Seconde / Probabilités 51 exercices (100% corrigés)

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ChingQuizz : 6 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Equiprobabilité E.5905 Un jeu consiste à tirer au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événe-ments suivants : A : ˇ La carte est une figure ı ; B : ˇ La carte est rouge ı ; C : ˇ La carte a une valeur comprise entre 8 et 10 ı 1 Quelle est la probabilité de l’événement C ? 12 32 14 32 16 32 18 32 2 Quelle est la probabilité de l’événement A ∪ B ? 16 32 17 32 22 32 23 32 3 Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 3 32 4 32 10 32 12 32 2. Equiprobabilité à deux issues E.5178 Pour chaque question, comparer, si possible, la probabilité des deux événements présentés : 1 En jetant deux dés à six faces simultanément : A : ˇ La somme des dés vaut 2 ı ; B : ˇ La somme des dés vaut 3 ı. 2 On jette successivement deux dés à six faces : C : ˇ On obtient 1 , puis 1 ı ; D : ˇ On obtient 1 , puis 2 ı. 3 On considère une classe de 24 élèves : E : ˇ L’élève choisit est un garçon et pratique le foot-ball ı ; F : ˇ Parmi les garçons, l’élève choisit pratique le foot-ball ı. E.4511 1 On considère l’expérience aléatoire consistant à jeter deux dés à six faces et on effectue la somme de la valeur de chaque dé. On considère les événements suivants : Événement A: ˇ on obtient 8 ı. Événement B : ˇ on obtient une valeur supérieure ou égale à 6 ı. Événement C : ˇ Un des dés a la valeur 4 et la somme est supérieure ou égale à 7 ı. a Compléter le tableau suivant : b Déterminer les probabilités des événements A , B et C . 2 On change d’expériences aléatoires. On jette toujours ces deux dés, mais on s’intéresse maintenant à la valeur de chacun des dés. Déterminer la probabilité pour les événements suivants : a Événement D : ˇ les deux dés ont la même valeur ı. b Événement E : ˇ on obtient 6 et 4 ı. c Événement F: ˇ un des dés a la valeur 3 et l’autre a une valeur paire ı. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5905 sacados/5905 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/5178 sacados/5178 chapExoCorrec/4511 sacados/4511 123456123456
E.7276 Sophie et Luc jouent très mal aux échecs, c’est pourquoi ils ont inventé le jeu suivant : Sophie possède un sac contenant cinq pièces blanches : une reine, une tour, deux cavaliers et un pion. Le sac de Luc contient cinq pièces noires : une reine, deux tours et deux pions. Principe du jeu : Chacun tire une pièce de son sac, celui qui a la pièce la plus forte gagne la partie : Une reine bat toutes les autres pièces. Une tour bat un cavalier ou un pion. Un cavalier bat un pion. Deux pièces identiques font partie nulle. Exemples: Sophie tire une reine et Luc une tour : Sophie gagne la partie. Sophie et Luc tirent tous les deux un pion : il y a une partie nulle. 1 Dans le tableau ci-dessous, chaque case correspond à une issue possible du jeu. Recopier ce tableau et compléter chaque case : Par un S lorsque Sophie gagne. Par un L lorsque Luc gagne. Par un N lorsque la partie est nulle. 2 Calculer les probabilités des événements suivants : a A : ˇ la partie est nulle ı b B : ˇ Sophie gagne ı c C : ˇ Luc gagne ı 3 Y a-t-il, du point de vue du contenu des sacs, un joueur avantagé par rapport à l’autre? Justifier la réponse. E.3111 On dispose de deux dès, de six faces et numérotés de 1 à 6 , lancés simultanément : 1 On considère les deux événements suivants : A : ˇ On obtient un double 1 ı ; B : ˇ On obtient un 1 et un 2 ı. Justifier la valeur des probabilités suivantes : P ( A ) = 1 36 ; P ( B ) = 1 18 2 Déterminer les probabilités des événements suivants : a C : ˇ La somme des deux chiffres est égale à 5 ı ; b D : ˇ La somme des deux chiffres est supérieure ou égale à 8 ı ; c E : ˇ Les deux chiffres sont impairs ı. E.2659 On lance deux dés équilibrés. Déter-miner la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1 Événement A : ˇ on obtient un 6 et un 2 ı ; 2 Événement B : ˇ la somme obtenue est strictement supérieure à 8 ı ; 3 Événement C : ˇ les deux nombres obtenus sont pairs ı. E.4514 On considère un mobile dont le départ est le point A et se déplaçant sur le quadrillage ci-dessous uniquement par des déplacements vers le haut et vers la droite : En choisissant une sortie (représentée en pointillé) , le jeu s’arrête. 