Seconde / Racines carrées 63 exercices (100% corrigés)

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Vous trouverez davantage d’exercices sur les racines carrées en suivant le lien https://chingmath.fr/hp-lycee/racines-carres ChingQuizz : 6 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Situations-problèmes E.5783 Ci-dessous, sont représentés deux carrés dont certaines mesures sont précisées sur la figure. Existe-t-il un carré dont l’aire a pour valeur la somme des aires des deux carrés représentés? Si oui, donner la mesure de son côté. E.5784 Ci-contre sont représentés deux carrés dont certaines mesures sont précisées sur la figure : Existe-t-il un carré dont l’aire a pour valeur la somme des aires des deux carrés représentés? Si oui, donner la mesure de son côté. E.5785 Ci-contre sont représen-tés deux carrés dont cer-taines mesures sont pré-cisées sur la figure : Existe-t-il un carré dont l’aire a pour valeur la somme des aires des deux carrés représentés? Si oui, donner la mesure de son côté. 2. Introduction E.748 La figure ci-dessous est construite ainsi : Le triangle OAB est isocèle rectangle en A tel que OA =1 cm ; À l’extérieur du triangle OAB et sur l’hypoténuse [ OB ] , on construit un triangle rectangle en B tel que : BC =1 ; et ainsi de suite. . . 1 a Justifier les deux égalités suivantes : OB 2 = 2 ; OC 2 = 3 b À l’aide de la calculatrice, donner les valeur des longueurs OB et OC , arrondies à 10 − 3 près. 2 a Justifier que : OD =2 cm . b Justifier brièvement que : OI =3 cm . https://chingmath.fr https://chingmath.fr/hp-lycee/racines-carres quizzChap/1184 chapExoCorrec/5783 sacados/5783 9cm21cm1cm chapExoCorrec/5784 sacados/5784 16cm27;5cm chapExoCorrec/5785 sacados/5785 4cm2 chapExoCorrec/748 sacados/748 AO1cmBCDEFGHIJKLMNPQR
E.792 Répondre à la question suivante à l’aide de la calculatrice: 1 Donner la troncature des nombres suivants au centième près : a 2 b 3 c 10 2 Donner la valeur arrondie des nombres suivants à 10 − 2 près : a 52 b 4 + 0 ; 03 c 72 + 2 2 3 Déterminer la valeur exacte des nombres suivants : a 4 b 25 + 75 c 0 ; 01 4 Résoudre les équations suivantes (chacune de ces équa-tions admettent deux solutions) : a x 2 = 9 b x 2 = 100 c x 2 = 2 E. 766 Sans l’aide de la calculatrice, donner la valeur exacte de chacune des racines carrées ci-dessous : a 4 b 400 c 20 + 44 d 0 ; 49 e 121 f 0 ; 25 E.756 Sans l’aide de la calculatrice, justifier qu’aucune des expressions ci-dessous n’a de sens : − 4 ; − 1 ; 5 − 9 3. Autour de la définition E.252 1 a Donner la définition du nombre 3 . b Justifier que l’écriture − 1 ne définit aucun nombre réel. 2 Parmi les expressions ci-dessous, certaines ne définissent pas un nombre. Lesquelles? a 5 b ( − 2) 2 c − 16 d 3 e 5 + 6 f 13 − 136 E. 784 Soit a un nombre positif, la défini-tion de la racine carrée me permet d’établir les deux relations suivantes : a 2 = a ; a 2 = a . Utiliser ces deux propriétés pour simplifier, si possible, les expressions suivantes : a 4 2 + 6 2 b 3 2 + 4 2 c 4 + 6 2 d (4 + 6) 2 e 4 2 × 6 2 f 4 2 × 6 2 E. 757 1 a Donner la valeur des expressions suivantes : 9 + 16 ; 9 + 16 b Donner la valeur des expressions suivantes : 169 − 25 ; 169 − 25 2 Que peut-on dire des relations ci-dessous : a a + b = a + b b a − b = a − b E.754 1 Le triangle ABC ci-dessous est-il rectangle? (Sur la figure les dimensions ne sont vraiment pas respec-tées) 2 Donner la valeur du nombre suivant : D = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 E.246 Justifier les deux égalités suivantes : 3 4 = 3 ; 7 10 = 7 5 4. Premières équations du second degré E.788 1 Déterminer deux valeurs de x vérifiant l’égalité: x 2 = 4 . 