Troisième / Algorithmes 15 exercices corrigés

a
1. Algorithme simple E.7617 La figure ci-dessous est la copie d’écran d’un programme réalisé avec le logiciel ˇ Scratch ı : 1 Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, alors le programme renvoie − 5 . 2 Que renvoie le programme si on choisit au départ : a le nombre 5 ? b le nombre − 4 ? 3 Déterminer les nombres qu’il faut choisir au départ pour que le programme renvoie 0 . E.7611 On considère le programme de cal-cul ci-contre dans lequel x , Étape 1 , Étape 2 et Résultat sont quatre variables : 1 a Julie a fait fonctionner ce programme en choisissant le nombre 5 . Vérifier que ce qui est dit à la fin est : ˇ J’obtiens finalement 20 ı b Que dit le programme si Julie le fait fonctionner en choisissant au départ le nombre 7 ? 2 Julie fait fonctionner le programme, et ce qui est dit à la fin est ˇ J’obtiens finalement 8 ı. Quel nombre Julie a-t-elle choisi au départ? 3 Si l’on appelle x le nombre choisi au départ, écrire en fonction de x l’expression obtenue à la fin du programme, puis réduire cette expression autant que possible. 4 Maxime utilise le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre. Lui ajouter 2 . Multiplier le résultat par 5 . Peut-on choisir un nombre pour lequel le résultat obtenu par Maxime est le même que celui obtenu par Julie? 2. Algorithme et répétition https://chingmath.fr sacados/7617 quandest cliquécacher la variablexcacher la variableydemanderChoisis un nombreet attendremettrexàréponsemettreyàx*x-9direEn choisissantpendant1secondedireréponsependant1secondedireOn obtientpendant1secondedirey sacados/7611 quandest cliquedemanderChoisis un nombreet attendremettrexàréponsedireJe multiplie le nombre par6pendant2secondesmettreEtape 1à×6xdireJ’ajoute 10 au résultatpendant2secondesmettreEtape 2à+Etape 110direJe divise le résultat par 2pendant2secondesmettreRésultatà/Etape 22direregroupeJ’obtients ∏nalementResultatCréer une variableEtape 1Etape 2Résultatx
E.7615 On donne le programme suivant qui permet de tracer plusieurs triangles équilatéraux de tailles dif-férentes. Ce programme comporte une variable nommée ˇ côté ı. Les longueurs sont données en pixels. On rappelle que l’instruction signifie que l’on se dirige vers la droite. 1 Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé? 2 Combien de triangles sont dessinés par le script? 3 a Quelle est la longueur (en pixels) du côté du deux-ième triangle tracé? b Tracer à main levée l’allure de la figure obtenue quand on exécute ce script. 4 On modifie le script initial pour obtenir la figure ci-dessous : Indiquer le numéro d’une instruction du script après laquelle on peut placer l’instruction : pour obtenir cette nouvelle figure. E.7618 Voici trois figures différentes, au-cune n’est à l’échelle indiquée dans l’exercice: Le programme ci-dessous contient une variable nommée ˇ longueur ı. On rappelle que l’instruction signifie que l’on s’oriente vers la droite avec le stylo. 1 a Dessiner la figure obtenue avec le bloc ˇ un tour ı donné dans le cadre de droite ci-dessus, pour une longueur de départ égale à 30 , étant orienté vers la droite avec le stylo, en début de tracé. On prendra 1 cm pour 30 unités de longueur, c’est-à-dire 30 pixels. b Comment est-on orienté avec le stylo après ce tracé? (aucune justification n’est demandée) . 2 Laquelle des figures 1 ou 3 le programme ci-dessus permet-il d’obtenir? Justifier votre réponse. https://chingmath.fr sacados/7615 s’orienter à90 quandest cliquée∑acer toutaller à x:-200y:-100s’orienter à90Mettrecôtéà100triangleavancer decôtéAjouter àcôté-20répéter5fois123457896 dé∏nir trianglestylo en position écritureavancer decôtétournerde120degrésrépéter3foisrelever le stylo123456 tournerde60degrés sacados/7618 Figure 1Figure 2Figure 3 quandest cliquécacheraller à x:0y:0s’orienter à90degrésmettrelongueurà90e∑acer toutmettre la taille du stylo à3stylo en position d’écritureun tourajouter àlongueur30répéter2foisDé∏nir un touravancer delongueurtournerde90degésrépéter2foisajouter àlongueur30avancer delongueurtournerde90degrésrépéter2fois s’orienter à90degrés