1 Combien de chemins permettent au mobile de quitter le plateau de jeu en M 1 ? en M 2 ? Par symétrie de la figure et des déplacements du mobile, on admet qu’il y a respectivement autant de chemins permettant au mobile de sortir en N 1 et en N 2 qu’en M 1 et M 2 : 2 Déterminer le nombre de chemins permettant au mobile de sortir en B . 3 En choisissant au hasard un de ces chemins, quelle est la probabilité que ce chemin fasse sortir le mobile en B . 3. Equiprobabilité et arbre de choix E.3051 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; chacune d’elles est numérotée de 1 à 3 . Le jeu consiste à tirer deux boules successivement avec remise : c’est-à-dire une première boule est tirée, puis remise dans l’urne avant de tirer une seconde boule. Voici un arbre de décision basé sur le tirage de deux boules : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7276 sacados/7276 Sujet du bac STI Juin 2004 RTC1C2PRT1T2P1P2LucSophie chapExoCorrec/3111 sacados/3111 chapExoCorrec/2659 sacados/2659 chapExoCorrec/4514 sacados/4514 ABM1M2N1N2 chapExoCorrec/3051 sacados/3051
Une fois tirées les deux boules, on considère les deux couleurs obtenues et leur ordre de tirage 1 Combien d’événements élémentaires composent cette ex-périence aléatoire? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ Les deux boules tirées sont de couleurs dif-férentes ı. c C : ˇ La seconde boule est une boule noire ı. E.6681 On dispose de deux roues permet-tant d’obtenir des chiffres : la première roue est numérotée de 1 à 6 , la seconde roue est numérotée de 1 à 4 : Les deux roues sont supposées parfaitement équilibrés et on suppose que pour chaque roue, l’obtention d’un chiffre représente une situation d’équiprobabilité. 1 On utilise ces deux roues pour construire un entier com-posé de deux chiffres : la première roue formera le chiffre des dizaines, la seconde roue sera utilisée pour le chiffre des unités. a Construire l’arbre de choix correspondant à cette situ-ation. b On considère les événements suivants : A : ˇ le nombre est composé des deux mêmes chiffres ı B : ˇ le chiffre des unités est strictement supérieur au chiffre des dizaines ı. Déterminer la probabilité des événements A et B . 2 On change les règles du jeu : on additionne les nombres obtenus sur les deux roues. Est-ce que cette nouvelle expérience représente une situ-ation d’équiprobabilité? Justifier votre réponse. E.11589 On considère les deux urnes ci-dessous contenant des boules où est inscrit un chiffre : L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne A , puis une boule au hasard dans l’urne B et d’en faire la différence. 1 Construire l’arbre des possibilités de cette expérience aléatoire. 2 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 3 ? E.4530 Une urne contient quatre boules por-tant respectivement les lettres A , B , C et D . Un participant au jeu doit tirer tour à tour trois boules sans les remettre dans l’urne et noter le mot formé par ses trois lettres. 1 Construire l’arbre de choix correspondant à cette expéri-ence aléatoire. 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ Le mot commence par la lettre A et termine par la lettre D ı ; b B : ˇ Le mot contient la lettre A et la lettre D ı ; c C : ˇ Le mot contient la séquence AB ı. E.2658 On compose au hasard un mot de trois lettres avec les lettres A , B , C : 1 Combien de mots peut-on construire? 