Seconde / Identités remarquables 96 exercices (100% corrigés)

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ChingQuizz : 11 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels E.11438 Définition: on appelle " double-distributivité "l’action de développer deux facteurs comportant des sommes/soustractions. Proposition: soit a , b , c , d quatre nombres. On a l’identité: Développer, puis réduire les expressions suivantes : a (3 x + 1)(3 + 4 x ) b (3 x + 2)(5 x + 4) c (2 x +5)(3+2 x ) d (2 x + 1)(3 x + 2) E.11439 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (3 x + 5)( x − 2) b (2 x − 1)(2 x + 3) E.11440 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a ( − 2 x + 2)( − 1 − x ) b 3 x − 1 − 5 x − 1 E.11441 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a ( x − 2)(2 x + 1) b x + 5 3 − 7 x E.9686 En utilisant la méthode de votre choix, résoudre les équations suivantes : a 3 x 2 + x = 0 b (3 x + 1) 2 = 3 x + 1 E.11608 Résoudre les équations suivantes : a 2 x − 1 3 =5 x +1 b x − 4 3 = x − 2 c 2 x +1 6 − 1 − x 2 = x E.474 Résoudre les équations suivantes : a ( x + 1)(2 − x ) = (2 x − 4)(5 x − 3) b (2 x + 1)(3 x + 4) − (3 x + 1)(2 x + 4) = 0 E.11613 Développer les expressions suiv-antes : a 2(3 x − 1)(2 − x ) b 5( x + 3)(5 − 2 x ) 2. Introduction par la double distributivité E.11442 1 Afin de terminer les développements et la réduction des expressions, recopier et compléter les pointillés: a x + 3 2 = x + 3 ( x + 3 = : : : b x + 10 2 = x + 10 ( x + 10 = : : : 2 Recopier et compléter les phrases : Le terme numérique de la expression développée est le . . . . . . du terme numérique du facteur au carré. Le coefficient du terme en " x "de l’expression dévelop-pée est le . . . . . . du terme numérique du facteur au carré. E.11443 1 Afin de terminer les développements, recopier et com- pléter les pointillés: a x − 4 2 = x − 4 x − 4 = : : : b x − 5 2 = x − 5 x − 5 = : : : 2 Avec b ∈ R et en considérant l’expression dévelopée de x − b 2 : Le terme numérique a pour valeur: . . . Le terme en " x "a pour expression :. . . E.11444 Afin de terminer les développe-ments, recopier et compléter les pointillés: a x + 2 x − 2 = : : : b x + 10 x − 10 = : : : 3. Introduction par identification graphique E.8175 Dans cet exercice, on considère un carré de côté a + b où a et b sont deux nombres réels positifs ( a;b ∈ 0 ; + ∞ ) . 1 Pour chacune des figures ci-dessous, donner l’aire du do-maine hachurée : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11438 sacados/11438 abcda×ca×db×cb×c chapExoCorrec/11439 sacados/11439 chapExoCorrec/11440 sacados/11440 chapExoCorrec/11441 sacados/11441 chapExoCorrec/9686 sacados/9686 chapExoCorrec/11608 sacados/11608 chapExoCorrec/474 sacados/474 chapExoCorrec/11613 sacados/11613 chapExoCorrec/11442 sacados/11442 chapExoCorrec/11443 sacados/11443 chapExoCorrec/11444 sacados/11444 chapExoCorrec/8175 sacados/8175