E.7613 Pour une ˇ rue ı, on a défini le tracé d’une ˇmaisonı. 1 Vérifier que d est environ égal à 71 à l’unité près. 2 Un point dans une fenêtre d’exécution de votre pro-gramme a son abscisse qui peut varier de − 240 à 240 et son ordonnée qui peut varier de − 180 à 180 . Quel est le plus grand, nombre entier n que l’on peut utiliser dans le programme principal pour que le tracé de la ˇrueı tienne dans la fenêtre de votre ordinateur où s’exécute le programme? Vous pourrez tracer sur votre copie tous les schémas (à main levée ou non) qui auront permis de répondre à la question précédente et ajouter toutes les informations utiles (valeurs, codages, traits supplémentaires, nom de points. . . ) . 3 Attention, cette question est indépendante des questions précédentes et la ˇ maison ı est légèrement différente. Si on désire rajouter une sortie de cheminée au tracé de la maison pour la rendre plus réaliste, il faut faire un minimum de calculs pour ne pas avoir de surprises. Exemples : On suppose que : les points H , E et A sont alignés ; les points C , M et A sont alignés ; [ CH ] et [ EM ] sont perpendiculaires à [ HA ] ; AM = 16 MC = 10 HAC = 30 o Calculer EM , HC et HE afin de pouvoir obtenir une belle sortie de cheminée. E.7619 Le bloc d’instruction ˇ carré ı ci-contre a été programmé puis utilisé dans les deux programmes ci-dessous : L’instruction ˇ avancer de 10 ı fait avancer le lutin de 10 pixels. 1 Voici trois dessins : a Lequel de ces trois dessins obtient-on avec le pro-gramme n o 1? b Lequel de ces trois dessins obtient-on avec le pro-gramme n o 2? c Pour chacun des deux programmes, déterminer les longueurs, en pixel, du côté du plus grand carré dess-iné? 2 On souhaite modifier le programme n o 2 pour obtenir le dessin ci-dessous : Parmi les trois modifications suivantes, laquelle permet d’obtenir le dessin souhaité? Aucune justification n’est attendue pour cette question. https://chingmath.fr sacados/7613 quandestcliquécachermettrelatailledustyloà2alleràx:-240y:0e∑acertoutstyloenpositionécritures’orienterà90maisonavancerde20répéternfoisde∏nirmaisontournerde90degrésavancerde50tournerde45degrésavancerde50tournerde90degrésavancerde50tournerde45degrésavancerde50tournerde90degréstracédela"maison".d CMHEA30oCeschéman’estpasenvraiegrandeur sacados/7619 dé∏nir carréstylo en position écritureavancer delongueurtournerde90degrésrépéter4foisrelever le stylo quandest cliquémettrelongueurà10carrémettrelongueuràlongueur+20répéter4foiscacherProgramme no1 quandest cliquémettrelongueurà10carrémettrelongueuràlongueur*2répéter4foiscacherProgramme no2 Dessin no1Dessin no2Dessin no3
E.7620 1 On souhaite tracer le motif ci-dessous en forme de losange. Compléter le script du bloc Losange afin d’obtenir ce motif. Le motif Losange Le bloc Losange 2 On souhaite réaliser la figure ci-dessous construite à par-tir du bloc Losange complété à la question 1 . On rappelle que l’instruction signi-fie que l’on se dirige vers la droite. Parmi les instructions ci-dessous, indiquer sur votre copie, dans l’ordre, les deux instructions à placer dans la boucle ci-contre pour finir le script. a b c d E.10683 On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur 272 cm . La hauteur d’une marche est de 17 cm . La profondeur d’une marche pour poser le pied mesure 27 cm . 1 Combien de marches doit-on construire? 2 On rédige le programme ci-dessous avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier. ( 1 cm dans la réalité est représenté par 1 par dans le programme.) Recopier les lignes 5 , 6 , 7 et 9 en les complétant. 3. Algorithme et conditionnelle E.7614 On considère le programme de cal-cul suivant : Choisir un nombre ; Le multiplier par − 4 ; Ajouter 5 au résultat. 1 Vérifier que lorsque l’on choisit − 2 avec ce programme, https://chingmath.fr Modi∏cation1quandestcliquémettrelongueurà10carréavancerdelongueur+10mettrelongueuràlongueur*2répéter4foiscacherModi∏cation2quandestcliquémettrelongueurà10carrémettrelongueuràlongueur*2avancerdelongueur+10répéter4foiscacherModi∏cation3quandestcliquémettrelongueurà10carrémettrelongueuràlongueur*2répéter4foisavancerdelongueur+10cacher sacados/7620 Pointdedépart6030o150o dé∏nir Losangestylo en position d’écritureavancer detournerde30degrésavancer detournerde150degrésavancer detournerdedegrésavancer detournerdedegrésrelever le stylo s’orienter à90degrés quandest cliquée∑acer toutaller à x:0y:0s’orienter à90degrésrépéter12fois tournerde30degrés losange tournerde150degrés avancer de600 sacados/10683 Profondeurd’unemarcheHauteurd’unemarche sacados/7614