2 Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : a E 1 : ˇ Le mot commence par la lettre C ı ; b E 2 : ˇ Le mot commence et termine par la lettre A ı ; c E 3 : ˇ Le mot contient exactement deux fois la lettre B ı ; d E 4 : ˇ Le mot ne contient que des A ı ; e E 5 : ˇ Le mot est formé exactement de deux lettres dis-tinctes ı ; E.11587 Recopier l’eercice 10620 E.11588 recopier l’exercice 11151 4. Loi de probabilité E.3072 Voici le tableau représentant la loi de probabilité d’un dé truqué à six faces : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 15 0 ; 1 0 ; 08 0 ; 17 0 ; 22 0 ; 28 https://chingmath.fr N1N1N1N2N1N2B3N1B3N1N1N2N1N2N2N2B3N2B3N2N1B3N1N2B3N2B3B3B3B3 chapExoCorrec/6681 sacados/6681 234561Première roue2341Seconde roue chapExoCorrec/11589 sacados/11589 123546UrneBUrneA chapExoCorrec/4530 sacados/4530 chapExoCorrec/2658 sacados/2658 sacados/11587 sacados/11588 chapExoCorrec/3072 sacados/3072
Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1 A : ˇ Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 4 ı. 2 B : ˇ Le nombre obtenu est pair ı. E.4531 Voici le tableau représentant la loi de probabilité obtenue par le jet d’un dé truqué à six faces : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 11 0 ; 14 0 ; 1 0 ; 15 0 ; 12 0 ; 38 Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1 A : ˇ Le nombre obtenu est strictement inférieur à 4 ı. 2 B : ˇ Le nombre obtenu est impair ı. E.4508 Une urne contient des boules rouges, vertes et bleues indiscernables entre elles au toucher. L’expérience aléatoire considérée consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne. On ne connait pas le contenu de l’urne, mais nous connaissons la loi de probabilité de cette expérience aléatoire à travers le tableau ci-dessous : x Rouge Vert Bleu P ( x ) 0,3 0,6 0,1 Sachant que l’urne contient 120 boules au total, déterminer le nombre de boules de chaque couleur. E.5187 Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés, rouge et bleu, à six faces simultanément et à consid-érer la somme obtenue par ces deux dés. On suppose les dés parfaitement équili-brés. 1 Décrire l’univers des issues possibles. 2 a Compléter le tableau ci-dessous : a Déterminer la loi de probabilité associée à cette ex-périence aléatoire. 5. Propriété d’une loi de probabilité E.4790 On considère un dé truqué à six faces dont le tableau ci-dessous donne une partie de sa loi de probabilité : X 1 2 3 4 5 6 P ( X ) 0 ; 14 0 ; 07 0 ; 12 0 ; 1 De plus, la probabilité d’obtenir une face portant un numéro impair est de 0 ; 4 . En justifiant votre démarche, déterminer les valeurs man-quantes de ce tableau. E.6682 On considère un dé truqué à 6 faces. L’expérience aléatoire consiste à lancer le dé et à considérer la valeur de la face supérieure du dé. Pour k un entier compris entre 1 et 6 , on considère l’événement F k définit par ˇ la valeur obtenue est k ı Pour seule information sur le dé, on a: Le tableau incomplet de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire: X F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 P X 0 ; 11 0 ; 07 0 ; 2 0 ; 15 La probabilité d’obtenir un nombre pair vaut 0 ; 4 . Recopier et compléter le tableau de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Indication : Les étapes de votre raisonnement doivent être présent sur la copie à évaluer. 