Quatrième / Cosinus 28 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 6 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels sur les angles E.6436 Déterminer la mesure de l’angle BCA : E.6437 On considère un triangle ABC tel que : BAC = 54 o ; ACB = 38 o Les points M et N appartiennent respectivement aux seg-ments [ AC ] et [ BC ] et sont tels que ( AB ) == ( MN ) . Déterminer la mesure de l’angle MNC . E.9015 On considère le rectangle ABCD tel que DAC =65 o . Le point I de la diagonale [ AC ] est placé tel que le triangle ABI soit rectangle en I : 1 Déterminer la mesure de l’angle DCA . 2 Déterminer les mesures de tous les angles des triangles ADC , AIB et BIC . 2. Introduction E.9017 Définition: dans un triangle rectangle: le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’ hypoténuse relativement à un angle porté par l’hypoténuse, l’autre côté de l’angle s’appelle le côté adjacent à l’angle et l’autre côté s’appelle le côté opposé à l’angle . On considère les deux triangles rectangles ABC et DEF re-spectivement rectangle en B et en F représentés ci-dessous : 1 a Citer l’hypoténuse du triangle ABC . b Citer le côté adjacent à l’angle BAC . 2 Citer le côté opposé à l’angle FDE https://chingmath.fr quizzChap/1255 chapExoCorrec/6436 sacados/6436 ABC35o52o chapExoCorrec/6437 sacados/6437 54o38oABCMN(AB==(MN chapExoCorrec/9015 sacados/9015 ABCDI chapExoCorrec/9017 sacados/9017 ABChypothénusecôtéadjacentà¸côtéopposéุABChypothénusecôtéopposéà˛côtéadjacentà˛˛ ABCDEF
E.4917 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous sont rectangles et possèdent un angle de 25 o . 1 En effectuant les mesures sur la figure ci-dessus, com-pléter le tableau ci-dessous en arrondissant les longueurs au millimètre près : Triangle 1 2 3 4 Hypoténuse Côté adjacent à l’angle de 25 o 2 À l’aide de la calculatrice, donner les valeurs des quo-tients demandés arrondies au centième près : Triangle 1 2 3 4 Longueur du côté adjacent à l’angle de 25 o Longueur de l’hypoténuse E.9029 Définition-proposition: Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu ¸ de ce triangle, on définit le cosinus de l’angle α par la valeur du quotient : Longueur du côté adjacent à l’angle ¸ Longueur de l’hypohténuse La valeur de ce quotient ne dépend pas des dimensions du triangle rectangle, mais seulement de la mesure ¸ de l’angle: on la note cos( α ) . Exemple 1: On considère le triangle ABC représenté ci-dessous où le point H est le pied de la hauteur issue du point C . 1 Dans le triangle ABC , donner en fonction des longueurs des segments, une expression des rapports trigonométriques : a cos BAC b cos ABC 2 a Dans le triangle ACH , donner une expression de cos CAH . b Dans le triangle BCH , donner une expression de cos CBH . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4917 sacados/4917 A1B1C125oA2B2C225oA3B3C325oA4B4C425o chapExoCorrec/9029 sacados/9029 ABChypothénusecos¸ACAB¸ABChypothénusecos˛BCAB˛ ABCH
E.6439 Exemple: (les angles ont été arrondis au degré près) On considère les deux triangles ABC et DEF ci-dessous : Donner les valeurs suivantes arrondies au centième près : a cos 28 b cos 64 Indication : les valeurs des cosinus pour tous les angles allant de 1 o à 89 o sont tous connus et disponibles sur une table ou à l’aide de la calculatrice: E.3579 On considère le triangle AMN rect-angle en M ; les points B et C appartiennent respectivement aux segments [ BC ] et [ MN ] ; la droite ( BC ) est perpendicu-laire à la droite ( AM ) : 1 À l’aide d’une règle graduée, donner les mesures ap-prochées des côtés des deux triangles ABC et AMN . 