Troisième / Sections, cônes et sphères 38 exercices corrigés

a
1. Section du parallélépipède par un plan parallèle à une arête E.4206 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous : Déterminer la nature du quadrilatère DBFH . E.2945 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH d’arête 5 cm ; on effectue une coupe parallèlement à l’arête [ AB ] pour obtenir la section MNOP : 1 Donner la valeur exacte du segment MP . 2 Dessiner en vraie grandeur la section MNOP . E.5443 On considère le paral-lélépipède ABCDEFGH ayant pour dimensions : AB = 6 cm ; BC = 3 cm BF = 2 cm Un plan parallèle à l’arête [ FG ] intercepte le paral-lélépipède formant pour sec-tion le quadrilatère IJKL où : AI = 3 cm ; KG = 2 cm 1 Quelle est la nature du quadrilatère? 2 a Déterminer la mesure de la longueur IL , arrondie au millimètre près. b Déterminer l’aire du quadrilatère IJKL arrondie au centimètre carrée près. E.6453 On considère un cube ABCDEFGH d’arête 6 cm . On note M , N , P , Q les milieux respectifs des arêtes [ BF ] , [ CG ] , [ DC ] , [ AB ] . Voici une représentation (qui n’est pas aux dimensions réelles) de cette configuration : 1 Déterminer la mesure du segment [ MQ ] au millimètre près. 2 a Déterminer le volume du prisme droit PCNQBM . b En déduire le volume du solide DPNGHAQMFE . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4206 sacados/4206 Polynesie Juin 2010 ACDBEFGH chapExoCorrec/2945 sacados/2945 ABCDEFGHMNOP3cm3cm chapExoCorrec/5443 sacados/5443 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/6453 sacados/6453 ACDEFGHPQMNB
E.4205 Le cube représenté ci-contre est un cube d’arête 6 cm . (la figure n’est pas aux dimensions réelles) On considère : le point M milieu de l’arête [ BB ] ; le point N milieu de l’arête [ CC ] ; le point P milieu de l’arête [ DC ] ; le point R milieu de l’arête [ AB ] . 1 Quelle est la nature du triangle BRM ? Construire ce triangle en vraie grandeur. Calculer la valeur exacte de RM . 2 On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l’arête [ BC ] . La section est le quadrilatère RMNP . Quelle est la nature de la section RMNP ? Construire RMNP en vraie grandeur. Donner ses dimensions exactes. 3 Calculer l’aire du triangle RBM . Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [ BC ] . 2. Autres sections du parallélépipède E.7980 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et la pyramide KIJF de sommet F obtenue par section du cube où les points I , J , K apparti-ennent respectivement aux segments [ FE ] , [ FB ] , [ FK ] : Donner la nature de chacune des faces de la pyramide KIJF . E.7992 On considère le parallélépipède ABCDEFGH dont les dimensions sont indiquées sur la représentation ci-dessous : Une section de ce solide est réalisée pour obtenir le triangle EGB . Déterminer les dimensions du triangle BEG . 3. Section du cylindre E.2946 Dans l’espace, on considère un cylindre de révolution d’axe ( OO ) de rayon 5 cm et de hau-teur 3 cm ; la section de ce cylin-dre par un plan parallèle à l’axe de révolution donne le quadri-latère ABCD ; La distance HO mesure 2 cm . 1 a Dessiner en vraie grandeur le triangle O BC . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4205 sacados/4205 Amerique du Sud Novembre 2009 ACDABCDPRMNB chapExoCorrec/7980 sacados/7980 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/7992 sacados/7992 ABCDEFGH24cm11;7cm4;4cm chapExoCorrec/2946 sacados/2946 ABCDOOH