6. Déterminer la loi de probabilité E.3093 Une urne contient 12 boules blanches, 5 boules noires et 8 boules bleues indiscernables au toucher. On considère notre univers d’expérience composé des trois événements élémentaires suivants : A : ˇ La boule tirée est blanche ı B : ˇ La boule tirée est noire ı C : ˇ La boule tirée est bleue ı Compléter le tableau ci-dessous, au centième près, représen-tant la loi de probabilité de notre expérience : X A B C P ( X ) E.4507 Une urne contient 20 % de boules rouges, 50 % de boules vertes et le reste est composé de boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience aléatoire considérée consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne. Déterminer la loi de probabilité de cette expérience. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4531 sacados/4531 chapExoCorrec/4508 sacados/4508 chapExoCorrec/5187 sacados/5187 112233445566BleuRouge chapExoCorrec/4790 sacados/4790 chapExoCorrec/6682 sacados/6682 chapExoCorrec/3093 sacados/3093 chapExoCorrec/4507 sacados/4507
E.4506 Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4 . On suppose que les boules sont indis-cernables au toucher, rendant chaque tirage équiprobable. L’expérience aléatoire consiste à tirer une première boule, puis sans la remettre en tirer une seconde de l’urne. À chaque expérience, on note la somme des deux numéros marqués sur les boules. 1 Construire l’arbre de choix modélisant cette expérience. 2 Quelles sont les valeurs possibles de sortie de cette ex-périence? 3 À l’aide d’un tableau, préciser la loi de probabilité P de cette expérience aléatoire. E.4509 Les faces d’un dé tétraédrique sont notées avec les lettres A , B , C et D . On suppose ce dé parfaitement équilibré. L’expérience aléatoire consiste à lancer trois fois le dé et de noter, à chaque fois la lettre de la face cachée. Ainsi, à chaque sortie de l’expérience aléatoire, un mot de trois lettres est construit. 1 Écrire les 64 mots pouvant être obtenus lors de cette ex-périence aléatoire. 2 Donner la probabilité des événements suivants : a E 1 : ˇ Le mot obtenu contient exactement une fois la lettre B ı ; b E 2 : ˇ Le mot obtenu contient exactement deux fois la lettre B ı ; c E 3 : ˇ Le mot contient la même lettre à la première et troisième place ı. 3 On considère le jeu suivant autour de l’expérience aléa-toire précédente : Si les trois lettres obtenues sont identiques alors le joueur gagne 5 e . Sinon et si la première lettre et la troisième lettre sont identiques alors le joueur gagne 2 e . Sinon il ne gagne rien. On note ˇ X = k ı l’événement ˇ le joueur gagne k e ı. Com- pléter le tableau ci-dessous : k 0 2 5 P ( X = k ) E.4554 Dans une expérience aléatoire, le joueur jette un dé tétraédrique dont les faces sont numérotés de 1 à 4 . Ensuite : Si la face du dé est paire, le joueur tire une boule dans l’urne A ; Si la face du dé est impaire, le joueur tire une boule dans l’urne B . Voici le contenu de ces deux urnes : L’urne A contient une boule blanche et une boule noire. L’urne B contient deux boules noires. 1 Construire un arbre de choix représentant les différentes sorties de cette expérience aléatoire. 2 En considérant que les sorties de cette expérience sont équiprobables et qu’on ne considère que la couleur de la boule tirée, décrire la loi de probabilité attribuée à cette expérience aléatoire. E.4562 Une roue parfaitement équili-brée est divisée en 16 parts égales réparties en quatre di-visions où est inscrit un nom-bre sur chacune d’elles. L’expérience aléatoire con-siste à faire tourner la roue et à relever le chiffre obtenu lorsque la roue s’immobilise sous la flèche. 1 Décrire l’univers de cette expérience aléatoire. 2 Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. 7. Opérations sur les événements E.5865 Ci-dessous sont représentés l’univers Ω d’une expérience aléatoire et deux événements A et B de Ω . Pour chacune des représentations ci-dessous, hachurer l’ensemble demandé. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4506 sacados/4506 chapExoCorrec/4509 sacados/4509 chapExoCorrec/4554 sacados/4554 chapExoCorrec/4562 sacados/4562 1234 chapExoCorrec/5865 sacados/5865 AB AAB AAB BAB BAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB
E.8151 Dans l’univers Ω d’une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B . Pour chacun des événements ci-dessous représentés par la par-tie hachurée du diagramme, décrire cet événement à l’aide des événements A et B , de leur complémentaire, de leur union et intersection : E.11586 On considère une expérience aléa-toire où son univers Ω et deux sous-ensembles, A et B , sont représentés ci-dessous : L’expérience aléatoire consiste à choisir au hasard, un élé- ments au hasard de l’univers Ω . Donner la probabilité que l’élément choisit appartienne à cha-cun des sous-ensembles ci-dessous : a A b A ∪ B c A ∪ B d A ∩ B E.8152 Dans un univers Ω , on considère les trois événements A , B et C représentés ci-dessous. Pour chaque question, exprimer la partie hachurée à l’aide des événements A , B , C , de leur complémentaire, de leur union et intersection. 8. Opérations et probabilités E.4510 On considère un dé équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6 . On considère les trois événements suivants : A : ˇ Le nombre obtenu est 5 ı ; B : ˇ Le nombre obtenu est strictement supérieur à 3 ı ; C : ˇ Le nombre obtenu est impair ı ; 1 Déterminer la probabilité des événements A , B , C . 2 On considère les événements ci-dessous : a A ∪ B b B ∩ C c A ∪ B d B ∩ C Décrire chacun de ces événements en citant les événe-ments élémentaires qui les composent, puis donner leur probabilité. E.4563 Un dé dodécaédrique comporte 12 faces identiques numérotées de 1 à 12 . On suppose que ses faces ont chacune la même probabilité de sortie. Lors d’un jet, on note la face supérieure du dé. On considère les événements : A : ˇ Le nombre obtenu est pair ı B : ˇ Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 9 ı C : ˇ Le nombre obtenu est strictement inférieure à 6 ı 1 Déterminer les probabilités des événements A , B et C . 2 Donner, sans justification, les probabilités des événe-ments suivants : a A ∩ B b A ∩ B c B ∩ C d B ∪ C e B ∩ C f A ∪ C https://chingmath.fr chapExoCorrec/8151 sacados/8151 ABaABb ABcABd ABeABf chapExoCorrec/11586 sacados/11586 AB chapExoCorrec/8152 sacados/8152 ABC ABC ABC ABC ABC ABC chapExoCorrec/4510 sacados/4510 chapExoCorrec/4563 sacados/4563
E.11585 On considère une expérience aléatoire représentant une situa-tion d’équiprobabilité. Le schéma ci-dessous représente les événements élémentaires de l’univers Ω ainsi que les deux événements A et B . Déterminer les probabilités des événements : a A ∩ B b A ∩ B c A ∩ B E.5909 On considère un dé truqué à six faces dont le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité : x 1 2 3 4 5 6 P ( x ) 0 ; 14 0 ; 07 0 ; 22 0 ; 12 0 ; 1 On considère les événements suivants : B : ˇ La face a une valeur strictement supérieure à 2 ı ; C : ˇ La face a une valeur inférieure ou égale à 5 ı ; Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 0 ; 42 0 ; 44 0 ; 46 0 ; 48 E.5352 On considère un jeu de 52 cartes et les événements suivants : A : ˇla carte est de couleur rougeı ; B : ˇla carte n’est pas une figureı. Déterminer les probabilités suivantes : a P B b P B ∩ A c P B ∪ A d P B ∩ A E.6683 La direction d’un établissement sco-laire fait le point sur les élèves inscrits en demi-pension : L’établissement compte 852 élèves ; Au total, il y a 213 élèves inscrits au régime ˇ externe ı ; Pour les filles, 123 filles sont inscrites au régime ˇ externe ı et 312 sont en demi-pension 1 Recopier et compléter le tableau ci-dessous : Garçons Filles Total Externe Demi-pension Total 2 On considère les événements : G : ˇ l’élève est un garçon ı ; E : ˇ l’élève est inscrit en externe ı. Déterminer la probabilité des