2 À l’aide de la calculatrice, comparer les valeurs arrondies des deux quotients suivants : BC AC ; MN AM 3 a Justifier que les droites ( BC ) et ( MN ) sont paral-lèles. b Justifier l’égalité des deux quotients suivants : BC MN = AC AN c En déduire l’égalité suivante : BC AC = MN AN d Comparer cette égalité avec vos résultats de la ques-tion 1 . Y avait-il une erreur dans vos calculs? D’où pouvait venir cette erreur? 4 À l’aide leurs valeurs arrondies, comparer les couples de quotients ci-dessous : a AB AC ; AM AN b BC AC ; MN AM E.1154 Soit ABC 4 un triangle rectangle en B . L’angle C 4 AB mesure 40 o , il est partagé en quatre angles de même mesure à l’aide des points C 1 , C 2 , C 3 appartenant au segment BC 4 1 À l’aide de votre règle graduée, on donnera les mesures des longueurs arrondies au millimètre près. Les quotients de la dernière colonne seront arrondis au centième près : i BAC i AC i AB AC i 1 2 3 4 2 Compléter le tableau suivant à l’aide de la touche cos de votre calculatrice. On donnera les valeurs arrondies au millième près : ¸ 10 o 20 o 30 o 40 o cos( ¸ ) 3. Utilisation du cosinus: recherche du côté adjacent E.4919 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6439 sacados/6439 ABC4;9cm6;7cmDEF14km43km43o71o4;96;70;73114430;326 6km3,2km6,8kmABC28o8mm3,9mm8,9mmDEF26o qdna chapExoCorrec/3579 sacados/3579 ABCMN chapExoCorrec/1154 sacados/1154 C110oC2C3C4AB chapExoCorrec/4919 sacados/4919 ABC5cm25oGIH3cm35o
Déterminer la mesure des longueurs des segments suivants. On arrondira les résultats au millimètre près : a [ AC ] b [ GH ] Indications : ci-dessous est donnée une partie de la table trigonométrique du cosinus. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.9025 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous : Déterminer la mesure des longueurs des segments suivants. On arrondira les résultats au millimètre près : a [ EF ] b [ KJ ] Indications : ci-dessous est donnée une partie de la table trigonométrique du cosinus. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.6440 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous : Déterminer les mesures des longueurs des segments suivants arrondies au millimètre près : a [ AB ] b [ GI ] 4. Utilisation du cosinus: recherche de l’hypothénuse E.9027 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous : Déterminer les mesures des longueurs des segments suivants arrondies au millimètre près : a [ EF ] b [ KJ ] E.9020 Dans un parc d’accrobranche, la di-rection veut installer une nouvelle tyrolienne. Le câble sera installé à une hauteur de 8 m de hauteur et la pente du câble doit être de 10 o . Déterminer la longueur du câble, arrondie au mètre près, nécessaire pour réaliser cette tyrolienne. 5. Utilisation du cosinus E.4918 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous : Déterminer la mesure des longueurs des segments suivants arrondies au millimètre près : a [ AB ] b [ JL ] https://chingmath.fr chapExoCorrec/9025 sacados/9025 EDF3;5cm75oJLK6;5cm20o chapExoCorrec/6440 sacados/6440 ABC6cm33oGIH3cm65o chapExoCorrec/9027 sacados/9027 JLK4;5cm40oEDF1;5cm48o chapExoCorrec/9020 sacados/9020 10o chapExoCorrec/4918 sacados/4918 ABC4;5cm20oJKL1;5cm75o
Indications : ci-dessous est donnée une partie de la table trigonométrique du cosinus. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.9026 On considère les quatre triangles représentés ci-dessous : Déterminer les mesures des longueurs des segments suivants arrondies au millimètre près : a [ ED ] c [ GI ] Indication : ci-dessous est donnée une partie de la table trigonométrique du cosinus. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.1156 On considère les deux triangles ABC et MNP représentés ci-dessous : Déterminer les longueurs des segments suivants arrondis au millimètre: a [ AC ] b [ MN ] 6. Utilisation du cosinus réciproque E.2114 Remarque: lorsqu’on regarde la table trigonométrique du cosinus, on voit les valeurs du cosinus qui décroit de 1 à 0 : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. Proposition-définition: dans un triangle rectangle, la valeur: r = longueur du côté adjacent longueur de l’hypoténuse d’un angle aigu est associé de manière unique à la mesure ¸ de cet angle. On note cos − 1 ( r ) la mesure de cet angle. On considère les trois triangles rectangles ci-dessous : 1 a Effectuer, sur la figure ci-dessus, les mesures ci-dessous en les reportant dans le tableau : https://chingmath.fr chapExoCorrec/9026 sacados/9026 GHI5cm25oDEF3;5cm35o chapExoCorrec/1156 sacados/1156 4cm6cm40o20oABCMNP chapExoCorrec/2114 sacados/2114 ABCDEFGHI
AB AC BC DE DF EF GH GI HI b Donner la valeur des quotients suivant arrondie au cen-tième près : AC AB BC AB DF DE EF DE HI HG GI HG Indication : on rappelle l’extrait de la table trigonométrique ci-dessous : α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ 0 1 ; 000 2 0 ; 999 4 0 ; 998 6 0 ; 995 8 0 ; 990 10 0 ; 985 12 0 ; 978 14 0 ; 970 16 0 ; 961 18 0 ; 951 20 0 ; 940 22 0 ; 927 24 0 ; 914 26 0 ; 899 28 0 ; 883 30 0 ; 866 32 0 ; 848 34 0 ; 829 36 0 ; 809 38 0 ; 788 40 0 ; 766 42 0 ; 743 44 0 ; 719 46 0 ; 695 48 0 ; 669 50 0 ; 643 52 0 ; 616 54 0 ; 588 56 0 ; 559 58 0 ; 530 60 0 ; 500 62 0 ; 469 64 0 ; 438 66 0 ; 407 68 0 ; 375 70 0 ; 342 72 0 ; 309 74 0 ; 276 76 0 ; 242 78 0 ; 208 80 0 ; 174 82 0 ; 139 84 0 ; 105 86 0 ; 070 88 0 ; 035 3 À l’aide de la table trigonométrique, donner une valeur approximative de chacun des angles suivants : BAC ABC FDE FED GHI HGI E.4931 Ci-dessous, est représenté un extrait de la table trigonométrique du cosinus avec un pas de 2 o : α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ 0 1 ; 000 2 0 ; 999 4 0 ; 998 6 0 ; 995 8 0 ; 990 10 0 ; 985 12 0 ; 978 14 0 ; 970 16 0 ; 961 18 0 ; 951 20 0 ; 940 22 0 ; 927 24 0 ; 914 26 0 ; 899 28 0 ; 883 30 0 ; 866 32 0 ; 848 34 0 ; 829 36 0 ; 809 38 0 ; 788 40 0 ; 766 42 0 ; 743 44 0 ; 719 46 0 ; 695 48 0 ; 669 50 0 ; 643 52 0 ; 616 54 0 ; 588 56 0 ; 559 58 0 ; 530 60 0 ; 500 62 0 ; 469 64 0 ; 438 66 0 ; 407 68 0 ; 375 70 0 ; 342 72 0 ; 309 74 0 ; 276 76 0 ; 242 78 0 ; 208 80 0 ; 174 82 0 ; 139 84 0 ; 105 86 0 ; 070 88 0 ; 035 La figure ci-dessous représente quatre triangles ; des mesures sont portées sur celle-ci: Donner un encadrement de chaque angle à deux degré près : a BAC c HGI E.9028 La figure ci-dessous représente qua-tre triangles ; des mesures sont portées sur celle-ci: Déterminer la mesure des angles suivants arrondie au dixième de degré près : a DEF b LJK 7. Utilisation du cosinus et du cosinus inverse E.9019 On considère la figure ci-dessous où : les points A , B , D et les points A , C , E sont alignés ; les triangles ABC et AED sont rectangles respective-ment en B et en E . 1 Déterminer la mesure de l’angle BAC , au dixième de degrés près. 2 Utiliser la question précédente, pour déterminer la https://chingmath.fr chapExoCorrec/4931 sacados/4931 ABC3.5cm4.5cmGIH3cm4.5cm chapExoCorrec/9028 sacados/9028 EDF2.5cm3.5cmJLK3cm5.7cm chapExoCorrec/9019 sacados/9019 ABCDE5cm4;5cm2cm
mesure du segment [ CE ] arrondi au millimètre près. E.4932 On considère un triangle ABC rect-angle en C tel que : AC = 4 cm ; AB = 7 cm 1 Déterminer la mesure de l’angle CAB arrondie au dix-ième de degré. Dans le reste de l’exercice, on utilisera la valeur arrondie de l’angle CAB obtenue à la question précédente : 2 Dans cette question, on n’utilisera pas le théorème de Pythagore : a Déterminer la mesure de l’angle CBA arrondie au dix-ième de degré près. b En déduire la longueur du côté [ BC ] arrondie au mil-limètre près. E.4935 On considère la figure ci-dessous : Les droites ( AC ) et ( BD ) s’interceptent au point O . 1 a Déterminer la mesure de l’angle BAO arrondie au dixième de degré près. b En déduire la mesure de l’angle COD . 