Seconde / Pré-olympiade 30 exercices (100% corrigés)

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Dans ce chapitre, vous trouverez des extraits des olympiades accessibles par un élève de seconde. Plus de 30 exercices accessibles aux enseignants 1. Logique E.8342 On dispose de n pions verticalement. Ils sont noirs sur une face, blancs sur l’autre, et sont numérotés de 1 à n . Au début du jeu, chaque pion présente aléatoirement sa face noire ou sa face blanche. À chaque coup - qu’on ap-pelle une opération dans toute la suite - on retourne un des pions et tous ses voisins du dessus . Le dessin ci-contre donne l’exemple du changement qu’apporte à une configuration initiale une opération avec le troisième jeton. L’objectif du jeu est de trouver une séquence d’opérations telle que tous les pions montrent leur face blanche. 1 L’ordre dans lequel se succèdent deux opérations a-t-il de l’importance? 2 Quel est l’effet combiné de deux opérations identiques? 3 Indiquer les numéros des pions à retourner pour ne voir que des faces blanches, dans les situations représentées ci-dessous. E.8327 Une calculatrice défectueuse per-met seulement : de taper des nombres positifs ou nuls ; de faire l’opération suivante : à partir de trois nombres entrés successivement ( x ; y ; z ) , elle affiche 0 si x = y et le résultat de z x − y sinon. ( x ; y ; z ) −→ z x − y si x = y 0 si x = y l’utilisation des parenthèses qui permet de composer des calculs. 1 En détaillant les calculs, vérifier les résultats suivants donnés par la calculatrice: 0 ; 1 ; 2 ↦−→ − 2 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ↦−→ − 2 2 Que donne 2 ; 0 ; 1 , 0 ; 2 ; 1 et 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2 ? 3 Donner un calcul permettant d’obtenir − 1 . 4 Vérifier que le calcul a ; 0 ; 1 permet d’obtenir l’inverse de a pour tout a> 0 . 2. Algèbre E.8347 Pour tous entiers naturels m et n , on appelle triangle de m par n , et on note m Δ n , le nombre défini par les règles suivantes, dont on admet qu’elles sont possibles : 0Δ n = n + 1 n Δ0 = n − 1 Δ1 dès que n =0 ; n +1 Δ m +1 = n Δ ( n +1)Δ m Attention, m Δ n n’est pas nécessairement égal à n Δ m . Quelques résultats. 1 a Montrer que : 1Δ0=2 et 1Δ1=3 . b Calculer 1Δ2 . c Plus généralement, déterminer, pour tout entier na-turel n , la valeur de 1Δ n . On pourra poser u n =1Δ n et vérifier que la suite u n est arithmétique. 2 a Calculer 2Δ0 , 2Δ1 et 2Δ2 . b Justifier, que pour tout entier naturel n : 2Δ n =2 n +3 . 3 a Calculer 3Δ0 , 3Δ1 et 3Δ2 . b Démontrer que, pour tout entier naturel n , 3Δ n est égal à 2 n +3 − 3 . On pourra poser v n =3Δ n et montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 1 : v n = 2 · v n − 1 + 3 . Illustration de 3Δ n . Un artiste a illustré ainsi les valeurs 3Δ0 et 3Δ1 : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8342 sacados/8342 1234512345 12A12345B1234C1234D chapExoCorrec/8327 sacados/8327 chapExoCorrec/8347 sacados/8347
4 Tracer sur la copie une troisième figure qui viendrait logiquement compléter cette suite de dessins et illustrer la valeur de 3Δ2 . 5 Supposons que le côté d’un carré de la figure 1 mesure 1 cm . a Déterminer l’aire respective des figures 1 et 2 . b Quelle serait l’aire de la figure illustrant 3Δ n ? On ne tiendra pas compte des recouvrements éventuels. E.8348 On suppose qu’il existe une fonc-tion f définie sur l’ensemble des entiers naturels N vérifiant la propriété : ( E ) : pour tous x et y de N , f ( x + y )= f ( x ) · f ( y ) − x · y Préliminaire Démontrer que f (0)=1 . On pourra admettre les résultats dans les parties suivantes. A. Étude d’un premier exemple : On suppose ici que : f (1)=3 . 