Troisième / Théorème de Thalès 60 exercices corrigés

a
1. Rappels: théorème de Thalès E.5021 Résoudre les équations suivantes : a 7 x = 21 4 b 15 8 = x 9 c x 32 = 5 8 E.11449 Théorème de Thalès: Si les points A , B , M sont alignés, les points A , C , N sont alignés et si les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles alors: AM AB = AN AC = MN BC Remarque: l’égalité des quotients de longueurs traduit la proportionnalité des longueurs entre les triangles ˇ emboités ı lorsque deux de leurs côtés sont parallèles. Nous avons représenté deux configurations de Thalès où ( GH ) == ( IJ ) et ( XY ) == ( V W ) . Pour chacun de ces triangles, écrire l’égalité des quotients obtenue par l’utilisation du théorème de Thalès. E.11450 Exemple commenté: On considère le triangle ABC représenté ci-dessous : Les points M et N appartiennent respectivement au seg-ment [ AB ] et [ AC ] et sont tels que les droites ( MN ) et ( BC ) sont parallèles. On a l’application numérique : 2 6 = 3 AC = MN BC Nous utiliserons l’égalité: 2 6 = 3 AC D’après le produit en croix, on a: 2 × AC = 6 × 3 2 × AC = 18 AC = 18 2 AC = 9 cm On considère le triangle TXZ représenté ci-dessous et les points L et I appartenant respectivement aux segments [ TZ ] et [ TX ] tels que ( IL ) == ( XZ ) . 1 Compléter le chainon déductif ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5021 sacados/5021 chapExoCorrec/11449 sacados/11449 GHJIKVWXYZ chapExoCorrec/11450 sacados/11450 ABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cmABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cm3cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsA,M,Bsont alignés.Les pointsA,N,Csont alignés.(MN==(BCD’aprèslethéorèmedeThalès,onal’égalité des quotients:AMABANACMNBCChaînonsdéductifs TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
2 Utiliser l’égalité des quotients de la question 2 pour déterminer la mesure du segment [ TX ] . E.9309 Dans le plan, on considère la config-uration ci-dessous : Les droites ( FG ) et ( HI ) sont respectivement parallèles entre elles. 1 Donner la longueur du segment [ EH ] . 2 À l’aide du théorème de Thalès, déterminer la longueur du segment [ EI ] . 3 En déduire que la longueur du segment [ GI ] . E.10757 Résoudre les équations suivantes : a x x + 1 = 1 3 b x + 2 3 x − 4 = 2 3 c 2 x x − 3 = 4 E.10792 1 On considère les trois nombres : a = 2 5 ; b = 2 3 ; c = 3 Déterminer la solution de l’équation: a b = x c 2 On considère les trois nombres : a = 4 3 ; b = 5 2 ; c = 14 3 Déterminer la solution de l’équation: x a = b c 2. Rappels: réciproque du théorème de Thalès E.11451 Exemple commenté: On considère le triangle MGP représenté ci-dessous et les points A et U appartenant respectivement aux segments [ MP ] et [ MG ] : MA =3 ; 5 m ; MP =5 ; 6 m ; MU =4 ; 5 m ; AT =7 ; 2 m On a l’application numérique : MA MP = 3 ; 5 5 ; 6 = 0 ; 625 ; MU MG = 4 ; 5 7 ; 2 = 0 ; 625 On considère le triangle ANT et les deux points R et C ap-partenant respectivement aux segments [ AN ] et [ AT ] . On a les mesures : AN =7 ; 5 cm ; AR =4 ; 8 cm ; AC =3 ; 2 cm ; AT =5 cm 1 Prouver que l’égalité des quotients : AR AN = AC AT 2 Compléter le chaînon déductif ci-dessous : https://chingmath.fr JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs chapExoCorrec/9309 sacados/9309 EFGHI1;532 chapExoCorrec/10757 sacados/10757 chapExoCorrec/10792 sacados/10792 chapExoCorrec/11451 sacados/11451 MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs
E.3462 On considère la configuration ci-dessous représentant une configuration de Thalès. De plus, on sait que : AN =3 ; 5 . Montrer que les droites ( BC ) et ( MN ) suivants sont paral- lèles. E.9310 Dans la configuration ci-dessous, A ∈ [ OC ] et B ∈ [ OD ] . Montrer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles: 3. Configuration en papillon E.2167 Nous avons représenté deux config-urations de Thalès où ( GH ) == ( IJ ) et ( XY ) == ( V W ) . Dans chaque cas, citer les égalités de quotient de longueurs données par le théorème de Thalès : E.3451 Dans le plan, on considère la config-uration : Les droites ( BC ) et ( MN ) sont respectivement parallèles en- tre elles. À l’aide du théorème de Thalès, déterminer la longueur du segment [ AN ] . E.660 On considère les droites ( BD ) et ( CN ) s’intersectant O avec A un point de ( CN ) et M un point de ( BD ) tel que : Les droites ( BN ) , ( AM ) et ( CD ) sont parallèles entre elles. 1 Donner tous les rapports de longueurs égaux à: a OM OD b OB OM 2 On nous donne les mesures suivantes : NO = 5 cm ; OA = 4 cm ; OM = 3 cm AC = 2 cm ; CD = 3 cm a Déterminer la mesure du segment [ BO ] . b Déterminer la longueur AM . Puis, en déduire la longueur BN . 4. Problème et théorème de Thalès E.5695 On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [ CB ] et [ AD ] pour l’armature métallique et le seg-ment [ CD ] pour l’assise en toile. On a: CG = DG =30 cm , AG = BG =45 cm et AB =51 cm . Pour des raisons de confort, l’assise [ CD ] est parallèle au sol représenté par la droite ( AB ) . Déterminer la longueur CD de l’assise. Indication : laisser apparentes toutes traces de recherches. Même si le travail n’est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3462 sacados/3462 ABCMN0;91;21;5 chapExoCorrec/9310 sacados/9310 4cm12cm5cm7;5cmABCDO chapExoCorrec/2167 sacados/2167 KGHJIVWXYZ chapExoCorrec/3451 sacados/3451 ABCMN1;552 chapExoCorrec/660 sacados/660 ABCOMND chapExoCorrec/5695 sacados/5695 ABCDG
E.6282 Indication : il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l’évaluation Joachim doit traverser une rivière avec un groupe d’amis. Il souhaite installer une corde afin que les personnes peu ras-surées puissent se tenir. Il veut connaître la largeur de la rivière à cet endroit (nommé D ) pour déterminer si la corde dont il dispose est assez longue. Pour cela, il a repéré un arbre (nommé A ) sur l’autre rive. Il parcourt 20 mètres sur la rive rectiligne où il se situe et trouve un nouveau repère: un rocher (nommé R ) . Ensuite, il poursuit sur 12 mètres et s’éloigne alors de la riv-ière, à angle droit, jusqu’à ce que le rocher soit aligné avec l’arbre depuis son point d’observation (nommé B ) . Il parcourt pour cela 15 m . Il est alors satisfait : sa corde d’une longueur de 30 mètres est assez longue pour qu’il puisse l’installer entre les points D et A . À l’aide de la figure, confirmer sa décision. E.5049 Un jeune berger se trouve au bord d’un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord inférieur du puits et le fond du puits pour en estimer la profondeur. Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical. 1 En s’aidant du schéma ci-dessous (il n’est pas à l’échelle) , donner les longueurs CB , FG , RB en mètres. 2 Calculer la profondeur BG du puits. 3 Le berger s’aperçoit que la hauteur d’eau dans le puits est 2 ; 60 m . Le jeune berger a besoin de 1 m 3 d’eau pour abreuver tous ses moutons. En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits? Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 5. Théorème de Thalès et équation E.11446 Résoudre les équations suivantes : a x x + 8 = 2 3 b x − 5 x = 7 8 E.11447 Résoudre les équations : a x + 8 x + 12 = 4 5 b x − 5 x + 2 = 4 5 E.1141 1 Résoudre l’équation suivante : ( E ) : x x + 5 ; 2 = 3 7 2 Dans la figure ci-contre. les droites ( MN ) et ( BC ) sont parallèles. Déterminer la mesure du segment [ AM ] . E.1136 Dans la figure ci-dessous, les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles. Déterminer la mesure du segment [ AC ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6282 sacados/6282 RivièreADRBV20m12m15mLa∏guren’estpasàl’échelle chapExoCorrec/5049 sacados/5049 Brevet Pondichery Avril 2012 Le volume d'un cylindre ne fait pas partie du socle commun FBCRGDiamètre75cmhauteurduregard:1;80mhauteurdurebord:1mépaisseur du mur:20cm chapExoCorrec/11446 sacados/11446 chapExoCorrec/11447 sacados/11447 chapExoCorrec/1141 sacados/1141 ACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cmACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cm7cm chapExoCorrec/1136 sacados/1136 AMNBC3;2cm2;1cm7;4cm
E.11454 Soit ABCD un rectangle et M un point appartenant au segment [ CD ] . On note N le point d’intersection des droites ( AM ) et ( BC ) . On a les mesures suivantes : AB =5 ; 5 cm ; BC =3 ; 5 cm ; CN =1 ; 5 cm On note x la longueur du segment [ DM ] . 1 Etablir l’égalité: x 5 ; 5 − x = 3 ; 5 1 ; 5 2 En déduire la longueur DM . E.658 La figure ci-contre a été réal-isée à main levée ; on a les pro-priétés suivantes : le point E appartient à la droite ( AB ) ; le point F appartient à la droite ( AC ) ; les droites ( EF ) et ( BC ) sont parallèles. Déterminer la valeur de ˇ x ı. E.655 On considère un parallélogramme ABCD tel que : AD = 6 cm ; CD = 4 cm ; AC = 9 cm Soit J le point du segment [ AB ] vérifiant : AJ =1 cm . La droite parallèle à la droite ( AD ) passant par le point J intercepte la droite ( AC ) et la droite ( CD ) respectivement en I et en K . La figure ci-dessous représente cette situation : 1 a Justifier que les droites ( IJ ) et ( BC ) sont parallèles. b Déterminer la mesure du segment [ AI ] . 2 a Déterminer la mesure du segment [ KC ] . b En déduire la mesure du segment [ IJ ] . On notera x la longueur du segment [ IJ ] . E.10842 1 Résoudre l’équation: x 51 − x = 1 2 2 On considère un parc de forme rectangulaire et de dimen-sions 45 m × 24 m où deux allées se croisent (représentées par les chemins [ BD ] et [ IC ] ) : a Établir que l’allée, représentée par le segment [ BD ] mesure 51 m . b Les deux chemins se croisent en un point M . Déter-miner la distance DM . 6. Théorème de Thalès, équations et théorème de Pythagore E.1139 1 a Tracer un rectangle ABCD tel que : AB = 1 ; 5 cm ; AD = 6 cm b Placer le point I appartenant à [ BC ] tel que : BI = 1 3 BC . c Nommer M le point d’intersection des droites ( AI ) et ( CD ) . 2 Déterminer la longueur du segment [ MC ] . 3 Déterminer la longueur du segment [ AM ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11454 sacados/11454 ABCDMN5;5cm3;5cm1;5cm chapExoCorrec/658 sacados/658 ABCEFx223 chapExoCorrec/655 sacados/655 6cm9cm4cm1cmABCDJIK chapExoCorrec/10842 sacados/10842 ABCD45m24mIM chapExoCorrec/1139 sacados/1139
E.11500 Un agriculteur souhaite cultiver un champ représenté par le tri-angle ABC ci-contre. Sur la figure qui n’est pas à l’échelle, on a les informations suivantes : le triangle ABC est rectan-gle en B ; le triangle CDE est rectangle en D ; les points C , E et A sont alignés ; les points C , D et B sont alignés ; AB =600 m ; BC =450 m ; CD =270 m 1 Montrer que le segment [ AC ] mesure 750 mètres. 2 a Montrer que les droites ( ED ) et ( AB ) sont paral-lèles. b Montrer que le segment [ DE ] mesure 360 mètres. 