Seconde / Milieu d'un segment et norme d'un vecteur 66 exercices (100% corrigés)

a
ChingQuizz : 7 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Autour de la longueur E.941 On considère le plan muni du repère ( O ; I ; J ) orthonormé ci-dessous : 1 Le but de cette question est de déterminer la longueur du segment [ CD ] : a Donner les coordonnées des points C et D . b Placer le point E (14 ; − 2) . Quelle est la nature du triangle CDE ? c Donner les mesures des segments [ CE ] et [ ED ] . d À l’aide du théorème de Pythagore, déterminer la longueur du segment [ CD ] . 2 Placer les points F ( − 2 ; 4) et G (13 ; − 4) dans le repère. Par une démarche similaire, montrer que : FG =17 3 Soient A et B deux points quelconques du plan de coor-données respectives ( x A ; y A ) et ( x B ; y B ) . Justifier que la distance AB en fonction de x A , x B , y A et y B s’exprime par : AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 4 Utiliser la formule pour établir que : CG = 125 E.8294 On considère le plan muni du repère O ; I ; J représenté ci-dessous : 1 a Placer les points A et B de coordonnées : A ( − 3 ; 5 ; − 2 ; 5) ; B (1 ; 5 ; − 2 ; 5) b Donner, graphiquement, la longueur du segment [ AB ] . 2 a Placer les points D et C de coordonnées : C (3 ; 5 ; − 3) ; D (3 ; 5 ; 1) b Donner, graphiquement, la longueur du segment [ CD ] . 3 a Placer les points E et F de coordonnées : E ( − 4 ; − 2) ; F (1 ; 2) b Donner la mesure exacte du segment [ EF ] . Indication : toutes traces de recherche ou de prise d’initiative seront prises en compte dans l’évaluation de l’exercice 2. Normes de vecteurs E.8295 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les six points représentés ci-dessous : 1 Donner la mesure, en centimètre, de l’unité du repère. 2 a Le segment [ AB ] a été subdivisé en 5 parties égales. Vérifier que le segment [ AB ] mesure 5 unités. b Par lecture graphique, compléter les pointillés ci-dessous : x A = : : : ; y A = : : : ; x B = : : : ; y B = : : : c Donner la valeur de l’expression ci-dessous : x B − x A 2 + y B − y A 2 Proposition: on considère le plan muni d’un repère or-thonormé et A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) . La distance AB a pour valeur: AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 2 a Compléter les pointillés afin d’obtenir l’expression donnant la mesure du segment [ CD ] : https://chingmath.fr quizzChap/1175 chapExoCorrec/941 sacados/941 -22468101214I-4-224JOCD chapExoCorrec/8294 sacados/8294 -5-4-3-2-12345I-3-2-12JO chapExoCorrec/8295 sacados/8295 -4-3-2-12I-2-1JOABCD
CD = : : : − : : : 2 + : : : − : : : 2 b Donner la mesure du segment [ CD ] . E.11473 Rappel: dans le plan muni d’un repère orthonormé, on con-sidère les deux points A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) . Le vecteur −−→ AB a pour coordonnées : −−→ AB x B − x A y B − y A Proposition: dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère un vecteur −→ u de coordonnées −→ u x y . La norme du vecteur −→ u a pour valeur: −→ u = x 2 + y 2 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points : A (2 ; − 10) ; B (20 ; 14) ; C (23 ; 10) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB , −→ AC et −−→ BC . 2 Etablir les normes : −−→ AB = 30 ; −→ AC = 29 ; −−→ BC = 25 E.11474 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points : A ( − 3 ; − 4) ; B (2 ; 8) ; C (12 ; 32) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB , −→ AC et −−→ BC . 2 Etablir les normes : −−→ AB = 13 ; −→ AC = 39 ; −−→ BC = 26 E.9601 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les deux points : E ( − 1 ; − 2) ; F (2 ; 5 ; − 1 ; 5) . Déterminer la longueur EF . E.8296 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les deux points A et B dont les coordonnées sont : A 11 3 ; 3 ; B 5 3 ; 3 2 Déterminer la mesure du segment [ AB ] . 