2 Parmi les expressions ci-dessous, donner les deux réponses permettant d’exprimer l’aire du carré: a a + b 2 b a 2 + b 2 c a 2 + 2 ab + b 2 d a 2 − 2 ab + b 2 E.8185 Soit a et b deux nombres réels stricte-ment positifs. On considère les quatre représentations d’un même carré de côté a ci-dessous : 1 a Exprimer à l’aide des nombres a et b l’aire de cha-cune des parties hachurées. b Quelle partie de cette figure admet pour aire l’expression : a − b 2 +2 ab − b 2 2 Justifier l’identité: a − b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 E.8186 Soit a et b deux nombres réels stricte-ment positifs tels que b<a . On considère ci-dessous un carré de côté a (Fig. 1 et 2) ainsi qu’un rectangle (Fig. 3 et 4) : 1 Exprimer en fonction de a et de b les aires des domaines hachurés ci-dessus. 2 a Que peut-on dire des aires des domaines grisées représentés ci-dessous? b Justifier l’identité: a 2 − b 2 = a + b a − b 4. Développement et identité remarquable E.8179 1 Établir chacune des identités ci-dessous : a 3 x + 5 2 = 3 x 2 + 2 × 3 x × 5 + 5 2 b 4 x + 3 2 = 4 x 2 + 2 × 4 x × 3 + 3 2 2 Établir chacune des identités ci-dessous : a 2 x − 1 2 = 2 x 2 − 2 × 2 x × 1 + 1 2 b 3 − 6 x 2 = 3 2 − 2 × 3 × 6 x + 6 x 2 3 Établir chacune des identités ci-dessous : a x + 2 x − 2 = x 2 − 2 2 b 4 x + 5 4 x − 5 = 4 x 2 − 5 2 5. Développer une identité remarquable E.8180 Compléter le tableau ci-dessous : a + b 2 a b a 2 b 2 2 ab a 2 + 2 ab + b 2 3 x +2 2 4 x +1 2 5 x +1 2 E.8181 Compléter le tableau ci-dessous : a − b 2 a b a 2 2 ab b 2 a 2 − 2 ab + b 2 x − 5 2 2 x − 4 2 4 x − 3 2 https://chingmath.fr abFig.1abFig.2abFig.3 chapExoCorrec/8185 sacados/8185 abFig.1abFig.2abFig.3abFig.4 chapExoCorrec/8186 sacados/8186 abFig.1abFig.2aabbFig.3aabbFig.4 abaabb chapExoCorrec/8179 sacados/8179 chapExoCorrec/8180 sacados/8180 chapExoCorrec/8181 sacados/8181
E.8182 Compléter le tableau ci-dessous : a + b a − b a b a 2 b 2 a 2 − b 2 2 x +5 2 x − 5 x +4 x − 4 4 x +3 4 x − 3 E.8176 Développer les expressions suiv-antes : a ( x + 1) 2 b (2 x + 3) 2 c ( x + 6) 2 d (5 x + 1) 2 e (3 x + 3) 2 f ( a + b ) 2 E.438 Développer les expressions suivantes : a (2 x + 3) 2 b (3 x − 2)(3 x + 2) c (5 x − 6) 2 E.8177 Développer les expressions suiv-antes : a ( x − 2) 2 b ( x − 3) 2 c (3 x − 1) 2 d (5 x − 1) 2 e (3 x − 2) 2 f ( a − b ) 2 E.11528 Développer et réduire les expres- sions suivantes : a 2 x + 3 2 b 5 x − 1 2 c 3 x + 4 3 x − 4 E.681 Recopier sur votre copie et compléter pour que les égalités soient vrais: a (3 x + : : : ) 2 = : : : + 18 x + : : : b (3 x − : : : )(3 x + : : : ) = 9 x 2 − 9 4 c ( x + : : : )( : : : − 1) = 3 x 2 + : : : − 2 d ( : : : − : : : ) 2 = : : : − 24 x + 9 E.8174 Compléter les pointillés ci-dessous afin d’obtenir les identités : a 2 x + 4 2 = 4 x 2 + 16 x + : : : b 3 x + 1 2 = : : : + 6 x + 1 c x − 2 2 = : : : − 4 x + 4 d 4 + 5 x 2 = 16 + 40 x + : : : e x − 3 2 = x 2 − 6 x + : : : E.9687 Développer et réduire les expressions suivantes : a 1 2 x + 3 4 2 b 4 3 x − 6 5 2 c 1 2 x + 1 2 1 2 x − 1 2 6. Développer E.691 Donner la forme développée et réduite des différentes expressions littérales suivantes : a ( x + 1) 2 + (2 x − 1) 2 b 2 x + 1 + (4 x − 3) 2 c 3 + (5 + x ) 2 d ( x + 1)( x − 1) (2 x − 3) E.11529 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a 2 x − 2 2 + 3 2 x − 1 b 6 x + 3 2 − 4 3 x + 2 7. Factoriser une identité remarquable E.678 On considère les expressions littérales suivantes : a 81 x 2 + 80 x + 25 b 4 x 2 − 12 x + 9 c 16 x 2 − 32 x − 16 d 36 − 4 x 2 1 Les identités remarquables permettent d’écrire les factori-sations suivantes : a 2 + 2 · ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 − 2 · ab + b 2 = ( a − b ) 2 a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) En identifiant, si possible, chacune des expressions pro-posées à l’une des identités remarquables, compléter le tableau ci-dessous : a b 2 · ab a b c d 2 Parmi les expressions proposées, lesquelles peuvent être factorisées? On donnera alors leur forme factorisée. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8182 sacados/8182 chapExoCorrec/8176 sacados/8176 chapExoCorrec/438 sacados/438 chapExoCorrec/8177 sacados/8177 chapExoCorrec/11528 sacados/11528 chapExoCorrec/681 sacados/681 chapExoCorrec/8174 sacados/8174 chapExoCorrec/9687 sacados/9687 chapExoCorrec/691 sacados/691 chapExoCorrec/11529 sacados/11529 chapExoCorrec/678 sacados/678
E.9690 On considère les expressions lit-térales suivantes : a 25 x 2 + 20 x + 4 b 9 x 2 + 18 x + 9 c 4 x 2 − 12 x + 9 d 25 x 2 − 16 1 Les identités remarquables permettent d’effectuer les fac-torisations suivantes : a 2 + 2 · ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 − 2 · ab + b 2 = ( a − b ) 2 a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) En identifiant, si possible, chacune des expressions pro-posées à l’une des identités remarquables, compléter le tableau ci-dessous : a b 2 · ab a b c d 2 Parmi les expressions proposées, lesquelles sont fac-torisées? On donnera alors leur forme factorisée. E.5175 1 Parmi les trois expressions ci-dessous une seule a été obtenue par le développement d’une identité remar-quable? Laquelle? Préciser l’expression de départ : a 4 x 2 + 6 x + 9 b 4 x 2 + 24 x + 9 c 4 x 2 + 12 x + 9 2 Même question avec les expressions : a x 2 − 64 x + 64 b x 2 − 16 x + 64 c x 2 − 8 x + 64 3 Même question avec les expressions : a 9 x 2 +15 x +25 b 9 x 2 +30 x +25 c 9 x 2 +6 x +25 E.9676 Factoriser chacune des expressions suivantes : a 9 x 2 − 12 x + 4 b x 2 + 2 x + 1 E.2237 Factoriser chacune des expressions littérales suivantes : a 25 x 2 − 40 x + 16 b 81 x 2 − 90 x + 25 c 49 x 2 + 84 x + 36 d 100 x 2 − 25 E.2236 Factoriser chacune des expressions littérales suivantes : a x 2 − 16 b x 2 − 10 x + 25 c x 2 − 2 x + 1 d x 2 + 14 x + 49 E.9664 Factoriser les expressions algébriques suivantes : a x 2 − 20 x + 100 b x 2 − 4 x + 4 c x 2 − 9 d x 2 + 12 x + 36 E.9663 Factoriser les expressions littérales suivantes : a x 2 + 2 3 · x + 1 9 b 1 4 · x 2 − 1 9 c 1 9 x 2 − 2 15 x + 1 25 d 1 4 x 2 − 1 3 x + 1 9 E.702 Factoriser, si possible , les expres-sions littérales suivantes en mettant en avant votre démarche : a 4 x 2 − 24 x + 9 b 9 + 24 x − 16 x 2 c 64 x 2 − 9 d 9 x 2 + 30 x + 25 e 9 x 2 + 12 x + 4 f 16 x 2 + 20 x + 25 E.2238 Factoriser, si possible , les expres-sions littérales suivantes : a 25 x 2 − 50 x + 25 b 4 x 2 + 1 c 100 x 2 + 140 x + 49 d 4 x 2 + 24 x + 9 E.9669 Factoriser les expressions suivantes : b 4 x 4 − 9 a x 4 − 4 x 2 + 4 b 9 x 4 − 12 x 2 + 4 E.5903 Factoriser les expressions suivantes : a − x 2 − 4 x − 4 b − x 2 + 6 x − 9 c − 9 x 2 + 12 x − 4 d − 25 x 2 + 20 x − 4 8. Factorisation: un peu plus loin E.700 Factoriser les expressions suivantes. Aucune justification particulière n’est demandée : b ( x + 2) 2 − 9 b 25 x 2 − 9 − (5 x + 3)(5 − x ) E.674 Factoriser les expressions suivantes, aucune explication n’est demandée : a (3 x + 1) 2 − (2 − 2 x ) 2 b 25 x 2 − 4 − (5 x + 2)(5 x − 4) E.689 Sans justification, factoriser les ex-pressions suivantes : a 25 x 2 − 36 + (2 − x )(5 x − 6) b (2 x + 5) 2 − (1 − x ) 2 E.449 Factoriser les expressions suivantes : a (2 x − 8)(7 x + 1) − 16 + x 2 b 18 x 2 − 24 x + 8 + (3 x − 2)(2 − x ) E.8514 Établir la factorisation suivante : 3 2 x + 1 + x − 1 2 = x + 2 2 E.8515 Déterminer la valeur des réels a et b réalisant la factorisation : 2 x + 1 4 x + 3 + x + 1 2 = ax + b 2 E.10562 Établir : ( x + a )( x + a + 2) + 1 = ( x + a + 1) 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9690 sacados/9690 chapExoCorrec/5175 sacados/5175 chapExoCorrec/9676 sacados/9676 chapExoCorrec/2237 sacados/2237 chapExoCorrec/2236 sacados/2236 chapExoCorrec/9664 sacados/9664 chapExoCorrec/9663 sacados/9663 chapExoCorrec/702 sacados/702 chapExoCorrec/2238 sacados/2238 chapExoCorrec/9669 sacados/9669 chapExoCorrec/5903 sacados/5903 chapExoCorrec/700 sacados/700 chapExoCorrec/674 sacados/674 chapExoCorrec/689 sacados/689 chapExoCorrec/449 sacados/449 chapExoCorrec/8514 sacados/8514 chapExoCorrec/8515 sacados/8515 sacados/10562
9. Equation: développement d’identités remarquables E.11463 Résoudre les équations : a x − 2 2 − x 2 + 4 = 0 b 2 x + 3 2 − 4 x 2 − 1 = 0 E.11462 Résoudre les équations : a x + 4 4 x + 5 − 2 x + 5 2 = 0 b x − 3 2 − x − 5 x + 3 = 0 10. Equation: rappels équation-produit nulle E.11461 Résoudre les équations : a x 2 − 4 x = 0 b 5 x 2 + 3 x = 0 Indication : on factorisera le membre de gauche pour obtenir une équation-produit nulle. 11. Équation: factorisation d’identité remarquable E.5329 Résoudre les équations : a 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 b x 2 − 10 x + 25 = 0 c 4 x 2 − 9 = 0 Indication : on factorisera à l’aide des identités remar-quables afin d’obtenir une équation-produit nulle E.9689 Résoudre les équations : a 9 x 2 − 12 x + 4 = 0 b 25 x 2 − 9 = 0 c 4 x 2 + 20 x + 25 = 0 Indication : on factorisera à l’aide des identités remar-quables afin d’obtenir une équation-produit nulle E.11459 Résoudre les équations : a 81 x 2 − 18 x = − 1 b x 2 + 5 x − 5 = 3 x − 6 Indication : on factorisera à l’aide des identités remar-quables afin d’obtenir une équation-produit nulle E.11530 Résoudre les équations : a 16 x 2 + 9 = 24 x b 10 x + 1 = − 25 x 2 Indication : on factorisera à l’aide des identités remar-quables afin d’obtenir une équation-produit nulle. E.9688 Résoudre les équations ci-dessous. Pour cela, utiliser une factorisation pour obtenir une équa-tion produit nul. a 10 x 2 + 30 x + 30 = x 2 + 5 b x 2 + 1 = 2 x c 16 x 2 + 4 x + 3 = 4 x + 7 E.9675 Résoudre les équations : a x + 3 2 − 4 x 2 b ( x + 1) 2 − (2 x − 3) 2 = 0 E.9680 On considère l’expression al-gébrique : B =(5 x − 7) 2 − 3 2 1 Déterminer la forme factorisée de l’expression B . 2 Trouver une valeur de x pour laquelle B =0 . 12. Équation: développement, identité remarquable E.11464 Résoudre les équations : a x + 2 4 x + 5 = x + 1 b 3 x + 1 2 + (2 x + 3)(8 x + 5) = 0 Indication : développer les expressions, puis factoriser avec une identité remarquable afin d’obtenir une équation-produit nulle. E.11465 Résoudre les équations : a 3 x + 1 2 + (2 x − 2)(8 x + 5) = 0 b (4 x − 1) 2 + ( x + 4)(9 x + 2) = 0 Indication : développer les expressions, puis factoriser avec une identité remarquable afin d’obtenir une équation-produit nulle. https://chingmath.fr chapExoCorrec/11463 sacados/11463 chapExoCorrec/11462 sacados/11462 chapExoCorrec/11461 sacados/11461 chapExoCorrec/5329 sacados/5329 chapExoCorrec/9689 sacados/9689 chapExoCorrec/11459 sacados/11459 chapExoCorrec/11530 sacados/11530 chapExoCorrec/9688 sacados/9688 chapExoCorrec/9675 sacados/9675 chapExoCorrec/9680 sacados/9680 chapExoCorrec/11464 sacados/11464 chapExoCorrec/11465 sacados/11465