3 Montrer que l’aire du triangle CDE est 48 600 m 2 . E.5780 Un soir de pleine lune, Roméo souhaite rendre visite à Juliette. Il possède une échelle de 10 m de longueur. Le rebord de la fenêtre est à une hauteur 4 ; 8 m , mais un mur se trouve entre lui et la maison : ce mur a une épaisseur de 50 cm , une hauteur de 4 m . L’allée, séparant le mur de la maison, a une largeur de 1 m Roméo arrivera-t-il à poser le bout de l’échelle sur le rebord de la fenêtre de Juliette? 7. Réciproque du théorème de Thalès en configuration papillon E.666 Pour la configuration ci-dessous, mon-trer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles: E.653 Montrer que les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles: E.9311 On considère la con-figuration ci-dessous représentant des con-figurations de Thalès. Montrer que les droites ( FG ) et ( PQ ) sont par-allèles. 8. Théorème et réciproque de Thalès dans deux configurations papillons https://chingmath.fr chapExoCorrec/11500 sacados/11500 ABCDE600m270m450m chapExoCorrec/5780 sacados/5780 chapExoCorrec/666 sacados/666 4m4;8m5m6mABCDO chapExoCorrec/653 sacados/653 34;5710;5MNBCA chapExoCorrec/9311 sacados/9311 PQZFG5;533;31;8
E.671 L’unité de longueur est le cen-timètre Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, les droites ( BC ) et ( GF ) sont parallèles. On sait que : AB = 3 ; CE = 2 ; 4 ; AC = 4 ; BD = 1 ; 8 BC = 4 ; 5 ; AF = 3 ; 6 1 Calculer la longueur GF . 2 Les droites ( BC ) et ( ED ) sont-elles parallèles? Justifier. E.659 On précisera pour chacune des deux questions de cet exercice la propriété de cours utilisée La figure ci-contre n’est pas représentée en vraie grandeur. Les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles. On donne les longueurs suivantes : AB =2 ; 4 cm ; AC =5 ; 2 cm ; AN =7 ; 8 cm ; MN =4 ; 5 cm 1 Calculer les longueurs AM et BC . 2 Sachant que AP =2 ; 6 cm et AR =1 ; 2 cm , montrer que les droites ( PR ) et ( BC ) sont parallèles. 9. Théorème et réciproque de Thalès dans une configuration emboîtée et papillon E.670 Dans la figure ci-contre, les droites ( AC ) et ( DB ) sont parallèles. 1 Calculer la longueur AO . 2 Est-ce que les droites ( EF ) et ( OD ) sont parallèles? Jus-tifier votre affirmation. E.5184 Indication : la figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur, elle n’est pas à reproduire. Les points A , C et F sont alignés, ainsi que les points B , C et G . Les droites ( AB ) et ( GF ) sont parallèles. On donne les mesures suivantes : AB = 3 cm ; FC = 8 ; 4 cm ; FG = 11 ; 2 cm 1 Calculer la longueur CA . 2 Soient D le point du segment [ CF ] et E le point du seg-ment [ GF ] tels que : FD = 6 ; 3 cm ; FE = 8 ; 4 cm Montrer que les droites ( GC ) et ( ED ) sont parallèles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/671 sacados/671 Groupe Nord - Septembre 2002 - 4 points AFGEDCB chapExoCorrec/659 sacados/659 Groupe Sud - Juin 2003 - 5 points ABCMNPR chapExoCorrec/670 sacados/670 ABCDOFE2;5cm3cm5cm2;4cm4cm chapExoCorrec/5184 sacados/5184 ABCGF
E.661 L’unité est le centimètre. Dans la figure ci-dessous, les droites ( AB ) et ( CD ) sont par-allèles. Les droites ( AD ) et ( BC ) se coupent en E . On donne : DE =6 , AE =10 , AB =20 et BE =16 . Les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire. 1 Calculer la distance CD . 2 Les points F et G appartiennent respectivement aux seg-ments [ BC ] et [ AB ] . Ils vérifient : BF = 12 ; 8 ; BG = 16 . Montrer que les droites ( FG ) et ( AE ) sont parallèles. E.3461 La figure suivante n’est pas réalisée en vraie grandeur. L’unité de longueur est le centimètre; on donne : AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4 1 Les droites ( DE ) et ( BC ) sont parallèles. Calculer AD . On donnera sa valeur exacte, puis sa valeur arrondie au millimètre près. 2 Soit F le point tel que C , B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF =6 . Démontrer que les droites ( EF ) et ( AB ) sont parallèles. E.664 1 a Tracer un triangle ABC tel que : AC = 7 ; 5 cm ; BC = 10 cm ; AB = 6 cm . b Placer E sur [ AC ] tel que AE = 4 ; 5 cm et F sur [ BC ] tel que BF = 6 cm . 