5 10. Fonction cube: variations E.8286 Nous allons étudier la fonction cube h définie par : f : x ↦−→ x 3 1 Donner l’ensemble de définition D f de la fonction cube. 2 a Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x − 2 − 1 − 0 ; 5 0 0 ; 5 1 2 f ( x ) b Tracer la courbe représentative C f dans le repère ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/403 sacados/403 -123456789I-1234JO chapExoCorrec/4515 sacados/4515 xy0369123 0∞0∞xVariationdef chapExoCorrec/4972 sacados/4972 chapExoCorrec/4535 sacados/4535 chapExoCorrec/8286 sacados/8286
3 a Pour a et b non tous les deux nuls, établir l’égalité suivante : f ( b ) − f ( a )= b − a b 2 + a · b + a 2 b En déduire le sens de variation de la fonction cube sur R − et sur R + . 4 La courbe représentative de la fonction f possède-t-elle un axe de symétrie ou un centre de symétrie? E.9382 Proposition: deux nombres et leurs cubes sont comparés dans le même ordre. 1 Soit a et b deux nombres strictement négatifs tels que a<b . Comparer les deux nombres a 3 et b 3 . 2 Soit a et b deux nombres strictement négatifs tels que a 2 <b 2 . Comparer les deux nombres a 3 et b 3 . 11. Fonction cube: images d’intervalle E.9380 Représentation de la fonction cube: Ci-dessous sont donnés la courbe représentative et le tableau de variation de la fonction cube : Sans justification, donner les images des intervalles ci-dessous par la fonction cube : a 1 ; 4 b − 3 ; − 1 c − 3 4 ; − 3 2 12. Fonction cube: équations et inéquations E.4536 Sans justification, répondre aux questions suivantes : 1 Résoudre l’inéquation: x 3 > 8 2 Résoudre l’inéquation: x 3 27 13. Positions relatives des fonctions de références E.305 1 Compléter le tableau suivant : a 0 0 ; 3 0 ; 7 1 10 a 2 0 ; 04 18 ; 49 a 3 1 ; 728 2 Soit x un nombre réel positif ( x ∈ R + ) : a Conjecturer les valeurs de x réalisant l’égalité: x = x 2 ? b Conjecturer les valeurs de x réalisant l’inégalité: x <x 2 ? c Conjecturer les valeurs de x réalisant l’inégalité: x > x 2 ? 3 On note E l’expression : E = x 2 − x . a Factoriser l’expression E . b Étudier le signe de E sur 0 ; 1 . En déduire la com-paraison de x et x 2 sur 0 ; 1 . c Étudier le signe de E sur 1 ; + ∞ . En déduire la com-paraison de x et x 2 sur 1 ; + ∞ . 4 Par une méthode similaire aux questions précédentes, comparer les nombres x 2 et x 3 pour toute valeur de x positive ( x ∈ R + ) . https://chingmath.fr -2-12I-8-6-4-22468JO chapExoCorrec/9382 sacados/9382 chapExoCorrec/9380 sacados/9380 xy-2-1012-6-4-2246 −∞∞−∞∞xVariationdef chapExoCorrec/4536 sacados/4536 chapExoCorrec/305 sacados/305
E.2703 On considère les trois fonctions f , g , h définies par : f : x ↦−→ x ; g : x ↦−→ x 2 ; h : x ↦−→ x dont les courbes représentatives sont données dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : 1 Graphiquement, étudier la position relative des courbes C f , C g et C h sur R + . Établissons le résultat de la question précédente d’un point de vue algébrique: 2 a Dresser le tableau de signes de l’expression x 2 − x . b Comparer les fonctions f et g sur chacun des intervalles 0 ; 1 et 1 ; + ∞ . 3 a Pour x ∈ 0 ; + ∞ , établir l’égalité: f ( x ) − h ( x ) = x 2 − x x + √ x b Comparer les fonctions f et h sur chacun des inter-valles 0 ; 1 et 1 ; + ∞ . E.2959 1 On considère les deux fonctions f et g définies par : f : x ↦−→ x − 1 2 ; g : x ↦−→ x 2 − 1 2 Comparer les fonctions f et g sur l’intervalle 0 ; 1 . 