1 Calculer f (2) puis f (3) . 2 Montrer par deux calculs distincts que f (4)=60 et que f (4)=63 . Conclure. B. Étude d’un second exemple : On suppose ici que : f (1)=0 . 1 Calculer f (2) , f (3) et f (4) . 2 Conjecturer l’expression de f ( n ) en fonction de n . 3 Démontrer cette conjecture. 4 Prouver que pour la fonction trouvée aux 2 et 3 la propriété ( E ) est bien vérifiée. C. Cas général Première partie : on note f (1) = a 1 Exprimer f (2) et f (3) en fonction de a . 2 Exprimer f (4) en fonction de a de deux manières dif-férentes. 3 En déduire que : a =0 ou a =2 . Seconde partie : on étudie le second cas : On suppose ici que : f (1)=2 . Exprimer f ( n ) en fonction de n . 3. Arithmétique E.8326 Un entier naturel non nul est un nombre Harshad s’il est divisible par la somme de ses chiffres. Par exemple, n =24 est un nombre Harshad car la somme de ses chiffres est 2+4=6 , et 24 est bien divisible par 6 . 1 a Montrer que 364 est un nombre de Harshad. b Quel est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad? 2 a Donner un nombre Harshad de 4 chiffres. b Soit n un entier non nul. Donner un nombre Harshad de n chiffres. E.8338 Voici un algorithme applicable à des nombres entiers de trois chiffres dont le chiffre des cen-taines n’est pas égal à celui des unités : Étape 1 : Inverser l’ordre des chiffres (par exemple 275 devient 572 ) Étape 2 : Calculer la différence du plus grand et du plus petit de ces deux nombres. Étape 3 : Réitérer l’étape 1 sur le nombre obtenu. Étape 4 : Additionner ces deux derniers nombres 1 Appliquer l’algorithme aux nombres 123 , 448 et 946 . 2 Que peut-on conjecturer? E.8337 On dit qu’un nombre entier est digisible lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées : aucun de ses chiffres n’est nul ; il s’écrit avec des chiffres tous différents ; il est divisible par chacun d’eux. Par exemple, 24 est digisible , car il est divisible par 2 et par 4 . 324 est digisible , car il est divisible par 3 , par 2 et par 4 . 32 n’est pas digisible , car il n’est pas divisible par 3 . On rappelle qu’un nombre entier est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3 . 1 Proposer un autre nombre digisible à deux chiffres. 2 a Donner tous les diviseurs à un chiffre du nombre 1000 . b En déduire un nombre digisible à quatre chiffres. 3 Soit n un entier digisible s’écrivant avec un 5 . a Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités. b Démontrer que tous les chiffres de n sont impairs. https://chingmath.fr Figure 2Figure 1 chapExoCorrec/8348 sacados/8348 chapExoCorrec/8326 sacados/8326 chapExoCorrec/8338 sacados/8338 chapExoCorrec/8337 sacados/8337
E.8332 On part d’un entier n strictement positif : Si n est pair, on le transforme en n 2 . Si n est impair ( n> 1 ) , on le transforme en 3 n +1 . Si n =1 , on s’arrête. Exemples : Si n =6 , on obtient la suite : 6 ↦−→ 3 ↦−→ 10 ↦−→ 5 ↦−→ 16 ↦−→ 8 ↦−→ 4 ↦−→ 2 ↦−→ 1 Si n =13 , on obtient la suite : 13 ↦→ 40 ↦→ 20 ↦→ 10 ↦→ 5 ↦→ 16 ↦→ 8 ↦→ 4 ↦→ 2 ↦→ 1 Il a été observé à l’aide d’un programme sur ordinateur, que pour chaque nombre entier testé, la suite aboutit toujours à 1 . Mais ce résultat n’a pas été démontré à ce jour. On peut par ailleurs, s’intéresser à la longueur de cette suite, qu’on notera L ( n ) . Par exemple: L (6)=9 et L (13)=10 . 1 Déterminer L ( n ) pour les entiers allant de 1 à 12 . 2 Soit p un entier, on considère l’entier n =2 p . Exprimer L ( n ) en fonction de p . 