Seconde / Inéquations produit et tableaux de signes 55 exercices (100% corrigés)

a
ChingQuizz : 9 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Lecture graphique de tableaux de signes E.472 On représente ci-dessous les représen-tations graphiques des fonctions f et g définies respectivement sur [ − 4 ; 4] et [ − 6 ; 2] . 1 Déterminer, graphiquement, les solutions des inéqua-tions : f ( x ) 0 ; g ( x ) 0 2 Dresser les tableaux de signes des fonctions f et g : x − 4 4 f ( x ) x − 6 2 g ( x ) E.481 On considère les deux fonctions f et g définies sur − 6 ; 6 dont les représentations graphiques sont données ci-dessous : Dresser les tableaux de signes des fonctions f et g sur − 6 ; 6 2. Tableau de signes des fonctions affines E.9784 Proposition: 1 On considère la fonction affine f définie par : f ( x ) = 2 x + 3 Déterminer le tableau de signes de la fonction f . 2 On considère la fonction affine f définie par : g ( x ) = − x + 1 Déterminer le tableau de signes de la fonction g . E.9785 1 a On considère la fonction f affine définie par : f ( x ) = 3 x − 4 Compléter le tableau de signe de la fonction f : x −∞ + ∞ f ( x ) b On considère la fonction g affine définie par : g ( x ) = − 2 x + 1 Compléter le tableau de signe de la fonction g : x −∞ + ∞ g ( x ) 2 Soit h la fonction obtenue par le produit des fonctions f et g . C’est-à-dire que pour tout x ∈ R : h ( x ) = f ( x ) × g ( x ) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : a h ( − 5) est positif b h ( − 1) est positif c h (1) est positif d h (3 ; 2) est positif E.9786 On considère une fonction affine f définie sur R et dont le tableau de signe est donnée ci-dessous : x −∞ 1 2 + ∞ f ( x ) + 0 − De plus, l’inéquation f ( x ) 3 admet pour solutions l’ensemble S : S = −∞ ; − 3 Déterminer l’équation réduite de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/472 sacados/472 -4-2024-4-224Cf -6-4-202-2246Cg chapExoCorrec/481 sacados/481 -6-4-20246-4-224Cf -6-4-20246-4-224Cg chapExoCorrec/9784 sacados/9784 xOyx0(dCoe`cientdirecteurpositif(m>0)xOyx0(dCoe`cientdirecteurnégatif(m<0)xSignedef(x−∞∞x00−xSignedef(x−∞∞x00− chapExoCorrec/9785 sacados/9785 chapExoCorrec/9786 sacados/9786
3. Construction de tableaux de signes E.468 1 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 2 Dans cette question, nous allons étudier le signe de la fonction f . a Établir l’égalité: f ( x )=(2 x +1)( x − 2) . b Résoudre les deux inéquations suivantes : 2 x + 1 < 0 ; x − 2 < 0 c Dans le tableau ci-dessous et pour les deux facteurs 2 x +1 et x − 2 , colorier: en bleu les intervalles sur lesquels le facteur est posi-tif ; en rouge les intervalles sur lesquels le facteur est né-gatif. d Compléter la troisième ligne en utilisant la règle des signes d’un produit. e Résoudre l’inéquation: f ( x ) 0 . 2 On considère la fonction g dont l’image d’un nombre x est donné par la relation: g ( x ) = − 3 x 2 + 13 x − 12 a Établir l’égalité suivante : g ( x )=(3 x − 4)(3 − x ) b De même que pour la question précédente, compléter le tableau ci-dessous : c En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation g ( x ) < 0 E.469 1 a Résoudre sur R les inéquations suivantes : 4 − 2 x 0 ; 5 x + 15 0 b En déduire les solutions des inéquations : 4 − 2 x < 0 ; 5 x + 15 < 0 2 a Dans les deux premières lignes du tableau de signe, indiquer le signe des expressions sur R : x −∞ + ∞ 4 − 2 x 5 x +15 (4 − 2 x )(5 x +15) b Compléter la troisième ligne du tableau afin d’indiquer le signe du produit (4 − 2 x )(5 x +15) sur R . c En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation: (4 − 2 x )(5 x + 15) 0 E.4380 On considère les fonctions f et g dont les images du nombre x sont respectivement définies par : f ( x ) = 2 − x × x − 5 ; g ( x ) = (2 − x )( x − 5) 1 a Justifier que la fonction f n’est pas définie pour le nombre 3 . b Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Déterminer l’image du nombre 3 par la fonction g . b Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g . 