Seconde / Vecteurs dans le plan 65 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 6 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Révisions transformations E. 867 La figure hachurée est obtenue après application d’une transformation du plan à la figure blanche. Dans chaque cas : Préciser le type de transformation (symétrie axiale, cen-trale, translation, rotation) . Faire apparaître et préciser le (s) élément (s) caractéris-tique (s) de cette transformation (axe, centre, angle, sens de rotation) E. 9338 Sur la figure ci-dessous, cha-cun des quadrilatères quad1 , quad2 et quad3 est l’image du quadrilatère TRAP par une transformation. Recopier les trois phrases ci-dessous sur la copie et compléter, sans justifier, chacune d’elles par le numéro de l’une des trans-formations proposées dans le tableau qui suit : a Le quadrilatère quad1 est l’image du quadrilatère TRAP par la transformation numéro . . . b Le quadrilatère quad2 est l’image du quadrilatère TRAP par la transformation numéro . . . c Le quadrilatère quad3 est l’image du quadrilatère TRAP par la transformation numéro . . . Transformation numéro 1: translation qui transforme le point D en le point E . Transformation numéro 2: rotation de centre A et d’angle 90 o dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Transformation numéro 3: symétrie centrale de centre D . Transformation numéro 4: translation qui transforme le point E en le point D . Transformation numéro 5: rotation de centre A et d’angle 120 o dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Transformation numéro 6: symétrie axiale d’axe ( DE ) . E. 866 ABCO , CDEO , EFGO et GHAO sont des carrés représentés ci-après. BDFH est un carré de centre O . 1 a Quelle est l’image du triangle ABC par la symétrie orthogonale d’axe ( GC ) ? b Quelle est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O , d’angle 90 o qui amène E en C ? 2 En utilisant des transformations dont on précisera les éléments caractéristiques (centre de symétrie, axe de symétrie, . . . ) , recopier et compléter les phrases suivantes sans justifier la réponse. a le triangle GFE est l’image du triangle ABC par . . . b Le triangle OCD est l’image du triangle ABC par . . . 2. Introduction à la translation E. 2761 On considère la figure ci-dessous : https://chingmath.fr quizzChap/709 chapExoCorrec/867 sacados/867 abcdef chapExoCorrec/9338 sacados/9338 TPRAquad3DEquad2quad1 chapExoCorrec/866 sacados/866 ABCDEFGHO chapExoCorrec/2761 sacados/2761
1 La figure ovoïde hachurée a été obtenue par une transla-tion de la figure ovoïde blanc. Représenter un vecteur caractérisant cette translation. 2 Le polygone hachuré a été obtenu par une translation du polygone blanc. Tracer trois représentants de cette translation. 3 Faire une conjecture sur ces deux translations. E.2762 Dans le dessin ci-dessous, sont représentées deux figures, une blanche et l’autre hachurée : 1 On suppose que la figure blanche est l’image de la figure hachurée par une translation. a Tracer précisément deux vecteurs, de votre choix, de cette translation. b Relier les deux origines de ces deux vecteurs et relier leurs deux extrémités. 2 a Justifier que ce quadrilatère n’est pas un parallélo-gramme. b Peut-on conclure que ces deux figures sont symétriques l’une de l’autre par une translation? E. 2763 Dans le quadrillage ci-dessous, on considère la translation T de vecteur −→ u : 1 Tracer l’image A du point A par la translation de vecteur ~u . 2 Effectuer le tracé de l’image du rectangle BCDE par la translation T . 3 Tracer le translaté du polygone FGHIJ par le vecteur −→ u . 3. Premières notions E. 5987 Compléter chaque case du tableau ci-dessous avec les mots ˇ identique ı, ˇ différent ı ou ˇ opposé ı : Par rapport à −→ u comparaison de la direction du sens de la longueur −→ v −→ w −→ r −→ s −→ t https://chingmath.fr chapExoCorrec/2762 sacados/2762 chapExoCorrec/2763 sacados/2763 uABCDEFGHIJ chapExoCorrec/5987 sacados/5987 uvwrst