3 Trouver un nombre entier n compris entre 2 2008 et 2 2009 tel que : L ( n )=2012 . Indication : On pourra chercher un nombre de la forme 2 p × q . 4. Arithmétique et congruence E.8329 1 a En partant de 12 589 et en comptant de 29 en 29 , peut-on atteindre le nombre 12 705 ? b En partant de 1 485 et en comptant de 29 en 29 , peut-on atteindre le nombre 310 190 ? Expliquer votre démarche. 2 Quel est le plus petit entier positif à partir duquel, en comptant de 29 en 29 , on peut atteindre 2013 ? 3 Existe-t-il des entiers positifs inférieurs à 2 013 à partir desquels il est possible d’atteindre ce nombre aussi bien en comptant de 29 en 29 qu’en comptant de 31 en 31 ? Si oui, les trouver tous. E.8330 Un compteur est composé de trois roues crantées, nommées R 0 , R 1 et R 2 comportant toutes les trois 7 crans, numérotés de 0 à 6 . Ce compteur est conçu de sorte que : Les roues tournent toujours d’un cran vers le cran suiv-ant, dans cet ordre : 0 −→ 1 −→ 2 −→ 3 −→ 4 −→ 5 −→ 6 −→ 0 Lorsque la roue R 0 effectue un tour complet, c’est-à-dire lorsqu’elle tourne de 7 crans alors la roue R 1 tourne d’un cran. Lorsque la roue R 1 effectue un tour complet, c’est-à-dire lorsqu’elle tourne de 7 crans, alors la roue R 2 tourne d’un cran. Initialement, les roues R 0 , R 1 et R 2 affichent toutes 0 . Entre chaque question, le compteur est remis à zéro, c’est-à-dire que chaque roue affiche de nouveau 0 . 1 On tourne la roue R 0 de 15 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues? 2 On tourne la roue R 0 de 100 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues? 3 On tourne la roue R 0 jusqu’à ce que la roue R 2 affiche 5 pour la première fois. De combien de crans a-t-on tourné R 0 ? 4 De combien de crans faut-il tourner R 0 pour que les roues reviennent pour la première fois en même temps à 0 ? 5 On tourne la roue R 0 de 3 580 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8332 sacados/8332 chapExoCorrec/8329 sacados/8329 chapExoCorrec/8330 sacados/8330 R00123456R10123456R20123456
E.8331 On considère des octogones réguliers, de même centre O . Aux sommets de l’octogone central, on note les huit premiers entiers non nuls. Sur les sommets du deuxième octogone, on inscrit les 8 pre-miers nombres entiers suivants, avec une rotation de 45 degrés autour du point O . Et ainsi de suite. . . On dit que chaque nombre entier a une direction ( A , B , C , D , E , F , G ou H par rapport à l’origine O ) . Par exemple, 1 a pour direction A , 2 a pour direction B . . . Voici une figure représentant les quatre premiers octogones : 1 Quel sera le premier entier inscrit sur le quatrième octo-gone? Préciser sa direction. 2 Déterminer le premier entier inscrit sur le huitième octo-gone. Préciser sa direction. 5. Aritmétique et fonction E.8340 Pour tous entiers naturels m et n , on appelle triangle de m par n , et on note m Δ n , le nombre défini par les règles suivantes, dont on admet qu’elles sont possibles : 0Δ n = n + 1 n Δ0 = n − 1 Δ1 dès que n =0 ; n +1 Δ m +1 = n Δ ( n +1)Δ m Attention, m Δ n n’est pas nécessairement égal à n Δ m . Quelques résultats 1 a Montrer que : 1Δ0=2 et 1Δ1=3 . b Calculer 1Δ2 . c On admet que 1Δ n = n +2 . Montrer que : 1Δ( n +1)= n +3 2 a Calculer 2Δ0 , 2Δ1 et 2Δ2 . b On admet que 2Δ n =2 n +3 . Montrer que : 2Δ n +1 =2 n +5 3 a Calculer 3Δ0 , 3Δ1 et 3Δ2 . E.8339 On suppose qu’il existe une fonc- tion f définie sur l’ensemble des entiers naturels N vérifiant la propriété : ( E ) : pour tous x et y de N , f ( x + y )= f ( x ) · f ( y ) − x · y Préliminaire Démontrer que f (0)=1 . On pourra admettre les résultats dans les parties suivantes. A. Étude d’un premier exemple : On suppose ici que : f (1)=3 . 