4. Tableau de signes d’un produit E.4455 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ 2 x + 1 3 + x (2 x +1)(3+ x ) 2 x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 ( x − 3)( − 2 x +4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/468 sacados/468 -122-∞∞-122-∞∞-122-∞∞2x1x−2(2xx− -∞∞-∞∞-∞∞3x−43−xg(x chapExoCorrec/469 sacados/469 chapExoCorrec/4380 sacados/4380 chapExoCorrec/4455 sacados/4455
E.4876 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ 1 − x 2 x + 1 (1 − x )(2 x +1) 2 x −∞ + ∞ 2 − x 4 x − 3 (2 − x )(4 x − 3) E.460 Établir le tableau de signes des ex-pressions algébriques : a ( x + 1)(2 − x ) b − (2 x + 4)( x − 2) c ( x + 1) 2 E.11648 Construire le tableau de signes de cha-cune des expressions ci-dessous : a (2 x − 15)(2 x − 3) b x ( x + 1) E.11650 Construire le tableau de signe des ex-pressions : a ( − 2 x − 1)( x + 1) b ( − x + 2)( x + 3) 5. Tableau de signes d’un quotient E.9787 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ x + 5 − 2 x − 8 x + 5 − 2 x − 8 2 x −∞ + ∞ x − 1 4 − x − x − 1 ( x − 1)(4 − x ) − x − 1 E.9788 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ 2 + x 2 − x 2 + x 2 − x 2 x −∞ + ∞ 4 x + 1 x − 1 x (4 x +1)( x − 1) x E.11712 Construire le tableau de signe des ex-pressions : a 5 x − 3 4 x + 7 b − 2 x + 5 6 x + 15 6. Inéquations et tableaux de signes E.480 Résoudre les inéquations suivantes : a ( x + 4)(1 − 2 x ) 0 b 3 + x 2 − x 0 E.9819 Résoudre les inéquations suivantes : a (3 − 2 x )(5 x + 2) 0 b (3 x + 1)(4 − 2 x ) 0 E.9790 Résoudre l’inéquation: ( x + 1)( x − 2) 1 − x > 0 E.9820 Résoudre les inéquations : a (5 − 2 x )( x − 1) 3 x − 2 > 0 b (2 x + 1) 2 (4 x − 3)(1 − 2 x ) 0 E.465 1 Développer: (2 x + 1)( x − 1) 2 Résoudre l’inéquation suivante : 2 x 2 − x − 1 x 2 + 1 0 . E.442 1 Développer: ( x − 1)( x − 5) 2 Résoudre : ( x − 3) 2 − 4 3 − 2 x < 0 Indication : on utilisera le résultat de question 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4876 sacados/4876 chapExoCorrec/460 sacados/460 chapExoCorrec/11648 sacados/11648 chapExoCorrec/11650 sacados/11650 chapExoCorrec/9787 sacados/9787 chapExoCorrec/9788 sacados/9788 chapExoCorrec/11712 sacados/11712 chapExoCorrec/480 sacados/480 chapExoCorrec/9819 sacados/9819 chapExoCorrec/9790 sacados/9790 chapExoCorrec/9820 sacados/9820 chapExoCorrec/465 sacados/465 chapExoCorrec/442 sacados/442
E.445 On considère la fonction f définie par la relation suivante : f : x ↦−→ x + 1 − 2 x 2 + 7 x − 3 1 Établir l’égalité suivante : − 2 x 2 +7 x − 3 = (2 x − 1)(3 − x ) 2 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 3 a Dresser le tableau de signes de la fonction f sur son ensemble de définition. b Résoudre l’inéquation: f ( x ) 0 E.11713 Résoudre les inéquations suivantes : a ( x + 4)(5 − 2 x ) 0 b (3 − x )(3 − 6 x ) < 0 E.11714 Résoudre les inéquations suivantes : a 5 x + 2 x − 3 0 b 5 − 2 x x + 4 0 7. Résolutions graphique d’inéquations et tableau de signes E.5027 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 2 ; 4 dont la courbe représentative C f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : 1 On laissera les traits de constructions nécessaires à la résolution des questions suivantes : a Déterminer graphiquement l’image du nombre 2 par la fonction f . b Déterminer graphiquement les antécédents du nombre 1 par la fonction f . 