3. Longueur et triangle isocèle E.4523 Dans le plan muni du repère O ; I ; J orthonormé, on con-sidère les trois points A , B et C de coordonnées : A ( − 3 ; − 2) ; B (2 ; 0) ; C ( − 1 ; 3) 1 a Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ AB . b En déduire que : −−→ AB = 29 2 Déterminer la norme −→ AC . 3 a Placer les points A , B et C dans le repère ci-dessus : b Justifier que le triangle ABC est isocèle en A . E.4525 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J les trois points : A (3 ; 1) ; B (1 ; 2) ; C ( − 1 ; − 2) 1 Placer les points A , B et C dans le repère ci-dessus. 2 a Déterminer les normes des vecteurs −−→ AB , −→ AC , −−→ BC . b Etablir que le triangle ABC est un triangle rectangle. On précisera le sommet de son angle droit. E.4524 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; I ; J . On considère les trois points : A (1 ; 2) ; B (2 ; − 1) ; C ( − 2 ; 1) 1 Déterminer la norme des vecteurs −−→ AB et −→ AC . 2 Etablir que le triangle ABC est isocèle en A . E.2706 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé ( O ; I ; J ) , on considère les trois points A , B , C de coordonnées respectives : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; 3) ; C 9 2 ; − 2 . 1 Déterminer les normes des vecteurs −→ AC et −−→ BC . 2 Etablir que le triangle ABC est isocèle en C . 4. Longueur et triangle rectangle https://chingmath.fr chapExoCorrec/11473 sacados/11473 chapExoCorrec/11474 sacados/11474 chapExoCorrec/9601 sacados/9601 chapExoCorrec/8296 sacados/8296 chapExoCorrec/4523 sacados/4523 -6-5-4-3-2-123456I-2-123JO chapExoCorrec/4525 sacados/4525 -123I-3-2-1234JO chapExoCorrec/4524 sacados/4524 chapExoCorrec/2706 sacados/2706
E.11531 Dans un repère O ; I ; J or-thonormé, on considère les trois points : A ( − 3 ; 5) ; B (28 ; 5 ; 13) ; C (21 ; 23) 1 Etablir les égalités suivantes : −−→ AB = 32 ; 5 ; −→ AC = 30 2 a Déterminer la longueur du segment [ BC ] . b En déduire que le triangle ABC est rectangle. E.11534 Dans un repère O ; I ; J or-thonormé, on considère les trois points : A ( − 3 ; 5) ; B (25 ; 21 ; 5) ; C (7 ; 29) 1 Etablir les égalités suivantes : −−→ AB = 32 ; 5 ; −→ AC = 26 2 a Déterminer la longueur du segment [ BC ] . b En déduire que le triangle ABC est rectangle. E.9600 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; I ; J . On considère les trois points suivants : D ( − 3 ; − 1) ; E ( − 2 ; − 2) ; F (0 ; 2) Démontrer que le triangle DEF est rectangle en D . 5. Longueur et quadrilatère E.2705 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) et les quatre points A , B , C , D de co-ordonnées respectives : A ( − 2 ; − 3) ; B (0 ; 1) C (6 ; − 2) ; D (4 ; − 6) . 1 Placer ces quatre points dans le repère ci-dessous : 2 a Déterminer les mesures exactes des quatre côtés du quadrilatère ABCD . b Établir que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. 3 Démontrer que ABCD est un rectangle. E.10623 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère les quatre points : A ( − 10 ; − 5) ; B ( − 8 ; 3) ; C (14 ; 2) ; D (12 ; 18) 1 Déterminer −→ AC et −−→ BD . 2 Établir que le quadrilatère ABCD n’est pas un rectangle. 6. Longueur et géométrie E.8039 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et le cercle C de centre A (3 ; 2) et de rayon 5 . 1 Parmi les points B (6 ; 6) et C (2 ; 7) , lesquels appartien-nent au cercle C : 2 Représenter cette configuration afin de vérifier vos réponses. E.8108 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère le cercle C de centre A ( − 3 ; − 2) et de rayon 5 , le cercle C de centre B (4 ; 1) et de rayon 3 et le point C de coordonnées C (1 ; 1) . 1 a Montrer que le point C appartient aux cercles C et C . b Montrer que le point D 56 29 ; − 34 29 est le second point d’intersection des cercles C et C . 2 Justifier que le triangle ABC n’est pas un triangle rect-angle. E.8365 Dans le plan muni d’un repère O I ; J , on considère la courbe C f représentative de la fonc-tion carrée, la droite d’équation y = − 1 4 et le point F 0 ; 1 4 . Montrer que tout point M de la courbe C f est équidistant du point F et de la droite (Δ) . Indication : on note P le projeté orthogonal du point M sur la droite Δ . 7. Introduction au milieu d’un segment https://chingmath.fr chapExoCorrec/11531 sacados/11531 chapExoCorrec/11534 sacados/11534 chapExoCorrec/9600 sacados/9600 chapExoCorrec/2705 sacados/2705 -2246I-6-4-22JO chapExoCorrec/10623 sacados/10623 chapExoCorrec/8039 sacados/8039 chapExoCorrec/8108 sacados/8108 chapExoCorrec/8365 sacados/8365 IJOCfFMP