1 Calculer f (2) puis f (3) . 2 Montrer par deux calculs distincts que f (4)=60 et que f (4)=63 . Conclure. B. Étude d’un second exemple : On suppose ici que : f (1)=0 . 1 Calculer f (2) , f (3) et f (4) . 2 Conjecturer l’expression de f ( n ) en fonction de n . 3 Démontrer cette conjecture. 4 Prouver que pour la fonction trouvée aux 2 et 3 la propriété ( E ) est bien vérifiée. 6. Géométrie E.8341 Un artiste a réalisé les deux figures ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8331 sacados/8331 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617 chapExoCorrec/8340 sacados/8340 chapExoCorrec/8339 sacados/8339 chapExoCorrec/8341 sacados/8341
1 Le côté d’un carré de la figure 1 mesure 1 cm . Déterminer l’aire de la figure 1 . 2 La figure 2 a été construite à partir de la figure 1 à laque-lle on a rajouté huit carrés identiques. Déterminer l’aire de la figure 2 . E.8328 Mesures d’angles à peu près On dit qu’un triangle ABC est à peu près rectangle en un sommet A si la mesure de l’angle en A est dans l’intervalle 75 o ; 105 o . On dit qu’un triangle ABC est à peu près isocèle en un sommet A si les mesures des angles en B et en C dif-fèrent de 15 o au maximum. 1 a Un triangle rectangle est-il à peu près rectangle? Un triangle isocèle est-il à peu près isocèle. b Un triangle peut-il être rectangle en deux sommets? À peu près rectangle en deux sommets? Le cas échéant, quand il est en plus acutangle (c’est-à-dire que tous ses angles sont aigus) , est-il à peu près isocèle? 2 Existe-t-il un triangle acutangle qui ne soit ni à peu près rectangle, ni à peu près isocèle? 3 Écrire un programme (en langage naturel ou calculatrice) , à recopier sur votre copie, testant si un triangle ABC dont on connaît les trois angles A , B et C est à peu près isocèle. E.8335 Rappel: Aire d’un trapèze A = ( B + b ) × h 2 Une pizza rectangulaire ABCD comporte de la croûte sur deux côtés consécutifs, [ DA ] et [ AB ] . On cherche com-ment partager la pizza en trois morceaux équitables : chaque part doit avoir la même longueur de croûte et la même aire. Dans chaque situation, on fixe la longueur du petit côté AD =1 . Dans le cas particulier ci-contre, on suppose que le partage réalisé est équitable. Quelle est la longueur AB ? Déterminer les longueurs : DF , FH et HC . E.8336 Dans un carré de 10 cm de côté, on veut réaliser un graphique statis-tique dans lequel les aires des 3 par-ties doivent être proportionnelles aux fréquences qu’elles représen-tent ( O est le centre du carré) . Le point I est à 2 cm du sommet le plus proche. Calculer les distances de J et K aux sommets du carré les plus proches. 7. Géométrie et théorème de Pythagore E.8344 Cinq cercles de rayon 1 cm ont été placés dans un carré comme l’indique le dessin. Les cercles sont tangents entre eux et tangents aux côtés du carré. Déterminer la longueur d’un côté du carré. https://chingmath.fr Figure 2Figure 1 chapExoCorrec/8328 sacados/8328 chapExoCorrec/8335 sacados/8335 hBb ABCDFGH chapExoCorrec/8336 sacados/8336 IJKO25%35%40% chapExoCorrec/8344 sacados/8344 Extrait Bordeaux Session 2012