2 Les droites ( AB ) et ( EF ) sont-elles parallèles? Justifier. 3 On trace la droite parallèle à ( AB ) passant par C . Cette droite coupe ( BE ) en L . Déterminer CL . 10. Théorème et réciproque de Thalès dans la même configuration E.673 La figure ci-dessous donne le schéma d’une table à repasser. Le segment [ AB ] et [ EC ] représentent les pieds. Les droites ( AB ) et ( EC ) se coupent en O . On donne : AD = 125 cm ; AC = 100 cm ; OA = 60 cm OB = 72 cm ; OE = 60 cm ; OC = 50 cm 1 Montrer que la droite ( AC ) est parallèle à la droite ( EB ) . 2 Calculer l’écartement EB en cm . E.9312 La structure d’un tabouret est représentée ci-contre. La droite ( AB ) représente le sol, les segments [ AM ] et [ BN ] représen-tent les pieds et le segment [ MN ] représente l’assise du tabouret. Les pieds du tabouret sont reliés au point O . On donne les mesures suivantes en centimètre: OA =80 ; OM =50 ; BN =143 ; ON =55 ; AB =72 Déterminer la longueur de l’assise du tabouret. Indication : on indiquera au préalable que l’assise du tabouret est parallèle au sol 11. Réciproque, théorème de Thalès et grandeurs https://chingmath.fr chapExoCorrec/661 sacados/661 Groupe Est - Juin 2003 - 3 points ABCDEFG chapExoCorrec/3461 sacados/3461 ABCDEF chapExoCorrec/664 sacados/664 Groupe Sud - Juin 2003 - 4 points chapExoCorrec/673 sacados/673 Groupe Nord - Juin 2004 - 4 points ABCDEO chapExoCorrec/9312 sacados/9312 OABMN
E.10840 Michel participe à un rallye VTT sur un parcours balisé. Le trajet est représenté en traits pleins. Le dessin n’est pas à l’échelle. Les points A , B et C sont alignés. Les points C , D et E sont alignés. Les points B , D et F sont alignés. Les points E , F et G sont alignés. Le triangle BCD est rectangle en C . Le triangle DEF est rectangle en E . 1 Montrer que la longueur BD est égale à 2 ; 5 km . 2 Justifier que les droites ( BC ) et ( EF ) sont parallèles. 3 Calculer la longueur DF . 4 Calculer la longueur totale du parcours. 5 Michel roule à une vitesse moyenne de 16 km = h pour aller du point A au point B . Combien de temps mettra-t-il pour aller du point A au point B . Donner votre réponse en minutes et secondes. E.10839 La régate AB = 400 ; AC = 300 ; BC = 500 ; CD = 700 les droites ( AE ) et ( BD ) se coupent en C . Les droites ( AB ) et ( DE ) sont parallèles. 1 Calculer la longueur DE . 2 Montrer que le triangle ABC est rectangle. 3 Calculer la mesure de l’angle ABC . Arrondir au degré. Lors d’une course, les concurrents doivent effectuer plusieurs tours du parcours représenté ci-dessus. Ils partent du point A , puis passent par les points B , C , D et E dans cet ordre puis de nouveau par le point C pour ensuite revenir au point A . Maltéo, le vainqueur, a mis 1 h 48 min pour effectuer les 5 tous du parcours. La distance parcourue pour faire un tour est 2 880 m . 4 Calculer la distance totale parcourue pour effectuer les 5 tours du parcours. 5 Calculer la vitesse moyenne de Maltéo. Arrondir à l’unité. 12. Théorème, réciproque de Thalès et de Pythagore E.650 La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire. Les points A , C et E sont alignés, ainsi que les points B , C et D . Le triangle ABC est rectangle en B . Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres : BC = 12 ; CD = 9 ; 6 ; DE = 4 ; CE = 10 ; 4 1 Montrer que le triangle CDE est rectangulaire en D . 