Troisième / Double distributivité 56 exercices corrigés

a
1. Introduction à la double distributivité E.11105 On considère la figure composée ci-dessous de rectangles : 1 Exprimer l’aire du rectangle ABCD sous la forme d’un produit. 2 Exprimer l’aire du rectangle ABCD sous la forme d’une somme. E.7897 On considère un rectangle R dé-coupé en quatre rectangles R 1 , R 2 , R 3 et R 4 : Les dimensions sont portées directement sur la figure. 1 a Donner la longueur et la largeur du rectangle R . b Donner une expression de l’aire A R du rectangle R . 2 a Exprimer les aires A 1 , A 2 , A 3 , A 4 respectives des rectangles R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . b Donner une expression de l’aire A R du rectangle R . On vient d’établir la propriété suivante : Proposition: (double distributivité de la multipli-cation sur l’addition) Pour tous nombres a , b , c , d , on a l’identité suivante : a + b c + d = a × c + a × d + b × c + b × d Exemple / Remarque: On représente souvent ce développement à l’aide des flèches suivantes : E.1926 On considère le rectangle ABCD ci-dessous. Les droites ( EG ) et ( FH ) partagent ce rectangle en quatre rectangles. 1 En exprimant la longueur et de la largeur du rectangle AEIH . en fonction des mesures a , b , c , d , donner une expression de l’aire du rectangle 2 En déterminant les aires des quatre rectangles ABCD , ABCG , CDHF , GIFC , en déduire une autre expres-sion de l’aire du rectangle AEIH . Remarque: on vient d’établir une autre identité de la dou-ble distributivité : E.1924 On considère les deux expressions suivantes : A = (3 x + 2)( x + 3) ; B = 3 x 2 + 11 x + 6 1 a Pour chaque ligne du tableau suivant, calculer les deux expressions littérales pour la valeur de x donnée. x (3 x + 2)( x + 3) 3 x 2 + 11 x + 6 0 2 − 1 b Faire une conjecture quant à ces deux expressions. 2 Grâce à la simple distributivité, on peut distribuer le fac-teur 3 x +2 sur chacun des termes de la somme x +3 . On obtient l’identité suivante : On note C l’expression : C = 3 x + 2 × x + 3 x + 2 × 3 a Développer, puis réduire l’expression C . b Justifier l’égalité des expressions A et B sont égales. Conclusion: on vient d’établir l’égalité: https://chingmath.fr chapExoCorrec/11105 sacados/11105 ABCDEFGHMxx51 chapExoCorrec/7897 sacados/7897 R1R2R3R4abdc x22x4x×2xx×42×2x2×42x24x4x82x28x8 chapExoCorrec/1926 sacados/1926 ABCDEFGHIabcd a−bc−da×c−a×d−b×cb×c chapExoCorrec/1924 sacados/1924 3x×x33x×x3x×3 3x2x33x×x3x×32×x2×33x29x2x63x211x6
2. Double distributivité et coefficient positif E.4599 Définition: on appelle " double-distributivité "l’action de développer deux facteurs comportant des sommes/soustractions. Proposition: soit a , b , c , d quatre nombres. On a l’identité: Développer, puis réduire les expressions suivantes : a (3 x + 1)(3 + 4 x ) b (3 x + 2)(5 x + 4) c (2 x +5)(3+2 x ) d (2 x + 1)(3 x + 2) E.1077 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (3 x + 1)(2 x + 4) b (2 x + 1)(3 x + 1) c (2 + x )( x + 2) d (2 x + 1)(7 + 4 x ) Exemple commenté: E.7938 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a 2 x + 1) x + 3 b x + 4) x + 5 c x + 1) 2 x + 4 d 1 + 3 x ) 2 x + 1 E.11501 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (3 x + 2)(2 x + 7) b ( x + 5)(4 x + 1) E.11490 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a 3 x + 4 x + 6 b 2 x + 1 4 x + 2 E.8977 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a ( x + 4) 2 b (2 x + 1) 2 3. Double distributivité E.11401 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (3 x + 5)( x − 2) b (2 x − 1)(2 x + 3) E.11402 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (3 − x )(3 x + 2) b ( x − 5)(2 x + 1) E.11421 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a x + 5 2 x − 1 b 2 − 3 x 2 x + 1 E.11422 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a ( x − 2)(2 x + 1) b