Quatrième / Espace, pyramide et cône 69 exercices corrigés

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ChingQuizz : 2 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Prismes droits et cylindre: rappels E.9112 1 On considère le prisme droit P dont la base est un en-néagone. Combien de faces a le prisme droit P ? 2 Le prisme droit Q possède 15 arêtes. Quelle est la nature de sa base? Définition: noms des polygones: Nombre de côtés Nom du polygone 3 triangle 4 quadrilatère 5 pentagone 6 hexagone Nombre de côtés Nom du polygone 7 heptagone 8 octogone 9 ennéagone 10 décagone E.9058 Rappel: ci-dessous sont données les formules de calcul des aires des polygones suivants : On considère les deux prismes droits représentés ci-dessous en perspective cavalière: 1 Donner la nature de la base de chacun de ces prismes droits et déterminer l’aire de leur base respective. Rappel: Ci-contre est donnée la for-mule du volume d’un prisme droit où A B représente l’aire de sa base et h la mesure de sa hauteur. 2 Déterminer le volume de chacun de ces prismes droits. https://chingmath.fr quizzChap/1038 chapExoCorrec/9112 sacados/9112 chapExoCorrec/9058 sacados/9058 largeur(‘Longueur(LRectangleALבpetitebase(bgrandeBase(Bhauteur(hTrapèzeABb×h2côté(cCarrédAc2ABCTrianglerectangleAAB×AC2base(bhauteur(hTriangleAb×h2rayon(rDiamètre(DCercleP2×ı×rAı×r2 ABCDEF13m12m5m6mGHIJKLMN7cm4cm3cm3cm hauteur(hPrismedroitVAB×h
E.6449 Dans le tableau ci-dessous, pour chacune des lignes, récupérer la valeur du volume présente à gauche et la convertir avec l’unité présentée à droite : km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 312 m 3 . . . dm 3 0 ; 32 dm 3 . . . m 3 350 mm 3 . . . m 3 2 ‘ . . . m 3 33 c‘ . . . cm 3 25 km 3 . . . m 3 On rappelle l’égalité : 1 ‘ =1 dm 3 E.9059 1 a Un prisme droit est à base triangulaire. Combien de faces comporte ce solide? b Un prisme droit est à base hexagonale. Combien compte-t-il d’arêtes? 2 a Un prisme droit possède 12 arêtes. Quelle est la nature de sa base? b Un prisme droit possède 7 faces. Quelle est la nature de sa base? E.9064 Un gâteau en forme de pièce mon-tée est composé de 3 gâteaux cylindriques superposés, tous centrés sur l’axe ( d ) , comme l’indique la figure ci-dessous : Les trois étages du gâteau ont tous une hauteur de 8 cm et les diamètres respectifs de ces cylindres sont 30 cm , 20 cm et 10 cm . Déterminer le volume de ce gâteau. On arrondira ce volume au centimètre cube près. Rappel: Ci-contre est donnée la surface latérale et le vol-ume d’un cylindre en fonc-tion du rayon de sa base et de sa hauteur. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 on arrondira les résultats intermédiaires au millimètre-cube près. E.9110 Ci-dessous est donné le patron d’un cylindre: Déterminer la hauteur du cylindre et le rayon de sa base. On arrondira, si besoin, les valeurs au millimètre près. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.9659 On considère le prisme droit ci-dessous : Déterminer le volume de ce solide. E.9660 On considère le prisme droit ci-dessous dont la base est un triangle rectangle en A : Déterminer le volume de ce solide. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6449 sacados/6449 chapExoCorrec/9059 sacados/9059 chapExoCorrec/9064 sacados/9064 (d hauteur(hrayon(rCylindreSlatérale2×ı×r×hVı×r2×h chapExoCorrec/9110 sacados/9110 15cm3cm sacados/9659 3cm4cm5cm8cm sacados/9660 12cm15cm20cmABCDEF