b Déterminer la longueur BC , arrondie au millimètre près. 2 a Donner la nature du quadrilatère ABCD . b Représenter en vraie grandeur la section ABCD . 4. Section d’une pyramide E.7977 On considère la pyramide ABCDS de sommet S et dont la base est rectangulaire: On coupe ce solide par un plan ( P ) parallèle à la base. On obtient la section EFGH . 1 Quelle est la nature de la section EFGH ? 2 Quelle est la nature du solide EFGHS ? E.7978 On considère une pyramide ABCDO à base carrée ABCD représentée ci-contre. On note I le pied de la hauteur de la pyramide et E le milieu de [ OA ] . On a les dimensions : AB =3 cm ; IO =4 cm Le plan parallèle à la base passant par le point E intercepte la pyramide en formant le quadrilatère EFGH . 1 Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? 2 Justifier que le point F est le milieu du segment [ OB ] . 3 Dessiner la base de la pyramide EFGHO , de sommet O , en vraie grandeur. 5. Section de la sphère E.5674 On considère la sphère et les deux cylindres représentés ci-dessous : 1 Quelle est la nature de la section de la sphère avec le plan ( P ) ? 2 Quelle est la nature de la section du premier cylindre avec le plan ( Q ) qui est perpendiculaire à l’axe de révolution du cylindre? 3 Quelle est la nature de la section du second cylindre avec le plan ( R ) qui est parallèle à l’axe de révolution du cylin-dre? 6. Section d’un cône de révolution E.7982 Ci-dessous, on considère les deux sections de cônes de révolution : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7977 sacados/7977 ABCDEFGHS chapExoCorrec/7978 sacados/7978 ABCDEFGIOIH chapExoCorrec/5674 sacados/5674 PQ chapExoCorrec/7982 sacados/7982 Figure 1Figure 2
1 Dans la figure 1 , la section est effectuée par un plan par-allèle à la base du cône de révolution. Quelle est la nature de la section? 2 Dans la figure 2 , la section est effectuée par un plan per-pendiculaire à la base du cône de révolution et passant par le sommet du cône. Quelle est la nature de la section? 7. Etude de la section de la sphère E.5460 La figure ci-dessous représente la section d’une sphère S par un plan ( P ) . On note C le cercle sec-tion obtenu. 1 Que peut-on dire des points O , H et A représentés dans la figure ci-dessous? 1 Que représentent chacun les longueurs AH , OA et OH ? 2 Quelle est la nature du triangle OHA ? E.809 Soit S une sphère de rayon 12 m et un plan P situé à une distance de 7 m du centre de la sphère. 1 Justifier que les droites ( AI ) et ( OI ) soit perpendiculaire entre elles. 2 Relativement à la sphère et au cercle-section, que représentent chacune des longueurs OI , IA et OA . 3 Déterminer la mesure du rayon du cercle-section, ar-rondie au décimètre près. E.807 Soit S une sphère de centre O et de rayon 7 cm . Soit C un cercle-section associé au plan ( P ) tel que O soit à une distance de 5 cm du plan ( P ) . Soit H le centre de C et M un point de l’espace tel que M ∈ C . 1 Faîtes un dessin représentant la sphère en vraie grandeur ainsi que le cercle-section. 2 Que peut-on dire du triangle OHM ? 3 Représenter le triangle OHM en vraie grandeur. 4 Donner la valeur exacte de HM , puis sa valeur arrondie au millimètre près. E.5458 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) . Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. Pour chacune des 3 questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte. Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous : O est le centre de la sphère, le plan P coupe la sphère suivant un cercle de centre H , M est un point de ce cercle, R est le milieu de [ OH ] . 1 Le point R ap-partient. . . à la sphère de centre O et de rayon OM à la boule de centre O et de rayon OM au plan P 2 La distance du point O au plan P est. . . OM OR OH 3 Si OM =11 ; 7 cm et HM =10 ; 8 cm , alors OH = : : : 4 ; 5 cm 1 ; 2 cm 20 ; 25 cm 8. Volume de la sphère https://chingmath.fr chapExoCorrec/5460 sacados/5460 AOH chapExoCorrec/809 sacados/809 AIOP chapExoCorrec/807 sacados/807 chapExoCorrec/5458 sacados/5458 ORHM(P