E.489 On considère le plan muni du repère ( O ; I ; J ) et deux points A et B de coordonnées respectives ( x A ; y A ) et ( x B ; y B ) . On note I le milieu du segment [ AB ] . Sur l’axe des abscisses, le point d’abscisse x est le milieu des deux points d’abscisses x A et x B . Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du point I en fonction des coordonnées de celles des points A et B . 1 a Justifier l’égalité suivante : x − x A = x B − x b Déduire de l’égalité précédente, la valeur de x en fonc-tion de x A et x B . 2 Justifier que le point I a pour abscisse x A + x B 2 . 3 En déduire que le point I a les coordonnées suivantes : I x A + x B 2 ; y A + y B 2 8. Milieu d’un segment E.2707 Proposition: dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les deux points A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) . Le milieu M du segment [ AB ] a pour coordonnées : M x A + x B 2 ; y A + y B 2 On considère le plan muni du repère orthonormé ( O ; I ; J ) et des quatre points A , B , C et D indiqués ci-dessous : 1 Donner les coordonnées des points A , B , C . 2 a Soit K le milieu du segment [ AC ] , déterminer les coordonnées de K . b Soit L le milieu de [ BD ] , déterminer les coordonnées du point L . 3 En déduire la nature du quadrilatère ABCD . E.11499 Proposition: soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) deux points du plan muni d’un repère orthonormal. Le milieu M du segment [ AB ] a pour coordonnées : M = x A + x B 2 ; y A + y B 2 On considère le plan muni d’un repère. 1 On a les coordonnées : A ( − 3 ; 2) ; B (4 ; − 4) Déterminer les coordonnées du point M , milieu du seg-ment [ AB ] . 2 On a les coordonnées : C (3 ; 1) ; D (5 ; − 1) Déterminer les coordonnées du point N , milieu du seg-ment [ CD ] . E.10624 Dans le plan muni d’un repère, on considère les quatre points : A ( − 3 ; 4) ; B (6 ; 1) ; C (1 ; 0) ; D ( − 8 ; 3) 1 Déterminer les coordonnées des points M et N , milieux respectifs des segments [ AC ] et [ BD ] . 2 Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. E.11532 Dans le plan muni d’un repère, on considère les quatre points : A (2 ; 1) ; B ( − 3 ; − 1) ; C ( − 8 ; − 5) ; D ( − 3 ; − 3) 1 Déterminer les coordonnées des points M et N , milieux respectifs des segments [ AC ] et [ BD ] . 2 Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. E.9602 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère les points : A 1 2 ; − 3 2 ; B ( − 2 ; 0) ; C − 1 3 ; 15 7 ; D 13 6 ; 9 14 Établir que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. https://chingmath.fr chapExoCorrec/489 sacados/489 IJOABCIxAxBx chapExoCorrec/2707 sacados/2707 -3-2-1234I-3-2-123456JOABCD chapExoCorrec/11499 sacados/11499 chapExoCorrec/10624 sacados/10624 chapExoCorrec/11532 sacados/11532 chapExoCorrec/9602 sacados/9602
9. Longueur et milieu E.8038 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère le cercle C et deux points A (2 ; 1) et B (10 ; 7) diamétralement opposés sur le cercle C . Déterminer les coordonnées du point M centre du cercle C et la mesure du rayon du cercle. E.8072 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les trois points : A (2 ; 4 ; 2) ; B (1 ; 4 ; − 3) ; C (3 ; − 2 ; 8) 1 Déterminer la mesure du segment [ AB ] . 2 On admet les mesures suivantes : BC = 2 ; 6 ; AC = 23 ; 4 Justifier que le triangle ABC est un triangle rectangle. 3 On considère le point D (0 ; 8 ; 1 ; 8) . Montrer que le quadri-latère ACBD est un rectangle. E.8061 Dans un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les deux points : A (1 ; 2) ; B (1 ; − 3) ; C (3 ; 4 ; 0 ; 2) 1 Justifier que la droite ( AB ) est parallèle à l’axe des or-données. On admet les mesures suivantes : AB =5 ; AC =3 2 Établir que le triangle ABC est rectangle en C . 