E.11466 Résoudre les équations : a (3 x + 7) 2 − ( x + 4)(5 x + 10) = 0 b (8 x − 2) 2 − (3 x − 1)(5 x + 5) = 0 Indication : développer les expressions, puis factoriser avec une identité remarquable afin d’obtenir une équation-produit nulle. 13. Équation: facteur commun, identité remarquable E.832 Modifier les équations proposées afin d’obtenir des équations-produits nulles, puis les résoudre : b 16 x 2 + 24 x + 9 = (3 x − 2) 2 E.11460 Résoudre les équations suivantes : a ( x + 1)(2 x − 3) = 4 x 2 − 9 b ( x + 1)(2 x − 3) = x 2 − 1 E.8933 On considère l’expression : A = 3 x + 1 3 x + 8 + 3 x + 1 x − 2 − 9 x 2 − 1 1 Mettre l’expression A sous la forme d’un produit de deux facteurs. 2 Pour quelles valeurs de x cette expression s’annule-t-elle? 14. Expression rationnelle E.8507 Établir l’identité suivante : x +2 x +1 − x +2 2 x +3 = x +2 2 x +1 2 x +3 E.8512 1 Déterminer les valeurs des réels a et b réalisant l’identité: 2 x + 3 x − 2 x + 3 3 x + 3 = ax + b 2 x 3 x + 3 2 Déterminer les valeurs des réels c et d réalisant l’identité: 5 x + 2 2 x + 1 − 3 x − 2 3 x + 1 = cx + d 2 2 x + 1 3 x + 1 E.8513 On considère l’expression A définie par : A = 2 x + 3 x + 1 + x + 1 Écrire l’expression A sous la forme d’un quotient dont le numérateur est le carré d’un polynôme du premier degré. 15. Problèmes E.5681 Ci-dessous est rappelé le développe-ment des identités remarquables : ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ; ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 Utiliser ces identités remarquables pour déterminer par un calcul mental la valeur des calculs ci-dessous : a 21 2 b 29 2 c 21 × 19 d 34 × 26 E.5263 On considère le rectangle ABCD représenté ci-contre dont les dimensions, dépendant d’une valeur indéterminée x , sont 5 − x et 4 x − 2 exprimées en centimètre. Déterminer les valeurs possibles de x afin que l’aire de ABCD , exprimé en cm 2 , soit égale au périmètre de ABDC , exprimé en cm . E.8190 On considère la figure ci-dessous grisée et on note son aire A : (les mesures sont exprimées en centimètre) Elle est composée : du carré AEFG , de deux rectangles ABCD et CIFH . Déterminer la ou les valeurs de x afin que l’aire A ait pour valeur 7 cm 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/11466 sacados/11466 chapExoCorrec/832 sacados/832 chapExoCorrec/11460 sacados/11460 chapExoCorrec/8933 sacados/8933 chapExoCorrec/8507 sacados/8507 chapExoCorrec/8512 sacados/8512 chapExoCorrec/8513 sacados/8513 chapExoCorrec/5681 sacados/5681 chapExoCorrec/5263 sacados/5263 ABCD4x−25−x chapExoCorrec/8190 sacados/8190 ABCDEFGHI2xx4cm4cm