E.9317 Voici les dimensions de quatre solides : Une pyramide de 6 cm de hauteur dont la base est un rectangle de 6 cm de longueur et de 3 cm de largeur. Un cylindre de 2 cm de rayon et de 3 cm de hauteur. Un cône de 3 cm de rayon et de 3 cm de hauteur. Une boule de 2 cm de rayon. 1 a Représenter approximative-ment les trois premiers solides comme l’exemple ci-contre : b Placer les dimensions données sur les représentations 2 Classer ces quatre solides dans l’ordre croissant de leur volume. Quelques formules: 4 3 × ı × rayon 3 ı × rayon 2 × hauteur 1 3 × ı × rayon 2 × hauteur 1 3 × aire de la base × hauteur Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.2652 Dans une boîte cubique dont l’arête mesure 7 cm , on place une boule de 7 cm de di-amètre (voir le schéma ci-contre) . Le volume de la boule corre-spond à un certain pourcent-age du volume de la boîte. On appelle ce pourcentage ˇ taux de remplissage de la boîte ı. Calculer ce taux de remplissage de la boîte. Arrondir ce pour-centage à l’entier le plus proche. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.9320 Guillaume aimerait savoir combien de cheveux il a sur la tête. Pour cela, il représente sa tête par une sphère de rayon R . Il mesure le tour de sa tête comme in-diqué sur le schéma ci-dessous et obtient 56 cm . Rappels: Périmètre d’un cercle de rayon R : P = 2 ıR Aire d’une sphère de rayon R : A = 4 ıR 2 . Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Montrer que le rayon d’un cercle de périmètre 56 cm est environ égal à 9 cm . 2 Guillaume considère que ses cheveux recouvrent la moitié de la surface de sa tête. Sur 1 cm 2 de son crâne, il a compté 250 cheveux. Estimer le nombre de cheveux de Guillaume. Indication : pour cette question toute trace de recherche sera valorisée lors de la notation. E.4336 1 Dessiner un pavé droit en perspective cavalière. 2 Un aquarium a la forme d’un pavé droit de longueur 40 cm , de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm . a Calculer le volume, en cm 3 , de ce pavé droit. b On rappelle qu’un litre correspond à 1 000 cm 3 . Com-bien de litres d’eau cet aquarium peut-il contenir? Aucune justification n’est demandée . 3 Parmi les formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm 3 , d’une boule de 30 cm de diamètre : 4 3 × ı × 30 3 ; 4 ı × 15 2 ; 4 3 × ı × 15 3 4 Un second aquarium contient un volume d’eau égal aux trois quarts du volume d’une boule de diamètre 30 cm . On verse son contenu dans le premier aquarium. À quelle hauteur l’eau monte-t-elle? Donner une valeur arrondie au mil-limètre près. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 9. Section de sphère et volume E.2491 Une calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un plan. Un doseur de lessive liquide, représenté ci-dessous, a la forme d’une calotte sphérique de cen-tre O , de rayon R = OA = 4 ; 5 cm . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9317 sacados/9317 2cm chapExoCorrec/2652 sacados/2652 Bordeaux - Juin 2002 chapExoCorrec/9320 sacados/9320 RTourdetête chapExoCorrec/4336 sacados/4336 chapExoCorrec/2491 sacados/2491 HhAOK
L’ouverture de ce récipient est délimitée par le cercle de centre H et de rayon HA =2 ; 7 cm . La hauteur totale de ce doseur est HK . 1 Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO . 2 Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK du doseur mesure exactement 8 ; 1 cm . 3 Le volume V d’une calotte sphérique de rayon R et de hauteur h est donné par la formule : V = 1 3 · ı · h 2 · 3 · R − h Calculer en fonction de ı le volume exact du doseur en cm 3 . En déduire la capacité totale arrondie au millilitre du doseur. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.5442 Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire l’Aquarium du Pacifique. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l’entrée, dont la vitre a une forme sphérique. La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure n’est pas en vraie grandeur. Rappel: la formule du volume d’une boule de rayon R : V boule = 4 × ı × R 3 3 Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Calculer le volume d’une boule de rayon 5 m , arrondi au mètre-cube près. 2 En réalité, l’aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible aux visiteurs) est une ˇ calotte sphérique ı. La partie inférieure (enfoui) abrite les ma-chines. a Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l’aquarium (la partie grisée sur la figure) ? b Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes : OH = 3 m ; RO = 5 m ; HR = 4 m où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure. Le triangle OHR est-il rectangle? Justifier. 