Troisième / Identités remarquables 48 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 8 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Introduction aux identités remarquables E.9208 1 On considère le carré représenté ci-dessous qui a été partagé en quatre parties (deux rectangles et deux car-rés) : a Déterminer l’aire des quatre parties de ce carré. b En déduire, sans utiliser la calculatrice, la valeur de 26 2 . 2 Utiliser la même méthode pour calculer la valeur de 107 2 . E.9209 Soit a et b deux nombres réels stricte-ment positifs. On considère les quatre représentations d’un même carré de côté a ci-dessous : 1 a Exprimer à l’aide des nombres a et b l’aire de cha-cune des parties hachurées. b Quelle partie de cette figure admet pour aire l’expression : a − b 2 +2 ab − b 2 2 Justifier l’identité: a − b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 E.7998 On considère les deux figures ci-dessous. L’une est grisée et l’autre est composée de deux figures hachurées : Montrer que ces deux figures ont même aires 2. Introduction au développement E.701 Développer et réduire les expressions suivantes : a ( x + 1)( x + 1) b ( x + 6)( x + 6) E.694 Développer et réduire les expressions suivantes : a ( x − 2)( x − 2) b ( x − 3)( x − 3) E.2219 Développer et réduire les expressions suivantes : a ( x + 2)( x − 2) b ( x + 1)( x − 1) E.690 Développer et réduire les expressions littérales suivantes : a (4 x − 7)(4 x + 7) b (3 x − 2)(3 x + 2) E.11343 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (2 x + 3)(2 x + 3) b (5 x + 1)(5 x + 1) E.11345 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (2 x − 3)(2 x + 3) b (3 − 4 x )(3 + 4 x ) E.11344 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (3 x − 1)(3 x − 1) b (5 x − 1)(5 x − 1) E.10737 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (3 x + 3)(3 x + 3) b ( a + b ) 2 https://chingmath.fr quizzChap/1264 chapExoCorrec/9208 sacados/9208 123420km6km6km20km chapExoCorrec/9209 sacados/9209 abFig.1abFig.2abFig.3abFig.4 chapExoCorrec/7998 sacados/7998 abaa−bb chapExoCorrec/701 sacados/701 chapExoCorrec/694 sacados/694 chapExoCorrec/2219 sacados/2219 chapExoCorrec/690 sacados/690 chapExoCorrec/11343 sacados/11343 chapExoCorrec/11345 sacados/11345 chapExoCorrec/11344 sacados/11344 chapExoCorrec/10737 sacados/10737
E.10738 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (3 x − 2)(3 x − 2) b ( a − b ) 2 E.10739 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a (2 x + 2)(2 x − 2) b ( a + b )( a − b ) 3. Développement E.9391 Proposition: pour tous nombres a et b , on a les identités suivantes : a + b 2 = a 2 + 2 × a × b + b 2 a − b 2 = a 2 − 2 × a × b + b 2 a + b a − b = a 2 − b 2 Développer et réduire les expressions suivantes : a 2 x + 1 2 b 3 x − 4 2 c x − 2 x + 2 E.9390 En développant et en réduisant l’expression de gauche, établir les identités ci-dessous : a x + 5 2 = x 2 +10 x +25 b x − 2 2 = x 2 − 4 x + 4 c x +5 x − 5 = x 2 − 25 E.9206 Développer et réduire les expressions littérales suivantes : a (3 x − 5) 2 b (4 x + 3) 2 c (3 x + 2) 2 d (2 − 5 x ) 2 E.3698 Donner la forme développée et ré-duire des expressions suivantes : a (3 x + 1)(3 x − 1) b (2 x − 1) 2 c ( x + 3) 2 E.10744 Développer et réduire les expres-sions littérales suivantes : a 2 x + 1 2 b 3 x − 4 2 c 7 x + 3 7 x − 3 E.10745 Développer et réduire les expres-sions littérales suivantes : a 5 x − 4 2 b 3 x + 7 2 c x − 8 x + 8 E.10746 Développer et réduire les expres-sions littérales suivantes : a 2 − x x + 2 b 3 + 2 x 2 c 9 x − 5 2 E.10812 Donner la forme développée et ré-duite des expressions suivantes : a 5 x − 4 5 x + 4 b 3 x + 7 2 c 2 x − 1 2 E.10789 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a 1 3 x − 6 2 b 2 x − 1 4 2 c 1 