événements suivants : a G ∩ E b G ∪ E c G ∪ G E.5906 Un jeu consiste à tirer au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événe-ments suivants : A : ˇ La carte est une figure ı ; B : ˇ La carte est un coeur ı ; C : ˇ La carte a une valeur comprise entre 7 et 10 inclus ı Déterminer les probabilités suivantes : a C b A ∪ B c B ∩ C 9. Opérations et arbres de choix E.3053 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; le jeu consiste à extraire deux boules de l’urne sans remise : la première boule tirée ne sera pas remise dans l’urne. Ci-contre un arbre de choix représentant les tirages de ce jeu. 1 En tenant compte de l’ordre de tirage des boules, quel est le nombre possible de tirages différents? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ La seconde boule tirée est blanche ı. c C : ˇ Les deux boules tirées sont de couleurs distinctes ı. 3 Donner les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c C https://chingmath.fr chapExoCorrec/11585 sacados/11585 AB chapExoCorrec/5909 sacados/5909 chapExoCorrec/5352 sacados/5352 chapExoCorrec/6683 sacados/6683 chapExoCorrec/5906 sacados/5906 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/3053 sacados/3053 NNNBNBNNNNBNBNNBNNBNB
E.3052 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; le jeu se fait avec remise de la boule tirée: c’est-à-dire qu’une fois tirée, la boule est remise dans l’urne avant d’effectuer le tirage suivant. Voici un arbre de décision basé sur le tirage de trois boules : 1 En tenant compte de l’ordre de tirage des boules, quel est le nombre possible de tirages différents? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ Les trois boules tirées sont de même couleur ı. c C : ˇ Au moins deux boules tirées sont de la même couleur ı. 3 Donner les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c C 10. Opérations et jeux de cartes E.3049 On considère un jeu de 32 cartes représenté ci-contre. L’expérience aléatoire consiste à choisir une carte au hasard dans ce jeu. 1 Pour chacun des événements ci-dessous, déterminer le nombre d’événements élémentaire le com-posant : a A : ˇ La carte tirée est un carreau ı. b B : ˇ La carte tirée est un as ı. c C : ˇ La carte tirée est une figure ı. d D : ˇ La carte tirée est de couleur rouge ı. 2 Déterminer le cardinal de chacun des événements suiv-ants : a A ∩ B b B ∩ C c B ∪ D E.4529 On considère une expérience consistant à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et les quatre événements associés : A : ˇ la carte tirée est un roi ı ; B : ˇ la carte tirée est une figure rouge ı ; C : ˇ la carte tirée est un coeur ı ; D : ˇ la carte tirée est un nombre ı 1 Déterminer la probabilité des quatre événements A , B , C et D . 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A b A ∩ C c A ∩ C d B ∩ C e C ∪ B f B ∪ C g B ∪ C E.4552 Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. 1 Déterminer les probabilités des événe-ments suivants : A : ˇ La carte tirée est un pique ı ; B : ˇ La carte tirée est une figure ı ; C : ˇ La carte tirée est noire ı ; D : ˇ La carte tirée est le valet ı ; 2 Déterminer les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c A ∪ B d B ∪ C e C ∩ D f C ∪ D g C ∩ D h C ∪ D 11. Introduction à la probabilité d’une union https://chingmath.fr chapExoCorrec/3052 sacados/3052 NNNNNNNNNNBBNNNNNNNNNNNBBNNBNNNBNNNBBBBNNNNNNNNNNNBBNNNNNNNNNNNBBNNBNNNBNNNBBBBNBNNNBNNNBNBBNBNNNBNNNBNBBNBBNNBBNNBBBBBB chapExoCorrec/3049 sacados/3049 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/4529 sacados/4529 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/4552 sacados/4552 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣
E.4513 On considère une expérience aléa-toire dont l’univers Ω est représenté ci-dessous. On considère également deux événements A et B de Ω : Les croix représentent les événements élémentaires composant Ω ; chacun des événements élémentaires sont équiprobables. 1 Combien d’événements élémentaires composent l’univers Ω ? 2 Déterminer les probabilités de A et de B . 3 a Déterminer les probabilités des deux événements suivants : A ∪ B ; A ∩ B b Écrire une relation entre les probabilités suivantes : P ( A ) ; P ( B ) ; P ( A ∪ B ) ; P ( A ∩ B ) E.3094 Une urne contient vingt boules numérotées de 1 à 20; les cinq premières sont rouges, les sept suivantes sont bleues, les huit suivantes sont jaunes. 1 Déterminer les probabilités suivantes : a A : ˇ La boule tirée porte un numéro pair ı ; b B : ˇ La boule tirée est rouge ı ; c C : ˇ La boule tirée est rouge ou porte un numéro pair ı ; d D : ˇ La boule tirée est rouge et porte un numéro pair ı. 2 L’égalité suivante est-elle vérifiée ? P A ∪ B = P A + P B Justifier votre réponse. E.3112 On considère une expérience aléa-toire simulant une situation d’équiprobabilité sur un univers Ω composé de 11 événements élémentaires. On considère les deux événements A et B tels que : A est composé de 4 événements élémentaires ; B est composé de 8 événements élémentaires ; A ∪ B est composé de 10 événements élémentaires ; 1 a En testant plusieurs possibilités, compléter le schéma ci-dessous pour réaliser cette situation. b De combien d’éléments élémentaires sont composés l’événement A ∩ B . 2 En déduire les probabilités suivantes : a P ( A ) b P ( B ) c P ( A ∩ B ) d P ( A ∪ B ) 3 Quelles relations peut-on mettre en évidence entre les probabilités des événements A , B , A ∩ B et A ∪ B ? 12. Probabilité d’une union E.3095 Soit Ω ; P un espace probabilisé où A et B sont deux événements de Ω tels que : P ( A ) = 0 ; 36 ; P ( B ) = 0 ; 27 1 Que peut-on dire de A et de B si : P A ∪ B =0 ; 63 ? 2 On suppose que : P A ∪ B =0 ; 5 a Que peut-on dire de A et de B ? b Quelle est la probabilité qu’un événement réalise simul-tanément les événements A et B ? E.3100 Dans un univers Ω muni de la loi de probabilité P , on considère les deux événements A et B tels que : P ( A ) = 0 ; 37 ; P ( B ) = 0 ; 48 ; P ( A ∪ B ) = 0 ; 62 1 Déterminer la valeur de P ( A ∩ B ) . 2 Représenter ci-dessous les deux ensembles indiqués sous chacune des figures : 3 a Déterminer la probabilité des événements suivants : A ; A ∩ B b En déduire la probabilité de l’événement A ∪ B . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4513 sacados/4513 AB chapExoCorrec/3094 sacados/3094 chapExoCorrec/3112 sacados/3112 AB chapExoCorrec/3095 sacados/3095 chapExoCorrec/3100 sacados/3100 ABAB ABAB
E.4553 Dans un établissement du secondaire, un événement sportif regroupe les élèves de seconde prati-quant le football et le basket-ball. L’expérience aléatoire con-sidérée consiste à choisir au hasard un élève parmi les élèves de seconde. On considère les deux événements : F : ˇ L’élève choisit pratique le football ı B : ˇ L’élève choisit pratique le basket-ball ı 1 On donne la probabilité suivante : P ( B ∪ F ) = 0 ; 6 Donner la probabilité de choisir un élève participant à cet événement. 2 On donne les probabilités suivantes : P ( F ) = 0 ; 28 ; P ( B ) = 0 ; 22 Sachant que dans cet établissement, il y a 30 élèves de seconde pratiquant à la fois le basket-ball et le football, déterminer le nombre d’élèves de seconde dans cet étab-lissement. E.4564 Une entreprise d’horlogerie vérifie son stock composé de 500 montres d’un même modèle. Il est particulièrement attentif aux défauts sur le bracelet et sur le cadran de chaque montre. On considère les deux événements suivants : B : ˇ la montre possède un défaut sur le bracelet ı C : ˇ la montre possède un défaut sur le cadran ı 1 Sachant que sur son stock, 20 montres présentent un dé-faut sur le bracelet et 36 présentent un défaut sur le cad-ran, déterminer la probabilité des événements B et C . 