2 En déduire que les droites ( AB ) et ( DE ) sont parallèles. 3 Calculer la longueur AB . E.2680 On considère un triangle EFG tel que : EF = 6 cm ; FG = 7 ; 5 cm ; GE = 4 ; 5 cm . 1 Construire le triangle EFG . 2 Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point. 3 Construire le point M milieu de [ EF ] et construire la droite parallèle à [ EG ] passant par M ; elle coupe [ FG ] en N . 4 Montrer que N est le milieu de [ FG ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10840 sacados/10840 ABCDEFG7km1;5km2km5km3;5km chapExoCorrec/10839 sacados/10839 ABCDE chapExoCorrec/650 sacados/650 Nantes - Juin 2006 ABCDE chapExoCorrec/2680 sacados/2680
E.2168 la figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire. Les points N , O , R d’une part et les points M , O , S d’autre part sont alignés dans cet ordre. OS = 6 cm ; OM = 9 cm ; ON = 5 ; 4 cm ; OR = 3 ; 6 cm 1 Les droites ( MN ) et ( RS ) sont-elles parallèles? Justifier. 2 On suppose que SR =4 ; 8 cm . Le triangle ORS est-il rect-angle? Justifier. 3 En utilisant le théorème de Thalès , calculer MN . 4 On admettra que les droites ( MN ) et ( NR ) sont perpen-diculaires. Quelle est l’aire du quadrilatère MNSR ? Justifier. E.5047 Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-dessous : On convient que : Les droites ( AE ) et ( BD ) se coupent en C . Les droites ( AB ) et ( DE ) sont parallèles. ABC est un triangle rectangle en A . Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE . Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. E.10841 On considère le rectangle ABCD représenté ci-dessous avec : AB = 17 cm ; AD = 16 cm On note I et J les milieux respectifs des segments [ AD ] et [ BC ] . On place le point M sur le segment [ IJ ] de sorte que le triangle AMB est isocèle en A . Finalement, on note N le point d’intersection des droites ( AM ) et ( BC ) . Déterminer la mesure du segment [ AN ] . 13. Réciproque du théorème de Thalès et trigonométrie E.10764 On considère le triangle rectangle ABC en C représenté ci-dessous et les points M et N appar-tenant respectivement aux segments [ BC ] et [ BA ] : On a les mesures suivantes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2168 sacados/2168 MNORS chapExoCorrec/5047 sacados/5047 Brevet Metropole Juin 2012 A(Départ)BCDE(Départ)400m300m1000m chapExoCorrec/10841 sacados/10841 ABCDIJMN17cm16cm chapExoCorrec/10764 sacados/10764 ABCMN
BM =2 ; 4 cm ; MC =1 ; 2 cm ; AC =1 ; 5 cm BN =2 ; 6 cm ; BA =3 ; 9 cm 1 Démontrer que le triangle BMN est rectangle en M . 2 a Déterminer la longueur du segment [ MN ] . b Déterminer la mesure de l’angle MNB arrondie au de-gré près. E.10791 On considère les cinq points A , B , C , M , N tels que le point B est l’intersection des droites ( AN ) et ( CM ) : On a les mesures suivantes : BA =4 cm ; BC =3 ; 2 cm ; AC =2 ; 4 cm BM =2 cm ; BN =2 ; 5 cm 1 Démontrer que le triangle BMN est rectangle en M . 2 a Déterminer la longueur du segment [ MN ] . b Déterminer la mesure de l’angle MNB arrondie au de-gré près. E.10835 Sur la figure ci-après, qui n’est pas à l’échelle, on a représenté le trajet de la course que doit faire Oscar. Dans le triangle DLA rectangle en L , le point J appartient au segment [ DA ] et le point K appartient au segment [ DL ] . On donne : DL =600 cm ; KJ =200 m ; DJ =520 m ; KL =120 m 1 Montrer que la longueur DK est égale à 480 m . 2 Justifier que le triangle DKJ est rectangle en K . 3 Montrer que le segment [ DA ] mesure 650 m . 