2 Quel (s) nombre (s) vérifie (nt) l’égalité: x 2 = 0 . 3 Existe-t-il un nombre x vérifiant l’égalité: x 2 = − 1 . Justifier votre réponse. E.765 1 Donner les deux nombres solutions de l’équation x 2 =4 . 2 Résoudre les équations suivantes : a x 2 = 0 b x 2 = − 1 c ( x + 1) 2 = 0 d ( x − 1) 2 = 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/792 sacados/792 chapExoCorrec/766 sacados/766 chapExoCorrec/756 sacados/756 chapExoCorrec/252 sacados/252 chapExoCorrec/784 sacados/784 chapExoCorrec/757 sacados/757 chapExoCorrec/754 sacados/754 6√5cm2√30cm2√15cmABC chapExoCorrec/246 sacados/246 chapExoCorrec/788 sacados/788 chapExoCorrec/765 sacados/765
5. Relations multiplicatives et simplifications E.1955 1 a Calculer le carré du nombre 5 × 3 . b Comparer les deux nombres : 5 × 3 et 15 . c Pour tout nombre a et b positif, justifier l’égalité: a × b = a × b . 2 a Déterminer deux entiers a et b tel que : 50 = a 2 × b . b Établir l’égalité: 50 = 5 2 E.751 Proposition: pour tout nombre a et b positifs ou nuls, on a l’égalité: a × b = a × b 1 Écrire chacun des nombres ci-dessous sous la forme de produit, où le maximum de facteurs sont des nombres élevés au carré (exemple 50=5 2 × 2 ) a 75 b 32 c 18 d 72 e 1 000 f 242 2 Donner une écriture simplifiée des racines carrées suiv-antes : a 75 b 32 c 18 d 72 e 1 000 f 242 E. 782 Écrire les radicaux suivant sous la forme a b avec a et b deux entiers où b est le plus petit possible : a 3 2 × 2 b 13 × 4 2 c 12 d 48 e 1 600 f 360 E. 771 Simplifier les radicaux suivants : a 4 b 84 c 200 d 30 + 42 e 98 f 150 g 0 ; 01 h 0 ; 36 E.8390 Simplifier l’expression de chacun des produits suivants : a 6 × 40 b 3 × 15 c 8 × 18 E. 750 Écrire les calculs suivants sous la forme a b où a et b sont des entiers avec b le plus petit pos-sible : a 5 × 30 b 24 × 6 c 5 2 × 2 2 d 3 6 × 4 3 e 39 × 2 13 f 2 15 2 6. Relations multiplicatives et quotient E.8324 1 Simplifier le calcul suivant : 7 3 × 7 3 2 a Compléter la phrase suivante : 7 3 est un nombre dont le carré vaut . . . . . . b Compléter l’égalité: 7 3 = : : : : : : 3 Pour tous nombres positifs a et b , avec b =0 , justifier l’égalité: a b = a b E.791 Proposition: soit a et b deux nombres positifs avec b =0 . On a la relation: a b = a b Écrire les calculs suivants sous la forme a b où a et b sont des entiers avec b le plus petit possible : a 2 × 5 2 b 30 6 × 2 5 c 15 14 × 35 6 E. 275 Justifier que chacune des expressions présentées ci-dessous représentent l’inverse du nombre 8 3 : a 3 8 b 3 8 8 c 18 16 7. Simplifications de quotients avec des radicaux au dénominateur E. 250 En vous servant de l’exemple suivant, écrire les quotients suivants sans radicaux au dénominateur et simplifier au maximum l’écriture des quotients. 2 6 = 2 × 6 6 × 6 = 2 6 6 = 6 3 a 5 2 10 b 6 3 5 c 2 + 1 6 d 21 70 https://chingmath.fr chapExoCorrec/1955 sacados/1955 chapExoCorrec/751 sacados/751 chapExoCorrec/782 sacados/782 chapExoCorrec/771 sacados/771 chapExoCorrec/8390 sacados/8390 chapExoCorrec/750 sacados/750 chapExoCorrec/8324 sacados/8324 chapExoCorrec/791 sacados/791 chapExoCorrec/275 sacados/275 chapExoCorrec/250 sacados/250