3 x + 1 x − 3 E.9392 Développer et réduire les expressions suivantes : a 1 4 x + 2 3 2 b 5 3 x − 1 3 2 c 5 4 x + 1 5 5 4 x − 1 5 4. Développement et réduction E.698 Développer et réduire les expressions suivantes : a (4 x − 2) 2 − 2( x + 2) b (3 x + 2) 2 + 2( x + 4) E.10813 Développer et réduire les expres-sions suivantes : a 2 x − 3 2 + 5 x +6 2 b 3+2 x 3 − 2 x + 5 x − 2 2 E.9205 Développer et réduire les expressions suivantes : a (2 x + 1)(2 x − 1) + 4 × 2 + 3( x + 1) b (5 x + 1)(5 x − 1) − ( x + 1)(5 − x ) 5. Utilisation du développement des identités remarquables E.3895 On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre de départ Multiplier ce nombre par ( − 2) ; Ajouter 5 au produit ; Multiplier le résultat par 5 ; Écrire le résultat obtenu. 1 a Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2 , on obtient 5 . b Lorsque le nombre de départ est 3 , quel résultat obtient-on? 2 Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0 ? 3 Arthur prétend que, pour n’importe quel nombre de dé-part x , l’expression ( x − 5) 2 − x 2 permet d’obtenir le résul- https://chingmath.fr chapExoCorrec/10738 sacados/10738 chapExoCorrec/10739 sacados/10739 chapExoCorrec/9391 sacados/9391 chapExoCorrec/9390 sacados/9390 chapExoCorrec/9206 sacados/9206 chapExoCorrec/3698 sacados/3698 chapExoCorrec/10744 sacados/10744 chapExoCorrec/10745 sacados/10745 chapExoCorrec/10746 sacados/10746 chapExoCorrec/10812 sacados/10812 chapExoCorrec/10789 sacados/10789 chapExoCorrec/9392 sacados/9392 chapExoCorrec/698 sacados/698 chapExoCorrec/10813 sacados/10813 chapExoCorrec/9205 sacados/9205 chapExoCorrec/3895 sacados/3895
tat du programme de calcul. A-t-il raison? E.5240 On considère les programmes de cal-cul suivants : Programme A Choisir un nombre Lui ajouter 1 Calculer le carré de la somme obtenue. Soustraire au résultat le carré du nombre départ Programme B Choisir un nombre Ajouter 1 au double de ce nombre 1 On choisit 5 comme nombre de départ. Quel résultat obtient-on avec chacun des deux pro-grammes? 2 Démontrer que quel que soit le nombre choisi, les ré-sultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux. E.5658 On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre Ajouter 2 Élever cette somme au carré Soustraire au résultat le carré du nombre choisi au départ Soustraire au résultat 4 . 1 a Montrer que, si le nombre choisi est 1 , le programme de calcul renvoie le nombre 4 . b Montrer que, si le nombre choisi est 5 , le programme de calcul renvoie le nombre 20 . 2 Quel est le nombre retourné par le programme de calcul si le nombre choisi est 2 ? 3 a En notant x le nombre de départ, quelle est l’expression littérale obtenue par ce programme de cal-cul? b Justifier que l’expression obtenue par le programme de calcul est égale à 4 × x . E.3696 1 Développer: ( x − 1) 2 . Justifier que 99 2 =9 801 en utilisant le développement précédent. 2 Développer: ( x − 1)( x +1) . Justifier que 99 × 101=9 999 en utilisant le développe-ment précédent. E.5672 Tom doit calculer 3 ; 5 2 . ˇ Pas la peine de prendre la calculatrice ı, lui dit Julie, tu n’as qu’à effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter 0 ; 25 . 1 Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3 ; 5 . 2 Proposer une façon simple de calculer 7 ; 5 2 et donner le résultat. 3 Julie propose la conjecture suivante : ( n + 0 ; 5) 2 = n ( n + 1) + 0 ; 25 où n est un nombre entier positif. Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre n ) . 6. Factorisation et identité remarquable E.7997 Factoriser les expressions suivantes : a x + 4 2 − 2 2 b x + 1 2 − 3 2 c x − 2 2 − 2 2 d 4 2 − x + 1 2 E.9207 Factoriser les expressions suivantes : B = ( x + 2) 2 − (1 − 2 x ) 2 ; C = 4 − 16 x 2 + (4 x + 2)(5 x − 4) 7. Développer, factoriser et calculer E.699 1 Développer l’expression : A =(2 x − 1) 2 . 