Seconde / Probabilités 51 exercices corrigés

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ChingQuizz : 6 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Equiprobabilité E.5905 Un jeu consiste à tirer au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événe-ments suivants : A : ˇ La carte est une figure ı ; B : ˇ La carte est rouge ı ; C : ˇ La carte a une valeur comprise entre 8 et 10 ı 1 Quelle est la probabilité de l’événement C ? 12 32 14 32 16 32 18 32 2 Quelle est la probabilité de l’événement A ∪ B ? 16 32 17 32 22 32 23 32 3 Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 3 32 4 32 10 32 12 32 2. Equiprobabilité à deux issues E.5178 Pour chaque question, comparer, si possible, la probabilité des deux événements présentés : 1 En jetant deux dés à six faces simultanément : A : ˇ La somme des dés vaut 2 ı ; B : ˇ La somme des dés vaut 3 ı. 2 On jette successivement deux dés à six faces : C : ˇ On obtient 1 , puis 1 ı ; D : ˇ On obtient 1 , puis 2 ı. 3 On considère une classe de 24 élèves : E : ˇ L’élève choisit est un garçon et pratique le foot-ball ı ; F : ˇ Parmi les garçons, l’élève choisit pratique le foot-ball ı. E.4511 1 On considère l’expérience aléatoire consistant à jeter deux dés à six faces et on effectue la somme de la valeur de chaque dé. On considère les événements suivants : Événement A: ˇ on obtient 8 ı. Événement B : ˇ on obtient une valeur supérieure ou égale à 6 ı. Événement C : ˇ Un des dés a la valeur 4 et la somme est supérieure ou égale à 7 ı. a Compléter le tableau suivant : b Déterminer les probabilités des événements A , B et C . 2 On change d’expériences aléatoires. On jette toujours ces deux dés, mais on s’intéresse maintenant à la valeur de chacun des dés. Déterminer la probabilité pour les événements suivants : a Événement D : ˇ les deux dés ont la même valeur ı. b Événement E : ˇ on obtient 6 et 4 ı. c Événement F: ˇ un des dés a la valeur 3 et l’autre a une valeur paire ı. https://chingmath.fr quizzChap/768 chapExoCorrec/5905 sacados/5905 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/5178 sacados/5178 chapExoCorrec/4511 sacados/4511 123456123456
E.7276 Sophie et Luc jouent très mal aux échecs, c’est pourquoi ils ont inventé le jeu suivant : Sophie possède un sac contenant cinq pièces blanches : une reine, une tour, deux cavaliers et un pion. Le sac de Luc contient cinq pièces noires : une reine, deux tours et deux pions. Principe du jeu : Chacun tire une pièce de son sac, celui qui a la pièce la plus forte gagne la partie : Une reine bat toutes les autres pièces. Une tour bat un cavalier ou un pion. Un cavalier bat un pion. Deux pièces identiques font partie nulle. Exemples: Sophie tire une reine et Luc une tour : Sophie gagne la partie. Sophie et Luc tirent tous les deux un pion : il y a une partie nulle. 1 Dans le tableau ci-dessous, chaque case correspond à une issue possible du jeu. Recopier ce tableau et compléter chaque case : Par un S lorsque Sophie gagne. Par un L lorsque Luc gagne. Par un N lorsque la partie est nulle. 