E.1742 1 Justifier chacune des égalités suivantes : a 3 7 × 7 7 = 3 7 7 b 4 2 × 2 2 = 2 2 c 1 3 = 3 3 2 En vous servant de la question précédente, établir les égalités suivantes : a 2 3 = 6 3 b 7 + 3 7 = 1 + 3 7 7 c 4 2 + 2 = 3 2 E. 733 Écrire les fractions suivantes sans radical au dénominateur : a 1 3 b 3 2 c 28 7 E.775 Simplifier les expressions ci-dessous sans radical au dénominateur : a 2 2 b 3 2 c 5 15 d 2 18 e 27 3 8. Relations multiplicatives et problèmes E.783 1 Développer: A ( x )=(2 x +1)(2 x − 1) . 2 Calculer A ( x ) pour x = 5 . 3 Expliquer comment on peut utiliser la première question pour calculer: 20 001 × 19 999 E.2352 On donne l’expression suivante : K =(5 x − 3) 2 +6(5 x − 3) 1 Développer K puis donner son expression réduite. 2 Donner l’expression factorisée de K . 3 Donner une forme simplifiée de K lorsque x = 2 . E.3833 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous dont certaines mesures, en centimètres, sont portées sur la figure : Déterminer l’aire de ce triangle. E.3856 On considère l’expression : A =(2 x − 3)( x − 4) − (2 x − 3) 2 1 Développer et réduire A . 2 Calculer A lorsque x = 3 2 , puis lorsque x =3 · √ 2 . 3 Factoriser A . E. 5239 On considère le triangle ABC où M est un point de [ AB ] et N est un point de [ AC ] . On a les mesures suivantes : AB = 6 ; AC = 2 3 ; AM = 6 ; AN = 2 Montrer que les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles. E. 249 Après une interrogation, trois élèves discutent de leurs résultats ; voici leurs réponses à la question : ˇ Donner l’inverse de √ 2 √ 3 ı L’élève A a répondu 3 2 ; La réponse de l’élève B a été 3 6 ; L’élève C a écrit 1 2 × 6 sur sa copie. En se servant de la définition de l’inverse d’un nombre , mon-trer que ces trois réponses sont exactes. 9. Simplifications additives E. 3832 1 Simplifier l’écriture de la somme ci-dessous : A = 2 + 2 2 2 a Simplifier l’expression des racines carrées suivantes : 50 ; 32 b Déduire de la question précédente une simplification https://chingmath.fr chapExoCorrec/1742 sacados/1742 chapExoCorrec/733 sacados/733 chapExoCorrec/775 sacados/775 chapExoCorrec/783 sacados/783 chapExoCorrec/2352 sacados/2352 chapExoCorrec/3833 sacados/3833 ABC√27√12 chapExoCorrec/3856 sacados/3856 Extrait de Reims Septembre 2002 chapExoCorrec/5239 sacados/5239 ABCMN√6√262√3 chapExoCorrec/249 sacados/249 chapExoCorrec/3832 sacados/3832
de la somme : B = 50 + 32 + 2 3 On considère le nombre : C =2 27+5 75 Justifier la simplification suivante : C =31 3 E.785 Simplifier au maximum l’écriture des calculs suivants : a 3 + 2 3 b 12 + 3 c 3 × 6 + 2 d 8 + 2 E.734 Donner les expressions ci-dessous sous la forme a b avec a et b deux entiers où b est le plus petit possible : a 3 + 3 b 2 5 + 3 5 c 2 − 4 2 d 8 + 2 e 27 − 8 3 f 50 − 72 E.728 1 Réduire chacune des expressions ci-dessous sous la forme a √ b où b est un entier: a 2 + 2 2 b 2 8 c 3 50 + 2 2 Faire de même avec les expressions suivantes : a 2 18 + 50 b 4 12 − 2 75 c 5 + 3 2 × 40 − 45 E. 772 Écrire sous la forme a b avec a et b des nombres entiers. a 3 28 − 9 7 b 2 + 32 + 200 c 2 45 − 3 5 + 20 d 4500 + 3 5 − 2 125 E. 758 1 Écrire le calcul suivant sous la forme a 3 où a est un entier: 2 48 + 7 3 − 75 2 Montrer que A est un nombre entier: 63 − 4 2 + 18 × 2 + 2 8 − 3 7 E. 774 L’unité de longueur est le centimètre. RECT est un rectangle. 1 Calculer le périmètre du triangle TIP . 