2 a Graphiquement, déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation f ( x ) 0 b Compléter le tableau de signes de la fonction f : x f ( x ) E.365 Dans un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, on considère la courbe C g représentative de la fonction g : 1 Donner, sans justification, l’ensemble de définition de la fonction g . 2 a Graphiquement, résoudre l’équation f ( x )=0 . b Compléter le tableau de signes de la fonction f . x f ( x ) E.9656 On considère une fonction f dont la courbe représentative C f est donnée dans le repère or-thonormé ci-dessous : 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Graphiquement, donner les solutions de l’équation f ( x )=0 . b Dresser le tableau de signes de la fonction f . 8. Lectures graphiques et manipulations algébriques https://chingmath.fr chapExoCorrec/445 sacados/445 chapExoCorrec/11713 sacados/11713 chapExoCorrec/11714 sacados/11714 chapExoCorrec/5027 sacados/5027 -2-1234I-12JOCf chapExoCorrec/365 sacados/365 -6-5-4-3-2-12345678I-123JOCg chapExoCorrec/9656 sacados/9656 x-6-5-4-3-2-10123y-2-1123Cf
E.458 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − 3 x + 2 1 Graphiquement, déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation f ( x ) > 0 . 2 a Établir l’égalité suivante : f ( x )=( x +2)( x − 1) 2 b Dresser le tableau de signes de la fonction f sur R . c En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation: f ( x ) > 0 E.446 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par l’expression : f ( x ) = − x 3 + 2 x 2 + x − 2 Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on a tracé la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Par lecture graphique, donner les intervalles sur lesquels la fonction f est strictement positive. 2 Montrer l’égalité: − x 3 +2 x 2 + x − 2= − ( x − 2)( x 2 − 1) 3 a Dresser le tableau de signes de f . b En déduire les solutions de l’inéquation: f ( x ) > 0 . 9. Positions relatives de courbes: résolution graphique E.462 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les deux courbes C f et C g représenta-tives respectivement des fonctions f et g définies sur − 7 ; 7 : 1 Déterminer, graphiquement, les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . 2 Graphiquement, résoudre l’inéquation: g ( x ) f ( x ) E.372 On considère la fonction f dont la représentation est donnée ci-dessous dans le repère orthogo-nal O ; I ; J ) : On s’intéresse à la fonction affine g définie par la relation: g : x ↦−→ x + 1 1 Tracer la courbe représentative de la fonction g dans le repère ci-dessus. 2 Graphiquement, résoudre l’équation: f ( x )= g ( x ) . 3 Résoudre graphiquement l’inéquation: f ( x ) g ( x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/458 sacados/458 -3-2-10123-4-224Cf chapExoCorrec/446 sacados/446 -2-10123-4-224Cf chapExoCorrec/462 sacados/462 -7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-1234JOCfCg chapExoCorrec/372 sacados/372 -2-1234I-224JO
E.2142 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on donne les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur l’intervalle [ − 4 ; 4] : On considère l’inéquation: f ( x ) <g ( x ) 1 Parmi les nombres ci-dessous, lesquels sont solutions de cette inéquation : a − 2 ; 5 b − 0 ; 25 c 1 2 Résoudre graphiquement cette inéquation. 