Troisième / Arithmétique 61 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 4 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels sur les puissances E.11261 Effectuer les calculs suivants : a 5 − 2 × 6 2 b 2 × (30 − 5 2 ) c 4 + 18 − 12 2 E.11262 Proposition: pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants. Exemple : 8 2 × 8 3 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8 5 pour diviser deux puissances d’un même nombre, on soustrait les exposants. Exemple : 7 5 7 3 = 7 × 7 × 7 \× 7 × 7 7 × 7 × 7 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 7 × 7 × 7 = 7 2 Simplifier les expressions suivantes : a 3 5 × 3 8 b 7 10 7 6 c 6 8 × 6 4 f 6 7 6 4 E.11263 Simplifier l’écriture des expressions suivantes : a 3 2 × 3 4 b 5 8 × 5 7 c 3 × 3 4 d 3 5 3 2 e 8 3 8 2 f 7 12 7 5 E.11270 Définition: Pour tout nombre a non-nul ( a =0 ) et pour tout entier n positif, on note : 1 a n = a − n a 0 = 1 ; a 1 = a Exemples: 5 3 5 7 = 1 5 4 = 5 − 4 ; 7 − 2 × 7 6 = 1 7 2 × 7 6 = 7 6 7 2 = 7 6 − 2 = 7 4 Compléter les calculs suivants : a 5 4 5 7 = 5 ... = 1 5 ... b 7 4 × 7 − 10 = 7 ... = 1 7 ... c 3 13 3 20 = 3 ... = 1 3 ... d 8 − 5 × 8 2 = 8 ... = 1 8 ... E.11328 Simplifier les expressions suivantes : a 3 5 × 3 3 × 3 8 b 7 12 7 5 c 5 7 × 5 4 5 9 d 9 2 × 9 3 9 5 × 9 10 E.11264 Simplifier l’écriture des expres-sions : a 10 × 10 − 4 10 − 8 b 10 5 × 10 − 4 10 − 3 c 10 − 12 × 10 8 10 4 E.11265 Simplifier l’écriture des expres-sions : a 10 3 10 − 2 4 b 10 16 10 2 8 c 10 5 10 7 2 d 10 3 − 2 E.11266 Proposition: pour a un entier positif, m et n deux entiers strictement positifs : a n × a m = a n + m ; a n a m = a n − m ; a n m = a n × m Simplifier l’écriture des puissances suivantes : a 5 2 × 5 5 b 7 4 × 7 − 7 c 5 × 5 − 4 d 3 5 × 3 2 4 e 8 5 × 8 − 3 × 8 − 2 f 5 20 × 5 − 9 3 2. Division euclidienne E.11333 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : a 132 par 8 b 213 par 6 Remarque: on écrira les résultats sous la forme : Dividende = Quotient × Diviseur + Reste E.9853 1 Compléter les pointillés ci-dessous en utilisant des en-tiers : a 87 = : : : × 4 + 7 b 87 = : : : × 4 + 3 c 87 = : : : × 4 − 1 d 87 = 23 × 4 + : : : 2 Parmi les égalités ci-dessous, laquelle représente la divi-sion euclidienne de 87 par 4 ? https://chingmath.fr quizzChap/1041 chapExoCorrec/11261 sacados/11261 chapExoCorrec/11262 sacados/11262 chapExoCorrec/11263 sacados/11263 chapExoCorrec/11270 sacados/11270 chapExoCorrec/11328 sacados/11328 chapExoCorrec/11264 sacados/11264 chapExoCorrec/11265 sacados/11265 chapExoCorrec/11266 sacados/11266 chapExoCorrec/11333 sacados/11333 chapExoCorrec/9853 sacados/9853
E.2155 Parmi les égalités suivantes, quelle égalité représente la division euclidienne de 375 par 14 ? a 375 = 25 × 14 + 25 b 375 = 26 × 14 + 11 c 375 = 27 × 14 − 3 E.9852 1 Compléter les pointillés ci-dessous en utilisant des en-tiers : a 148 = : : : × 13 + 5 b 148 = : : : × 13 + 18 c 148 = : : : × 13 − 8 d 148 = 13 × 13 + : : : 2 Parmi les égalités ci-dessous, laquelle représente la divi-sion euclidienne de 148 par 13 ? E.9851 Pour chaque question, déterminer l’égalité exprimant la division euclidienne de a par b : a a = 370 ; b = 250 b a = 315 ; b = 16 c a = 1 254 ; b = 26 d a = 24 576 ; b = 134 E.9870 Pour chaque question, déterminer l’égalité exprimant la division euclidienne de a par b : a a = 29 ; b = 29 b a = 65 ; b = 120 3. Diviseurs d’un nombre E.9854 1 a Donner les six diviseurs du nombre 12 . b Donner tous les diviseurs du nombre 27 . 2 Quels sont les diviseurs communs aux entiers 12 et 27 ? E.2133 Indication : dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. ˇ Le nombre caché : Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. Je suis pair. Je suis divisible par 11. J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur. Qui suis-je? ı. Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur. E.9149 1 Donner les huit diviseurs de l’entier 30 et les huit di-viseurs de l’entier 24 . 2 Quels sont les diviseurs communs aux entiers 30 et 24 ? E.4998 Compléter le tableau ci-dessous : Entier x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre de diviseurs de x 2 2 3 E.10682 Parmi les triplets de nombres ci-dessous lequel contient trois diviseurs de l’entier 144 : a 2 ; 9 ; 4 b 2 ; 3 ; 7 c 4 ; 5 ; 9 4. Parité des entiers E.10902 Compléter les deux tableaux à dou-ble entrée suivants : + Pair Impair Pair Impair × Pair Impair Pair Impair E.10903 Compléter sans justification les phrases suivantes à l’aide des mots pair , impair , quel-conque . a La somme de deux entiers pairs est un entier . . . . . . b La somme de deux entiers impairs est un entier . . . . . . c Le produit de deux entiers impairs est un entier . . . . . . d Le produit d’un entier pair par un entier impair est un entier . . . . . . E.10904 Sans justification, dire si les asser-tions suivantes sont vraies, fausses ou indécidables : 1 La somme de deux entiers impairs est un entier pair. 2 Le produit d’un entier pair par un entier impair est pair. 3 Le produit de deux entiers consécutifs est un entier pair. 4 La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2155 sacados/2155 chapExoCorrec/9852 sacados/9852 chapExoCorrec/9851 sacados/9851 chapExoCorrec/9870 sacados/9870 chapExoCorrec/9854 sacados/9854 chapExoCorrec/2133 sacados/2133 chapExoCorrec/9149 sacados/9149 chapExoCorrec/4998 sacados/4998 chapExoCorrec/10682 sacados/10682 chapExoCorrec/10902 sacados/10902 chapExoCorrec/10903 sacados/10903 chapExoCorrec/10904 sacados/10904
E.10872 On considère le programme de cal-cul ci-dessous : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier les réponses et écrire les étapes des éventuels calculs : 1 ˇ Si l’on choisit le nombre 2 3 , le résultat du programme est 58 9 . ı 2 ˇ Si l’on choisit un nombre entier, le résultat du pro-gramme est un nombre entier impair. ı 3 ˇ Le résultat du programme est toujours un nombre posi-tif. ı 4 ˇ Si le nombre choisi est un entier pair alors le résultat est un entier pair. ı E.10901 On considère le programme de calcul ci-dessous : 1 ˇ Si l’on choisit le nom-bre 2 3 , le résultat du pro-gramme est 40 9 . ı 2 ˇ Si l’on choisit un nom-bre entier, le résultat du programme est un nom-bre entier impair. ı 3 ˇ Le résultat du programme est toujours un nombre posi-tif. ı 4 ˇ Si l’entier choisi est un entier pair alors le résultat est un entier pair ı 5. Nombres premiers E.8008 Définition: un entier a est dit premier s’il admet exacte-ment deux diviseurs ( 1 et lui-même) Dans la liste de nombre ci-dessous, barrer les nombres qui ne sont pas des entiers premiers : 33 47 51 28 39 49 85 E.10445 Justifier que chacun des entiers ci-dessous n’est pas un entier premier : 573 ; 1784 ; 1065 E.8003 Indiquer en justifiant si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Affirmation : ˇ Le nombre 231 est un entier premier ı E.8004 Dans cet exercice, une ques-tion est posée et une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer la bonne réponse et justifier votre choix. Les entiers 23 et 37 : a sont premiers b sont divisibles par 3 . c n’ont aucun diviseur commun d sont pairs. E.8009 Dire si l’affirmation ci-dessous est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Affirmation : pour tout entier n positif, l’entier 2 n +1 est un entier premier. E.10714 Parmi les entiers ci-dessous, lequel est un entier premier : 16 993 ; 16 984 ; 17 007 ; 16 983 ; 16 985 E.10722 Parmi les entiers ci-dessous, lequel est un entier premier : 17 401 ; 17 396 ; 17 391 ; 17 409 ; 17 395 E.8002 Dire si l’affirmation, en justi-fiant, est vraie ou fausse. Affirmation : Pour tous les entiers n compris entre 2 et 9 , l’entier 2 n − 1 est un entier premier. E.9855 1 Donner trois couples d’entiers premiers dont la somme est un entier premier. 