x + 5 3 − 7 x E.11424 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a x − 7 2 b (4 x − 3) 2 E.11423 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (2 x − 5)( x + 1) b ( − 2 x + 1)( x + 1) E.8994 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a 2 − x x − 5 b 4 − x 7 x − 3 E.4623 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (5 − 2 x )( − 1+ x ) b ( − 3 x + 2)( x − 2) E.1079 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a (2 x − 1)( − x − 3) b (5 x − 2)( − 3 − x ) E.1947 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a ( − 2 x + 2)( − 1 − x ) b 3 x − 1 − 5 x − 1 E.8963 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a 2( − x − 2)(2 x − 6) b − ( x − 3)(7 − 2 x ) E.8966 Développer, puis réduire les expres-sions suivantes : a 2(5 x − 2)( x + 1) b − ( x + 1)( x + 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/4599 sacados/4599 abcda×ca×db×cb×c chapExoCorrec/1077 sacados/1077 3x12x43x×2x3x×41×2x1×46x212x2x46x214x4 chapExoCorrec/7938 sacados/7938 chapExoCorrec/11501 sacados/11501 chapExoCorrec/11490 sacados/11490 chapExoCorrec/8977 sacados/8977 chapExoCorrec/11401 sacados/11401 chapExoCorrec/11402 sacados/11402 chapExoCorrec/11421 sacados/11421 chapExoCorrec/11422 sacados/11422 chapExoCorrec/11424 sacados/11424 chapExoCorrec/11423 sacados/11423 chapExoCorrec/8994 sacados/8994 chapExoCorrec/4623 sacados/4623 chapExoCorrec/1079 sacados/1079 chapExoCorrec/1947 sacados/1947 chapExoCorrec/8963 sacados/8963 chapExoCorrec/8966 sacados/8966
E.1083 Recopier les égalités ci-dessous en complétant convenablement les pointillés par les expressions manquantes : a ( − 3 x + 1)( − x − 5) = : : : : : : x 2 + 14 x : : : : : : b (2 x + 5)( − 5 x + 2) = − 10 x 2 : : : : : : x + 10 c (3 x − 4)( − 2 x + 1) = − 6 x 2 : : : : : : x − 4 E.3605 Développer puis réduire chacune des expressions suivantes : a x + 1 2 x + 1 b 3 x + 1 2 x + 2 E.9201 Donner la forme développée et ré-duite des expressions suivantes : a 2 + x 3 x − 1 b 5 x − 1 x + 2 E.9198 Développer puis réduire chacune des expressions suivantes : a 2 x + 1 5 − 2 x b 3 x − 2 1 − x E.10809 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a 2 x + 1 x − 4 b 4 x − 1 5 − 2 x E.3607 Recopier et compléter correctement les égalités suivantes : a (3 x + 2)( : : : x + 1) = 15 x 2 + : : : x + : : : b ( x + 1)( x − : : : ) = : : : x 2 − x − : : : c (2 x + : : : )(1 + : : : x ) = − 4 x 2 + 4 x + : : : d (3 x + 1)( : : : x + : : : ) = 9 x 2 + : : : x + 1 E.2205 Recopier et compléter correctement les égalités suivantes : a (2 x + 3)(3 x + 1) = : : : x 2 : : : x : : : b (3 x + : : : )(2 : : : x ) = : : : x 2 + 7 x + 2 d ( : : : − x )( − 2 : : : x ) = x 2 − x − 6 e (3 x + : : : )( : : : x + : : : ) = 6 x 2 + 8 x + : : : E.9393 Développer puis réduire chacune des expressions suivantes : a − x + 1 2 x − 3 b 2 1 − x 2 − x 4. Double-distributivité et priorité des opérations E.703 Donner la forme développée et réduite des expressions suivantes : a 2 × (2 x − 3)(0 ; 5 x + 1) b (2 x + 1) 3 + (2 − x ) × 2 E.10810 Développer et réduire l’expression : A = 5 x − 1 2 x − 3 + 5 x − 3 E.3606 Développer puis réduire chacune des expressions suivantes : a 3 x − 1 + x + 1 2 x + 1 b x + 2 x + 1 + x + 3 2 x − 1 E.8962 Développer et simplifier les expres-sions suivantes : a (5 − 2 x )(2 x + 4) + 3(5 − 3 x ) b (2 x + 3)( x − 4) + x (2 x + 4) E.11426 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (5 x + 2)(3 x + 1) − ( x + 1) × 2 b ( x + 2)(3 x + 2) − (2 x + 3) × 4 E.8964 Déterminer la forme développée et réduite de chacune des expressions suivantes : a (2 x + 4)(3 − 2 x ) − 2( x − 3) B ( − 2 x + 4)( x + 1) − 2( x 2 − 4) E.9199 Développer puis réduire chacune des expressions suivantes : a 2 − x 1 + x − 3 5 − 2 x b 5 x − 1 x + 4 − 3 x + 2 E.10743 Développer puis réduire chacune des expressions suivantes : a 3 x x − 1 − x − 2 