10. Positions relatives de courbes: résolution algébrique E.4915 1 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthogonal, on considère les courbes représentatives C f et C g représen-tatives des fonctions f et g . Résoudre graphiquement sur l’intervalle − 2 ; 4 l’inéquation suivante : f ( x ) <g ( x ) 2 Les fonctions f et g sont définies sur R par les expres-sions : f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − x + 1 ; g ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 a Déterminer l’expression du polynôme P de degré 1 véri-fiant l’égalité: x 3 − 2 x 2 − 3 x =( x 2 − 3 x ) × P b En déduire sur quels intervalles la courbe C g est stricte-ment au-dessus de C f . E.8192 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthogonal, on considère les courbes représentatives C f et C g représentatives des fonctions f et g où les fonctions f et g sont définies par : f ( x ) = 6 x 3 + 2 x 2 + x + 1 ; g ( x ) = 2 x 2 + 19 x + 13 1 Déterminer les réels a et b réalisant l’identité: 6 x 3 − 18 x − 12=(2 x +2)(3 x +3)( ax + b ) 2 En déduire sur quels intervalles la courbe C g est stricte-ment au-dessus de C f . 11. Problemes E.2868 Un fabricant de boîtes en carton dis-pose, pour sa fabrication, de rouleaux donnant une bande de carton de 41 cm de large dans laquelle il trace et découpe les patrons de boîtes avant de les coller. Il dispose ses patrons de la manière indiquée dans le dessin ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2142 sacados/2142 -4-3-2-1234I-3-2-1234JOCfCg chapExoCorrec/4915 sacados/4915 -2-1234I-6-5-4-3-2-123JOCfCg chapExoCorrec/8192 sacados/8192 chapExoCorrec/2868 sacados/2868 1xyx141
Les boîtes, en forme de pavés droits, comportent deux faces carrées de x cm de côté, munies de deux languettes de 1 cm de large pour le collage, et quatre autres faces dont les dimen-sions en cm sont x et y , ainsi qu’un rabat pour la fermeture. 1 a Donner une expression de y en fonction de x . b Justifier que la valeur de x appartient à l’intervalle 0 ; 19 ; 5 . 2 Démontrer que le volume V , de la boîte en fonction de x en cm 3 , est donné, par la formule : V = 39 x 2 − 2 x 3 3 a Déterminer l’expression du polynôme P vérifiant l’égalité: 39 x 2 − 2 x 3 − 972 = ( x − 18)( x − 6) × P b En déduire les valeurs de x pour lesquelles le volume V est supérieure à 972 cm 3 . 4 a Déterminer l’expression du polynôme Q vérifiant l’égalité: V ( x ) − 2197=( − 2 x − 13) × Q b En déduire le tableau de signes de l’expression : V ( x ) − 2197 . c Donner le volume maximal que le fabricant peut obtenir avec ce type de boite; pour quelle valeur de x , ce maximum est-il atteint? E.1979 On considère le triangle ABC rect-angle en A tel que : AB = 9 cm ; AC = 4 cm On considère un point D appartenant au segment [ AB ] et on note x la longueur du segment [ BD ] . On construit à partir du point D un rectangle DEFA tel que : E ∈ [ BC ] ; F ∈ [ AC ] On note A l’aire du rectangle DEFA . 1 a Déterminer l’expression de la longueur FA en fonc-tion de x . b Justifier, brièvement, que le nombre réel x appartient à l’intervalle 0 ; 9 . 2 Établir que l’aire A s’exprime en fonction de x par : A ( x ) = 4 x − 4 9 · x 2 3 On souhaite connaître les valeurs de x pour lesquelles l’aire A ait supérieure ou égale à 5 cm 2 : a Établir la factorisation suivante : − 4 x 2 + 36 x − 45 = (2 x − 15)(3 − 2 x ) b Résoudre l’inéquation: A ( x ) 5 . E.11721 1 a Etablir la factorisation : − 3 x 2 +10 x − 3=( x − 3)(1 − 3 x ) b Résoudre l’inéquation: − 3 x 2 + 10 x − 3 > 0 2 On considère la figure ci-dessous composée des deux rect-angles ABCD et AEFG : Déterminer pour quelle valeur de x , l’aire de la partie hachurée est strictement supérieure à 53 m 2 . E.11722 1 a Etablir la factorisation : − 2 x 2 +9 x − 10=( x − 2)(5 − 2 x ) b Résoudre l’inéquation: − 2 x 2 + 9 x − 10 0 2 On considère la figure ci-dessous composée des deux rect-angles ABCD et AEFG : Déterminer pour quelle valeur de x , l’aire de la partie hachurée est strictement supérieure à 37 m 2 . E.11723 1 a Etablir la factorisation : 4 x 2 − 12 x + 27 4 = 4 x − 9 x − 3 4 b Résoudre l’inéquation: 4 x 2 − 12 x + 27 4 0 2 On considère la figure ci-dessous composée : du carré AEFG , de deux rectangles ABCD et CIFH . Les points B , D , I , H ap-partiennent aux côtés du carré AEFG . On considère le domaine grisé représenté ci-contre et on note son aire A : (les mesures sont exprimées en centimètre) Déterminer l’ensemble des valeurs de x réalisant l’inéquation: A 37 4 Indication : toute trace de recherche ou de prise d’initiative sera prise en compte dans l’évaluation. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1979 sacados/1979 x9cm4cmABCDEF chapExoCorrec/11721 sacados/11721 5m10mxABCDEFG chapExoCorrec/11722 sacados/11722 3m9mxABCDEFG chapExoCorrec/11723 sacados/11723 ABCDEFGHI2xx4cm4cm
12. Approfondissement: réflexion sur les opérations algébriques E.471 Voici la résolution d’une inéquation réalisée par un élève : 1 a − 2 est-il solution de l’inéquation: 1 1+ x 2 ? b Que peut-on en déduire de la résolution proposée? 2 On décompose la résolution de l’élève en indiquant la ma-nipulation algébrique effectuée à chaque étape par l’élève. Compléter le diagramme ci-dessous : 3 a Quel peut être le signe de l’expression 1+ x ? b En déduire l’erreur commise par l’élève. 4 Résoudre l’inéquation: 1 1+ x 2 E.479 Un élève a produit la résolution suiv-ante d’une inéquation : 1 a Le nombre − 1 est-il solution de l’inéquation: x 2 + 4 x 4 b Que peut-on en déduire sur la résolution proposée par l’élève? 2 Résoudre correctement cette inéquation. 13. Approfondissement: systèmes d’inéquation E.319 Donner la valeur de a afin que le système ci-dessous ait pour solution l’intervalle 1 ; 3 : 3 x + 2 5 1 2 − x a E.318 Trois nombres réels a , b et c vérifient le système suivant : a · b · c < 0 a · b > 0 a + b > 0 Trouver le signe de ces trois nombres. E.348 Résoudre les systèmes d’équations suivantes : 1 2 x − 3 < 5 x − 1 x + 4 3 x − 2 2 3 x − 3 > x + 1 2 x + 1 2 x + 1 14. Approfondissement: manipulation d’encadrements E.2091 On considère x un nom-bre relatif: 1 x vérifie l’encadrement 1 x< 3 . Donner un encadrement de l’expression littérale suivante : 2 x − 3 2 x vérifie l’encadrement − 3 <x 4 . Donner un en-cadrement de l’expression littérale: 3 − x 2 − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/471 sacados/471 11x211x·(1x2·(1x122x−12x−12x chapExoCorrec/479 sacados/479 chapExoCorrec/319 sacados/319 chapExoCorrec/318 sacados/318 chapExoCorrec/348 sacados/348 chapExoCorrec/2091 sacados/2091 A reclasser dans un autre chapitre
E.317 On considère un carré ABCD de 5 cm de côté. 1 Donner la longueur exacte des diagonales de ce carré. 2 Sachant que : 1 ; 41 < 2 < 1 ; 42 Donner un encadrement de la longueur de cette diago-nale. E.315 1 Soit a ∈ R tel que 1 2 <a< 1 , préciser quels encadrements sont vérifiés par a : a 1 2 < 1 a < 2 b 0 <a < 2 a c 1 4 <a 2 < 4 2 Par disjonction de cas pour a ∈ − 1 ; 0 et a ∈ 0 ; 2 , don-ner un encadrement de a 2 et a 3 pour − 1 <a< 2 . 15. Exercices non-classés E.470 On appelle ˇ domaine de résolution ı lors d’une résolution d’équation ou d’inéquation, l’ensemble sur l’inconnue x peut prendre ses valeurs. On cherchera alors les solutions parmi les valeurs du domaine de résolution. 1 Voici la résolution de l’équation x 2 =3 x par un élève : ( E ) : x 2 = 3 x x 2 x = 3 x x x = 3 Il en déduit que l’équation admet une solution : 3 . a Cette équation admet une seconde solution. Laquelle? b Par sa méthode de résolution, cet élève a utilisé R ∗ pour domaine de résolution et non pas R . Expliquer pourquoi? 