Indication : toute trace de recherche ou de prise d’initiative sera prise en compte dans l’évaluation. E.3376 Indication : dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Aïssa affirme : ˇPour tout nombre entier naturel n , l’expression 2 n 2 − 6 n +4 est toujours le carré d’un entier.ı A-t-il raison? E.459 Soit x un nombre réel strictement supérieur à 9 . Déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles le triangle ABC est rectangle. E.3760 Indication : dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Anatole affirme : ˇPour tout nombre entier naturel n , l’expression n 2 − 24 n +144 est toujours différente de zéro.ı A-t-il raison? E.2937 Dans le plan, on consid-ère deux triangles ABC et EDC rectangles respective-ment en A et D tels que les points A , C , D soient alignés. On note x la distance, en centimètres, séparant les points A et C . 1 Exprimer en fonction de x la longueur du segment [ BC ] . 2 a Résoudre l’équation: x 2 +4=(5 − x ) 2 +16 b En déduire la longueur du segment [ AC ] afin que les longueurs CB et CE soient égales. Justifier votre dé-marche. E.2864 On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm . 1 a Lorsque la boîte sera construire, le nombre x représentera quelle dimension? La longueur, la largeur ou la hauteur? b Quelles valeurs peuvent prendre la variable x dans ce problème? c Donner l’expression du volume V en fonction de la valeur de x . 2 Dans cette question, nous cherchons pour quelles valeurs de ˇ x ı, cette boîte possède un volume égal à 144 cm 3 : a Déterminer la valeur des réels de a et de b vérifiant la factorisation suivante : 4 x 3 − 52 x 2 + 160 x − 144 = ( a · x + b )(2 x − 4) 2 b En déduire les valeurs de x pour lesquelles V ( x ) a pour valeur 144. E.10433 Indication : Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Thomas affirme : ˇPour tout nombre entier naturel n , l’expression 6 n 2 − 18 n +16 est toujours le carré d’un entier.ı A-t-il raison? E.4646 Un agriculteur dispose de 200 mètres de clôture. À l’aide de toute la clôture, il souhaite entourer la plus grande partie de forme rectangulaire de son champ. On note x et y la longueur et la largeur respectives de cette partie rectangulaire. 1 Établir l’identité: x · y = 1 4 · ( x + y ) 2 − 1 4 · ( x − y ) 2 2 a Quelle relation doit vérifier x et y afin que l’aire de son champ soit maximale? b En déduire l’aire maximale de son champ. 16. Etude de fonctions et identités remarquables E.444 On considère les deux fonctions f et g définies par : f ( x ) = x 2 ; g ( x ) = 2 x − 1 1 À l’aide de votre calculatrice, donner les abscisses des points d’intersections des deux courbes C f et C g représen-tatives des fonctions f et g . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3376 sacados/3376 chapExoCorrec/459 sacados/459 x110x−1ABC chapExoCorrec/3760 sacados/3760 Centres Etrangers II Juin 2009 chapExoCorrec/2937 sacados/2937 ABCDE2cm4cmxcm5cm chapExoCorrec/2864 sacados/2864 16cmxx10cm chapExoCorrec/10433 sacados/10433 chapExoCorrec/4646 sacados/4646 chapExoCorrec/444 sacados/444
2 a Retrouver le résultat de la question précédente en résolvant l’équation: x 2 = 2 x − 1 b Déterminer les coordonnées du point d’intersection des courbes C f et C g . E.9721 On considère les deux fonctions f et g définies par : f ( x ) = − 2 x − 2 ; g ( x ) = 4 x 2 + 6 x + 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormal, on note respectivement C f et C g les courbes représentatives des fonc-tions f et g . La courbe C g est donnée ci-dessous : 1 Résoudre l’équation: f ( x )= g ( x ) 2 Donner, s’ils existent, les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . E.4450 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation: f ( x ) = − 1 2 (4 x + 7)( x + 2) + x 2 + 4 x + 7 Dans le repère O ; I ; J orthogonal ci-dessous sont représen-tés la courbe C f de la fonction f : 1 Répondre graphiquement aux questions suivantes : a Déterminer l’image du nombre − 3 par la fonction f . Justifier votre réponse. b Déterminer l’ensemble des antécédents du nombre 0 par la fonction f . Justifier votre réponse. 