2 On considère un couple ( a ; b ) d’entiers premiers tel que a + b est un entier premier. Étudier la parité des entiers a et b . 6. Décomposition en produit de facteurs premiers (avec 2, 3, 5, 7) E.9265 Le nombre 588 peut se décom-poser sous la forme : 588=2 2 × 3 × 7 2 Quels sont ses diviseurs premiers? C’est-à-dire les nombres qui sont à la fois des entiers premiers et des diviseurs de 588 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10872 sacados/10872 •Choisir un nombre•Calculer son carré•Ajouter6au résultat chapExoCorrec/10901 sacados/10901 Choisir un nombreSoustraire 2Multiplier par4Elever au carréAjouter les deux nombres chapExoCorrec/8008 sacados/8008 chapExoCorrec/10445 sacados/10445 chapExoCorrec/8003 sacados/8003 chapExoCorrec/8004 sacados/8004 chapExoCorrec/8009 sacados/8009 chapExoCorrec/10714 sacados/10714 chapExoCorrec/10722 sacados/10722 chapExoCorrec/8002 sacados/8002 chapExoCorrec/9855 sacados/9855 chapExoCorrec/9265 sacados/9265
E.9856 Exemple: pour déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier 126 , on utilise l’algorithme suivant qui est schématisé dans le diagramme ci-dessous : On cherche un diviseur premier de 126 : par exemple 2 . On obtient l’égalité: 126 = 2 × 63 On cherche un diviseur premier de 63 : par exemple 3 . On obtient l’égalité: 126 = 2 × 3 × 21 On cherche un diviseur premier de 21 : par exemple 3 . On obtient l’égalité: 126 = 2 × 3 × 3 × 7 On s’arrête puisque 7 est aussi un entier premier. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers ci-dessous : a 45 b 140 c 196 E.5678 Compléter le diagramme ci-dessous afin d’obtenir la décomposition en produit de facteurs pre-miers de l’entier 180 . On pourra s’aider du diagramme: E.11297 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 84 . On pourra s’aider du diagramme: E.10728 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 294 On pourra s’aider du diagramme: E.10727 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 378 On pourra s’aider du diagramme: E.11295 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 420 . On pourra s’aider du diagramme: E.11412 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 504 : On pourra s’aider du diagramme: E.11296 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 1080 . On pourra s’aider du diagramme: E.9858 1 Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 27 000 000 . 2 Quels sont ses diviseurs premiers? 7. Décomposition en produit de facteurs premiers https://chingmath.fr chapExoCorrec/9856 sacados/9856 126263321371reétape2ndétape3eétape chapExoCorrec/5678 sacados/5678 180.........52......3 chapExoCorrec/11297 sacados/11297 84 chapExoCorrec/10728 sacados/10728 294 chapExoCorrec/10727 sacados/10727 378 chapExoCorrec/11295 sacados/11295 420 chapExoCorrec/11412 sacados/11412 504 chapExoCorrec/11296 sacados/11296 1080 chapExoCorrec/9858 sacados/9858