2 x − 4 b (5 x + 1)(3 − x ) − 3(1 − x ) E.1078 Développer et réduire chacune des expressions littérales suivantes : b ( − x + 5)(3 x + 1) − ( − x + 2)(3 x + 4) E.11425 Développer et simplifier les expres-sions suivantes : a 3(5 x + 1)(2 − x ) − (5 − 2 x )(5 − 2 x ) b 2(2 − x )(3 x − 1) − 2 x (4 − 2 x ) E.8965 Développer et réduire les expressions suivantes : a − (2 x + 1)(3 − x ) + 2( x − 1) b − (2 x − 1)( x +1) − (3 x +1)(2 − x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/1083 sacados/1083 chapExoCorrec/3605 sacados/3605 chapExoCorrec/9201 sacados/9201 chapExoCorrec/9198 sacados/9198 chapExoCorrec/10809 sacados/10809 chapExoCorrec/3607 sacados/3607 chapExoCorrec/2205 sacados/2205 chapExoCorrec/9393 sacados/9393 chapExoCorrec/703 sacados/703 chapExoCorrec/10810 sacados/10810 chapExoCorrec/3606 sacados/3606 chapExoCorrec/8962 sacados/8962 chapExoCorrec/11426 sacados/11426 chapExoCorrec/8964 sacados/8964 chapExoCorrec/9199 sacados/9199 chapExoCorrec/10743 sacados/10743 chapExoCorrec/1078 sacados/1078 chapExoCorrec/11425 sacados/11425 chapExoCorrec/8965 sacados/8965
5. Double distributivité et problème E.8940 On donne le programme de calcul suivant : Étape 1 Choisir un nombre de départ Étape 2 Ajouter 6 au nombre départ Étape 3 Retrancher 5 au nombre de départ Étape 4 Multiplier les résultats des étapes 2 et 3 Étape 5 Ajouter 30 à ce produit Étape 6 Donner le résultat 1 a Montrer que si le nombre choisi est 4 , le résultat est 20 . b Quel est le résultat quand on applique ce programme de calcul au nombre − 3 ? 2 Zoé pense qu’un nombre de départ étant choisi, le résul-tat est égal à la somme de ce nombre et de son carré. a Vérifier qu’elle a raison quand le nombre choisi au dé-part vaut 4 , et aussi quand on choisit − 3 . b Ismaël décide d’utiliser un tableur pour vérifier l’affirmation de Zoé sur quelques exemples. Il a écrit des formules en B2 et B3 pour exécuter au-tomatiquement les étapes 2 et 3 du programme de cal-cul. Quelle formule à recopier vers la droite a-t-il écrite dans la cellule B4 pour exécuter l’étape 4 ? c Zoé observe les résultats, puis confirme que pour tout nombre x choisi, le résultat du programme de calcul est bien x 2 + x . Démontrer sa réponse. E.1948 1 Développer et réduire l’expression suivante : A = ( x + 1)(2 x − 1) − x 2 En déduire la valeur du calcul suivant : B = 1 001 × 1 999 − 1 000 E.7921 On considère le programme de calcul présenté à droite : 1 En choisissant le nombre 3 , montrer qu’en sortie le programme de calcul ren-verra le nombre 7 . 2 En notant x le nombre de départ, montrer que le nombre renvoyé par le programme de calcul s’exprime par : 2 x 2 +3 x − 20 E.11491 On considère le programme de calcul présenté à droite : 1 En choisissant le nombre 2 pour valeur d’entrée, déterminer la valeur de sortie de ce programme de calcul. 2 On note x le nombre d’entrée choisi pour ce programme de calcul: a Donner l’expression du nombre de sortie en fonction de x . b Etablir que cette expression admet pour expression dévelopée et réduite : 3 x 2 + x − 10 E.9030 On considère l’expression E définie par : E = ( x − 5)(2 x + 1) Compléter le diagramme ci-dessous, à l’aide d’instruction en français, afin que le programme de calcul construit corre-sponde à l’expression E : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8940 sacados/8940 fx123456ABCDEFÉtape125710Étape2811131626Étape3-302515Étape4-2402680390Étape5(résultat)63056110450Sommedunombreetdesoncarré63056110420B6B1B chapExoCorrec/1948 sacados/1948 chapExoCorrec/7921 sacados/7921 Choisir un nombreMultiplier 2Ajouter4Soustraire 5Multiplier les deux nombres chapExoCorrec/11491 sacados/11491 Choisir un nombreMultiplier 3Ajouter2Soustraire 5Multiplier les deux nombres chapExoCorrec/9030 sacados/9030 Choisir un nombre