3 Déterminer les coordonnées du milieu du segment [ BC ] . E.8426 Dans un repère O ; I ; J or-thonormé, on considère les trois points : A (5 ; − 2) ; B ( − 1 ; 3) ; C (2 ; 2 ; 4 ; 9) 1 Déterminer la longueur du segment [ AB ] . 2 Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [ BC ] . E.2709 On considère les quatre points suivants caractérisés par leurs coordonnées dans un repère ( O ; I ; J ) orthonormé : A ( − 4 ; − 1) ; B ( − 3 ; − 4) ; C (3 ; − 2) ; D (2 ; 1) Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. E.950 On considère un repère or-thonormé ( O ; I ; J ) . L’unité choisie est le centimètre . 1 Placer les points : A (2 ; 2) ; B ( − 4 ; 5) ; C ( − 4 ; − 2) 2 a Montrer que AC est égale à 52 cm . b Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier. 3 a Déterminer les coordonnées du milieu K de [ AB ] . b La droite ( CK ) est-elle la médiatrice du segment [ AB ] ? Justifier. E.923 1 Dans un repère orthonormé ( O ; I ; J ) , placer les points : A ( − 3 ; 1) ; B − 3 2 ; 5 2 ; C (3 ; − 2) ; D 3 2 ; − 7 2 2 Montrer que : AC = 45 . 3 Démontrer que ABC est un triangle rectangle en B . 4 Établir que le quadrilatère ABCD est un rectangle. 10. Milieu et recherche des coordonnées d’un point E.917 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) et les points suivants déterminés par leurs coordonnées : A ( − 4 ; 1) ; B (1 ; 3) ; C ( − 2 ; − 3) . 1 Placer sur le repère ci-dessus les points A , B , C . 2 Déterminer les coordonnées du point K milieu du seg- ment [ AC ] . 3 Cherchons les coordonnées du point D ( x D ; y D ) afin que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme: a Justifier que les coordonnées du point D doivent véri-fier les deux égalités suivantes : 1 + x D 2 = − 3 ; 3 + y D 2 = − 1 b Déduire des égalités suivantes les coordonnées du point D ; puis, placer ce point dans le repère. E.511 Dans un repère O ; I ; J du plan, on considère les points : A (3 ; 1) ; B ( − 4 ; 2) ; C ( − 1 ; 4) 1 On considère le point D image du point C par la symétrie de centre B . Déterminer les coordonnées du point D . 2 Soit E le point du plan tel que les segments [ AC ] et [ BE ] aient même milieu. Déterminer les coordonnées du point E . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8038 sacados/8038 chapExoCorrec/8072 sacados/8072 chapExoCorrec/8061 sacados/8061 chapExoCorrec/8426 sacados/8426 chapExoCorrec/2709 sacados/2709 chapExoCorrec/950 sacados/950 Groupe Ouest - Juin 2004 - 3,5 points chapExoCorrec/923 sacados/923 chapExoCorrec/917 sacados/917 IJO chapExoCorrec/511 sacados/511
E.11533 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère trois points A (5 ; 2 ; 3 ; 1) , B ( − 3 ; 5 ; 4 ; 7) , C . Déterminer les coordonnées du point C pour que le point B soit le milieu du segment [ AC ] . Indication : on laissera une trace de ses recherches et de ses calculs. E.11590 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère trois points A ( − 3 ; 2 ; 1 ; 7) , B (9 ; 5 ; − 4 ; 2) , C . Déterminer les coordonnées du point C pour que le point B soit le milieu du segment [ AC ] . Indication : on laissera une trace de ses recherches et de ses calculs. E.522 Dans un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, on considère les trois points A , B et C de coordonnées : A (2 ; 1) ; B ( − 3 ; − 1) ; C (1 ; − 3) 1 Déterminer la mesure de la longueur AB . 2 On note K le milieu du segment [ AC ] . Déterminer les coordonnées du point K . 3 Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadri-latère ABCD soit un parallélogramme. E.9622 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A (3 ; 25 ; − 1 ; 5) ; B (1 ; 1 ; 5) ; C (4 ; − 0 ; 75) 1 Montrer que le triangle ABC est isocèle en B . 2 On admet que le segment [ AC ] admet pour milieu le point K (3 ; 625 ; − 1 ; 125) a Déterminer les coordonnées du point D afin que le seg-ment [ BD ] admette le point K pour milieu. b En déduire la nature du quadrilatère ABCD en justi-fiant votre réponse. 