4 Calculer la longueur du trajet DKJA , fléché sur la fig-ure. 5 Un photographe place une caméra au point D . Afin de filmer l’ensemble de la course sans bouger la caméra, l’angle LDA doit être inférieur à 25 o . Est-ce le cas? 14. Contraposé du théorème de Thalès E.667 Montrer que les droites ( OZ ) et ( HS ) ne sont pas parallèles: E.657 Un menuisier vient de créer l’armoire suiv-ante. La planche [ CB ] repose directement sur le sol. Il a relevé les dimensions suivantes : AC = 2 m ; AB = 2 ; 5 m ; AM = 0 ; 4 m CU = 0 ; 8 m ; AN = 0 ; 6 m ; V B = 1 m 1 Est-ce que la planche MN est en position horizontale? 2 Même question pour la planche UV . 15. Exercices non-classés E.5441 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10791 sacados/10791 ABCMN chapExoCorrec/10835 sacados/10835 Juillet 2024 Martinique 520m200m120m600mDKJAL chapExoCorrec/667 sacados/667 133209200314OZSHX chapExoCorrec/657 sacados/657 AMNUVCB chapExoCorrec/5441 sacados/5441
On veut réaliser un tipi qui aura la forme d’une pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [ SH ] (voir le schéma ci-contre) . Le tipi aura les dimensions suiv-antes : AD = 1 ; 60 m CD = 1 ; 20 m SH = 2 ; 40 m 1 Calculer le volume V de cette pyramide, en m 3 . On rappelle que V = 1 3 × B × h où h désigne la hauteur et B l’aire de la base. 2 Calculer la longueur BD . 3 L’armature du tipi, constituée du cadre rectangulaire ABCD et des quatre arêtes latérales issues de S , est faite de baguettes de bambou. Dans cette question, on n’attend pas de démonstration rédigée. Citer une propriété et présenter clairement un calcul suffit. a Montrer que : SD =2 ; 60 m b On ajoute à l’armature une baguette [ EF ] comme indiqué sur le dessin de sorte que ( EF ) == ( AD ) et SF =1 ; 95 m . Calculer EF . 4 On a trouvé dans un magasin des tiges de bambou de 3 m . Une tige peut être coupée pour obtenir deux baguettes, mais une baguette ne peut être fabriquée par collage de deux morceaux de bambou. Combien faut-il acheter de tiges de bambou, au mini-mum, pour réaliser les neuf baguettes de l’armature du tipi? E.663 On considère le triangle ABC ci-dessous, tel que : AB = 6 cm ; AC = 10 cm ; BC = 8 cm Soit E le point de [ AC ] tel que AE =4 cm et J le point de [ BC ] tel que CJ =2 ; 4 cm . Soit H le milieu de [ EC ] et M le point d’intersection des droites ( BE ) et ( JH ) . (sur la figure les dimensions ne sont pas respectées) 1 Prouver que les droites ( JH ) et ( AB ) sont parallèles. 2 En déduire le calcul de la longueur HM . E.10837 Dans la configuration ci-dessous, les points F , B , J et les points H , B , K sont alignés : Établir que les droites ( HF ) et ( KJ ) sont parallèles. https://chingmath.fr ABCDEFSH chapExoCorrec/663 sacados/663 ABCEJHM chapExoCorrec/10837 sacados/10837 BFHJK4;2m7;5m9;3m12;4m10m
E.10838 Un touriste monte tout en haut de l’arc de triomphe à Paris : En se reculant de 2 m du bord de l’arc de triomphe, il se rend compte qu’il a aligné parfaitement sa vision avec le bord du monument et le pied d’un lampadaire se trouvant au même niveau que le monument. On estime que ces yeux sont à une hauteur de 1 m 70 du sol. Une fois redescendu, il mesure que l’écart entre le bord du monument et le bord du lampadaire est de 58 ; 2 m . Déterminer la hauteur du monument, arrondie au décimètre près. Indication : toute trace de recherche et de rédaction seront prises en compte lors de l’évaluation. E.10973 Sur la figure ci-dessous, on a: C est un cercle de centre O et de rayon 4 ; 5 cm ; [ AB ] est un diamètre de ce cercle et D est un point du cercle; Les points B , E , A sont alignés, ainsi que les points D , F , A ; les droites ( BD ) et ( EF ) sont parallèles; BD = 5 ; 4 cm ; DA = 7 ; 2 cm ; AE = 2 ; 7 cm 1 Justifier que le diamètre [ AB ] mesure 9 cm . 