2 Donner la forme factorisée de : B =4 x 2 − 4 x +1 3 Donner la valeur de B pour x =0 et pour x = 1 2 . E.696 On considère l’expression littérale: ( E ) : (2 x − 1) 2 − 3( x + 1)(2 x − 1) 1 Factoriser ( E ) . 2 Développer ( E ) . 3 Calculer ( E ) pour x =1 de trois manières différentes. Puis, calculer ( E ) pour x = 1 4 . Question subsidiaire: 4 Quels sont les deux valeurs de x qui annulent l’expression ( E ) ? Pouvez-vous justifier? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5240 sacados/5240 chapExoCorrec/5658 sacados/5658 chapExoCorrec/3696 sacados/3696 chapExoCorrec/5672 sacados/5672 chapExoCorrec/7997 sacados/7997 chapExoCorrec/9207 sacados/9207 chapExoCorrec/699 sacados/699 chapExoCorrec/696 sacados/696
E.3697 On considère l’expression : D = (2 x + 3) 2 + ( x − 5)(2 x + 3) 1 Développer et réduire l’expression D . 2 Factoriser l’expression D . 3 Calculons l’expression pour x =1 et x = 2 3 . E.3695 On considère l’expression : A = 1 4 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 1 Calculer A pour a =1 et b =5 . 2 Calculer A pour a = − 2 et b = − 3 . 3 Alex affirme que le nombre A est égal au produit des nombres a et b . A-t-il raison? Justifier. 8. Problèmes E.6303 Léa pense qu’en multipliant deux entiers impairs consécutifs (c’est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1 , le résultat obtenu est toujours un multiple de 4 . 1 Étude d’un exemple: 5 et 7 sont deux entiers impairs consécutifs. a Calculer: 5 × 7+1 . b Léa a-t-elle raison pour cet exemple? 2 Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a réalisé dans une feuille de calcul. a D’après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier entier impair 17 ? b Montrer que cet entier est un multiple de 4 . c Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3 . Lesquelles? Aucune justification n’est attendue. Formule 1 : =(2*A3+1)*(2*A3+3) Formule 2 : =(2*B3+1)*(2*C3+3) Formule 3 : =B3*C3 Formule 4 : =(2*D3+1)*(2*D3+3) 3 Étude algébrique: a Développer et réduire l’expression : (2 x + 1)(2 x + 3) + 1 b Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4 . E.7634 Gaspard réalise des motifs avec des carreaux de mosaïque blancs et gris de la façon suiv-ante : Gaspard forme un carré avec des carreaux gris puis le borde avec des carreaux blancs. 1 Combien de carreaux blancs Gaspard va-t-il utiliser pour border le carré gris du motif 4 (un carré ayant 4 carreaux gris de côté) ? 2 a Justifier que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144 carreaux gris. b Combien de carreaux blancs utilisera-t-il alors pour border le carré gris obtenu? 3 On appelle ˇ motif n ı le motif pour lequel on borde un carré de n carreaux gris de côté. Trois élèves ont proposé chacun une expression pour calculer le nombre de carreaux blancs nécessaires pour réaliser le ˇ motif n ı : Expression n o 1: 2 × n +2 × n +2 Expression n o 2: 4 × n +2 Expression n o 3: 4 × n +2 − 4 Une seule de ces trois expressions ne convient pas. Laque-lle? E.5183 Indication : Pour cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. Lui ajouter 1 . Calculer le carré de cette somme. Enlever 16 au résultat obtenu. et l’expression littérale P définie par : P = x 2 +2 x − 15 Montrer que, quel que soit le nombre de départ choisi, on obtient la même valeur: par le programme de calcul; qu’en évaluant l’expression P en cette valeur. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3697 sacados/3697 Antilles-Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/3695 sacados/3695 Liban Juin 2009 chapExoCorrec/6303 sacados/6303 123456789101112ABCDEx0123456789Entierimpair2x135791113151719Entierimpairsuivant2x3579111315171921Produitdecesentiersimpairsconsécutifs(2xx315356399143195255323399Résultatobtenu(2xx4163664100144196256324400 chapExoCorrec/7634 sacados/7634 Asie Juin 2017 7 points Motif 1Motif 2Motif 3 chapExoCorrec/5183 sacados/5183