2 Un élève résout une inéquation de la manière suivante : ( I ) : x + 1 x 2 x + 1 2 x 1 x Il en déduit que l’ensemble des solutions est l’intervalle [1 ; + ∞ [ a Donner l’ensemble de définition de l’expression al-gébrique x +1 x . b Montrer que − 1 est solution de l’inéquation. c Quelle erreur a commis l’élève? Implicitement, quel ensemble de résolution a-t-il utilisé? d Résoudre l’inéquation ( I ) à l’aide d’un tableau de signe. Question subsidiaire: 3 Sans utiliser de tableaux de signe : a On suppose que x est un nombre strictement négatif, résoudre l’inéquation ( I ) . b On suppose que x est un nombre strictement positif, résoudre l’inéquation ( I ) . c En déduire et retrouver la réponse de la question 3 . E.4379 utilise une fonction du type √ 1 − x 2 avec ensemble de définition et valeur antécédent pos-sible et impossible E.309 La plus courte distance pour aller d’un point à un autre est la ligne droite. On traduit ce fait par l’inégalité triangulaire reliant la dis-tance entre trois points : quels que soient les points A , B , C du plan, on a toujours : AB AC + CB (passer par le point C rallonge le parcours à moins qu’il n’appartienne au segment) . On va construire un triangle DEF isocèle en F tels que DE =5 . On note x = EF = DF 1 Peut-on construire ce triangle pour x =2 ? 2 Donner un encadrement des valeurs possibles prises par x . 3 Exprimer la valeur p du périmètre du triangle DEF en fonction de la valeur x . 4 Pour x vérifiant l’encadrement : 2 ; 5 x 5 . Donner l’encadrement de p correspondant. https://chingmath.fr chapExoCorrec/317 sacados/317 chapExoCorrec/315 sacados/315 chapExoCorrec/470 sacados/470 sacados/4379 chapExoCorrec/309 sacados/309
E.6755 Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de façon suivante : x =0 pour le blanc ; x =1 pour le noir; x =0 ; 01 ; x =0 ; 02 et ainsi de suite jusqu’à x =0 ; 99 par pas de 0 ; 01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé) . L’image A , ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes. Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites ˇ fonctions de retouche ı. Une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 1 est dite ˇ fonction de retouche ı si elle possède les quatre propriétés suivantes : f (0)=0 ; f (1)=1 ; f est continue sur l’intervalle 0 ; 1 ; f est croissante sur l’intervalle 0 ; 1 . Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f ( x ) >x , et éclaircie, si f ( x ) <x . si f ( x )= x 2 , un pixel de nuance codée 0 ; 2 prendra la nu-ance codée 0 ; 2 2 =0 ; 04 . L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous. Si f ( x )= x , la nuance codée 0 ; 2 prendra la nuance codée 0 ; 2 ≈ 0 ; 45 . L’image A sera transformée en l’image C ci-dessous. On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 3 x On admet que la fonction f est une fonction de retouche. Sa courbe C f représentative est donnée ci-dessous : 1 Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) x , à l’aide du graphique donné ci-dessous, en faisant apparaître les pointillés utiles. 2 Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement. E.7005 L’entreprise BBE (Bio Bois Én-ergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et de poêles chez des particuliers ou dans des collectivités. L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour. Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l’intervalle 1 ; 15 par : C ( x ) = 0 ; 3 · x 2 − x + e − x +5 où x désigne la quantité de granulés en tonnes et C ( x ) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros. Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros. La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par l fonction R définie sur l’intervalle 1 ; 15 par : R ( x ) = 3 · x où x désigne la quantité de granulés en tonnes et R ( x ) la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros. On définit par D ( x ) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette R ( x ) et le coût C ( x ) , où x désigne la quantité de granulés en tonnes. Sur le graphique situé ci-dessous, on donne C et Δ les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O . On répondra aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée. 1 Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laque-lle le coût quotidien de l’entreprise est minimal. 