2 Deux élèves ont calculé le périmètre du triangle TIP . Marcel a trouvé : 2 17 2+1 . Paul a trouvé : 2 34 1+ 1 2 . a La réponse de Marcel est-elle exacte? b La réponse de Paul est-elle exacte? 10. Simple distributivité et racine carrée E.759 Développer puis simplifier les expres-sions ci-dessous : a 1 + 5 15 b 3 + 2 2 c 1 + 3 6 2 d 3 2 5 − 2 E.9573 Développer puis simplifier les expres- sions suivantes : a 2 18 + 2 b 5 5 − 45 E.9575 Calculer et simplifier l’écriture des racines suivantes a 3 + 2 2 b 5 × 2 15 − 3 5) 11. Double distributivité et racines carrées E.780 Développer et donner le résultat sous forme simplifiée : a 2 + 3 1 − 2 b 2 + 3 3 − 2 c 5 + 2 5 + 2 d 3 × 2 2 e 2 − 5 5 + 2 E.736 Calculer et simplifier au maximum l’écriture des racines suivantes : a 2 + 3 1 − 2 b 2 − 5 2 + 5 + 1 E.9574 Calculer et donner l’écriture simpli-fiée des calculs suivants : a 3 2 + 1 3 2 − 1 b 2 − 5 2 + 5 + 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/785 sacados/785 chapExoCorrec/734 sacados/734 chapExoCorrec/728 sacados/728 chapExoCorrec/772 sacados/772 chapExoCorrec/758 sacados/758 chapExoCorrec/774 sacados/774 Brevet 91 TCERPI3532 chapExoCorrec/759 sacados/759 chapExoCorrec/9573 sacados/9573 chapExoCorrec/9575 sacados/9575 chapExoCorrec/780 sacados/780 chapExoCorrec/736 sacados/736 chapExoCorrec/9574 sacados/9574
E.744 Donner le résultat des calculs suivants sous la forme a + b c , où a et b sont des nombres relatifs et où c est un nombre entier positif le plus petit possible. a 2 − 3 2+ 3 b 4 5 − 3 3 3+2 5 E.9576 Calculer et simplifier au maximum l’écriture des racines suivantes : a 2 − 3 2 b 3 5 + 2 2 E.9577 Développer et simplifier les expres- sions suivantes : a 2 3 + 1 2 b 3 5 + 2 2 E. 267 1 Montrer que les deux nombres suivants sont inverses l’un de l’autre: 5 + 1 2 ; 5 − 1 2 2 Montrer que : 5+1 2 2 =1+ 5+1 2 12. Algèbre et problèmes E.760 Dans cet exercice toutes les longueurs sont données en cm . On considère les deux figures ci-dessous où : La mesure d’un côté du carré est 3+3 Les dimensions du rectangle 72+3 6 et 2 . 1 Calculer l’aire A du carré; réduire l’expression obtenue. 2 Calculer l’aire A du rectangle. 3 Vérifier que ce rectangle et ce carré ont la même aire. E.264 On considère le triangle ABC ayant les mesures suivantes : AB = 5 − 2 ; BC = 5 − 1 ; AC = 2 × 5 Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. E.2329 1 Vérifier que − 2 3 est solution de l’équation suivante : ( E ) : 3 x 2 + 5 x + 2 = 0 2 Vérifier que 2 − 1 est solution de l’équation suivante : ( F ) : x 2 + 2 x − 1 = 0 13. Racine carrée et valeur absolue E.8323 1 Compléter le tableau ci-dessous : x − 5 − 3 0 1 2 5 x 2 d (0 ; x ) 2 Pour tout nombre réel x ( x ∈ R ) , que peut-on dire de x 2 et d (0 ; x ) ? 14. Inégalité triangulaire E.8363 Soit a et b deux nombres réels stricte-ment positifs. On considère le triangle ABC rectangle en A dont les côtés [ AB ] et [ AC ] ont pour mesures respectives a et b : 1 Exprimer la longueur de l’hypoténuse [ BC ] en fonction des nombres a et b . https://chingmath.fr chapExoCorrec/744 sacados/744 chapExoCorrec/9576 sacados/9576 chapExoCorrec/9577 sacados/9577 chapExoCorrec/267 sacados/267 chapExoCorrec/760 sacados/760 33√27236 chapExoCorrec/264 sacados/264 chapExoCorrec/2329 sacados/2329 chapExoCorrec/8323 sacados/8323 chapExoCorrec/8363 sacados/8363 ABCba
