Quatrième / Autres 9 exercices corrigés

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1. Les triplets pythagoriciens E.1951 Le triplet a ; b ; c ) de nombres entiers est dit pythagoricien si : a 2 + b 2 = c 2 Voici l’étude de plusieurs manières d’obtenir des triplets de Pythagore : 1 La formule de Pythagore: a Compléter le tableau ci-dessous : n 2 n +1 2 n 2 +2 n 2 n 2 +2 n +1 1 2 5 b Montrer, à l’aide de la calculatrice, que pour : n = 1 ; n = 2 ; n = 5 Les triplets de nombres entiers : 2 n +1 ; 2 n 2 +2 n ; 2 n 2 +2 n +1 sont des triplets pythagoriciens. 2 La formule de Platon: a Compléter le tableau ci-dessous : n 2 n n 2 − 1 n 2 +1 1 2 6 b Montrer, à l’aide de la calculatrice, que pour : n = 2 ; n = 3 ; n = 6 les triplets d’entiers 2 n ; n 2 − 1 ; n 2 +1 sont des triplets pythagoriciens. 3 La formule d’Euclide : a Compléter le tableau ci-dessous : m n 2 mn m 2 − n 2 m 2 + n 2 2 1 3 2 5 2 b Montrer, à l’aide de la calculatrice, que les trois triplets de nombres entiers 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 sont des triplets pythagoriciens. E.1345 1 En utilisant la double distributivité, montrer l’égalité suivante : (2 n 2 + 2 n )(2 n 2 + 2 n ) = 4 n 4 + 8 n 3 + 4 n 2 2 Donner la forme développée et réduite de l’expression suivante : (2 n + 1) 2 (utiliser la double distributivité avec (2 n +1)(2 n +1) ) 3 Établir l’égalité suivante : (2 n 2 + 2 n + 1) 2 = 4 n 4 + 8 n 3 + 8 n 2 + 4 n + 1 4 Montrer que le triplet 2 n +1 ; 2 n 2 +2 n ; 2 n 2 +2 n +1 est un triplet pythagoricien pour tout n entier positif. 2. Les racines carrés E.1956 Définition: (provisoire) Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée du nom-bre a le nombre positif dont le carré vaut a . Commençons par montrer qu’il existe un unique nombre posi-tif faisant commuter le diagramme ci-dessous : 1 Supposons l’existence de deux nombres a et b positifs tels que a 2 = b 2 . a Développer et réduire l’expression : ( a + b )( a − b ) . b Que peut-on dire des deux nombres x et y vérifiant : x × y = 0 ? c En déduire que : a − b =0 . Nous venons de montrer l’unicité de la racine carrée. La déf- inition précédente se transforme en : Définition: soit a un nombre positif. On appelle racine carrée du nombre a l’ unique nombre positif tel que son carré vaille a . On note ce nombre a Étude de quelques propriétés algébriques: 2 a Calculer le carré du nombre 5 × 3 . b Comparer 5 × 3 et √ 15 . c Par la même méthode, montrer l’égalité suivante pour tous nombres a et b positifs : √ a ×√ b = √ a × b 3 a Simplifier le calcul suivant : 7 3 × 7 3 b Compléter la phrase suivante : 7 3 est un nombre dont le carré vaut . . . . . . c De même, montrer que pour tous nombres positifs a et b , avec b =0 , on a: a b = a b https://chingmath.fr sacados/1951 sacados/1345 sacados/1956 a?2
Quelques simplifications de racines carrées : 4 a Quel nombre élevé au carré vaut 5 2 ? b En déduire la valeur de 5 2 . c De la même manière, pour tout nombre réel positif a , déterminer la valeur de a 2 . 5 a Établir l’égalité 50=5 2 en élevant chaque mem- bre au carré. (en utilisant l’unicité de la racine carrée) b Déterminer deux entiers a et b tels que : 50 = a 2 × b c En utilisant les questions 2 et 4 , établir d’une autre manière l’égalité: 50 = 5 2 3. Le système GPS et la triangulation E.1344 Les seuls instruments autorisés sont la règle et le compas : 1 Dans la figure ci-dessous, placer le point M vérifiant les conditions suivantes : EM = 5 cm ; FM = 4 cm ; GM = 7 cm 2 Est-ce que deux points suffisent pour repérer parfaite-ment la