E.10723 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 891 : On pourra s’aider du diagramme: E.10726 Donner la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de l’entier 1650 : On pourra s’aider du diagramme: 8. Produit de décompositions en produit de facteurs premiers E.10692 Soit a et b deux entiers, dans cha-cun des cas ci-dessous, donner la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier a × b : a a = 2 3 × 3 × 5 2 et b = 3 5 × 5 b a = 3 4 × 5 × 7 2 et b = 2 × 3 3 E.11260 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers : 175 ; 108 2 En remarquant que 175 × 108=18 900 , donner la décom- position en produit de facteurs premiers de 18 900 . E.8010 Déterminer la décomposition en pro-duit de facteurs premiers de chacun des nombres ci-dessous : a 14 × 12 b 35 × 24 c 16 × 54 E.10701 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers 162 et 270 . 2 En déduire la décomposition en produit de facteurs pre-miers de l’entier 162 × 270 . 9. Quotient de décompositions en produit de facteurs premiers E.10672 Pour chacune des fractions ci-dessous, donner leur expression irréductible : a 2 4 × 3 8 × 7 3 2 7 × 3 6 × 7 2 b 2 12 × 3 4 × 5 5 2 8 × 3 4 × 5 7 c 2 34 × 5 17 2 30 × 3 3 × 5 15 E.10699 Soit a et b deux entiers, pour chaque question, donner la décomposition en produit de facteurs pre-miers de l’entier a b : a a = 2 3 × 3 × 5 3 et b = 2 2 × 3 × 5 b a = 2 4 × 3 4 × 7 2 et b = 2 × 3 3 E.10724 On considère les deux entiers : a = 2 6 × 3 × 5 2 × 7 2 ; b = 2 4 × 5 2 × 7 Pour chaque question, donner la décomposition en produit de facteurs premiers du calcul: a a × b b a b E.10702 1 Donner les décompositions en produit de facteurs pre-miers des entiers 2160 et 36 . 2 En déduire la décomposition en produit de facteurs pre- miers de l’entier 2160 36 . E.11330 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers : a de l’entier 364 b de l’entier 378 2 En déduire la décomposition en produit de facteurs pre-miers de 364 × 378 . 3 Donner la forme réduite de la fraction 364 378 . E.11413 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers 180 et 378 . 2 En déduire la décomposition en produit de facteurs pre-miers de l’entier 180 × 378 . 3 En déduire l’expression réduite de la fraction 180 378 . E.10673 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers 12 , 44 et 72 . 2 En déduire l’expression irréductible de la fraction 12 × 44 72 . 10. Factorisation de décompositions en produit de facteurs premiers https://chingmath.fr chapExoCorrec/10723 sacados/10723 891 chapExoCorrec/10726 sacados/10726 1650 chapExoCorrec/10692 sacados/10692 chapExoCorrec/11260 sacados/11260 chapExoCorrec/8010 sacados/8010 chapExoCorrec/10701 sacados/10701 chapExoCorrec/10672 sacados/10672 chapExoCorrec/10699 sacados/10699 chapExoCorrec/10724 sacados/10724 chapExoCorrec/10702 sacados/10702 chapExoCorrec/11330 sacados/11330 chapExoCorrec/11413 sacados/11413 chapExoCorrec/10673 sacados/10673
E.10704 Établir que les entiers ci-dessous sont des multiples de 5 : a 2 155 × 3 78 + 2 154 × 3 79 b 2 64 × 3 23 × 7 49 + 2 62 × 3 24 × 7 50 E.10725 Établir que l’entier A est un multi- ple de 7 : 2 53 × 3 40 + 2 55 × 3 39 E.10705 On considère l’entier a définie par : a = 4 17 × 3 27 × 5 17 + 2 31 × 9 13 × 5 19 Montrer que l’entier a est un multiple de 7 . 11. Approfondissement: un peu d’arithmétique E.9240 1 a Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 744 . b En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 744 2 . c À l’aide de cette décomposition, trouver x tel que : x 3 = 2 744 2 2 Soient a et b deux nombres entiers supérieurs à 2 tels que a 3 = b 2 . a Calculer b lorsque a =100 . b Déterminer deux nombres entiers a et b supérieurs à 2 et inférieurs à 10 qui vérifient l’égalité a 3 = b 2 . E.9860 La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10704 sacados/10704 chapExoCorrec/10725 sacados/10725 chapExoCorrec/10705 sacados/10705 chapExoCorrec/9240 sacados/9240 chapExoCorrec/9860 sacados/9860 Extrait France - Septembre 2007