2 Calculer les probabilités des événements suivants : a A : ˇ la partie est nulle ı b B : ˇ Sophie gagne ı c C : ˇ Luc gagne ı 3 Y a-t-il, du point de vue du contenu des sacs, un joueur avantagé par rapport à l’autre? Justifier la réponse. E.3111 On lance simultanément deux dès à six faces et numérotés de 1 à 6 : 1 On considère les deux événements suivants : A : ˇ On obtient un double 1 ı ; B : ˇ On obtient un 1 et un 2 ı. Justifier la valeur des probabilités suivantes : P ( A ) = 1 36 ; P ( B ) = 1 18 2 Déterminer les probabilités des événements suivants : a C : ˇ La somme des deux chiffres est égale à 5 ı ; b D : ˇ La somme des deux chiffres est supérieure ou égale à 8 ı ; c E : ˇ Les deux chiffres sont impairs ı. E.2659 On lance deux dés équilibrés. Déter-miner la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1 Événement A : ˇ on obtient un 6 et un 2 ı ; 2 Événement B : ˇ la somme obtenue est strictement supérieure à 8 ı ; 3 Événement C : ˇ les deux nombres obtenus sont pairs ı. E.4514 On considère un mobile dont le départ est le point A et se déplaçant sur le quadrillage ci-dessous uniquement par des déplacements vers le haut et vers la droite : En choisissant une sortie (représentée en pointillé) , le jeu s’arrête. 1 Combien de chemins permettent au mobile de quitter le plateau de jeu en M 1 ? en M 2 ? Par symétrie de la figure et des déplacements du mobile, on admet qu’il y a respectivement autant de chemins permettant au mobile de sortir en N 1 et en N 2 qu’en M 1 et M 2 : 2 Déterminer le nombre de chemins permettant au mobile de sortir en B . 3 En choisissant au hasard un de ces chemins, quelle est la probabilité que ce chemin fasse sortir le mobile en B . 3. Equiprobabilité et arbre de choix E.3051 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; elles sont numérotées de 1 à 3 . Le jeu consiste à tirer deux boules successivement avec remise : c’est-à-dire qu’une première boule est tirée, puis remise dans l’urne avant de tirer une seconde boule. Voici un arbre de décision basé sur le tirage de deux boules : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7276 sacados/7276 Sujet du bac STI Juin 2004 RTC1C2PRT1T2P1P2LucSophie chapExoCorrec/3111 sacados/3111 chapExoCorrec/2659 sacados/2659 chapExoCorrec/4514 sacados/4514 ABM1M2N1N2 chapExoCorrec/3051 sacados/3051
Une fois tirées les deux boules, on considère les deux couleurs obtenues et leur ordre de tirage 1 Combien d’événements élémentaires composent cette ex-périence aléatoire? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ Les deux boules tirées sont de couleurs dif-férentes ı. c C : ˇ La seconde boule est une boule noire ı. E.6681 On dispose de deux roues permet-tant d’obtenir des chiffres : la première roue est numérotée de 1 à 6 , la seconde roue est numérotée de 1 à 4 : Les deux roues sont supposées parfaitement équilibrés et on suppose que pour chaque roue, l’obtention d’un chiffre représente une situation d’équiprobabilité. 1 On utilise ces deux roues pour construire un entier com-posé de deux chiffres : la première roue formera le chiffre des dizaines, la seconde roue sera utilisée pour le chiffre des unités. a Construire l’arbre de choix correspondant à cette situ-ation. b On considère les événements suivants : A : ˇ le nombre est composé des deux mêmes chiffres ı B : ˇ le chiffre des unités est strictement supérieur au chiffre des dizaines ı. Déterminer la probabilité des événements A et B . 2 On change les règles du jeu : on additionne les nombres obtenus sur les deux roues. Est-ce que cette nouvelle expérience représente une situ-ation d’équiprobabilité? Justifier votre réponse. E.11589 On considère les deux urnes ci-dessous contenant des boules où est inscrit un chiffre : L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne A , puis une boule au hasard dans l’urne B et d’en faire la différence. 1 Construire l’arbre des possibilités de cette expérience aléatoire. 2 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 3 ? E.4530 Une urne contient quatre boules por-tant respectivement les lettres A , B , C et D . Un participant au jeu doit tirer tour à tour trois boules sans les remettre dans l’urne et noter le mot formé par ses trois lettres. 