E. 493 Dans le quadrillage ci-dessous : 1 Tracer un représentant du vecteur −→ u ayant pour origine le point A . 2 Tracer un représentant du vecteur −→ u ayant pour ex-trémité le point B . 3 Tracer un vecteur −→ v de même longueur que −→ u , mais différent de −→ u . 4 Tracer un vecteur −→ w de même direction, de même sens que −→ u , mais différents de −→ u . 5 Tracer un vecteur −→ s de même direction et de même longueur que −→ u , mais différent de −→ u . E.11323 On considère le dessin ci-dessous : A l’aide des points présents sur la figure : 1 a Citer un vecteur de même direction, de même sens mais de longueur différente au vecteur −−→ MA . b Citer un vecteur opposé au vecteur −−→ MA . 2 a Citer un vecteur de même direction mais de longueur différente au vecteur −−→ QN . b Citer un vecteur opposé au vecteur −−→ QN . E.11839 Compléter chaque case du tableau ci-dessous avec les mots ˇ identique ı, ˇ différent ı ou ˇ opposé ı : Par rapport à −→ u comparaison de la direction du sens de la longueur −→ v −→ w −→ r −→ s −→ t 4. Vecteurs égaux E. 928 ABCD est un carré de centre O . Les points E , F , G , H sont les milieux des côtés du carré. 1 Quel est l’image du point B par la rotation de centre O , d’angle 90 o dans le sens inverse des aiguilles d’une montre? 2 Quel est l’image du point E par la translation de vecteur −−→ OC ? 3 Compléter les pointillés afin de vérifier les égalités: a −→ AO = −−−→ O : : : = −−−→ : : : G b −−→ FC = −−−→ : : : H c −−→ CG = −−−→ O : : : = −−→ : : : A https://chingmath.fr chapExoCorrec/493 sacados/493 uuAB chapExoCorrec/11323 sacados/11323 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST chapExoCorrec/11839 sacados/11839 uvwrst chapExoCorrec/928 sacados/928 AFBEOGDHC
E. 11322 La figure ci-dessous est composée de 15 carrés. Recopier et compléter correctement les pointillés pour vérifier les égalités: a −→ SO = −−−→ P : : : = −−−→ : : : D b −→ V I = −−→ R : : : = −−→ : : : A E. 11334 On considère le pavage du plan ci-dessous composé de triangles équilatéral. 1 Recopier et compléter afin de vérifier les égalités: −→ LI = −−−→ F : : : = −−−→ : : : O 2 Par rapport au vecteur −−→ GD : a Donner un vecteur qui a même direction mais pas même longueur. b Donner un vecteur qui a même longueur mais pas même direction. c Donner un vecteur qui soit de sens opposé au vecteur −−→ GD . E. 11853 On considère le pavage du plan con-stitué d’hexagone régulier représentée ci-dessous : 1 Sans justification, compléter les pointillées pour vérifier les égalités: a −−→ GD = −−→ L : : : b −→ GJ = −−−→ D : : : c −−→ CP = −−→ A : : : 2 Sans justification, compléter les pointillées pour vérifier les égalités: a −−→ OP = −−→ : : : L b −−→ EP = −−−→ : : : G c −−→ HF = −−→ : : : T E. 11866 On considère le pavage du plan con-stitué de parallélogrammes représentée ci-dessous : 1 Sans justification, compléter les pointillées pour vérifier les égalités: a −→ GR = −−−→ C : : : b −→ IK = −−−→ E : : : 2 Sans justification, compléter les pointillées pour vérifier les égalités: a −→ RG = −−→ : : : A b −−→ MJ = −−−→ : : : D 5. Tracé de vecteurs sur papier blanc E.9339 Dans le plan, on considère les trois points A , B , M représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11322 sacados/11322 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX chapExoCorrec/11334 sacados/11334 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST chapExoCorrec/11853 sacados/11853 CDEFABHGIJKLMONPQRSUTV chapExoCorrec/11866 sacados/11866 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST chapExoCorrec/9339 sacados/9339 ABM