3 a T est un point de la sphère tel que les points T , O , H soient alignés comme sur la figure. Calculer la hauteur HT de la partie visible de l’aquarium. b Calculer le volume de cette calotte sphérique, arrondi au litre près. Indication : le volume d’une calotte sphérique de rayon 5 m est donné par la formule : V calotte = ı × h 2 3 × (15 − h ) où h désigne sa hauteur (correspondant à la longueur HT sur la figure.) c Pour cette question, on prendra comme volume de l’aquarium 469 000 litres. Des pompes délivrent à débit constant de l’eau de mer pour remplir l’aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y injectent 14 000 litres d’eau de mer. Au bout de combien d’heures de fonctionnement, les pompes auront-elles rempli l’aquarium? 10. Volumes de solides E.5925 Rappels: Volume d’un cylindre: V = ı × rayon 2 × hauteur Volume d’une sphère : V = 4 3 × ı × rayon 3 Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 Flora fait des bracelets avec de la pâte à modeler. Ils sont tous constitués de 8 perles rondes et de 4 perles longues. Cette pâte à modeler s’achète par blocs qui ont tous la forme d’un pavé droit dont les dimen-sions sont précisées ci-contre. La pâte peut se pétrir à volonté et durcit ensuite à la cuisson. Information sur les perles: https://chingmath.fr chapExoCorrec/5442 sacados/5442 OHRTPartie enfouieSolPartie visible(calotte sphérique) chapExoCorrec/5925 sacados/5925 6cm2cm6cm
Une perle ronde Boule de diamètre 8 mm Une perle longue Cylindre de hau-teur 16 mm et de diamètre 8 mm Flora achète deux blocs de pâte à modeler : un bloc de pâte à modeler bleue pour faire les perles rondes et un bloc de pâte à modeler blanche pour faire les perles longues. Combien de bracelets peut-elle ainsi espérer réaliser? E.9319 Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski. Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur. On considère que ce globe est com-posé d’un cylindre en cristal de di-amètre 6 cm et de hauteur 23 cm , sur-monté d’une boule de cristal de di-amètre 23 cm . Voir schéma ci-contre. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Montrer que le volume de la boule de ce trophée est de 6 371 cm 3 , arrondi au centimètre cube près. 2 Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90 % du volume total du trophée. A-t-elle raison? E.4203 On considère les trois solides suiv-ants : la boule de centre O et de rayon SO tel que SO =3 cm ; la pyramide SEFGH de hauteur 3 cm dont la base est le carré EFGH de côté 6 cm ; le cube ABCDEFGH d’arête 6 cm . Ces trois solides sont placés dans un récipient. Ce récipient est représenté par le pavé droit ABCDIJKL de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD de côté 6 cm . 1 Calculer le volume du cube ABCDEFGH en cm 3 . 2 Calculer le volume de la pyramide SEFGH en cm 3 . 3 En déduire le volume occupé par les trois solides à l’intérieur du pavé ABCDIJKL , arrondie au cm 3 . 4 Indication : dans cette question, écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Pourra-t-on verser dans ce récipient 20 c‘ d’eau sans qu’elle déborde? Schéma : La figure n’est pas en vraie grandeur. Quelques indications: Le volume d’une pyramide se calcule grâce à la formule : V = 1 3 × h × B où h est la hauteur de la pyramide et B l’aire de sa base. Le volume d’une boule se calcule grâce à la formule : V = 4 3 × ı × r 3 où r est le rayon de la boule. 1 dm 3 = 1 ‘ on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 11. Coordonnées géographiques sur la sphère E.7001 Ci-dessous sont représentés les méri-diens et les parallèles du globe-terrestre : https://chingmath.fr chapExoCorrec/9319 sacados/9319 23cm23cm chapExoCorrec/4203 sacados/4203 ABCDEFGHIKLJOS chapExoCorrec/7001 sacados/7001