1 Construire l’arbre de choix correspondant à cette expéri-ence aléatoire. 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ Le mot commence par la lettre A et termine par la lettre D ı ; b B : ˇ Le mot contient la lettre A et la lettre D ı ; c C : ˇ Le mot contient la séquence AB ı. E.2658 On compose au hasard un mot de trois lettres avec les lettres A , B , C : 1 Combien de mots peut-on construire? 2 Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : a E 1 : ˇ Le mot commence par la lettre C ı ; b E 2 : ˇ Le mot commence et se termine par la lettre A ı ; c E 3 : ˇ Le mot contient exactement deux fois la lettre B ı ; d E 4 : ˇ Le mot ne contient que des A ı ; e E 5 : ˇ Le mot est formé exactement de deux lettres dis-tinctes ı ; 4. Loi de probabilité E.3072 Voici le tableau représentant la loi de probabilité d’un dé truqué à six faces : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 15 0 ; 1 0 ; 08 0 ; 17 0 ; 22 0 ; 28 https://chingmath.fr N1N1N1N2N1N2B3N1B3N1N1N2N1N2N2N2B3N2B3N2N1B3N1N2B3N2B3B3B3B3 chapExoCorrec/6681 sacados/6681 234561Première roue2341Seconde roue chapExoCorrec/11589 sacados/11589 123546UrneBUrneA chapExoCorrec/4530 sacados/4530 chapExoCorrec/2658 sacados/2658 chapExoCorrec/3072 sacados/3072
Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1 A : ˇ Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 4 ı. 2 B : ˇ Le nombre obtenu est pair ı. E.4531 Voici le tableau représentant la loi de probabilité obtenue par le jet d’un dé truqué à six faces : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 11 0 ; 14 0 ; 1 0 ; 15 0 ; 12 0 ; 38 Déterminer la probabilité de chacun des événements ci-dessous : 1 A : ˇ Le nombre obtenu est strictement inférieur à 4 ı. 2 B : ˇ Le nombre obtenu est impair ı. E.4508 Une urne contient des boules rouges, vertes et bleues indiscernables entre elles au toucher. L’expérience aléatoire considérée consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne. On ne connait pas le contenu de l’urne, mais nous connaissons la loi de probabilité de cette expérience aléatoire à travers le tableau ci-dessous : x Rouge Vert Bleu P ( x ) 0,3 0,6 0,1 Sachant que l’urne contient 120 boules au total, déterminer le nombre de boules de chaque couleur. E.5187 Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés, rouge et bleu, à six faces simultanément et à consid-érer la somme obtenue par ces deux dés. On suppose les dés parfaitement équili-brés. 1 Décrire l’univers des issues possibles. 2 a Compléter le tableau ci-dessous : a Déterminer la loi de probabilité associée à cette ex-périence aléatoire. 5. Propriété d’une loi de probabilité E.4790 On considère un dé truqué à six faces dont le tableau ci-dessous donne une partie de sa loi de probabilité : X 1 2 3 4 5 6 P ( X ) 0 ; 14 0 ; 07 0 ; 12 0 ; 1 De plus, la probabilité d’obtenir une face portant un numéro impair est de 0 ; 4 . En justifiant votre démarche, déterminer les valeurs man-quantes de ce tableau. E.6682 On considère un dé truqué à 6 faces. L’expérience aléatoire consiste à lancer le dé et à considérer la valeur de la face supérieure du dé. Pour k un entier compris entre 1 et 6 , on considère l’événement F k définit par ˇ la valeur obtenue est k ı Pour seule information sur le dé, on a: Le tableau incomplet de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire: X F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 P X 0 ; 11 0 ; 07 0 ; 2 0 ; 15 La probabilité d’obtenir un nombre pair vaut 0 ; 4 . Recopier et compléter le tableau de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Indication : Les étapes de votre raisonnement doivent être présent sur la copie à évaluer. 