11. Relations entre quadrilatères E.4602 Remarque: les relations entre les quadri-latères particuliers sont disponibles dans le doc-ument ci-joint : On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J et les points : A ( − 2 ; 3) ; B (4 ; 5) ; D ( − 1 ; 0) 1 Déterminer les coordonnées de l’unique point C du plan afin que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. 2 Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. E.9603 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J et les points : A ( − 2 ; 3) ; B (4 ; 5) ; E (2 ; 1) ; F (0 ; 7) 1 Démontrer que le quadrilatère AEBF est un parallélo-gramme. 2 Démontrer que le parallélogramme AEBF est un losange. 3 Démontrer que le losange AEBF est un carré. E.9621 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormal, on considère les quatre points A , B , C , D dont les coordonnées sont : A ( − 2 ; 1) ; B (2 ; 5 ; − 0 ; 5) ; C (3 ; 1) ; D ( − 1 ; 5 ; 2 ; 5) On admet que : AC = 5 . 1 Démontrer que le milieu I du segment [ BD ] a pour coor-données : I (0 ; 5 ; 1) 2 Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. 3 Démontrer que le parallélogramme ABCD est un rectan-gle. Remarque: le repère ci-dessous pourra vous aider à véri-fier vos résultats : E.4593 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. On considère les quatre points : A (3 ; 2) ; B (9 ; 5) ; C (1 ; 6) 1 Déterminer les coordonnées du point D afin que le quadri-latère ABCD soit un parallélogramme. 2 On considère le point E (7 ; 9) . Démontrer que le quadri-latère ABEC est un rectangle. E.4814 On munit le plan d’un repère O ; I ; J . On considère alors les deux points A , B et le vecteur −→ u définis par : A (0 ; − 4) ; B (2 ; 4) ; −→ u ( − 6 ; 10) On définit le point C comme l’image du point A par la trans-lation du vecteur −→ u . 1 Justifier que le point C a pour coordonnées ( − 6 ; 6) . 2 Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. On admet les mesures : AB =2 17 ; AC =2 34 3 Déterminer la nature du quadrilatère ABCD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11533 sacados/11533 chapExoCorrec/11590 sacados/11590 chapExoCorrec/522 sacados/522 chapExoCorrec/9622 sacados/9622 chapExoCorrec/4602 sacados/4602 r569-0 chapExoCorrec/9603 sacados/9603 chapExoCorrec/9621 sacados/9621 -4-3-2-1234I-123JO chapExoCorrec/4593 sacados/4593 chapExoCorrec/4814 sacados/4814
12. Repérage et vecteur: géométrie analytique E.944 Dans un repère orthonormé ( O ; I ; J ) d’unité le centimètre, placer les points suivants : A (6 ; 5) ; B (2 ; − 3) ; C ( − 4 ; 0) 1 Montrer que : AB = 80 . On donne les informations supplémentaires : AC = 125 ; BC = 45 . 2 En déduire la nature du triangle ABC . Justifier la réponse. 3 Calculer l’aire du triangle ABC en cm 2 . 4 On considère le cercle circonscrit au triangle ABC . a Préciser la position de son centre appelé K et la longueur de son rayon. Justifier. Placer K . b Calculer les coordonnées de K . 5 a Calculer les coordonnées du vecteur −→ AC . b En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme. c Placer le point D . E.948 Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; I ; J . On considère les coordonnées des points suivants : A ( − 4 ; 3) ; B ( − 1 ; − 1) ; C (7 ; 5) 1 Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ AB , puis calculer la longueur du segment [ AB ] . Pour la suite du problème, on admettra que : BC = 10 ; AC = 125 2 Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 3 Calculer les coordonnées du milieu M de [ AC ] et placer le point M sur la figure ci-dessus. 4 Démontrer que : MB = MC . 5 Soit N l’image du point M par la translation de vecteur −−→ AB . a Quelle relation vectorielle vérifie le point N ? b En déduire, par le calcul, les coordonnées du point N . c Placer le point N dans le repère. 6 Démontrer que les vecteurs −−→ AM , −−→ BN et −−→ MC sont égaux. 7 Démontrer que le quadrilatère BMCN est un losange. 8 Démontrer que le triangle ABC et le losange BMCN ont la même aire. https://chingmath.fr chapExoCorrec/944 sacados/944 chapExoCorrec/948 sacados/948 -4-2246810I-2246JOABC