position d’un troisième point dans le plan? Jus-tifier votre réponse. Remarque: la triangulation par relevé des distances (ou trilatération) permet de connaître la position exacte d’un point par connaissance de sa distance par rapport à d’autres points. Dans le plan, à la surface de la Terre, il faut au minimum trois points pour repérer exactement un point. E.1346 Remarque: le quartz est un minéral, qui est la forme cristallisée de la silice, possède l’effet piézoélectrique décou-vert par Pierre et Jacques Curie en 1880 et permet de ca-dencer toutes les montres actuelles. Voici une brève descrip-tion de l’effet piézo-électrique: soumis à des contraintes mécaniques (pression, étire-ment) , le quartz produit un champ électrique; soumis à un champ électrique, le quartz va subir des déformations. La première propriété est utilisée notamment dans les allume-gaz: par pression d’un bouton, l’allume-gaz va créer un arc électrique. La seconde propriété est utilisée dans des mini-moteurs (nano-technologie) . Dans les montres, un système électronique permet d’alterner ces deux propriétés et de stabiliser cette alternance à une fréquence de 32 768 Hz : le quartz va ainsi vibrer de manière régulière 32 768 fois par seconde. On suppose de quatre objets possédant une horloge interne réglée sur la même heure : 3 émetteurs ( E , F , G ) et 1 récep-teur ( R ) . On suppose que les ondes émises par les 3 émetteurs se propa-gent à la vitesse de la lumière, soit 3 × 10 8 m = s (en réalité de 299 792 458 m = s ) . Le récepteur R étant réglé sur la même heure, il peut mesurer le temps mis par le signal de chaque émetteur. Voici un de ses relevés : Temps de parcours du signal Distance réelle (en cm ) Distance à l’échelle (en cm ) de E vers R 0 ; 0004 s de F vers R 0 ; 001 s de G vers R 0 ; 0017 s 1 Calculer la distance séparant le point R de chacun des émetteurs. 2 Voici les points E , F , G représentés sur une carte à l’échelle 1 = 6 000 000 https://chingmath.fr chapExoCorrec/1344 sacados/1344 EFG sacados/1346
Placer le point R (les traits de construction doivent rester apparents) . Remarque: le système de positionnement GPS (Global Positioning System) est composé de 29 satellites en orbite. Chacun de ces satellites embarque une horloge atomique (voir encadré) et envoie un signal à intervalles réguliers comprenant la position du satellite et la date et l’heure d’émission du message. Les systèmes d’horloge à quartz possèdent une marge d’erreur de quelques secondes par an alors que les horloges atomiques, basées sur les propriétés vibratoires de l’atome de césium, possèdent une précision de quelques secondes par million d’années. Un observateur O situé sur la Terre reçoit le signal de deux satellites et peut mesurer la distance qui le sépare de cha-cun d’eux. Ceci est insuff-isant pour connaître sa position exacte: l’intersection de deux sphères peut être un cercle. Pour qu’un récepteur GPS fonctionne correctement, il est nécessaire de recevoir au minimum les signaux de 4 satel-lites pour déterminer sa position sur la Terre. E.1347 Voici quatre figures représentant les mêmes points R et S et une courbe de niveau entre ces deux points. 1 Dans chacun des cas, compléter le tableau suivant : RF SF RF − SF RI SI RI − SI 1 o 2 o 3 o 4 o Remarque: chacune de ces courbes représente l’ensemble des points tels que la différence de distance les séparant des points R et S soit constante. Ces courbes s’appellent des hyperboles et les points R et S s’appellent les foyers de l’hyperbole. Ces courbes sont notamment utilisées pour connaître l’épicentre d’un tremblement de terre : on ne connait pas l’heure d’émission des ondes sismiques, mais on repère la différence entre les temps d’arrivée du signal entre deux ré-cepteurs. Dans ce cas, il faut également trois récepteurs pour con-naître la position exacte de la source d’émission. 