2 Quelle propriété permet d’affirmer l’inégalité: a + b a + b pour tout nombre réel positif ou nul a et b ? 15. Approfondissement: extraction de la racine carrée en géométrie E.9722 Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 . On considère un segment [ AB ] et un point C appartenant à [ AB ] tel que : AC = 1 ; CB = a On construit le demi-cercle C de diamètre [ AB ] et le point D intersection de C avec la droite passant par C et perpendicu-laire à ( AB ) . Démontrer que : CD = a E.9723 Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 . On considère un segment [ AB ] et un point C appartenant à [ AB ] tel que : AC = 1 ; AB = a On construit le demi-cercle C de diamètre [ AB ] et le point D intersection de C avec la droite passant par C et perpendicu-laire à ( AB ) . Démontrer que : AD = a Remarque: cette méthode de construction à la règle et au compas permet d’obtenir un segment de longueur √ a . 16. Exercices non-classés E.2468 À l’aide de la décomposition des nombres entiers en produits de facteurs premiers, donner l’écriture de chacun des nombres suivants sous la forme p q où p ∈ N et q ∈ N et où q est le plus petit possible. a 432 b 126 c 42 E.6278 On étudie plus précisément le rem-plissage d’une écluse pour faire passer une péniche de l’amont vers l’aval. Principe: Il s’agit de faire monter le niveau de l’eau dans l’écluse jusqu’au niveau du canal en amont afin que l’on puisse ensuite faire passer la péniche dans l’écluse. Ensuite, l’écluse se vide et le niveau descend à celui du canal en aval. La péniche peut sortir de l’écluse et poursuivre dans le canal en aval. Toutes les mesures de longueur sont exprimées en mètres. On notera h la hauteur du niveau de l’eau en amont et x la hauteur du niveau de l’eau dans l’écluse. Ces hauteurs sont mesurées à partir du radier (fond) de l’écluse. (voir schéma ci-dessus) . Lorsque la péniche se présente à l’écluse, on a: h =4 ; 3 m ; x =1 ; 8 m https://chingmath.fr chapExoCorrec/9722 sacados/9722 1aABCD chapExoCorrec/9723 sacados/9723 1aABCD chapExoCorrec/2468 sacados/2468 chapExoCorrec/6278 sacados/6278 hxvantellesradierAmontAvalPortesEcluse
La vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle (vanne) est don-née par la formule suivante : v = 2 g h − x où g =9 ; 81 (accélération en mètre par seconde au carré noté m · s − 2 ) . 1 Calculer la vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle à l’instant de son ouverture, arrondie au m = s près. (On considère l’ouverture comme étant instantanée) . 2 Pour quelle valeur de x , la vitesse d’écoulement de l’eau sera-t-elle nulle? Qu’en déduit-on pour le niveau de l’eau dans l’écluse dans ce cas? 3 Le graphique donné en ci-dessous représente la vitesse d’écoulement de l’eau par la vantelle en fonction du niveau x de l’eau dans l’écluse. Déterminer, par lecture graphique, la vitesse d’écoulement lorsque la hauteur de l’eau dans l’écluse est de 3 ; 4 m . E.793 Écrire l’expression suivante sous la forme a b avec b un entier le plus petit possible : 27 + 3 12 − 5 75 E.11624 Montrer que 3 − 2 est une solution de l’équation: x 2 + 4 x + 1 = 0 E.11625 Montrer que 2 − 2 2 est une solution de l’équation: 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 E.11626 Montrer que le nombre 2 3 − 3 3 est une solution de l’équation: 3 x 2 + 6 x − 1 = 0 https://chingmath.fr hauteur(m0123456vitesse(m=s123456789 chapExoCorrec/793 sacados/793 chapExoCorrec/11624 sacados/11624 chapExoCorrec/11625 sacados/11625 chapExoCorrec/11626 sacados/11626