on obtient 13 . 2 Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir − 3 ? 3 Salomé fait exécuter le script suivant : a Quelle sera la réponse du lutin si elle choisit le nombre 12 ? b Quelle sera la réponse du lutin si elle choisit le nombre − 5 ? 4 Le programme de calcul ci-dessus peut se traduire par l’expression littérale − 4 · x +5 avec x représentant le nom-bre choisi. Résoudre l’inéquation suivante : − 4 · x +5 < 0 5 À quelle condition, portant sur le nombre choisi, est-on certain que la réponse du lutin sera ˇ Bravo ı ? 4. Programmation évenementielle E.7612 L’image ci-dessous représente la position obtenue au déclenchement du bloc départ d’un pro-gramme de jeu. L’arrière-plan est constitué de points espacés de 40 unités. Dans cette position, le chat a pour coordonnées ( − 120 ; − 80) . Le but du jeu est de position-ner le chat sur la balle. 1 Quelles sont les coordonnées du centre de la balle représentée dans cette position? 2 Dans cette question, le chat est dans la position obtenue au déclenchement du bloc départ. Voici le script du lutin ˇ chat ı qui se déplace. a Expliquez pourquoi le chat ne revient pas à sa position de départ si le joueur appuie sur la touche → puis sur la touche ← . b Le joueur appuie sur la succession de touches suivante : → → ↑ ← ↓ c Parmi les propositions de succession de touches ci-dessous, laquelle permet au chat d’atteindre la balle? Déplacement 1 Déplacement 2 Déplacement 3 →→→→→→→↑↑↑↑↑ →→→↑↑↑→↑← ↑←↑←↑←←↓↓ 3 Que se passe-t-il quand le chat atteint la balle? https://chingmath.fr quandest cliquédemanderChoisir un nombreet attendresi-4×réponse+5<0alorsdireBravodireEssaie encoresinon sacados/7612 OChat quandestcliquéDépartQuandπèchegaucheestcliquéajouter-40àxQuandπèchedroiteestcliquéajouter80àxQuandπèchehautestcliquéajouter80àyQuandπèchebasestcliquéajouter-40àyQuandn’importequoiestcliquédireJet’aiattrapépendant2secondesDépartSiBalletouchéealors
E.7616 Margot a écrit le programme suiv-ant. Il permet de dessiner avec trois touches du clavier. Pour information Ce bloc efface le dessin précédent, positionne le crayon à gauche de l’écran et relève le stylo. 1 Parmi les trois dessins suivants, un seul ne pourra pas être réalisé avec ce programme. Lequel? Expliquer. 2 Julie a modifié le programme de Margot (voir ci-dessous) . Que devient alors le dessin 3 avec le programme modifié par Julie? 5. Exercices non-classés E.7965 Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le mm . On lance une fléchette sur une plaque carrée sur laquelle fig-ure une cible circulaire (en gris sur la figure) . Si la pointe de la fléchette est sur le bord de la cible, on considère que la cible n’est pas atteinte. On considère que cette expérience est aléatoire et l’on s’intéresse à la probabilité que la fléchette atteigne la cible. la longueur du côté de la plaque carrée est 200 . le rayon de la cible est 100 . la fléchette est représentée par le point F de coordonnées ( x ; y ) où x et y sont des nombres aléatoires compris entre − 100 et 100 . 1 Dans l’exemple ci-dessus, la fléchette F est située au point de coordonnées (72 ; 54) . Montrer que la distance OF , entre la fléchette et l’origine du repère est 90 . 2 D’une façon générale, quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteigne la cible? 3 On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le nombre de lancers atteignant la cible. Le pro-grammeur a créé trois variables nommées : carré de OF , distance et score . https://chingmath.fr sacados/7616 Asie Juin 2017 4 points quandestcliquéinitialisationquandπechehautestcliqués’orienterà0styloenpositiond’écritureavancerde50releverlestyloquandπechedroiteestcliqués’orienterà90styloenpositiond’écritureavancerde50releverlestyloquandπechebasestcliqués’orienterà180styloenpositiond’écritureavancerde50releverlestylo initialisation s’orienter à9090 à droite-90 à gauche0 vers le haut180 vers le bas Dessin 1Dessin 2Dessin 3 quandestcliquéinitialisationquandπechehautestcliqués’orienterà0styloenpositiond’écritureavancerde50releverlestyloquandπechedroiteestcliqués’orienterà90avancerde50quandπechebasestcliqués’orienterà180styloenpositiond’écritureavancerde50releverlestylo sacados/7965 FHCible-100-50050100-100-5050100