2 a Développer l’expression : − 1 2 (4 x + 7)( x + 2) + x 2 + 4 x + 7 b En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x )=0 . 3 a Factoriser l’expression x 2 +4 x +4 . b En déduire la factorisation de l’expression : − 2 x − 7 2 ( x + 2) + x 2 + 4 x + 4 c En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9721 sacados/9721 -4-3-2-12I2JOCf chapExoCorrec/4450 sacados/4450 -4-3-2-1I-2-123JO
E.4561 On considère les deux fonc-tions f et g définies sur − 1 ; + ∞ dont les images d’un nom-bre x sont définies par les relations : f ( x ) = 5 x + 3 5 x + 5 ; g ( x ) = x 2 x 2 + 1 Dans le repère O ; I ; J , sont tracés les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g : 1 Établir l’égalité suivante : g ( x ) − f ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 ( x 2 + 1)(5 x + 5) 2 a Justifier que 3 est une solution de l’équation: f ( x ) = g ( x ) . b Déterminer les valeurs des réels a et b vérifiant l’égalité suivante : 2 x 2 − 5 x − 3 = ( x − 3)( a · x + b ) 3 En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = g ( x ) E.1016 On considère les fonctions f et g dont les images d’un nombre x sont définies par : f ( x ) = 6 x + 4 x 2 + 2 ; g ( x ) = 3 x − 2 3 x − 1 Dans le repère O ; I ; J ci-dessous, sont données les courbes représentatives des fonctions f et g : On répondra aux questions suivantes par des calculs al-gébriques ; les représentations sont là pour vérifier vos résul-tats : 1 a Justifier que la fonction f est définie sur R . b Déterminer l’image du − 5 2 nombre par la fonction f . c Déterminer les antécédents du nombre 2 par la fonc-tion f . 2 a Donner l’ensemble de définition de la fonction g . b Déterminer par la fonction g l’ensemble des antécé-dents de − 1 . 3 Déterminer les coordonnées des points d’intersections des courbes C f et C g . E.4445 Dans le repère ( O ; I ; J ) orthogo-nal représenté ci-dessous, la courbe C f est la représentation graphique d’une fonction f définie sur R \{− 1 } : 1 a Déterminer, graphiquement, l’image du nombre 1 par la fonction f . Justifier votre réponse. b Résoudre, graphiquement, l’équation f ( x )=0 . 2 L’image d’un nombre x par la fonction f est donnée par la relation: f ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 + x − 2 x + 1 a Justifier que la fonction f admet pour ensemble de définition R \{− 1 } . b Justifier, par le calcul, la valeur de l’image du nombre 1 . c Établir les égalités suivantes : 2 x 3 + 5 x 2 + x − 2 x + 1 = 2 x 2 + 3 x − 2 = ( x + 2)(2 x − 1) d Résoudre, par le calcul, l’équation f ( x )=0 . 17. Indentités remarquable et racine carrées E.762 On considère les deux nombres ci-dessous : A = 1 + 3 ; B = 3 − 3 Effectuer les calculs suivants : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4561 sacados/4561 fichierPlus/4561/diapoCorrection.pdf -12345678IJOCgCf chapExoCorrec/1016 sacados/1016 -4-3-2-12345678910I-3-2-12345JOCfCgCg chapExoCorrec/4445 sacados/4445 -3-2-12I-4-2246JOCf chapExoCorrec/762 sacados/762