2 a Déterminer les valeurs C (6) et R (6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dé-gagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fab-riqués et vendus. b Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quoti-diennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6755 sacados/6755 0;600;800;400;20Image A0;360;640;160;04Image B0;770;890;630;45Image C 00.510.51Cf chapExoCorrec/7005 sacados/7005
E.7055 Une entreprise produit et vend des composants électroniques. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est com-mercialisée. On donne ci-dessous R et C les représentations graphiques re-spectives des fonctions recette et coût sur l’intervalle 1 ; 30 . Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs de-mandées. 1 Quel est le coût de production de 21 000 pièces? 2 Pour quelles quantités de pièces produites, l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice? 3 Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal? E.7060 L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonc-tion f , définie sur l’intervalle 0 ; 70 , dont la courbe représen-tative est donnée ci-dessous. Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1 er juillet, f ( x ) désigne la population en milliers d’habitants. Ainsi, x =30 correspond au 31 juillet et f (30) représente la population qu’il est prévu d’accueillir le 31 juillet. On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d’eau par jour. Les réponses aux questions suivantes sont à fournir par lecture graphique. 1 a Estimer le nombre maximal d’habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l’été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait at-teint. b La commune est en capacité de fournir 600 000 litres d’eau par jour, est-ce suffisant? 2 Estimer le nombre de jours durant lesquels le nom-bre d’habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu. E.1800 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = 3 1 − x 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer l’image, sous forme simplifiée, des nombres par la fonction f : a − 3 b − 1 3 Déterminer l’ensemble des antécédents de 9 par la fonc-tion f . E.297 x et y désignent deux nom-bres réels. Donner, dans la mesure du possible, un encadrement de x + y , x − y , x × y , x y et x 2 : 1 − 1 x < 0 et 1 ; 4 y 1 ; 5 . 2 − 5 4 x − 1 et 1 3 y 1 . 3 x 0 et − 1 y 1 . https://chingmath.fr 012345678910111213141524681012141618202224262830323436384042444648505254C chapExoCorrec/7055 sacados/7055 nombre de pièces en milliers024681012141618202224262830milliers d’euros50100150200250300350400450500CR chapExoCorrec/7060 sacados/7060 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2015 nombre de jours01020304050607080milliers d’habitants24681012 chapExoCorrec/1800 sacados/1800 A voir ce que j en fais sacados/297 A refaire. Je pense qu'il est trop dur pour les secondes
E.5661 Compléter le tableau ci-dessous : a b Comparer a et b Signe de b − a 5 3 2 ; 7 4 3 7 5 7 4 3 5 6 4 ı E.6429 1 Donner le signe de chacun des calculs ci-dessous : a 5 − 3 b 2 ; 4 − ( − 3 ; 2) c 3 ; 6 − 7 ; 9 d 2 3 − 5 6 e 6 14 − 9 21 f 3 − ı 2 Déduire de la question précédente la comparaison des nombres suivants : a 5 : : : 3 b 2 ; 4 : : : − 3 ; 2 c 3 ; 6 : : : 7 ; 9 d 2 3 : : : 5 6 e 6 14 : : : 9 21 f 3 : : : ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/5661 sacados/5661 chapExoCorrec/6429 sacados/6429