2 Déterminer le périmètre du triangle ODC arrondie au millimètre près. E.1157 Un explorateur arrive devant la pyra-mide de Khéops. Il pose ses instruments de mesure (le théodolite) au point H . En étudiant la pyramide, il observe que c’est une pyramide régulière: le pied C de la hauteur issue du sommet S est également le centre de la base. Il estime également la distance HC à 550 m . Du point H au sommet S , ses instruments de mesure révèlent un angle de 15 o . Déterminer la mesure de la hauteur SC de la pyramide de Khéops arrondie au mètre près. 8. Cosinus, théorème de Pythagore et théorème de Thalès E.9018 On considère le triangle ABC rect-angle en C représenté ci-dessous : 1 Déterminer la mesure du segment [ AC ] . 2 En déduire la mesure, au degré près, de l’angle CAB . E.5988 Ci-contre est représenté le triangle BPQ rectangle en B tels que : PB =6 cm ; PQ =8 cm Le cercle C est le cercle cir-conscrit au triangle BPQ . On construit le cercle C de centre P et passant par le point B . On note A le point d’intersection du cer-cle C et du segment [ PQ ] . Le but de l’exercice est de déterminer une valeur arrondie de l’aire de la partie grisée. 1 Déterminer l’aire du disque C arrondie au dixième de https://chingmath.fr chapExoCorrec/4932 sacados/4932 ABC7cm4cm chapExoCorrec/4935 sacados/4935 3;5cm2;5cm4cmABCDO chapExoCorrec/1157 sacados/1157 HCS15o chapExoCorrec/9018 sacados/9018 ABC13km5km chapExoCorrec/5988 sacados/5988 CCOPABQ6cm
cm 2 . Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 2 a Déterminer la mesure, arrondie au dixième de degré, de l’angle APB . b En déduire l’aire, arrondie au dixième de cm 2 , du secteur angulaire du cercle C définie par l’arc AB . 3 En déduire une mesure, arrondie au dixième de cm 2 , de la partie grisée. E.9016 Pour la course à pied en montagne, certains sportifs mesurent leur performance par la vitesse ascensionnelle , notée V a . V a est le quotient du dénivelé de la course, ex-primé en mètre, par la durée, exprimée en heure. Exemple: pour un dénivelé de 4 500 m et une durée de parcours de 3 h : V a = 1 500 m = h Rappel: le dénivelé de la course est la différence entre l’altitude à l’arrivée et l’altitude au départ. Un coureur de haut niveau souhaite atteindre une vitesse as-censionnelle d’au moins 1 400 m = h lors de sa prochaine course La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur. Le parcours se décompose en deux étapes (voir figure 2) : Première étape de 3 800 m pour un déplacement horizon-tal de 3 790 m . Seconde étape de 4 ; 1 km avec un angle de pente d’environ 12 o . 1 Vérifier que le dénivelé de la première étape est d’environ 275 ; 5 m . 2 Quel est le dénivelé de la seconde étape? (on arrondira au décimètre près) 3 Depuis le départ, le coureur met 48 minutes pour arriver au sommet. Le coureur atteint-il son objectif? 9. Exercices non-classés E.1155 Soit OAB un triangle rectangle en A . On considère les points M et N appartenant respectivement aux segments [ OA ] et [ OB ] tels que le triangle OMN soit rectangle en M . 1 Justifier l’égalité suivante : ON × OA = OB × OM . 2 a À l’aide de votre rapporteur, donner la mesure de l’angle AOB . b Effectuer les mesures, au millimètre près, sur la figure afin de compléter le tableau ci-dessous : Segment [ OA ] [ OM ] [ OB ] [ ON ] Longueur c Donner la valeur des quotients, arrondis au millième près : OM ON ; OA OB 3 a Quelle conjecture peut-on faire à propos des quo-tients OM ON et OA OB ? b Justifier, à l’aide de la question 1 , l’égalité des deux quotients OM ON et OA OB . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9016 sacados/9016 altitude d’arrivéealtitude départdéniveléangledepenteABCFigure 1 SommetdénivelésecondeétapedénivelépremièreétapeDépartDEFGH3800m4100m3790m12oFigure 2 chapExoCorrec/1155 sacados/1155 OABMN