6. Déterminer la loi de probabilité E.3093 Une urne contient 12 boules blanches, 5 boules noires et 8 boules bleues indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, on considère l’univers constistué des trois événements élémentaires suivants : A : ˇ La boule tirée est blanche ı B : ˇ La boule tirée est noire ı C : ˇ La boule tirée est bleue ı Compléter le tableau ci-dessous, au centième près, représen-tant la loi de probabilité de cette expérience : X A B C P ( X ) E.4507 Une urne contient 20 % de boules rouges, 50 % de boules vertes et le reste est composé de boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience aléatoire considérée consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne. Déterminer la loi de probabilité de cette expérience. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4531 sacados/4531 chapExoCorrec/4508 sacados/4508 chapExoCorrec/5187 sacados/5187 112233445566BleuRouge chapExoCorrec/4790 sacados/4790 chapExoCorrec/6682 sacados/6682 chapExoCorrec/3093 sacados/3093 chapExoCorrec/4507 sacados/4507
E.4506 Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4 . On suppose que les boules sont indis-cernables au toucher, rendant chaque tirage équiprobable. L’expérience aléatoire consiste à tirer une première boule, puis sans la remettre en tirer une seconde de l’urne. À chaque expérience, on note la somme des deux numéros marqués sur les boules. 1 Construire l’arbre de choix modélisant cette expérience. 2 Quelles sont les valeurs possibles de sortie de cette ex-périence? 3 À l’aide d’un tableau, préciser la loi de probabilité P de cette expérience aléatoire. E.4509 Les faces d’un dé tétraédrique sont notées avec les lettres A , B , C et D . On suppose ce dé parfaitement équilibré. L’expérience aléatoire consiste à lancer trois fois le dé et de noter, à chaque fois la lettre de la face cachée. Ainsi, à chaque sortie de l’expérience aléatoire, un mot de trois lettres est construit. 1 Écrire les 64 mots pouvant être obtenus lors de cette ex-périence aléatoire. 2 Donner la probabilité des événements suivants : a E 1 : ˇ Le mot obtenu contient exactement une fois la lettre B ı ; b E 2 : ˇ Le mot obtenu contient exactement deux fois la lettre B ı ; c E 3 : ˇ Le mot contient la même lettre à la première et troisième place ı. 3 On considère le jeu suivant autour de l’expérience aléa-toire précédente : Si les trois lettres obtenues sont identiques alors le joueur gagne 5 e . Sinon et si la première lettre et la troisième lettre sont identiques alors le joueur gagne 2 e . Sinon il ne gagne rien. On note ˇ X = k ı l’événement ˇ le joueur gagne k e ı. Com- pléter le tableau ci-dessous : k 0 2 5 P ( X = k ) E.4554 Dans une expérience aléatoire, le joueur jette un dé tétraédrique dont les faces sont numérotés de 1 à 4 . Ensuite : Si la face du dé est paire, le joueur tire une boule dans l’urne A ; Si la face du dé est impaire, le joueur tire une boule dans l’urne B . Voici le contenu de ces deux urnes : L’urne A contient une boule blanche et une boule noire. L’urne B contient deux boules noires. 1 Construire un arbre de choix représentant les différentes sorties de cette expérience aléatoire. 