E.11545 On considère les deux programmes de calcul suivants : 1 Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4 , le résultat obtenu avec le programme A est 16 . 2 Montrer que, lorsque le nombre choisi est − 2 , le résultat obtenu avec le programme A est 4 . 3 Justifier que l’affirmation suivante est vraie: " Le programme A donne toujours le carré du nombre choisi. " 4 Lorsque le nombre choisi est 10 , quel résultat obtient-on avec le programme B ? 5 Il existe exactement un nombre pour lequel les pro-grammes A et B fournissent des résultats identiques. Quel est ce nombre? E.7922 On considère le programme de calcul représenté par le diagramme ci-dessous : Démontrer que, quel que soit le nombre x choisit en entrée, le nombre en sortie renvoyé par le programme de calcul est toujours un nombre strictement positif. E.9008 On considère le programme de calcul ci-dessous : 1 Donner l’expression développée, puis réduire associée à ce programme de calcul. 2 Proposer un programme de calcul équivalent, mais sim-plifié. E.7937 On considère le programme de calcul représenté par le diagramme ci-dessous : Déterminer les deux nombres possibles à choisir en entrée dans ce programme de calcul pour que le nombre en sortie ait pour valeur 13 . E.2206 On considère l’expression : A = (2 x + 1)( x + 2) − 2 x ( x − 1) 1 Développer et réduire l’expression A . 2 Sans utiliser la calculatrice, déduire de la question précé-dente la valeur du calcul suivant : B = 20 001 × 10 002 − 20 000 × 9 999 6. Double distributivité, figures géométriques et problèmes E.80 Dans la figure ci-dessous ABEG est un rectangle et ABCD est un carré. On s’intéresse au rectangle AHFG . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11545 sacados/11545 Choisir un nombreSoustraire2Soustraire3Multiplier les deux nombresAjouter1Programme BProgramme AChoisir un nombrePrendrelecarrédunombreMultiplier par3Soustraire15Diviser par3Ajouter5 chapExoCorrec/7922 sacados/7922 Choisir un nombreMultiplier 3Soustraire3Soustraire 1Multiplier les deux nombresMultiplier par 10Additionner les deux nombres chapExoCorrec/9008 sacados/9008 Choisir un nombreAjouter3Soustraire3Multiplier les deux nombresAjouter9 chapExoCorrec/7937 sacados/7937 Choisir un nombreAjouter3Soustraire 4Multiplier les deux nombresAdditionner les deux nombres chapExoCorrec/2206 sacados/2206 chapExoCorrec/80 sacados/80 xcmxcmABCDEFGH2cm1;5cmI
1 a Déterminer l’aire du rectangle AHFG lorsque x =4 . b On considère l’expression littérale P définie par : P = x 2 + 0 ; 5 x − 3 Calculer l’expression P pour x =4 . 2 Établir que l’aire du rectangle AHFG s’exprime en fonc-tion de x à l’aide de l’expression littérale P . E.6343 Indication : Pour cette question, faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. Toute trace de recherche sera prise en compte lors de l’évaluation même si le travail n’est pas complètement abouti. Juliette possède un terrain rectangulaire de dimension 7 m × 4 m sur lequel elle souhaite construire une piscine. Elle souhaite entourer sa piscine d’une allée ayant la même largeur tout autour de la piscine. Cette situation est représentée dans le schéma ci-dessous : Parmi les expressions ci-dessous, laquelle représente l’aire de la piscine : a x 2 − 11 x +28 b x 2 − 11 x − 28 c − x 2 +11 x +28 d 4 x 2 − 22 x +28 e 4 x 2 − 22 x − 28 f − 4 x 2 +22 x +28 E.1949 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C quelle que soit la valeur de ˇ x ı : E.7936 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C quelle que soit la valeur de ˇ x ı : E.8758 Le triangle ABC ci-contre est tel que : AC = 13 ; AB = 14 ; BC = 15 On note H le pied de la hauteur issue du sommet C . Déterminer la mesure du segment [ CH ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6343 sacados/6343 xx7m4m chapExoCorrec/1949 sacados/1949 ABC5x+103x+64x+8 chapExoCorrec/7936 sacados/7936 ABC5x+103x+64x+8 chapExoCorrec/8758 sacados/8758 ABCH