Considérons les deux distances : r = AB ; r = AM 1 a Tracer le cercle C de centre M et de rayon r . b Tracer le cercle C de centre B et de rayon r . 2 a Parmi les deux points d’intersection des cercles C et C , noter N le point tel que le quadrilatère ABNM est un parallélogramme. b Justifier que les vecteurs −−→ AB et −−→ MN sont égaux. 3 Parmi les quatre propriétés caractérisantes du paral-lélogramme, laquelle peut-être utilisée pour justifier la réponse à la question 2 a Propriété 1: si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leurs milieux alors ce quadrilatère est un paral-lélogramme. Propriété 2: si un quadrilatère a ses côtés opposés paral-lèles entre eux alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Propriété 3: si un quadrilatère a ses côtés opposés ont la même mesure alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Propriété 4: si deux côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. E.2773 Méthode: pour tracer le représentant d’un vecteur ayant une origine imposée. On considère la configuration ci-dessous : Placer le point N afin que les vecteurs −−→ AB et −−→ MN soient égaux. E.9340 Exemple: On considère la configuration ci-dessous : Les tracés doivent être effectués à la règle non-graduée et au compas : 1 a Placer le point D image du point C par la transla-tion de vecteur −−→ AB . b Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? 2 a Placer le point E tel que ACBE soit un parallélo-gramme. b Caractériser la translation transformant le point B en E . E.2764 On considère la translation T du plan qui transforme le point A en B : Les tracés doivent être effectués à la règle non-graduée et le compas : 1 Placer le point D , image du point C par la translation qui transforme A en B . 2 Placer le point F , image du point E par la translation du vecteur −−→ AB . 3 Placer le point G tel que G a pour image le point H par la translation de vecteur −−→ AB . 6. Vecteurs égaux et parallélogramme E.8101 Pour chacune des propositions ci-dessous, préciser si celle-ci est vraie ou fausse. (aucune justi-fication n’est demandée) a Les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont égaux. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. b Les segments [ AB ] et [ CD ] ont pour milieu le même point I . Le quadrilatère CBDA et un parallélogramme c Le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. Les https://chingmath.fr chapExoCorrec/2773 sacados/2773 r662-1 ABM chapExoCorrec/9340 sacados/9340 r662-1 ABC chapExoCorrec/2764 sacados/2764 ABCEH chapExoCorrec/8101 sacados/8101
vecteurs −−→ MN et −−→ QP sont égaux. d Le quadrilatère WXY Z est un parallélogramme. Les di-agonales [ WX ] et [ Y Z ] ont même milieu. E.9582 1 a Tracer le point C image du point A par la translation de vecteur −−→ MN . b Tracer le point D image du point B par la translation de vecteur −−→ MN . 