a Lorsqu’on exécute ce programme, combien de lancers sont simulés? b Quel est le rôle de la variable score ? c Compléter et recopier sur la copie uniquement les lignes 5 , 6 et 7 du programme afin qu’il fonctionne correctement. d Après une exécution du programme, la variable score est égale à 102 . À quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation? Exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irré-ductible? 4 On admet que la probabilité d’atteindre la cible est égale au quotient : aire de la cible divisée par aire de la plaque carrée. Donner une valeur de cette probabilité, arrondie au cen-tième près. E.7968 Arthur doit écrire un programme avec Scratch pour dessiner une étoile comme le dessin représenté ci-contre. Il manque dans son programme le nom-bre de répétitions. Programme commencé par Arthur Information L’instruction signifie qu’on se dirige vers la droite 1 Quel nombre doit-il saisir dans la double ˇ répéter ı pour obtenir l’étoile? 2 Déterminer le périmètre de cette étoile. 3 Arthur souhaite agrandir cette étoile pour obtenir une étoile dont le périmètre serait le double, en modifiant son programme. Recopier la partie du programme ci-contre sur la copie en modifiant les valeurs nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile. https://chingmath.fr quandestcliquémettrescoreà0alleràx:nombrealéatoireentre-100et100y:nombrealéatoireentre-100et100mettreCarrédeOFàabscissex*abscissex+mettredistanceàracinedeajouteàscore1Sidistance<...alorsrépéter120fois sacados/7968 Asie Juin 2018 Pointdedépartdutracé quandest cliqués’orienter à90e∑acer toutstylo en position d’écritureavancer de80tournerde144degrésavancer de80tournerde72degrésrépéterfoisrelever le stylo s’orienter à90 avancer de80tournerde144degrésavancer de80tournerde72degrésrépéterfois
E.7969 Les longueurs sont en pixels. L’expression ˇ s’orienter à 90 ı signifie que l’on s’oriente vers la droite. On donne le programme suivant : 1 On prend comme échelle 1 cm pour 50 pixels. a Représenter sur votre copie la figure obtenue si le pro-gramme est exécuté jusqu’à la ligne 7 comprise. b Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ? 2 On s’exécute le programme complet et on obtient la fig-ure ci-dessous qui possède un axe de symétrie vertical. Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure. 3 a Parmi les transformations suivantes, translation, ho-mothétie, rotation, symétrie, axiale, quelle est la trans-formation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré? Préciser le rapport de réduction. b Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dess-inés? E.7974 Voici un script saisi par Alice dans un logiciel d’algorithmique. 1 Alice a choisi 3 comme nombre, calculer les valeurs de ˇ Résultat 1 ı et de ˇ Résultat 2 ı. Justifier en faisant apparaître les calculs réalisés 2 Généralisation: a En appelant x le nombre choisi dans l’algorithme, don-ner une expression littérale traduisant la première par-tie de l’algorithme correspondant à ˇ Résultat 1 ı. b En appelant x le nombre choisi dans l’algorithme, don-ner une expression littérale traduisant la deuxième par-tie de l’algorithme correspond à ˇ Résultat 2 ı. c Trouver le ou les nombres choisis par Alice qui corre-spondent au résultat affiché ci-dessous : https://chingmath.fr sacados/7969 quandest cliquéaller à x:0y:0stylo en position d’écritures’orienter à90degrémettreLongueurà 300CarréTriangleavancer deLongueur/6mettreLongueuràCarréTriangle Dé∏nir Carréavancer deLongueurtournerde90degrésrépéter4fois Dé∏nir Triangleavancer deLongueurtournerde120degrésrépéter3fois sacados/7974 quandest cliquédemanderChoisissez un nombreet attendreenvoyer à tousle nombre a été saisimettreNombreàréponsemettreRésultat 1à2*Nombre+3mettreRésultat 1àRésultat 1*Résultat 1direregroupele résultat 2 estRésultat 2 quand je reçoisle nombre a été saisimettreRésultat 2àNombre*NombremettreRésultat 2àRésultat 2*4mettreRésultat 2àRésultat 2+12*NombremettreRésultat 2àRésultat 2+9attendre3secondedireregroupele résultat 2 estRésultat 2 le résultat 2 est9