Déterminer les coordonnées géodésiques des points A , B et C . E.2943 Sur la sphère ci-dessous représen-tant la terre, on considère les point A , B , C , D représentés ci-dessous : Lire les coordonnées géographiques de ces quatre points. E.9318 Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyongchang en Corée du Sud. Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous : E.2944 On considère sur la terre, quatre points A , B , C , D où on connait les coor-données géographiques des points A et B : A : 30 o S 10 o W ; B : 55 o N 130 o E . Déterminer les coordon-nées géographiques des points C et D . . 12. Coordonnées géographiques et calcul de distance E.2653 La terre est assimilée à une sphère de rayon 6 370 km . 1 On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles https://chingmath.fr N-80-60-40-200204060-120-100-40-20020406080ABC chapExoCorrec/2943 sacados/2943 NS0o40oS65oN0o30oW150oE50oEABCD chapExoCorrec/9318 sacados/9318 15o30o45o60o75o90o105o120o135o150o165o180o165o0oNordSud15o30o45o60o75o90o105o120o135o150o165o0oéquateurEstOuest15o30o45o60o75o15o30o45o60o75oPyeongchang chapExoCorrec/2944 sacados/2944 NSABCD chapExoCorrec/2653 sacados/2653 Grenoble - Juin 2002 ABSNOGEquateur
( NS ) et équidistant de ces deux pôles. L’intersection de ce plan avec la terre s’appelle l’équateur. Calculer la longueur de l’équateur arrondie au kilomètre près. 2 On note O le centre de la terre et G un point de l’équateur. On considère deux points A et B situés en Afrique sur l’équateur. Ces points sont disposés comme l’indique le schéma ci-dessus. On sait que : GOA =42 o ; GOB =9 o . Calculer la longueur de l’arc AB , portion de l’équateur située en Afrique arrondie au kilomètre près. E.2541 Le tableau ci-dessous représente trois villes: leur latitude et leur longitude. Latitude Longitude Douala 4 o 9 o Cayenne 4 o − 52 o Milan 45 o 9 o On rappelle que le rayon de la terre est approximativement 6 370 km 1 a Déterminer la distance à vol d’oiseau séparant Douala de Milan (ville d’Italie) arrondie au kilomètre près. b Déterminer la distance à vol d’oiseau séparant Douala de Cayenne (ville de Guyane-française) arrondie au kilomètre près. 2 La distance à vol d’oiseau de Cayenne à Milan est de 7 470 km . Peut-on déduire cette distance des données obtenues durant les questions précédentes? Remarque: on dit que la géométrie sphérique est une géométrie à courbure positive. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.2954 Vancouver, au Canada, a pour coordonnée géo-graphique : 123 o E 49 o N Paris a pour coordonnée géographique : 2 o E 49 o N Le point I est l’unique point du plan de l’équateur tel que le triangle OIP soit rectan-gle. Indication : le rayon de la terre est d’environ 6 371 km . on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Justifier que les villes Vancouver et Paris sont sur la même latitude. 2 a Déterminer la mesure du rayon du cercle définissant la latitude 49 o N , arrondi au kilomètre près. b Déterminer la longueur de la latitude 49 o N , arrondi au kilomètre près. c En déduire la longueur, à la surface de la terre, sé-parant ces deux villes, arrondi au kilomètre près. 3 Donner les coordonnées du point géographique diamé-tralement opposé à la ville de Vancouver. E.2456 Le dessin ci-dessous représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6 370 km de rayon. Le cercle de centre O passant par M représente l’équateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure) . On admettra que l’angle LSO est un angle droit. On donne OS =4 880 km . 1 Calculer la longueur SL , arrondie au kilomètre près. 2 Calculer la mesure de l’angle SOL arrondie au degré près. 3 En déduire la latitude nord de Londres par rapport à l’équateur arrondie au degré près, c’est-à-dire l’angle LOM . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2541 sacados/2541 chapExoCorrec/2954 sacados/2954 PVI49oO chapExoCorrec/2456 sacados/2456 LSOM