2 En considérant que les sorties de cette expérience sont équiprobables et qu’on ne considère que la couleur de la boule tirée, décrire la loi de probabilité attribuée à cette expérience aléatoire. E.4562 Une roue parfaitement équili-brée est divisée en 16 parts égales réparties en quatre di-visions où est inscrit un nom-bre sur chacune d’elles. L’expérience aléatoire con-siste à faire tourner la roue et à relever le chiffre obtenu lorsque la roue s’immobilise sous la flèche. 1 Décrire l’univers de cette expérience aléatoire. 2 Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. 7. Opérations sur les événements E.5865 Ci-dessous sont représentés l’univers Ω d’une expérience aléatoire et deux événements A et B de Ω . Pour chacune des représentations ci-dessous, hachurer l’ensemble demandé. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4506 sacados/4506 chapExoCorrec/4509 sacados/4509 chapExoCorrec/4554 sacados/4554 chapExoCorrec/4562 sacados/4562 1234 chapExoCorrec/5865 sacados/5865 ΩΩAB AΩAB AΩAB BΩAB BΩAB A∩BΩAB A∩BΩAB A∩BΩAB A∪BΩAB A∪BΩAB A∪BΩAB A∪BΩAB
E.8151 Dans l’univers Ω d’une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B . Pour chacun des événements ci-dessous représentés par la par-tie hachurée du diagramme, décrire cet événement à l’aide des événements A et B , de leur complémentaire, de leur union et intersection : E.11586 On considère une expérience aléa-toire où son univers Ω et deux sous-ensembles, A et B , sont représentés ci-dessous : L’expérience aléatoire consiste à choisir au hasard, un élé- ments au hasard de l’univers Ω . Donner la probabilité que l’élément choisit appartienne à cha-cun des sous-ensembles ci-dessous : a A b A ∪ B c A ∪ B d A ∩ B E.8152 Dans un univers Ω , on considère les trois événements A , B et C représentés ci-dessous. Pour chaque question, exprimer la partie hachurée à l’aide des événements A , B , C , de leur complémentaire, de leur union et intersection. 8. Opérations et probabilités E.4510 On considère un dé équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6 . On considère les trois événements suivants : A : ˇ Le nombre obtenu est 5 ı ; B : ˇ Le nombre obtenu est strictement supérieur à 3 ı ; C : ˇ Le nombre obtenu est impair ı ; 1 Déterminer la probabilité des événements A , B , C . 2 On considère les événements ci-dessous : a A ∪ B b B ∩ C c A ∪ B d B ∩ C Décrire chacun de ces événements en citant les événe-ments élémentaires qui les composent, puis donner leur probabilité. E.4563 Un dé dodécaédrique comporte 12 faces identiques numérotées de 1 à 12 . On suppose que ses faces ont chacune la même probabilité de sortie. Lors d’un jet, on note la face supérieure du dé. On considère les événements : A : ˇ Le nombre obtenu est pair ı B : ˇ Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 9 ı C : ˇ Le nombre obtenu est strictement inférieure à 6 ı 1 Déterminer les probabilités des événements A , B et C . 2 Donner, sans justification, les probabilités des événe-ments suivants : a A ∩ B b A ∩ B c B ∩ C d B ∪ C e B ∩ C f A ∪ C https://chingmath.fr chapExoCorrec/8151 sacados/8151 ΩABaΩABb ΩABcΩABd ΩABeΩABf chapExoCorrec/11586 sacados/11586 ΩAB chapExoCorrec/8152 sacados/8152 ΩABC ΩABC ΩABC ΩABC ΩABC ΩABC chapExoCorrec/4510 sacados/4510 chapExoCorrec/4563 sacados/4563