9. Problèmes et géométrie E.826 Dans la figure ci-dessous AEFG , AHIJ et ABCD sont des carrés. On note x la mesure du segment [ HB ] . 1 a Exprimer AH en fonction de x . b en déduire l’aire de AHIJ . c Parmi les expressions algébriques, laquelle (ou lesquelles) correspondent à l’aire hachurée : M =(4 − x ) 2 − 2 2 ; N =(4 − x − 2) 2 ; P =4 2 − x 2 − 2 2 2 Développer et réduire l’expression : Q =(4 − x ) 2 − 4 . 3 Factoriser Q . 4 Calculer Q pour x =2 . Que traduit ce résultat pour la figure? E.5917 Le dessin-ci-dessous représente une figure composée : d’un carré ABCD et d’un rectangle DEFG . E est un point du segment [ AD ] . C est un point du segment [ DG ] . Dans cette figure, la longueur AB peut varier, mais on a tou-jours : AE = 15 cm ; CG = 25 cm 1 Dans cette question, on suppose que : AB =40 cm a Calculer l’aire du carré ABCD . b Calculer l’aire du rectangle DEFG . 2 Peut-on trouver la longueur AB de sorte que l’aire du carré ABCD soit égale à l’aire du rectangle DEFG ? Si oui, calculer AB . Si non, expliquer pourquoi. Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation . E.10814 Ci-dessous est représenté un carré ABCD et un rectangle AMNP construit à partir des côtés du carré: On a: DP =1 cm ; BM = 4 cm On note x la mesure des côtés du carré ABCD . Déterminer la valeur de x pour que le carré ABCD et le rectangle AMNP aient la même aire. Indication : toutes traces de recherche et les explications de la démarche seront prises en compte dans l’évaluation. E.680 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A quelle que soit la valeur de ˇ x ı : E.2601 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C quelle que soit la valeur de ˇ x ı : 10. Partage E.693 1 Développer et simplifier les expressions suivantes : a (3 x + 2) 2 b (5 − x )(5 + x ) + ( x − 1) 2 2 Factoriser les expressions suivantes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/826 sacados/826 ABCDEFGHIJ2x4 chapExoCorrec/5917 sacados/5917 ABCDEFG chapExoCorrec/10814 sacados/10814 1cm4cmABCDMNP chapExoCorrec/680 sacados/680 ABC4x3x5x chapExoCorrec/2601 sacados/2601 ABC10x−56x−38x−4 chapExoCorrec/693 sacados/693
a 9 x 2 − 25 b ( x + 1)(5 − 2 x ) − ( x + 1) 2 E.3759 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) . Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d’entre elles est exacte. Chaque réponse donne un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. Pour chacune des questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 1 6 − 4( x − 2) est égale à 2 x − 4 14 − 4 x − 2 − 4 x 2 Quelle est l’expression factorisée de : 4 x 2 − 12 x +9 (2 x +3)(2 x − 3) (2 x + 3) 2 (2 x − 3) 2 3 Pour x = − 2 , l’expression 5 x 2 + 2 x − 3 est égale à 13 − 27 17 11. Exercices non-classés E.819 x est un nombre positif compris entre 0 et 10 ; les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm 2 . La figure ci-dessous est effectuée à main levée. Il s’agit de savoir s’il existe une valeur de x pour laquelle ABC est un triangle rectangle. 1 Calculer AB et AC lorsque x =4 . Lorsque x =4 , ABC est-il rectangle? Justifier la réponse. 2 Développer et réduire : ( x +7) 2 ; ( x +8) 2 En déduire : AB 2 − AC 2 =2 x +15 Quelle est la valeur de AB 2 − AC 2 lorsque x =0 , lorsque x =10 ? La valeur de BC 2 dépend-elle du nombre x ? 3 a Résoudre l’équation: 2 x +15=25 . b En déduire la valeur de x , afin que le triangle ABC soit rectangle en C . Justifier votre résultat. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3759 sacados/3759 chapExoCorrec/819 sacados/819 ABCx75x8