a A 2 b B 2 c A × B d A + B Donner les résultats sous la forme a + b c où a , b et c sont des entiers. E.735 Effectuer les calculs suivants en util-isant les identités remarquables et donner le résultat sous la forme la plus simple possible : a 5 + 2 2 b 3 − 5 3 + 5 c 9 − 2 2 d 2 − 3 2 + 3 E.731 Développer les calculs ci-dessous et donner leurs résultats sous la forme a + b c , où a , b , c sont des entiers avec c le plus petit possible : a 3 − 2 2 b 5 − 3 2 − 5 + 3 2 E.253 Développer puis simplifier chacune des expressions ci-dessous : a 2 2 + 3 3 2 b 2 + 5 + 6 2 5 − 6 c 5 − 2 7 1 − 7 d 1 + 2 3 2 E.740 On considère l’expression : E = 7+1 2 + 7 − 1 2 1 Après avoir développé les carrés, montrer que E est un nombre entier. 2 En déduire la nature d’un triangle dont les côtés mesurent respectivement, en centimètres, 7+1 , 7 − 1 et 4; justifier votre réponse. E.293 Soit a et b deux nombres tels que a 0 et b 0 : 1 Développer: ( a − b ) 2 2 Quel est le signe de : ( a − b ) 2 3 En déduire : a + b 2 a × b E.263 1 a Établir l’égalité suivante : 1 − 2 2 2 =9 − 4 2 b En déduire une expression simplifiée de 9 − 4 2 . 2 Démontrer l’égalité suivante : 37+12 7 =3+2 7 18. Systèmes d’équations non-linéaires et identités remarquables E.8197 1 Résoudre le système : x + y = 2 x × y = 1 2 Résoudre le système : x + 2 y = 4 x × y = 2 3 Résoudre le système : x + 3 y = − 6 x × y = 3 E.8198 1 Résoudre le système : 4 x + 49 y = 28 x × y = 1 2 Résoudre le système : 8 x + 9 y = 24 x × y = 2 3 Résoudre le système : 50 x + 6 y = − 60 x × y = 3 E.8199 Déterminer les dimensions d’un rect-angle tel que : son périmètre mesure 16 m son aire mesure 16 m 2 19. Partage E.706 Factoriser les expressions suivantes. a 4 x 2 + 4 x + 1 b 9 x 2 − 24 x + 16 c 4 x 2 − 81 d ( x + 1)( x − 3) + 2( x + 1) E.695 Factoriser les expressions littérales suivantes en mettant en avant votre démarche : a 9 x 2 + 30 x + 25 b 64 x 2 − 49 c ( x + 1) 2 − (2 − 3 x )( x + 1) d (2 x − 1)(3 x + 4) + (2 x − 1) E.3763 Factoriser chacune des expressions suivantes : a 49 x 2 − 42 x + 9 b 16 x 2 − 1 c (5 x + 2)(3 − 2 x ) − (5 x + 2)( x + 1) d (9 x − 4) 2 − (9 x − 4) 20. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/735 sacados/735 chapExoCorrec/731 sacados/731 chapExoCorrec/253 sacados/253 chapExoCorrec/740 sacados/740 Centres etrangers - Juin 2004 - 3 points chapExoCorrec/293 sacados/293 chapExoCorrec/263 sacados/263 chapExoCorrec/8197 sacados/8197 chapExoCorrec/8198 sacados/8198 chapExoCorrec/8199 sacados/8199 chapExoCorrec/706 sacados/706 chapExoCorrec/695 sacados/695 chapExoCorrec/3763 sacados/3763
E.8395 Indication : dans cet exercice, nous établissons l’identité de Brahmagupta Pour tous nombres réels a , b , c , d , établir l’identité ci-dessous : a 2 + b 2 c 2 + d 2 = ac + bd 2 + ad − bc 2 E.836 Développer et réduire les expressions suivantes : a ( x + 1) 2 b 2 − 2 x 2 + 2 x Factoriser les expressions suivantes : c 9 x 2 − 12 x + 4 d 2 x 2 − 1 Résoudre l’équation suivante : e ( x − 1)(2 x + 5) = 0 E.9684 Résoudre les équations : a (2 x − 3)(5 x + 4) = (2 x − 3)(3 − 2 x ) b (2 x + 1) 2 = (2 x + 1)(3 x − 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/8395 sacados/8395 chapExoCorrec/836 sacados/836 chapExoCorrec/9684 sacados/9684