2 Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier votre réponse. E.7513 On considère deux parallélogrammes ABCD et ABFE dont une représentation est donnée ci-dessous : 1 a Justifier l’égalité vectorielle: −−→ AB = −−→ DC b Justifier l’égalité vectorielle: −−→ DC = −−→ EF 2 En déduire la nature du quadrilatère DCFE . E.8102 Compléter les pointillés afin de ren-dre chacune des phrases exactes : a Si −→ AI = −−→ :::::: alors le point I est le milieu du segment [ AB ] . b Si ABCD est un parallélogramme alors −−→ AB = −−→ :::::: c Si K est le milieu du segment [ XY ] alors −−→ :::K = −−→ :::::: d Si −−→ MN = −−→ PQ alors : : : : : : : : : est un parallélogramme. E.918 1 Tracer un triangle ABC rectangle en B . 2 Placer le point T tel que : −−→ AB = −→ CT . Quelle est la nature du quadrilatère ABTC ? 3 Placer le point M tel que : −−→ BC = −−→ MT . Justifier que le quadrilatère BCTM est un rectangle. E. 11870 Dans le plan, on considère les trois points A , B , C : 1 Placer le point D tel que ABCD soit un parallélo-gramme. 2 Placer le point E tel que ABEC soit un parallélogramme. 7. Vecteur et géométrie plane E.9341 Dans le plan, on considère le triangle ABC représenté ci-dessous : 1 a Placer le point M image du point B par la symétrie de centre C . b Placer le point N image du point M par la translation de vecteur −−→ AB . 2 Déterminer la nature du quadrilatère ABNM . Justifier votre réponse. E.7917 On considère l’hexagone régulier ABCDEF représenté ci-contre. 1 Justifier que le triangle COB est équilatéral. 2 Justifier que les points F , O et C sont alignés. 3 Démontrer que les droites ( BC ) et ( EF ) sont paral-lèles. 4 Justifier que les vecteurs −−→ BC et −−→ FE sont égaux. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9582 sacados/9582 MNAB chapExoCorrec/7513 sacados/7513 ABCDEF chapExoCorrec/8102 sacados/8102 chapExoCorrec/918 sacados/918 chapExoCorrec/11870 sacados/11870 ABC chapExoCorrec/9341 sacados/9341 ABC chapExoCorrec/7917 sacados/7917 OABCDEF
E.7512 On considère un triangle ABC quel-conque et les points M , N , P milieux respectifs des côtés [ AC ] , [ AB ] , [ BC ] : 1 Justifier que les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles. 2 a Que peut-on dire des vecteurs −−→ CP et −−→ MN ? Justifier votre réponse. b Justifier que le quadrilatère MNPC est un parallélo-gramme. 8. Introduction à la somme de vecteurs: composition de translations E.8123 Proposition-Définition: Si, à tout point du plan, on applique une translation de vecteur −→ u , puis une translation de vecteur −→ v , on obtient une nouvelle translation dont le vecteur est noté −→ u + −→ v . Cette nouvelle translation s’appelle la composée de la translation de vecteur −→ u par la translation de vecteur −→ v On considère les six vecteurs représentés ci-dessous : 1 a Placer le point N image du point M par la transla-tion de vecteur −→ u . b Placer le point P image du point N par la translation de vecteur −→ v . c Tracer un vecteur −→ w représentant de la composition de la translation de vecteur −→ u par la translation de vecteur −→ v . 2 a Placer le point S image du point R par la translation du vecteur −→ u 2 . b Tracer un représentant du vecteur −→ u 2 + −→ v 2 . 3 Tracer un représentant du vecteur −→ u 3 + −→ v 3 ayant pour orig-ine U . E.925 Ci-dessous sont représentés huit cou-ples de vecteurs. Pour chacun de ces couples, tracer un représentant de la somme de ses deux vecteurs : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7512 sacados/7512 ABCMNP chapExoCorrec/8123 sacados/8123 −u−vM−u2−v2R−u3−v3U chapExoCorrec/925 sacados/925 −u1−v1−u2−v2−u3−v3−u4−v4−u5−v5−u6−v6−u7−v7−u8−v8