E.8334 L’atelier de métallerie d’un chantier naval découpe des pièces de formes diverses dans des plaques d’acier carrées qu’il commande au laminoir. Pour limiter les pertes de matière et donc les coûts de produc-tion, le chef d’atelier doit déterminer au préalable la taille des plaques carrées qu’il doit commander en fonction des pièces à découper. Il arrive pour certaines commandes, que seuls la forme et la surface des pièces à découper leur soient transmises. Dans chacune des trois parties suivantes, on étudie la découpe de certains types de pièces. Ces parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. On arrondira au besoin les longueurs au mm près, et les sur-faces au cm 2 près. Partie 1: Découpe de pièces triangulaires L’atelier doit produire une pièce qui a la forme d’un triangle équilatéral d’une surface de 20 m 2 . Le chef d’atelier envisage deux solutions de découpe comme illustré sur les schémas suivants : On note a le côté du triangle et c le côté du carré. 1 Schéma n o 1: a Exprimer la hauteur h en fonction de a . b En déduire le côté a du carré à construire pour re-specter les contraintes. c Calculer la surface d’acier perdue avec cette méthode. 2 Schéma n o 2: a Justifier que l’angle BAE mesure 15 o . E.8353 On ne considère dans cet exer-cice que des feuilles de papier de format A4, c’est-à-dire de dimensions 21 cm et 29 ; 7 cm . Partie A - Création d’un cornet par pliages À partir d’une feuille A4, il s’agit de réaliser, par découpage et pliages successifs, un cornet. Voici le protocole de construction de ce cornet, illustré sur la figure ci-dessous : Étape 1: découper dans la feuille de format A4 un carré ABA C de 21 cm de côté. Étape 2: plier ce carré suivant ( BC ) pour obtenir un trian-gle rectangle isocèle vérifiant : AB = AC =21 cm Étape 3: placer le sommet B sur un point D du segment [ AB ] tel que, après pliage, la droite ( DE ) soit parallèle à la droite ( BC ) . Étape 4: effectuer une démarche similaire à partir du som-met B . Étape 5: plier les deux triangles supérieurs, l’un devant, l’autre derrière. Lorsque l’on mesure AD , on obtient 8 ; 7 cm (arrondie au mm ) . Quelle est la valeur exacte de la distance AD ? Partie B - Réalisation d’un triangle particulier À partir d’une feuille A4, il s’agit maintenant de réaliser, par pliages successifs, un triangle particulier. Cette feuille est modélisée par un rectangle ABCD . E et F désignent respec-tivement les milieux des segments [ AD ] et [ BC ] . Voici le protocole de construction de ce triangle illustrée par la figure ci-dessous. Le rectangle de la figure suivante correspond à la feuille A4 dépliée après avoir réalisé le triangle. On souhaite déterminer la nature du triangle ainsi construit. 1 Montrer que la mesure de l’angle GAJ est égale à 60 o . 2 Montrer que l’on rabat le point C sur le segment [ AG ] . 3 Montrer que l’on rabat le point B sur le segment [ JG ] . Conclure. 8. Géométrie, théorème de Pythagore et de Thalès E.8333 A et B sont deux points d’un cercle de centre O et de rayon 5 tels que AB =6 . Le carré PQRS est inscrit dans le secteur angulaire OAB de sorte que : P est sur le rayon [ OA ] ; S est sur le rayon [ OB ] ; Q et R sont deux points de l’arc de cercle reliant A et B . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8334 sacados/8334 ABCDEABCDEF chapExoCorrec/8353 sacados/8353 Caen et Rouen 2019 A COPIER !!!!!!!!!!!!!!! ABCACDEFADEFGDEFGDEFG ABCDEFABCGDDFFIAGJBFAGJ chapExoCorrec/8333 sacados/8333