E.926 On considère le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé dont l’unité est le centimètre. 1 Tracer un tel repère et tout au long de l’exercice, com-pléter votre représentation. 2 Placer les points : M (1 ; 3) ; N ( − 1 ; 5) ; P ( − 3 ; 1) 3 Établir les égalités suivantes : MN = 8 ; NP = MP = 20 . 4 En déduire la nature du triangle MNP . 5 Soit A le milieu de [ MN ] . Montrer, sans calcul, que le triangle APN est rectangle. 6 Calculer les coordonnées de A . 7 Construire le point R tel que : −−→ MR = −−→ PN 8 Calculer les coordonnées du vecteur −−→ PN . 9 Déduire des questions 6 et 7 les coordonnées du point R . E.945 On considère muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) dont la représentation est donnée ci-dessous : On considère les trois points suivants : A ( − 4 ; 3) ; B (3 ; 2) ; C (1 ; − 2) Partie A 1 Placer les points A , B , C dans le repère ( O ; I ; J ) . 2 a Calculer AB . b On admet que le calcul donne : AC = 50 ; BC = 20 . Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ? 3 Soit H le milieu du segment [ BC ] . Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (2 ; 0) . 4 Justifier que la droite ( AH ) est une hauteur du triangle ABC . 5 a Prouver que : AH = 45 . b Calculer l’aire du triangle ABC Partie B 1 Calculer les coordonnées du vecteur −→ AC . 2 Le point D est l’image du point B par la translation de vecteur −→ AC . a Placer le point D . b Montrer par le calcul que D a pour coordonnées (8 ; − 3) . 3 Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier. E.916 Aucune représentation graphique n’est exigée pour la résolution de cet exercice. Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) , on con-sidère les points : A ( − 3 ; 2) ; B (0 ; 4) ; C ( − 1 ; − 1) . 1 a Donner les coordonnées du vecteur −−→ AB b Déterminer les coordonnées du point D afin que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme. 2 a Déterminer la longueur du segment [ AB ] ? b Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [ AB ] . 13. Utilisation de coordonnées non-rationnelle E.9623 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé O ; I ; J , on considère les trois points : A 3 − 2 ; 3 − 17 4 ; B 3+4 ; 3+ 1 4 C 1 − 8 3 ; − 2 + 13 3 On admet que le triangle ABC est isocèle en C . 1 Déterminer la longueur du segment [ AB ] . 2 Déterminer les coordonnées du milieu du segment [ AB ] . 3 Montrer que l’aire A du triangle ABC a pour valeur: A = 225 4 · 3 E.2740 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère les trois points suivants : A ( − 5 ; − 4) ; B (3 ; − 2) ; C − 3 − 1 ; 4 3 − 3 Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. E.2754 On considère le plan muni du repère ( O ; I ; J ) orthonormé. On considère les trois points suivants : A − 5 3 ; 1 ; B ( − 2 ; 1) ; C − 11 6 ; 1 − 3 6 1 Démontrer que : AC = 1 3 . 2 Démontrer que ABC est un triangle équilatéral. https://chingmath.fr chapExoCorrec/926 sacados/926 chapExoCorrec/945 sacados/945 -4-22468I-4-224JO chapExoCorrec/916 sacados/916 dddddd chapExoCorrec/9623 sacados/9623 chapExoCorrec/2740 sacados/2740 chapExoCorrec/2754 sacados/2754
E.2753 On considère le plan muni du repère O ; I ; J orthonormé. On considère les trois points suivants : A ( − 5 ; 2) ; B (1 ; 0) ; C − 3 − 2 ; 1 − 3 3 1 Établir l’égalité: AC = 40 . 2 Déterminer la nature du triangle ABC . E.8040 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et le cercle C de centre A ( − 3 ; 1) et de rayon 2 . Parmi les points B − 7 5 ; 11 5 et C − 2 ; 3+1 , donner le ou les points appartenant au cercle C . 14. Recherche de coordonnées et identité remarquable E.946 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; I ; J . On considère le cercle C de centre A (1 ; 1) et de diamètre 5 . Les points B et C sont les points d’intersection du cercle C avec la droite d’équation x =3 . 