2 Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D . 3 Calculer AF . 4 a Justifier que l’aire du triangle ABD est égale à 19 ; 44 cm 2 . b Calculer l’aire du disque, arrondie au centième. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 5 Quel pourcentage de l’aire du disque représente l’aire du triangle ABD ? E.11546 Le jardin botanique d’une ville peut être représenté par le quadrilatère ABCD ci-dessous : On sait que : AB = 500 m ; BE = 250 m ; DE = 750 m les segments [ AC ] et [ BD ] se coupent au point E . La figure ci-contre n’est pas à l’échelle . 1 Quelle est la longueur du segment [ BD ] ? 2 En raisonnant dans le triangle rectangle ABD , montrer que la longueur du segment [ AD ] , arrondie au mètre, est égale à environ 866 m . 3 a Calculer le sinus de l’angle EAB . b En déduire la mesure en degrés de l’angle EAB . 4 a Montrer que les droites ( AB ) et ( DC ) sont paral-lèles. b Montrer que la longueur du segment [ CD ] est égale à 1 500 m . 5 Un piéton fait le tour du jardin botanique en marchant à la vitesse moyenne de 1 ; 1 m = s . Il lit sur son plan que la longueur du segment [ BC ] est environ égale à 1 323 m . Le temps mis par le piéton pour faire le tour du jardin botanique est-il inférieur à une heure? E.11547 On considère le triangle ACE ci-dessous où les points B et D appartiennent respectivement au segment [ AC ] et [ CE ] . On donne les mesures : AB = 9 m ; BC = 6 m ; AE = 8 m ; CE = 17 m 1 Justifier que le triangle ACE est rectangle en A . 2 Justifier que les droites ( AE ) et ( BD ) sont parallèles. 3 Déterminer la mesure du segment [ CD ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10838 sacados/10838 chapExoCorrec/10973 sacados/10973 Metropole 2024 OABDEFC chapExoCorrec/11546 sacados/11546 ABCDE chapExoCorrec/11547 sacados/11547 ABCDE
E.1031 Dans chacun des figures ci-dessous, de nouvelles propriétés peuvent être obtenues. Dans chaque cas, quel théorème peut-on utiliser pour affirmer l’existence de ces nouvelles propriétés? a b c d e E.652 1 On considère les deux demi-droites [ AC ) et [ AB ) . Les points représentés sur la demi-droite [ AC ) sont équitablement répartis sur celle-ci. a Nommer N un des points représentés sur la demi-droite [ AC ) . b Tracer la parallèle à la droite ( BC ) passant par N . Nommer M le point d’intersection de cette parallèle avec la demi-droite [ AB ) . c Remplacer les valeurs ˇ grisées ı, présentes dans le tableau ci-dessous, par la mesure du segment associé: [ AB ] [ AC ] [ BC ] [ AM ] [ AN ] [ MN ] d Que peut-on dire du tableau précédent? e Vérifier l’égalité ci-dessous est vérifiée ou non : AM AB = AN AC = MN BC 2 On considère le triangle EFG ci-dessous et on souhaite construire un ˇ agrandissement ı et vérifier certaines pro-priétés de ces deux triangles : a Placer le point P sur la demi-droite [ EF ) et le point Q sur la demi-droite [ EG ) tels que : EP = 2 ; 5 × EF ; EQ = 2 ; 5 × EG . b Que peut-on dire des droites ( FG ) et ( PQ ) ? c Comparer les mesures de [ FG ] et [ PQ ] . E.8934 On considère la figure ci-contre, réalisée à main levée et qui n’est pas à l’échelle. On donne les informations suivantes : Les droites ( ER ) et ( FT ) sont sécantes en A . AE =8 cm , AF =10 cm , EF =6 cm AR =12 cm , AT =14 cm 1 Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E . 2 Les droites ( EF ) et ( RT ) sont-elles parallèles? https://chingmath.fr chapExoCorrec/1031 sacados/1031 ABC2;5m2m1;5m ABCIJ(AB==(IJ ABCO(d1(d2 ABCI ABCOOcentre du cercle chapExoCorrec/652 sacados/652 ABC EFG chapExoCorrec/8934 sacados/8934 AEFRT