E.2540 On considère que la terre est sphérique ; une représentation est donnée ci-contre où est représenté : La ville G de Greenwich et son méridien La ville K de Kiev et son méridien passant par cette ville. Les villes G et K sont sur le même parallèle. Rappel: le rayon de la terre est d’approximativement 6 370 km . Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Justifier que les angles GOE et KOE sont de mesures égales. 2 Déterminer le rayon du cercle-section formé par le par-allèle de Greenwich, arrondi au kilomètre près, sachant que la latitude de Greenwich est 51 o . 3 Déterminer la distance séparant Greenwich de Kiev , ar-rondie au kilomètre près, sachant que la longitude de Kiev est 31 o W 13. Partage E.5459 Rappel: volume d’une boule : V = 4 × ı × R 3 3 Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Calculer la valeur du volume d’une boule de rayon R = 7 cm , arrondie au cm 3 . 2 On réalise la section de la sphère de centre O et de rayon OA =7 cm par un plan, représenté ci-dessous. Quelle est la nature de cette section? 3 Calculer la valeur exacte du rayon HA de cette section sachant que OH =4 cm . 14. Exercices non-classés E.985 La petite boule a un rayon de OA =3 cm et un volume de 36 ı alors que la grande a un volume de 288 ı . 1 Déterminer le coefficient d’agrandissement de la petite boule vers la grande boule. 2 En déduire la mesure du rayon de la grande boule [ OB ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2540 sacados/2540 KEGCOE chapExoCorrec/5459 sacados/5459 AOH chapExoCorrec/985 sacados/985 OAB
E.5444 On considère le cylindre de révolu-tion représenté ci-contre où O et O sont les centres de deux faces. Un plan parallèle à l’axe du ( OO ) intercepte le cylindre: la section forme le quadrilatère IJKL . On a les mesures : OO = 6 cm ; OI = 4 cm KO L = 70 o 1 Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? 2 a Quelle est la nature du triangle O KL ? b En notant H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle O KL , déterminer la mesure du segment [ KL ] arrondi au millimètre près. 3 Déterminer l’aire du quadrilatère IJKL arrondi au cen-timètre carré près. E.988 L’unité de longueur est le centimètre, l’unité d’aire est le centimètre carré, l’unité de volume est le centimètre cube. On considère le pavé droit ABCDA B C D . On note L le point d’intersection des segments [ AC ] et [ BD ] . On a creusé ce pavé en enlevant la pyramide OABCD de hauteur [ OL ] . On a: DD =5 ; DC =6 ; DA =7 Partie A Dans cette partie, on a: OL =4 . 1 Construire en vraie grandeur, la face ABCD et placer le point L . 2 a Calculer BD (on donnera une valeur arrondie au dixième) . b En déduire DL (on donnera une valeur arrondie au dixième) . 3 a Calculer le volume du pavé droit ABCDA B C D . b Calculer le volume de la pyramide OABCD . c En déduire le volume du pavé creusé. Partie B Dans cette partie, on pose OL = x où x est un nombre com-pris entre 0 et 5. Le pavé creusé que l’on obtient est le socle en bois d’un trophée. Sur ce socle, on pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide OABCD , de rapport 2. 1 a Calculer le volume de la pyramide OABCD en fonc-tion de x . b Montrer que le volume du socle en bois est : 210 − 14 x . 2 Montrer que le volume de la pyramide en verre OEFGH est 112 x 3 Calculer la valeur de x pour laquelle le volume de verre est égal à 2 fois le volume de bois. Partie C On considère les fonctions f et g définies par : f : x ↦→ 210 − 14 x et g : x ↦→ 112 x Lorsque x est compris entre 0 et 5, la fonction f représente les variations du volume de bois et la fonction g représente les variations du volume de verre. 1 Représenter graphiquement les fonctions f et g pour x compris entre 0 et 5. Pour le repère, on prendra : l’origine en bas à gauche de la feuille; sur l’axe des abscisses 2cm pour 1 unité ; sur l’axe des ordonnées 1 cm pour 25 unités. l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées sont perpen-diculaires 2 a On veut que le volume de bois et le volume de verre soient égaux. En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de x pour qu’il en soit ainsi. (faire apparaître le tracé ayant permis de répondre) . b Retrouver ce résultat par un calcul. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5444 sacados/5444 IJKL70oOO chapExoCorrec/988 sacados/988 ABCDLOABCDABCDLOABCDEFGH