1 Donner les abscisses des points C et B ? 2 Justifier que l’ordonnée y C du point C vérifie l’égalité suivante : 2 2 +(1 − y C ) 2 =6 ; 25 3 On rappelle la proposition suivante : Proposition: si les carrés de nombres sont égaux alors ces deux nombres sont soit égaux, soit opposés. Qui se traduit par : x 2 = y 2 = ⇒ x = y ou x = − y En déduire les coordonnées des points C et B . E.2724 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; I ; J . On considère les deux points C et B de coordonnées respec-tives (1 ; 1) et 11 5 ; 13 5 et le cercle C de centre C et passant par le point B . On considère la droite parallèle à l’axe des ordonnées et pas-sant par le point B ; elle intercepte une seconde fois le cercle C au point A . Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du point A . 1 Déterminer la mesure du rayon du cercle C . 2 Établir que l’ordonnée du point A vérifie l’équation: 6 5 2 + y A − 1 2 = 4 3 En déduire la valeur de l’ordonnée du point A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2753 sacados/2753 chapExoCorrec/8040 sacados/8040 chapExoCorrec/946 sacados/946 -2-12345I-2-1234JOABCC chapExoCorrec/2724 sacados/2724 -2-1234I-2-1234JOABC
E.4617 Dans le plan muni du repère O ; I ; J orthonormé, on considère les points A et B : A (3 ; 1) ; B 3 5 ; − 4 5 On considère le cercle C de centre A et de rayon 3 . On complètera le repère au fur et à mesure des questions. 1 Justifier que le point B appartient au cercle C . 2 Déterminer les coordonnées des points du cercle C ayant 6 5 pour abscisse. 3 Les coordonnées du centre de gravité G d’un triangle ABC sont données par la formule : G x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 Déterminer les coordonnées du point C afin que le trian-gle ABC admette le point J pour centre de gravité. E.2741 On munit le plan d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé. On considère les trois points suivants définis par leurs coordonnées : A ( − 5 ; − 3) ; B (1 ; − 5) ; D ( − 1 ; 1) 1 Déterminer la mesure du segment [ AB ] . 2 Déterminer les coordonnées du point K milieu du seg-ment [ AD ] . 3 Soit C un point tel que le triangle ABC soit équilatéral: a Justifier que le point C vérifie chacune de ces deux équations : x C +5 2 + y C +3 2 = 40 ; x C − 1 2 + y C +5 2 = 40 b En admettant que le point C a pour abscisse − 3 − 2 , justifier que son ordonnée y C vérifie le système d’équation suivant : y C 2 + 6 y C + 21 − 6 3 = 40 y C 2 + 10 y C + 37 + 6 6 = 40 c En déduire les coordonnées du point C . 4 Déterminer les coordonnées du point M tel que le quadri-latère ABDM soit un parallélogramme. 15. Exercices non-classés E.942 Pour chaque ligne du tableau suivant, trois réponses sont proposées, désignées par les numéros 1. , 2. , 3. . Une seule est exacte. Écrire dans la colonne de droite le numéro correspondant à la bonne réponse. Toutes les questions sont indépendantes. Réponse 1. Réponse 2. Réponse 3. A. Si A (5; 1) et B (2; 3) , alors −−→ AB a pour coordon-nées : (3; − 4) (7; 2) ( − 3; 2) B. Si A (5; − 1) et B (2; 3) dans un repère orthonormé, alors AB est égal à: 5 1 7 C. Si D est l’image de E par la translation de vecteur −−→ MN , alors: −−→ MN = −−→ DE −−→ ED = −−→ MN −−→ ED = −−→ NM D. Si RSTU est un paral-lélogramme, alors −→ RS + −−→ RU est égal à: −→ TR −→ SU −→ RT E.915 1 Dans un repère orthonormé O ; I ; J dont l’unité est le centimètre, placer les trois points suivants : A (6 ; 0) ; L (0 ; 8) ; K (4 ; 10) 2 Calculer la longueur AL . 3 On donne : AK = 104 et LK = 20 . Démontrer que le triangle AKL n’est pas rectangle en L . 4 a Construire le point L , image de L par la symétrie d’axe la hauteur du triangle AKL issue de A . b En déduire la longueur AL . c Déterminer approximativement (par lecture graphique) les coordonnés de L . 5 On admet que, si x est l’abscisse d’un point M de la droite ( LK ) alors l’ordonnée de M est 1 2 x +8 : a Établir l’égalité ci-dessous : AM 2 = 5 4 x 2 − 4 x + 100 b En déduire les valeurs de x pour lesquelles, on a: AM = 10 . c Quelles sont alors les coordonnées exactes de L ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/4617 sacados/4617 -4-3-2-1234I-2-1234JO chapExoCorrec/2741 sacados/2741 chapExoCorrec/942 sacados/942 chapExoCorrec/915 sacados/915