E.931 Pour chacune des phrases ci-dessous, compléter correctement les pointillés: 1 La composée de la translation de vecteur −→ EI par celle de vecteur −−→ FG est une translation de vecteur −−−→ E : : : 2 La composée de la translation de vecteur −→ JG par celle de vecteur −→ JB est une translation de vecteur −−→ J : : : 3 La composée de la translation de vecteur −−→ GF par celle de vecteur −−→ GH puis celle de −→ EI est une translation de vecteur . . . . . . 4 La composée de la translation de vecteur −−→ CH par celle de vecteur −→ CJ puis celle de vecteur −−→ BH est une translation de vecteur . . . . . . E.2783 Dans le plan, on considère les deux vecteurs −→ u et −→ v ainsi que les deux points A et D représentés ci-dessous : Indication : toutes les constructions doivent être effectuées à la règle non-graduée et au compas. 1 Tracer un représentant du vecteur −→ u + −→ v ayant pour orig-ine le point A . 2 On considère le point E obtenu par l’image du point D par la composée de la translation de vecteur −→ u et de la translation de vecteur −→ v . Placer le point E . E.933 A , B et C sont trois points du plan. Reproduire une figure analogue à celle ci-dessous et la compléter au fil des questions : Indication : les constructions seront faites à la règle non-graduée et au compas. 1 Construire le point M image de A par la translation de vecteur −−→ BC . 2 Donner un vecteur égal au vecteur −−→ MA . 3 Construire le point K tel que : −→ CA + −−→ CB = −−→ CK 4 Démontrer que : −−→ MA = −−→ AK . Que peut-on dire pour le point A ? 9. Somme de vecteurs: tracés E.11315 Dans le quadrillage ci-dessous, on considère les trois vecteurs −→ u , −→ v , −→ w et les trois points A , C , E représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/931 sacados/931 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/2783 sacados/2783 uvAD chapExoCorrec/933 sacados/933 ABC chapExoCorrec/11315 sacados/11315 −u−v−wACE
1 Placer le point B image du point A par la translation de vecteur −→ u + −→ v . 2 Placer le point D image du point C par la translation de vecteur −→ v + −→ w . 3 Placer le point F image du point E par la translation de vecteur −→ u + −→ w . E.9580 Dans le quadrillage ci-dessous, on considère les trois vecteurs −→ u , −→ v , −→ w et les deux points A , C représentés ci-dessous : 1 Placer le point B image du point A par la translation de vecteur −→ u + −→ v . 2 Placer le point D image du point C par la translation de vecteur −→ v + −→ w . E.9343 Dans le quadrillage ci-dessous, on considère les trois vecteurs −→ u , −→ v , −→ w et les trois points A , C , E représentés ci-dessous : 1 Placer le point B image du point A par la translation de vecteur −→ u + −→ v . 2 Placer le point D image du point C par la translation de vecteur −→ v + −→ w . 3 Placer le point F image du point E par la translation de vecteur −→ u + −→ v + −→ w . E.11335 Dans le quadrillage ci-dessous, on considère les trois vecteurs −→ u , −→ v , −→ w et les trois points A , C représentés ci-dessous : 1 Placer le point B image du point A par la translation de vecteur −→ u + −→ v . 2 Placer le point D image du point C par la translation de vecteur −→ u + −→ v + −→ w . 3 Placer le point E tel que l’image du point E par la trans-lation de vecteur −→ v + −→ w est le point F . 10. Somme de vecteurs: représentant E.11313 La figure ci-dessous est composée de 15 carrés. Recopier et compléter correctement les égalités ci-dessous : a −−→ NJ + −→ JQ = −−−→ N : : : b −−→ NW + −−→ WI = −−−→ P : : : c −−→ HO + −−→ PE = −−−→ H : : : d −−→ NH + −→ JU = −−−→ N : : : e −−→ V N + −→ NI = −−−→ : : : D f −→ QI + −→ EJ = −−→ : : : T https://chingmath.fr chapExoCorrec/9580 sacados/9580 −u−v−wAC chapExoCorrec/9343 sacados/9343 −u−v−wACE chapExoCorrec/11335 sacados/11335 −u−v−wACF chapExoCorrec/11313 sacados/11313 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX
E.11314 On considère le dessin ci-dessous : Recopier et compléter convenablement les pointillés: a −−→ CN + −→ LF = −−−→ B : : : b −−→ QF + −→ RT = −−−→ M : : : c −→ OL + −−→ NH = −−→ : : : A d −−→ PH + −→ AC = −−−→ : : : E E.11325 Remplacer les ".. . "par le point souhaité : 1 −→ FI + −−→ FG = −−−→ F : : : 2 −→ JG + −→ JE = −−→ J : : : 3 −→ IH + −−→ HE = −−−→ : : : F 4 −→ FI + −→ BI = −−−→ : : : E E.11324 On considère le pavage du plan constitué d’hexagones réguliers représentée ci-dessous : Recopier et compléter les égalités: a −−→ BE + −−→ OR = −−−→ B : : : b −−→ CK + −−→ SK = −−−→ : : : C c −−→ PE + −−→ CU = −−→ I : : : d −→ SE + −−→ OG = −−−→ : : : B 11. Relation de Chasles E.11677 La figure ci-dessous est composée de 15 carrés. 1 a Compléter les pointillés: −−→ NV = −−−→ H : : : b Quel est le point image du point H par la translation de vecteur −−→ NV ? 2 a Compléter les pointillés: −→ TI = −−−→ P : : : b Quel est le point image du point P par la translation de vecteur ~ TI ? 3 Compléter les pointillés: −−→ NV + −→ TI = −−−→ H : : : + −−−→ P : : : = −−−→ H : : : E.9344 On considère le quadrillage ci-dessous et les 10 points in-diqués. 1 a À l’aide des points de la figure, citer tous les vecteurs égaux au vecteur −−→ FE . b Utiliser la question pour donner un représentant du vecteur −→ AE + −−→ FG . 2 Utiliser la relation de Chasles pour répondre aux ques-tions suivantes : a −−→ FE + −−→ FH + −→ JB b −→ IH + −−→ FD + −→ JE c −−→ DF + −→ IG + −−→ HJ d −−→ DG + −→ EA + −−→ DC https://chingmath.fr chapExoCorrec/11314 sacados/11314 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST chapExoCorrec/11325 sacados/11325 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/11324 sacados/11324 CDEFABHGIJKLMONPQRSUTV chapExoCorrec/11677 sacados/11677 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX chapExoCorrec/9344 sacados/9344 ABCDJHIGEF
E.9346 La figure ci-dessous est composée de 15 carrés. À l’aide de la relation de Chasles, recopier et compléter cor-rectement les égalités ci-dessous : a −−→ NJ + −−→ BO = −−−→ N : : : b −−→ GC + −→ CJ + −→ JO = −−−→ G : : : c −−→ PE + −→ DL = −−−→ : : : Q d −−→ PH + −−→ HK + −−→ KV = −−−→ : : : V E.506 Remplacer les ".. . "par le point souhaité : 1 −−→ EF + −→ EA = −−−→ C : : : 2 −→ HI + −−→ ED + −−→ FG = −−→ J : : : 3 −−→ HG + −→ HI + −−→ FB = −−−→ : : : B E.2784 On considère le dessin ci-dessous : Recopier et compléter convenablement les pointillés: a −→ BI + −−→ NC = −−−→ K : : : b −−→ QF + −→ JL = −−−→ O : : : c −−→ NH + −→ OL = −−−→ : : : F d −−→ PH + −→ GI + −→ JI = −−→ L : : : E.9345 On considère le pavage du plan con-stitué d’hexagone régulier représentée ci-dessous : 1 Sans justification, donner un représentant de chacune des sommes proposées : a −−→ AD + −→ LR + −→ DI b −−→ HF + −−→ BG + −−→ BG 2 Sans justification, compléter correctement les pointillés afin de vérifier l’égalité: a −−→ DB + −−→ GK + −→ : : : = −−→ DP b −→ : : : + −−→ BE + −−→ KO = −−→ MO E.496 Soit ABCD un parallélogramme. On note I (resp. J ) le milieu du segment [ AB ] (resp. du segment [ DC ] ) . Dans chaque cas, déterminer un représentant du vecteur ré-sultant en utilisant les points de cette configuration : a −→ AC + −→ JA b −→ AI + −−→ AD c −→ AC + −−→ BD + −→ JB https://chingmath.fr chapExoCorrec/9346 sacados/9346 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX chapExoCorrec/506 sacados/506 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/2784 sacados/2784 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST chapExoCorrec/9345 sacados/9345 CDEFABHGIJKLMONPQRSUTV chapExoCorrec/496 sacados/496 ABCDIJ