E.11585 On considère une expérience aléatoire représentant une situa-tion d’équiprobabilité. Le schéma ci-dessous représente les événements élémentaires de l’univers Ω ainsi que les deux événements A et B . Déterminer les probabilités des événements : a A ∩ B b A ∩ B c A ∩ B E.5909 On considère un dé truqué à six faces dont le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité : x 1 2 3 4 5 6 P ( x ) 0 ; 14 0 ; 07 0 ; 22 0 ; 12 0 ; 1 On considère les événements suivants : B : ˇ La face a une valeur strictement supérieure à 2 ı ; C : ˇ La face a une valeur inférieure ou égale à 5 ı ; Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 0 ; 42 0 ; 44 0 ; 46 0 ; 48 E.5352 On considère un jeu de 52 cartes et les événements suivants : A : ˇla carte est de couleur rougeı ; B : ˇla carte n’est pas une figureı. Déterminer les probabilités suivantes : a P B b P B ∩ A c P B ∪ A d P B ∩ A E.6683 La direction d’un établissement sco-laire fait le point sur les élèves inscrits en demi-pension : L’établissement compte 852 élèves ; Au total, il y a 213 élèves inscrits au régime ˇ externe ı ; Pour les filles, 123 filles sont inscrites au régime ˇ externe ı et 312 sont en demi-pension 1 Recopier et compléter le tableau ci-dessous : Garçons Filles Total Externe Demi-pension Total 2 On considère les événements : G : ˇ l’élève est un garçon ı ; E : ˇ l’élève est inscrit en externe ı. Déterminer la probabilité des événements suivants : a G ∩ E b G ∪ E c G ∪ G E.5906 Un jeu consiste à tirer au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événe-ments suivants : A : ˇ La carte est une figure ı ; B : ˇ La carte est un coeur ı ; C : ˇ La carte a une valeur comprise entre 7 et 10 inclus ı Déterminer les probabilités suivantes : a C b A ∪ B c B ∩ C 9. Opérations et arbres de choix E.3053 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; le jeu consiste à extraire deux boules de l’urne sans remise : la première boule tirée ne sera pas remise dans l’urne. Ci-contre un arbre de choix représentant les tirages de ce jeu. 1 En tenant compte de l’ordre de tirage des boules, quel est le nombre de tirages différents possibles? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ La seconde boule tirée est blanche ı. c C : ˇ Les deux boules tirées sont de couleurs distinctes ı. 3 Donner les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c C https://chingmath.fr chapExoCorrec/11585 sacados/11585 ΩAB chapExoCorrec/5909 sacados/5909 chapExoCorrec/5352 sacados/5352 chapExoCorrec/6683 sacados/6683 chapExoCorrec/5906 sacados/5906 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/3053 sacados/3053 NNNBNBNNNNBNBNNBNNBNB
E.3052 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; le jeu se fait avec remise de la boule tirée: c’est-à-dire qu’une fois tirée, la boule est remise dans l’urne avant d’effectuer le tirage suivant. Voici un arbre de décision basé sur le tirage de trois boules : 1 En tenant compte de l’ordre de tirage des boules, quel est le nombre de tirages différents possibles? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ Les trois boules tirées sont de même couleur ı. c C : ˇ Au moins deux boules tirées sont de la même couleur ı. 3 Donner les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c C 10. Opérations et jeux de cartes E.3049 On considère un jeu de 32 cartes représenté ci-contre. L’expérience aléatoire consiste à choisir une carte au hasard dans ce jeu. 1 Pour chacun des événements ci-dessous, déterminer le nombre d’événements élémentaires le com-posant : a A : ˇ La carte tirée est un carreau ı. b B : ˇ La carte tirée est un as ı. c C : ˇ La carte tirée est une figure ı. d D : ˇ La carte tirée est de couleur rouge ı. 2 Déterminer le cardinal de chacun des événements suiv-ants : a A ∩ B b B ∩ C c B ∪ D E.4529 On considère une expérience consistant à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et les quatre événements associés : A : ˇ la carte tirée est un roi ı ; B : ˇ la carte tirée est une figure rouge ı ; C : ˇ la carte tirée est un coeur ı ; D : ˇ la carte tirée est un nombre ı 1 Déterminer la probabilité des quatre événements A , B , C et D . 