1 Faire une figure correspondant à la situation proposée. 2 Calculer l’aire du carré PQRS . 9. Géométrie et trigonométrie E.8352 Calcul du rayon R de la terre 1 Un observateur se trouve sur le rivage en A et voit s’éloigner vers le sud un bateau dont on connait la hau-teur h émergée (comme sur la figure ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle) . Du fait de la rotondité de la terre, le bâ-timent disparait totalement de l’horizon, une fois éloigné de la côte de la distance d = AB à vol d’oiseau. On néglige la taille de l’observateur de telle sorte que OA = R . On suppose connue la distance d . On rappelle que la ligne d’horizon ( AB ) est tangente à la Terre en A . Trouver une relation entre R , d et h . 2 Justifier que h R est très petit. 3 En déduire que : R ≈ d 2 2 · h 4 Application numérique : pour h =20 m et d =16 km , don-ner une valeur du rayon R de la Terre, arrondie au kilo-mètre près. Ligne d’horizon Dans toute cette partie, on convient que R =6400 km . 5 On cherche quelle doit être la hauteur h du bateau dans la figure ci-dessus pour que la vigie, située en haut du mat, aperçoive le rivage d’une île située à une distance (en ligne droite) d donnée. Montrer que cela revient à résoudre, pour d donnée, l’équation d’inconnue h : h + R 2 = d 2 + R 2 6 Dans le cas où d =50 km , calculer la hauteur h et la longueur de l’arc AH . E.9549 Pierre et sa fille Éloïse se promè-nent sur une route horizontale. En un point R , cette route descend faisant un angle „ de 5 o avec l’horizontal (voir figure) Éloïse, dont les yeux sont à 1 ; 6 mètre du sol, s’arrête en un point E , à 24 mètres du point R . Son père continuant à marcher, passe devant le point R puis s’engage dans la partie en pente de la route. Indication : on arrondira les longueurs au centimètres près et les angles au centième près. 1 Quand il se trouve à 86 mètres de R , il disparaît des yeux de sa fille. Déterminer la hauteur de Pierre. 2 Dans la partie en pente de la route, des poteaux d’une hauteur de 6 ; 5 mètres sont plantés verticalement tous les 28 mètres, comme sur le schéma ci-dessous : Le pied du premier poteau se situe à 28 mètres du point R . On admet l’hypothèse que les poteaux ne peuvent se mas-quer les uns des autres. Combien Éloïse peut-elle voir de poteaux de l’endroit où elle se trouve? 3 Quelle est, en réalité, la mesure de l’angle „ , sachant qu’Éloïse ne voit que 5 poteaux? On pourra utiliser la formule : 1+ tan „ 2 = 1 cos „ 2 On donnera une valeur arrondie de „ à 10 − 3 près. 10. Probabilité E.8349 Une coccinelle se déplace sur les côtés d’un carré ABCD en partant du point A . Elle peut marcher à rebours si elle le souhaite. On appelle déplacement tout trajet de la coccinelle le long d’un côté du carré. Une marche est constituée de déplace-ments, ainsi : A −→ B −→ A −→ D −→ C est une marche de quatre déplacements dont l’arrivée est le point C . Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés d’un carré ABCD et l’on considère que tous ses déplacements sont équiprobables. 1 a La coccinelle peut-elle atteindre le point B en trois déplacements? b Quelles sont les arrivées possibles pour une marche de trois déplacements? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8352 sacados/8352 Asie - Pacifique 2019 A COPIER !!!!!!!!!!!!!!! OANordCBhRRd chapExoCorrec/9549 sacados/9549 Caen 2012 „oER ER chapExoCorrec/8349 sacados/8349 Extrait Besancon 2012 ABCD
c Quelles sont les arrivées possibles si la marche compte un nombre pair de déplacements? d Quelles sont les arrivées possibles si la marche compte un nombre impair de déplacements? 