E.11678 On considère le quadrillage ci-dessous et les 10 points in-diqués. 1 a À l’aide des points de la figure, citer tous les vecteurs égaux au vecteur −−→ FE . b Utiliser la question pour donner un représentant du vecteur −→ AE + −−→ FG . 2 a Compléter : −−→ FH = −−−→ E : : : b À l’aide de la relation de Chasles, simplifier la somme : −−→ FE + −−→ FH 3 a Compléter : −−→ FD = −−−→ H : : : b À l’aide de la relation de Chasles, simplifier la somme : −→ IH + −−→ FD 4 Simplifier les sommes suivantes : a −−→ DF + −→ IG + −−→ HJ b −−→ DG + −→ EA + −−→ DC 12. Commutativité de la somme de vecteurs E.8118 Dans le plan, on considère les points A et B et les vecteurs −→ u et −→ v représentés ci-dessous : 1 a Construire le point A image du point A par la trans-lation de vecteur −→ u . b Construire le point A  image du point A par la trans-lation de vecteur −→ v . c Construire un représentant du vecteur −→ u + −→ v 2 a Construire le point B image du point B par la trans-lation de vecteur −→ v . b Construire le point B  image du point B par la trans-lation de vecteur −→ u . c Construire un représentant du vecteur −→ v + −→ u . 3 Comparer les deux vecteurs −→ u + −→ v et −→ v + −→ u . E.929 1 Pour chacun des quadrants ci-dessous : a Placer le point B translaté du point A par la transla-tion de vecteur −→ u . b Tracer le point C translaté du point B par la transla-tion de vecteur −→ v . Dans chaque cadran, le point C obtenu s’appelle le trans-laté du point A par le vecteur −→ u + −→ v . 2 Dans le premier quadrant : a Placer le point B translaté du point A par le vecteur −→ v . b Placer le point C translaté du point B par le vecteur −→ u . c Que pouvez-vous dire de la translation composée des translations de vecteurs −→ u puis celle de −→ v et de la translation composée des translations de vecteurs −→ v et ~u ? 13. Somme de vecteurs, relation de Chasles et commutativité E.936 https://chingmath.fr chapExoCorrec/11678 sacados/11678 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/8118 sacados/8118 −u−vAB chapExoCorrec/929 sacados/929 11234AuvAuvAuvAuv chapExoCorrec/936 sacados/936
Compléter les pointillés des questions suivantes en choisissant un vecteur présent sur le graphique ci-dessus : a −→ b + −→ a = −→ : : : b −→ d + −→ j = −→ : : : c −→ c + −→ d = −→ : : : d −→ : : : + −→ i = −→ f e −→ ‘ + −→ i = −→ : : : + −→ e E.932 Recopier l’énoncé sur votre copie et compléter les pointillés: a −−→ BC + −−→ GF + −−→ HE = −−−→ E : : : b −−→ GF + −→ JC + −−→ GH = −−→ A : : : c −−→ CF + −→ IC + −−→ FB = −−→ I : : : d −−→ HG + −→ HI + −−→ FB = −−−→ G : : : E.930 Pour cet exercice, compléter la figure donnée ci-après. On a placé trois points A , B et C . 1 Construire le point E tel que ABEC soit un parallélo-gramme. 2 a Construire le point F tel que : −−→ BF = −−→ BA + −−→ BC . b Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ? Aucune justification n’est demandée. 3 Démontrer que : −−→ FC = −−→ CE . Que peut-on en déduire pour le point C ? E.6545 La figure ci-dessous est composée de 15 carrés. Recopier les égalités vectorielles ci-dessous et compléter cor-rectement les pointillés par le point manquant : a −−→ NJ + −−→ BO = −−−→ N : : : b −→ OL + −−→ AK + −→ QI = −−→ : : : R c −→ TI + −−→ : : : J = −→ JF d −−→ PH + −−→ OD + −−−→ C : : : = −−→ V K E.924 La figure ci-contre est constituée d’hexagones réguliers tous identiques : Compléter les pointillés en détaillant , si possible, vos calculs : a −−→ BE + −→ DL + −−→ KG b −−→ AD + −−→ FM + −→ LG 14. Relation de Chasles et décomposition E.8317 On considère la figure ci-dessous composée de carrés : 1 a Justifier que : −→ OI = −−→ NP + −−→ DC b Donner deux vecteurs −→ ¸ et −→ ˛ tels que : −−→ PD = −→ ¸ + −→ ˛ c Établir l’égalité: −→ OI + −−→ PD = −−→ NC 2 Pour chaque question, donner un vecteur représentant de la forme : a −−→ DO + −−→ HS b −→ OI + −→ AR https://chingmath.fr −k−a−g−j−f−h−d−c−e−b−i−‘ chapExoCorrec/932 sacados/932 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/930 sacados/930 ABC chapExoCorrec/6545 sacados/6545 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX chapExoCorrec/924 sacados/924 CDEFABMLKJIHG chapExoCorrec/8317 sacados/8317 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST
E.494 La figure ci-contre est composée de trois hexagones réguliers. 1 a Justifier l’égalité: −−→ IM = −→ IJ + −→ JE + −−→ ED + −−→ DM b Donner trois vecteurs −→ ¸ , −→ ˛ , −→ ‚ tels que : −→ CJ = −→ ¸ + −→ ˛ + −→ ‚ c En déduire un vecteur représentant de la somme : −→ CJ + −−→ IM 2 En utilisant une méthode similaire à la question précé-dente, déterminer un représentant de la somme : −→ LB + −−→ GM 15. Vecteurs opposés E.6996 On considère le parallélogramme ABCD représenté ci-dessous et le point O intersection de ses diagonales. 1 Citer un vecteur opposé au vecteur −−→ BC . 2 Citer un vecteur opposé au vecteur −−→ OB ayant pour orig-ine le point O . 3 Citer un vecteur opposé au vecteur −−→ AD ayant pour ex-trémité le point B . E.6997 Dans le plan, on considère un point O et un vecteur −−→ AB représentés ci-dessous : 1 À l’aide du compas et de la règle non-graduée, placer les points A et B images des points A et B par la symétrie de centre O . 2 Que peut-on dire des vecteurs −−→ AB et −−−→ A B ? E.9579 On considère la figure ci-dessous composée de carrés : Déterminer un représentant de chacune des sommes suiv-antes : a −→ DI + −−→ QO b −−→ DQ − −−→ DB c −−→ DQ + −−→ KB + −→ IC 16. Partage https://chingmath.fr chapExoCorrec/494 sacados/494 CDEFABMLKJIHG chapExoCorrec/6996 sacados/6996 ABCDO chapExoCorrec/6997 sacados/6997 ABO chapExoCorrec/9579 sacados/9579 ABCDIJKLOMNPQ
E.935 La figure ci-après représente un rectangle ABCD de centre O et le point E image du point O par la symétrie de centre C . 1 On considère la rotation de centre O qui transforme B en C . Quelle est l’image de D par cette rotation? (On ne demande pas de justifier.) 2 Parmi les affirmations suivantes, recopier celles qui sont vraies (on ne demande pas de justification) . −→ OA = −−→ OC −−→ OC = −−→ OE OA = CE −−→ BE = −−→ BO + −−→ OE −−→ AB + −→ AC = −−→ BC −−→ AB + −−→ AD = −→ AC D est l’image de C par la translation de vecteur −−→ AB 17. Exercices non-classés E.934 1 Tracer un carré EFGH de côté 4 cm . 2 Placer le point J tel que : −→ FJ = −−→ EF 3 Placer le point K tel que : −−→ FK = −−→ EH + −−→ EF E.9810 On considère, dans le plan, les deux vecteurs −→ u et −→ v ci-dessous : 1 Tracer dans le quadrillage un représentant −→ w de la somme −→ u + −→ v . 2 Tracer dans le quadrillage un représentant −→ y de la dif-férence −→ u −−→ v . E.5341 Soit ABCD un parallélogramme. On considère les points I , J , K et L définies par : −→ AI = x · −−→ AD ; −→ DJ = x · −−→ DC ; −−→ CK = x · −−→ CB ; −→ BL = x · −−→ BA où x est un nombre réel appartenant à l’intervalle 0 ; 1 . Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. https://chingmath.fr chapExoCorrec/935 sacados/935 ABCDOE chapExoCorrec/934 sacados/934 chapExoCorrec/9810 sacados/9810 −u−v chapExoCorrec/5341 sacados/5341 ABCDIJKL