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A b A ∩ C c A ∩ C d B ∩ C e C ∪ B f B ∪ C g B ∪ C E.4552 Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. 1 Déterminer les probabilités des événe-ments suivants : A : ˇ La carte tirée est un pique ı ; B : ˇ La carte tirée est une figure ı ; C : ˇ La carte tirée est noire ı ; D : ˇ La carte tirée est le valet ı ; 2 Déterminer les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c A ∪ B d B ∪ C e C ∩ D f C ∪ D g C ∩ D h C ∪ D 11. Introduction à la probabilité d’une union https://chingmath.fr chapExoCorrec/3052 sacados/3052 NNNNNNNNNNBBNNNNNNNNNNNBBNNBNNNBNNNBBBBNNNNNNNNNNNBBNNNNNNNNNNNBBNNBNNNBNNNBBBBNBNNNBNNNBNBBNBNNNBNNNBNBBNBBNNBBNNBBBBBB chapExoCorrec/3049 sacados/3049 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/4529 sacados/4529 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/4552 sacados/4552 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣
E.4513 On considère une expérience aléa-toire dont l’univers Ω est représenté ci-dessous. On considère également deux événements A et B de Ω : Les croix représentent les événements élémentaires composant Ω ; chacun des événements élémentaires sont équiprobables. 1 Combien d’événements élémentaires composent l’univers Ω ? 2 Déterminer les probabilités de A et de B . 3 a Déterminer les probabilités des deux événements suivants : A ∪ B ; A ∩ B b Écrire une relation entre les probabilités suivantes : P ( A ) ; P ( B ) ; P ( A ∪ B ) ; P ( A ∩ B ) E.3094 Une urne contient vingt boules numérotées de 1 à 20; les cinq premières sont rouges, les sept suivantes sont bleues, les huit suivantes sont jaunes. On tire une boule au hasard. 1 Déterminer les probabilités des évènements suivants : a A : ˇ La boule tirée porte un numéro pair ı ; b B : ˇ La boule tirée est rouge ı ; c C : ˇ La boule tirée est rouge ou porte un numéro pair ı ; d D : ˇ La boule tirée est rouge et porte un numéro pair ı. 2 L’égalité suivante est-elle vérifiée ? P A ∪ B = P A + P B Justifier votre réponse. E.3112 On considère une expérience aléa-toire simulant une situation d’équiprobabilité sur un univers Ω composé de 11 événements élémentaires. On considère les deux événements A et B tels que : A est composé de 4 événements élémentaires ; B est composé de 8 événements élémentaires ; A ∪ B est composé de 10 événements élémentaires ; 1 a En testant plusieurs possibilités, compléter le schéma ci-dessous pour réaliser cette situation. b De combien d’éléments élémentaires l’évèneemnt A ∩ B est-il composé? 2 En déduire les probabilités suivantes : a P ( A ) b P ( B ) c P ( A ∩ B ) d P ( A ∪ B ) 3 Quelles relations peut-on mettre en évidence entre les probabilités des événements A , B , A ∩ B et A ∪ B ? 12. Probabilité d’une union E.3095 Soit Ω ; P un espace probabilisé où A et B sont deux événements de Ω tels que : P ( A ) = 0 ; 36 ; P ( B ) = 0 ; 27 1 Que peut-on dire de A et de B si : P A ∪ B =0 ; 63 ? 2 On suppose que : P A ∪ B =0 ; 5 a Que peut-on dire de A et de B ? b Quelle est la probabilité que les évènements A et B soient réalisés simultanément? E.3100 Dans un univers Ω muni de la loi de probabilité P , on considère les deux événements A et B tels que : P ( A ) = 0 ; 37 ; P ( B ) = 0 ; 48 ; P ( A ∪ B ) = 0 ; 62 1 Déterminer la valeur de P ( A ∩ B ) . 2 Représenter ci-dessous les deux ensembles indiqués sous chacune des figures : 3 a Déterminer la probabilité des événements suivants : A ; A ∩ B b En déduire la probabilité de l’événement A ∪ B . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4513 sacados/4513 ABΩ chapExoCorrec/3094 sacados/3094 chapExoCorrec/3112 sacados/3112 ΩAB chapExoCorrec/3095 sacados/3095 chapExoCorrec/3100 sacados/3100 ΩABA∩B ΩABA∪B
