Quatrième / Arithmétique 16 exercices corrigés

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1. Nombres de diviseurs E.9073 Définition: soit a et b deux entiers positifs. On dit que b est un diviseur du nombre a s’il existe un entier k tel que : a = k × b 1 Si possible, compléter les pointillés ci-dessous à l’aide d’entiers : a 18 = 1 × : : : b 18 = 2 × : : : c 18 = 3 × : : : d 18 = 4 × : : : e 18 = 5 × : : : f 18 = 6 × : : : g 18 = 7 × : : : h 18 = 8 × : : : i 18 = 9 × : : : 2 Donner l’ensemble des diviseurs du nombre 18 . E.9074 a Donner les 2 diviseurs du nombre 13 . b Donner les 6 diviseurs de l’entier 12 . c Donner les 4 diviseurs de l’entier 22 . E.9075 1 a Donner tous les diviseurs de l’entier 8 . b Donner tous les diviseurs de l’entier 9 . 2 Donner les 12 diviseurs de l’entier 8 × 9 . E.9322 Dire si l’affirmation suivante est vraie ou fausse : Affirmation : pour tous les entiers entiers n compris entre 2 et 9 , 2 n − 1 est un entier premier. E.9326 Déterminer le plus petit nom-bre entier positif impair qui admet trois diviseurs premiers différents. Expliquer votre raisonnement. 2. Entiers premiers E.9076 Le tableau ci-dessous présente les entiers de 2 à 99 : 1 a Entourer l’entier 2 . b Hachurer les cases dont l’entier admet 2 pour diviseur. 2 a Entourer l’entier 3 . b Hachurer les cases dont l’entier admet 3 pour diviseur. 3 a Répéter les instructions précédentes avec les entiers 5 et 7 . b Entourer tous les nombres non hachurés de la grille. 4 a Combien de diviseurs admettent les entiers 2 , 3 , 5 , 7 , 11 ? b Parmi les entiers 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 47 , lesquels appartiennent à une table de multiplication? Si oui, laquelle? c Pour quelle raison peut-on dire que le nombre 97 n’admet que deux diviseurs 1 et 97 ? Définition: on dit qu’un entier a est premier s’il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Exemple: les entiers 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 sont des entiers premiers. Remarque: cet exercice présente la méthode dite du ˇ crible d’Ératosthène ı permettant de déterminer rapide-ment les entiers premiers parmi 2 à 99 . Ératosthène est un scientifique grec du 2 e siècle avant JC. Il est connu pour avoir été nommé directeur de la bibliothèque d’Alexandrie et pour avoir été le premier à avoir mesuré la circonférence de la Terre. Vous trouverez un diaporama présentant le crible d’Ératosthène dans le lien ci-contre. E.9077 1 Parmi les entiers suivants, lequel n’est pas un entier pre-mier: 31 ; 33 ; 37 ; 41 . 2 Parmi les entiers suivants, lequel n’est pas un entier pre-mier: 43 ; 47 ; 49 ; 53 . Vous trouverez dans le lien ci-contre la liste des entiers premiers inférieurs ou égal à 1 000 . E.9078 Chacune des affirmations ci-dessous est fausse. Pour chacune de ces affirmations, trouver un contre-exemple pour infirmer celle-ci: 1 La somme de deux entiers premiers est un entier premier. 2 La multiplication de deux entiers premiers est un entier premier. 3 Tous les entiers impairs sont des entiers premiers. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9073 sacados/9073 chapExoCorrec/9074 sacados/9074 chapExoCorrec/9075 sacados/9075 chapExoCorrec/9322 sacados/9322 chapExoCorrec/9326 sacados/9326 chapExoCorrec/9076 sacados/9076 23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899 r298-1 chapExoCorrec/9077 sacados/9077 r114-0 chapExoCorrec/9078 sacados/9078
3. Décomposition d’un entier en produit de nombres premiers E.9079 Définition: on dit qu’un entier est décomposé en pro-duit d’entiers premiers s’il est écrit comme un produit dont tous les facteurs sont des entiers premiers. Exemple: l’entier 72 admet la décom-position : 2 × 2 × 2 × 3 × 3 Algorithme: ci-contre une méthode d’obtention de la décomposition d’un entier en produit d’entiers premiers : 1 Utiliser l’égalité 28=2 × 14 pour obtenir la décomposition en produit d’entiers premiers de l’entier 28 . 2 Utiliser l’égalité 40=2 × 20 pour obtenir la décomposition en produit d’entiers premiers de l’entier 40 . 3 Utiliser l’égalité 96=2 × 48 pour obtenir la décomposition en produit d’entiers premiers de l’entier 96 . E.9080 Pour chacun des entiers 198 , 297 , 462 , déterminer leur décomposition en produit d’entiers pre-miers. Indications : pour cela, on utilisera les égalités: 198 = 6 × 33 297 = 9 × 33 462 = 14 × 33 E.9081 1 Justifier que le nombre 102 est divisible par 3 . 2 Décomposer 102 en produits de facteurs premiers. 3 Donner 3 diviseurs non premiers du nombre 102 . E.9321 Quel est le plus grand entier premier qui divise 41 895 ? E.9324 1 a Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 2744 . b Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 2744 2 . c À l’aide de cette décomposition, trouver x tel que : x 3 =2744 2 2 Soient a et b deux nombres entiers supérieurs à 2 tels que : a 3 = b 2 a Calculer b lorsque a =100 . b Déterminer deux nombres entiers a et b supérieurs à 2 et inférieurs à 10 qui vérifient l’égalité a 3 = b 2 . 4. Simplification de fractions E.9082 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers ci-dessous : 42 ; 90 2 En déduire l’écriture réduite de la fraction 42 90 . E.9083 1 Décomposer 140 et 870 en produit de facteurs premiers. 2 En déduire la forme irréductible de la fraction 140 870 E.9084 1 Décomposer, sans justifier, en produit de facteurs pre-miers les nombres 1 386 et 1 716 . 2 En déduire la forme irréductible de la fraction : 1 386 1 716 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9079 sacados/9079 722×36722×2×18722×2×2×9722×2×2×3×3 chapExoCorrec/9080 sacados/9080 chapExoCorrec/9081 sacados/9081 chapExoCorrec/9321 sacados/9321 chapExoCorrec/9324 sacados/9324 chapExoCorrec/9082 sacados/9082 chapExoCorrec/9083 sacados/9083 chapExoCorrec/9084 sacados/9084