2 Dans cette question, la coccinelle effectue deux déplace-ments. Éventuellement à l’aide d’un arbre, calculer la probabilité de l’événement A 2 : ˇ la coccinelle arrive en A en effectu-ant deux déplacements ı. 3 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : Nombre de déplacements de la marche 1 2 3 4 5 Probabilité que la coccinelle arrive en A E.8350 Un dé tétraédrique comporte quatre faces comme le dé représenté ci-contre. Lorsqu’on jette un tel dé, le résultat est le nombre inscrit au plus près de la base tétraèdre. Dans notre exemple, le dé té-traédrique est tombé sur la face 4 . Antoine, Baptiste, Cyril et Diane jouent avec quatre dés tétraédriques réguliers et équilibrés, mais qui ne sont pas numérotés de façon habituelle. Ainsi, le dé d’Antoine compte quatre faces numérotées 1 , 6 , 6 et 6 . Avec ce dé, le nom- bre 1 est obtenu avec la probabilité 1 4 et le nombre 6 avec la probabilité 3 4 . Le dé de Baptiste est numéroté 4 , 4 , 5 et 5 ; celui de Cyril 3 , 3 , 3 et 8 ; et enfin, celui de Dianne 2 , 2 , 7 et 7 . 1 Chaque joueur jette ce dé tétraédrique une fois. Qui a le plus de chances d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 ? 2 Les joueurs commencent une série de duels : Antoine joue contre Baptiste, Baptiste joue contre Cyril, Cyril joue contre Diane, Diane joue contre Antoine. Le gagnant de chaque duel est le joueur qui a obtenu le résultat le plus élevé. a Montrer que dans le premier duel Antoine gagne contre Baptiste avec une probabilité de 3 4 . b Donner les probabilités de gain des joueurs dans les trois autres duels. 3 Antoine, Baptiste, Cyril et Diane jettent simultanément leur dé. Celui des quatre joueurs qui obtient le plus grand nombre gagne. a Montrer que la probabilité que Baptiste gagne est égale à 3 32 . b Qui a le plus de chances de gagner ce jeu? 11. Hors programme E.8343 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On dispose d’une urne contenant n boules pou-vant être de différentes couleurs. Le jeu consiste à extraire au hasard une boule de l’urne, puis sans remettre celle-ci dans l’urne à extraire une seconde boule de l’urne. Le joueur a gagné lorsque les deux boules tirées sont de la même couleur. On admet qu’à chaque tirage, toutes les boules de l’urne ont la même probabilité d’être tirées. On dit que le jeu est équitable lorsque la probabilité P G que le joueur gagne est égale à 1 2 . 1 a Démontrer que si l’urne contient 10 boules dont 4 blanches et 6 rouges alors P G = 7 15 . b Calculer P G lorsque l’urne contient 12 boules dont 4 blanches, 6 rouges et 2 noires. 2 Dans cette question, l’urne contient 6 boules rouges et d’autres boules qui sont toutes blanches. a Soit x le nombre de boules blanches contenues dans l’urne. Démontrer que : P G = x x − 1 +30 x +6 x +5 12. Exercices non-classés E.8354 À partir de deux nombres entiers positifs, on construit une liste de nombres où chaque nombre est la somme des deux précédents. 1 Choisir deux nombres entiers positifs inférieurs à 10 et déterminer les dix premiers nombres de la liste définie précédemment. 2 Un mathé-magicien prétend être capable de déterminer rapidement et exactement la somme des dix premiers nombres d’une liste quelconque ainsi construite. Mon- trer que, quels que soient les nombres de départ, cette somme est multiple d’un des nombres de la liste dont on déterminera la position. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8350 sacados/8350 431432 chapExoCorrec/8343 sacados/8343 chapExoCorrec/8354 sacados/8354 Sujet national 2012