E.4553 Dans un établissement du secondaire, un événement sportif regroupe les élèves de seconde prati-quant le football et le basket-ball. L’expérience aléatoire con-sidérée consiste à choisir au hasard un élève parmi les élèves de seconde. On considère les deux événements : F : ˇ L’élève choisit pratique le football ı B : ˇ L’élève choisit pratique le basket-ball ı 1 On donne la probabilité suivante : P ( B ∪ F ) = 0 ; 6 Donner la probabilité de choisir un élève participant à cet événement. 2 On donne les probabilités suivantes : P ( F ) = 0 ; 28 ; P ( B ) = 0 ; 22 Sachant que dans cet établissement, il y a 30 élèves de seconde pratiquant à la fois le basket-ball et le football, déterminer le nombre d’élèves de seconde dans cet étab-lissement. E.6684 Un établissement scolaire ne pro-pose que deux activités péri-scolaires: un club de théâtre et un atelier d’initiation à la programmation. On sait qu’il y a le même nombre d’inscrits dans ces deux activités. On choisit au hasard un élève dans l’établissement et on con-sidère les deux événements suivants : T : ˇ l’élève est inscrit au club théâtre ı P : ˇ L’élève est inscrit à l’atelier informatique ı On donne les probabilités : P T ∩ P = 0 ; 13 ; P T ∪ P = 0 ; 47 Déterminer la probabilité de choisir un élève inscrit au club théâtre? inscrit à l’atelier informatique? E.4789 Soit Ω ; P un espace probabilisé où A et B sont deux événements de Ω tels que : P ( A ) = 0 ; 36 ; P ( B ) = 0 ; 27 1 Supposons que les deux événements A et de B vérifient la relation: P A ∪ B =0 ; 63 ? Que peut-on dire de l’intersection A ∩ B ? 2 On suppose maintenant que : P A ∪ B =0 ; 5 : Quelle est la probabilité qu’un événement réalise simul-tanément les événements A et B ? E.5907 On considère une expérience aléatoire représentant une situa-tion d’équiprobabilité. Le schéma ci-dessous représente les événements élémentaires de l’univers Ω ainsi que les deux événements A et B . On considère un événement C de Ω vérifiant : P B ∪ C = 5 16 ; P B ∩ C = 2 16 Quelle est la probabilité de l’événement C ? 2 16 3 16 4 16 5 16 13. Exercices non-classés E.5908 On considère une expérience aléatoire représentant une situa-tion d’équiprobabilité. Le schéma ci-dessous représente les événements élémentaires de l’univers Ω ainsi que les deux événements A et B . 1 Déterminer la probabilité de l’événement A ∩ B ? 2 16 3 16 4 16 5 16 2 On considère un événement C de Ω vérifiant : P B ∪ C = 7 16 ; P B ∩ C = 2 16 Quelle est la probabilité de l’événement C ? 2 16 3 16 4 16 5 16 E.5910 On considère un dé truqué à six faces dont le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité : x 1 2 3 4 5 6 P ( x ) 0 ; 14 0 ; 07 0 ; 2 0 ; 12 0 ; 1 1 Quelle est la probabilité de l’évènement ˇ la face obtenue est la face 6 ı? 0 ; 34 0 ; 35 0 ; 36 0 ; 37 2 On considère les événements suivants : A : ˇ La face obtenue est pair ı ; B : ˇ La face a une valeur strictement supérieure à 2 ı ; C : ˇ La face a une valeur inférieure ou égale à 5 ı ; a Quelle est la probabilité de l’événement A ? 0 ; 54 0 ; 55 0 ; 56 0 ; 57 b Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 0 ; 42 0 ; 44 0 ; 46 0 ; 48 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4553 sacados/4553 chapExoCorrec/6684 sacados/6684 chapExoCorrec/4789 sacados/4789 chapExoCorrec/5907 sacados/5907 ΩAB chapExoCorrec/5908 sacados/5908 ΩAB chapExoCorrec/5910 sacados/5910