E.927 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé représenté ci-dessous : 1 a Placer les deux points suivants : A ( − 2 ; 1) ; B (1 ; 2) b Déterminer graphiquement les coordonnées du vecteur −−→ AB . 2 a Placer les points R et C images respectives des points O et B par la translation de vecteur −−→ AB . b Donner les coordonnées des points R et C . 3 Citer deux vecteurs égaux à −−→ AB . Justifier que BCRO est un parallélogramme. 4 Recopier et compléter sans justification les égalités: −→ OA + −−→ AB = : : : ; −−→ CB + −→ CR = : : : 5 Soit K le centre du parallélogramme BCRO . Calculer les coordonnées de K . E.6690 Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les points A ( − 2 ; 5 ; 0 ; 5) , B ( − 1 ; 5 ; 2 ; 5) et C (0 ; 5 ; − 1) . 1 Placer les points A , B et C dans le repère ci-dessous. 2 Déterminer, par le calcul, les coordonnées des vecteurs −−→ AB et −→ AC . 3 Placer le point D tel que : −−→ AD = −−→ AB + −→ AC (On fera apparaître les traits de construction) 4 a Donner les coordonnées du vecteur obtenu par la somme : −−→ AB + −→ AC . b En déduire, par le calcul, les coordonnées du point D . Pour la suite, on admet que D (1 ; 5 ; 1) . 5 a Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ CD . b En déduire que le quadrilatère ABDC est un parallélo-gramme. 6 ABDC est-il un rectangle? Justifier. 7 On donne E − 3 4 ; 4 . Les points A , B et E sont-ils alignés? E.4736 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , la droite ( d ) d’équation réduite : ( d ) : y = − 3 x − 1 Déterminer les coordonnées d’un point M de la droite ( d ) tel que le triangle IJM soit rectangle en J . https://chingmath.fr chapExoCorrec/927 sacados/927 -3-2-12345I-1234JO chapExoCorrec/6690 sacados/6690 -5-4-3-2-12345I-2-1234JO chapExoCorrec/4736 sacados/4736
E.6685 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé. On considère la droite ( d ) représen-tée ci-dessous : Soit ( d ) la droite passant par les points A et B ayant pour coordonnées : A ( − 3 ; 2) ; B − 1 ; 3 2 1 Déterminer l’expression de la fonction affine f . 2 On considère la fonction affine g définie par : g ( x ) = 4 · x − 3 On note (Δ) la courbe représentative de la fonction g . a Justifier que le point de coordonnées C 1 2 ; − 1 ap-partient à la droite (Δ) . b Déterminer les coordonnées du point M d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . c Tracer la courbe représentative de la fonction g . 3 Établir que le triangle AMC est un triangle rectangle en M . E.6694 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points A , B et C de coordonnées : A ( - 1 ; 1) ; B (3 ; - 2) ; C ( - 1 ; - 4) 1 Démontrer que le triangle ABC est un triangle isocèle en A . 2 Déterminer, par le calcul, l’équation réduite de la droite ( AB ) . 3 Soit ( d ) la droite d’équation réduite : ( d ) : y = − 2 x − 1 a Déterminer les coordonnées du point K milieu du seg-ment [ BC ] . b Démontrer que la droite ( d ) est la bissectrice de l’angle CAB . E.8218 On considère les deux points G (1 ; 2) et H (4 ; 1) et la droite ( d ) d’équation : ( d ) : y = 3 x − 6 Montrer que la droite ( d ) est la médiatrice du segment [ GH ] . E.9797 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé et On considère les deux points K (3 ; 3) et L (6 ; 1) et le cercle C de diamètre [ KL ] . La droite (Δ) a pour équation : (Δ) : y = x − 2 1 Développer l’expression : 2( x − 3)(2 x − 11) . 2 Soit M un point de la droite (Δ) . Déterminer les coordon-nées des différents points M de (Δ) rendant le triangle KLM rectangle en M . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6685 sacados/6685 x-4-3-2-1012y-1123AB(d chapExoCorrec/6694 sacados/6694 xy11ABC chapExoCorrec/8218 sacados/8218 chapExoCorrec/9797 sacados/9797