2 Ci-dessous est donnée une coupe de la Terre, où les points R , S et T représentent des récepteurs placés à la surface de la Terre: https://chingmath.fr EFG S1S2O sacados/1347 RSEFGHIRSEFGHIPremier casSecond cas SREFGHISREFGHITroisième casQuatrième cas RST
On sait que : les ondes sismiques sont arrivées en même temps aux récepteurs R et S , alors que le signal est arrivé au récepteur S avec Δ=4 s d’avance sur le récepteur T . Déterminer la position exacte du foyer F du tremblement de terre. 4. Exercices non-classés E.6336 Paul souhaite aller d’Agde à Montpellier. Deux choix s’offrent à lui: soit il prend l’autoroute A9 , soit il emprunte la route départementale D31 . Voici, schématisées, les informations qu’il récupère sur une carte: 1 Il estime qu’il roule en moyenne à 110 km = h sur l’autoroute et à 75 km = h sur les routes départementales. Quel trajet doit-il emprunter pour relier le plus rapide-ment la ville de Montpellier? 2 Sur le même trajet, Adeline part à 9 h en empruntant la route départementale alors que Juliette part à 9 h 15 . Quelle est la conductrice qui arrivera à Montpellier le plus tôt? E.8945 Une association propose diverses activités pour occuper les enfants pendant les vacances sco-laires. Plusieurs tarifs sont proposés : Tarif A : 8 e par demi-journée ; Tarif B : une adhésion de 30 e donnant droit à un tarif préférentiel de 5 e par demi-journée. Un fichier sur tableur a été préparé pour calculer le coût à payer en fonction du nombre de demi-journées d’activités pour chacun des tarifs proposés : Les questions 1 , 2 , 4 et 5 ne nécessitent pas de justification. 1 Compléter ce tableau. 2 Retrouver parmi les réponses suivantes la formule qui a été saisie dans la cellule B3 avant de l’étirer vers la droite : a =8 × B1 b =30 × B1+5 c =5 × B1+30 × BA d =30+5 × B1 e =35 https://chingmath.fr Δ=5sΔ=4sΔ=3sΔ=2sΔ=1sΔ=0sΔ=1sΔ=2sΔ=3sΔ=4sΔ=5sST sacados/6336 AgdeSèteMontpellierNîmesBalarucD31D31A927kmBalarucA990kmNîmesD3154kmNîmesD31A9Balaruc14km chapExoCorrec/8945 sacados/8945 123ABCDEFNombrededemi-journéesTarifATarifB183521640345
E.8898 On souhaite réaliser une frise com-posée de rectangles. Pour cela, on a écrit le programme ci-dessous : On rappelle que l’instruction ˇ s’orienter à 90 ı consiste à s’orienter horizontalement vers la droite. Dans cet exercice, aucune justification n’est de-mandée. 1 Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé? 2 Combien de rectangles sont dessinés par le script princi-pal? 3 Dessiner à main levée la figure obtenue avec le script principal. 4 a Sans modifier le script principal, on a obtenu la fig-ure ci-dessous composée de rectangles de longueur 40 pixels et de largeur 20 pixels. Proposer une modifi-cation du bloc ˇ rectangle ı permettant d’obtenir cette figure. b Où peut-on alors ajouter l’instruction : dans le script principal pour obtenir la figure ci-dessous? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8898 sacados/8898 quandest cliquécachermettre la taille du stylo à1e∑acer toutaller à x:0y:0Rectangleajouter40àxajouter-20àyrépéter5foisde∏nir rectanglestylo en position d’écritures’orienter à90degrésavancer de40tournerde90degrésavancer de20tournerde90degrésrépéter2foisrelever le stylo ajouter1à la taille du stylo