2 On considère les fonctions h et j définies par : h : x ↦−→ 1 2 √ x + 1 ; j : x ↦−→ 1 2 x + 1 Comparer les fonctions h et j sur chacun des intervalles 0 ; 1 et 1 ; + ∞ . E.9372 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par les expressions : f ( x ) = x 4 ; g ( x ) = x Dans le plan muni d’un repère, on note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g . 1 Déterminer le polynôme P vérifiant l’égalité: f ( x ) − g ( x ) = x · x − 1 ·P x 4 + x 2 En déduire la position relative des courbes C f et C g sur les intervalles 0 ; 1 et 1 ; + ∞ . 14. Partage E.2729 On désigne par f la fonction carrée. Dire si les assertions suivantes sont ˇ vraies ı ou ˇ fausses ı. Dans le cas où une assertion est fausse, on citera un contre-exemple: 1 Si x> 1 alors x 2 > 1 . 2 Si x 2 > 1 alors x> 1 . 3 L’image de l’intervalle − 3 ; 4 par la fonction f est 9 ; 16 . 4 L’image de l’intervalle − 5 ; 1 par la fonction f est 0 ; 25 . 5 − 4 < 1 = ⇒ f ( − 4) <f (1) . 6 La fonction f est croissante sur R . 15. Exercices non-classés E.9379 Sans justification, donner les images, sous forme simplifiée, des intervalles ci-dessous par la fonction racine carrée: a 10 4 ; 10 20 b 2 16 ; 2 32 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2703 sacados/2703 23I2JOCfCgCh chapExoCorrec/2959 sacados/2959 chapExoCorrec/9372 sacados/9372 chapExoCorrec/2729 sacados/2729 chapExoCorrec/9379 sacados/9379
E.1825 Le tableau ci-dessous représente les quotients, arrondis au centième près, de carrés d’entiers : 1 a À l’aide du tableau, vérifier l’encadrement ci-dessous : 100 81 < 1 ; 25 < 81 64 b À l’aide du tableau, justifier l’encadrement : 10 9 < 1 ; 25 < 9 8 2 Établir l’encadrement : 15 14 < 1 ; 16 < 13 12 3 À l’aide du tableau, donner l’encadrement le plus précis du nombre 2 ; 5 . E.7379 1 Pour tous nombres réels a et b , établir l’égalité: a 3 − b 3 = a − b · a + b 2 2 + 3 · b 2 4 2 Établir que la fonction cube est strictement croissante sur R . E.5029 1 Soit a et b deux nombres réels. Établir l’identité suiv-ante : a 3 − b 3 = a − b · a 2 + a · b + b 2 2 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = x 3 Établir que la fonction f est croissante sur −∞ ; 0 . E.8025 Parmi les courbes ci-dessous, lesquelles sont la représentation de la fonction carrée: https://chingmath.fr chapExoCorrec/1825 sacados/1825 ÷149162536496481100121144169196225114916253649648110012114416919622540;2512;2546;25912;251620;252530;253642;254956;2590;110;4411;782;7845;447;11911;1113;441618;7821;7825160;060;250;5611;562;253;0645;066;257;56910;5612;2514;06250;040;160;360;6411;441;962;563;2444;845;766;767;849360;030;110;250;440;6911;361;782;252;783;3644;695;446;25490;020;080;180;330;510;7311;311;652;042;472;943;4544;59640;020;060;140;250;390;560;7711;271;561;892;252;643;063;52810;010;050;110;200;310;440;600;7911;231;491;782;092;422;781000;010;040;090;160;250;360;490;640;8111;211;441;691;962;251210;010;030;070;130;210;300;400;530;670;8311;191;401;621;861440;010;030;060;110;170;250;340;440;560;690;8411;171;361;561690;010;020;050;090;150;210;290;380;480;590;720;8511;161;331960;010;020;050;080;130;180;250;330;410;510;620;730;8611;1522500;020;040;070;110;160;220;280;360;440;540;640;750;871 chapExoCorrec/7379 sacados/7379 chapExoCorrec/5029 sacados/5029 chapExoCorrec/8025 sacados/8025 x-4-2024y24C1 x-4-2024y481216C2 x-8-6-4-202468y481216C3