2 La probabilité de choisir au hasard une montre possédant au moins un défaut est de 0 ; 1 . a Déterminer la probabilité de choisir une montre présen-tant les deux défauts. b En déduire le nombre de montres possédant les deux défauts recherchés. E.6684 Un établissement scolaire ne pro-pose que deux activités péri-scolaires: un club de théâtre et un atelier d’initiation à la programmation. On sait qu’il y a le même nombre d’inscrits dans ces deux activités. On choisit au hasard un élève dans l’établissement et on con-sidère les deux événements suivants : T : ˇ l’élève est inscrit au club théâtre ı P : ˇ L’élève est inscrit à l’atelier informatique ı On donne les probabilités : P T ∩ P = 0 ; 13 ; P T ∪ P = 0 ; 47 Déterminer la probabilité de choisir un élève inscrit au club théâtre? inscrit à l’atelier informatique? E.4789 Soit Ω ; P un espace probabilisé où A et B sont deux événements de Ω tels que : P ( A ) = 0 ; 36 ; P ( B ) = 0 ; 27 1 Supposons que les deux événements A et de B vérifient la relation: P A ∪ B =0 ; 63 ? Que peut-on dire de l’intersection A ∩ B ? 2 On suppose maintenant que : P A ∪ B =0 ; 5 : Quelle est la probabilité qu’un événement réalise simul-tanément les événements A et B ? E.5907 On considère une expérience aléatoire représentant une situa-tion d’équiprobabilité. Le schéma ci-dessous représente les événements élémentaires de l’univers Ω ainsi que les deux événements A et B . On considère un événement C de Ω vérifiant : P B ∪ C = 5 16 ; P B ∩ C = 2 16 Quelle est la probabilité de l’événement C ? 2 16 3 16 4 16 5 16 13. Exercices non-classés E.3050 On dispose d’un jeu de 52 cartes. On tire l’une après l’autre deux cartes de ce jeu ; l’ordre de tirage des cartes a une importance : 1 Déterminer le nombre possible de réalisations de chacun des événements suivants : a A : ˇ La première carte tirée est l’as de pique ; la sec-onde carte est un carreau ı. b B : ˇ La première carte tirée est une figure de pique ; la seconde carte est un carreau ı. c C : ˇ La première carte tirée est une figure de coeur ; la seconde carte est un coeur ı. d D : ˇ La première carte tirée est une figure ; la seconde carte est un coeur ı. 2 a Combien de tirages différents est-il possible de réaliser? b En déduire la probabilité de chacun des événements de la question 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4553 sacados/4553 chapExoCorrec/4564 sacados/4564 A revoir chapExoCorrec/6684 sacados/6684 chapExoCorrec/4789 sacados/4789 chapExoCorrec/5907 sacados/5907 AB chapExoCorrec/3050 sacados/3050
E.5908 On considère une expérience aléatoire représentant une situa-tion d’équiprobabilité. Le schéma ci-dessous représente les événements élémentaires de l’univers Ω ainsi que les deux événements A et B . 1 Déterminer la probabilité de l’événement A ∩ B ? 2 16 3 16 4 16 5 16 2 On considère un événement C de Ω vérifiant : P B ∪ C = 7 16 ; P B ∩ C = 2 16 Quelle est la probabilité de l’événement C ? 2 16 3 16 4 16 5 16 E.5910 On considère un dé truqué à six faces dont le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité : x 1 2 3 4 5 6 P ( x ) 0 ; 14 0 ; 07 0 ; 2 0 ; 12 0 ; 1 1 Quelle est la probabilité de l’évènement ˇ la face obtenue est la face 6 ı? 0 ; 34 0 ; 35 0 ; 36 0 ; 37 2 On considère les événements suivants : A : ˇ La face obtenue est pair ı ; B : ˇ La face a une valeur strictement supérieure à 2 ı ; C : ˇ La face a une valeur inférieure ou égale à 5 ı ; a Quelle est la probabilité de l’événement A ? 0 ; 54 0 ; 55 0 ; 56 0 ; 57 b Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 0 ; 42 0 ; 44 0 ; 46 0 ; 48 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5908 sacados/5908 AB chapExoCorrec/5910 sacados/5910