E.8355 Définition: on appelle distance en-tre un point M et une droite ( D ) la distance MH , où H est le point d’intersection de ( D ) avec la droite per-pendiculaire à ( D ) passant par M . Dans la figure ci-contre, si le rayon du disque est R , et si l’angle du secteur angulaire grisé mesure ¸ (en degrés) , alors l’aire de la portion de disque grisée vaut : ı · ¸ · R 2 360 . Dans la partie 2 de l’exercice, on con-sidérera la distance d’un point M à un segment [ BC ] comme étant la distance du point M à la droite ( BC ) . Partie 1 Soit C un cercle de centre O , A un point de ce cercle et D le disque délimité par ce cercle. 1 Reproduire la fig-ure, et représenter l’ensemble des points du disque équidis-tants de O et de A . 2 Hachurer l’ensemble des points du disque plus proches de O que de A . 3 Soit M un point déterminé aléatoirement de manière équiprobable sur la surface du disque D . Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que de A ? Partie 2 Soit ABCD un rectangle de longueur AB =20 cm et de largeur BC =12 cm , de centre O . Soit E un point situé à l’intérieur du rectangle, proche de A , à 2 cm de chaque bord (comme sur la figure ci-après, qui n’est toutefois pas à l’échelle) . Soit M un point déterminé aléatoirement de manière équiprobable à l’intérieur du rectangle ABCD . 1 Quelle est la probabilité que M soit plus proche du côté [ BC ] que du côté [ AD ] ? 2 a Reproduire le rectangle, et représenter l’ensemble des points intérieurs au rectangle et équidistants des côtés [ AB ] et [ BC ] . b Hachurer l’ensemble des points intérieurs au rectangle et plus proches du côté [ BC ] que du côté [ AB ] . c Quelle est la probabilité que M soit plus proche du côté [ BC ] que du côté [ AB ] ? 3 Quelle est la probabilité que M soit plus proche du côté [ AB ] que des trois côtés [ BC ] , [ CD ] et [ DA ] ? 4 Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que de E ? 5 Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que des quatre sommets A , B , C et D ? E.8345 Trois entiers naturels distincts a , b , c rangés par ordre strictement croissant , a<b<c , sont en progression arithmétique si : c − b = b − a On dit alors que a ; b ; c est un triplet arithmétique. 1 Compléter les triplets arithmétiques suivants : a 57 ; 101 ; : : : b 57 ; : : : ; 101 c : : : ; 57 ; 101 2 a Peut-on trouver un triplet arithmétique a ; b ; c dont la somme vaut 2012 ? b Combien y a-t-il de triplets arithmétiques a ; b ; c de somme 2013 ? 3 On prend au hasard trois nombres entiers a , b , c dans 1 , 2 , 3 , . . . , 10 avec a<b<c . Quelle est la probabilité que a ; b ; c soit un triplet arithmétique? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8355 sacados/8355 Sujet national 2012 MH(D R¸ OA EABCDO chapExoCorrec/8345 sacados/8345 Clermont-Ferrand 2012
E.8346 Une association souhaite créer un logo. Ce logo a été conçu à partir de la construction suivante : ABC est un triangle rectangle en A , on pose : AC = x ; AB = y ; BC = z , on a tracé les demi-cercles de diamètres [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] et le carré AEFI tel que E ∈ [ AB ) , F ∈ [ BC ) et I ∈ [ AC ) . 1 Pour cette question, on considère la figure suivante : a Calculer la longueur du côté du carré AEFI en fonc-tion de x et y . b Que peut-on dire du point I si le triangle ABC est isocèle? (justifier) c On suppose y =4 . L’aire du carré AEFI peut-elle être égale à 9 ? (justifier) 2 Soit K le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC . On pose AK = h . On a donc la figure suivante : a Justifier que : ( x + y ) 2 = z 2 +2 · z · h . b Exprimer de même ( x − y ) 2 en fonction de z et de h . Montrer que h est inférieur à la moitié de z . c Est-il possible que : z =10 et h =4 ; 8 ? Si oui, déterminer les valeurs de x et de y . 3 Comparer l’aire du triangle ABC à l’aire de la surface grisée. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8346 sacados/8346 Caen 2012 ABCIEF ABCK