2. Prismes et cylindres: agrandissements et réductions E.9124 Définition: soit k un nombre strictement positif. Pour k< 1 et lorsque toutes les dimensions d’une figure plane ou d’un solide sont multipliés par k , on dit qu’on a effectué une réduction de coefficient k . Pour k> 1 et lorsque toutes les dimensions d’une figure plane ou d’un solide sont multipliés par k , on dit qu’on a effectué un agrandissement de coefficient k . On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous ayant pour dimensions : AB = 10 cm ; BC = 4 cm ; CG = 2 cm On construit le pavé droit MNPDQRST obtenu à partir du pavé droit ABCDEFGH par une réduction de ses dimensions dont le coefficient est 1 2 . 1 En notant A l’aire de la face ABFE et A l’aire de la face MNRQ , déterminer la valeur du quotient : A A 2 En notant V le volume du pavé droit ABCDEFGH et V le volume du pavé droit MNPDQRST , déterminer la valeur du quotient : V V E.980 Proposition: Si toutes les dimensions d’une figure plane est réduite ou agrandie par un coefficient k alors son aire a été multipliée par k 2 . Si toutes les dimensions d’un solide est réduite ou agrandie par un coefficient k alors son volume a été multi-pliée par k 3 . Recopier le tableau ci-dessous sur votre feuille et le compléter à l’aide des touches racines carré √ x et racines n ième x √ y k k 2 k 3 5 16 729 E.9118 Le calendrier Aztèque conservé au Musée National d’Anthropologie de la ville de Mexico a un diamètre de 3,60 mètres et pèse 25 tonnes. Quel serait le poids d’une réplique faisant 20 centimètres de diamètre? (arrondir au décagramme près) E.9115 Dans cette poêle, on peut préparer une paella pour trois personnes. En prenant une poêle de dimensions qua-tre fois plus grandes, combien de per-sonnes peut-on inviter? E.9116 Le rayon du grand cylindre a été réduit par deux. De combien son volume a été réduit? E.9119 Sur la figure ci-contre, le parallélépipède A B C DE F G H a été obtenu à partir de ABCDEFGH en réduisant par 2 la longueur et largeur de ce dernier. De combien a été réduit le volume du parallélépipède A B C DE F G H . E.4210 Le volume du parallélépipède a été multiplié par 27. De combien ont été agrandies ses dimensions? E.9122 Le volume du petit paral-lélépipède est de 14 dm 3 . Le rapport BA BA des hauteurs des deux parallélépipèdes est de 1 = 3 . Calculer le volume du grand paral-lélépipède. 3. Prismes droits et théorème de Pythagore https://chingmath.fr chapExoCorrec/9124 sacados/9124 10cm4cm2cmABCDEFGHMNPQRST chapExoCorrec/980 sacados/980 chapExoCorrec/9118 sacados/9118 chapExoCorrec/9115 sacados/9115 chapExoCorrec/9116 sacados/9116 chapExoCorrec/9119 sacados/9119 ABCDEFGHABEF chapExoCorrec/4210 sacados/4210 chapExoCorrec/9122 sacados/9122 BAA
E.6450 On considère le prisme droit ABCDEF représenté ci-dessous : On donne les mesures suivantes : AB = 6 ; 5 cm ; AC = 1 ; 6 cm ; BC = 6 ; 3 cm ; AD = 3 cm 1 Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 2 Déterminer le volume du prisme droit ABCDEF . E.9068 Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée. Elle réalise le dessin ci-dessous où elle y a indiqué des mesures. Pour faciliter l’écoulement des eaux de pluie, le sol de la ter-rasse doit être incliné. La terrasse a la forme d’un prisme droit dont la base est un trapèze rectangle. 1 Déterminer le volume de béton nécessaire à la conception de la terrasse. 2 Ci-dessous est représentée la terrasse vue de profil. a Déterminer la longueur du segment [ CD ] . b En déduire la surface de la terrasse. E.6452 On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d’arête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l’arête des cubes. 1 Dessiner en vraie grandeur une vue de l’arrière du solide. 2 Calculer le volume en cm 3 du solide. 3 Étude du prisme droit. a On nomme ce prisme ABCDEF , comme sur la figure ci-dessous : Quelle est la nature de la base de ce prisme droit? Jus-tifier la réponse. b Vérifier par des calculs que la longueur AC = 32 cm . c En déduire la valeur exacte de l’aire de la face ACFD . Donner l’arrondi au mm 2 près. E.9065 On considère le prisme droit ABCDEDFGH dont la base ABCD est un quadrilatère quel-conque, mais possédant deux angles droits aux sommets B et D . 1 Déterminer l’aire de la base de ce prisme droit. 2 Donner le volume de ce prisme droit. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6450 sacados/6450 ABCDEF chapExoCorrec/9068 sacados/9068 Baievitrée8m4;2m0;5m0;79m ABCD0;79m4;2m0;5m chapExoCorrec/6452 sacados/6452 arrièredroiteface avantgauche ABCDEF chapExoCorrec/9065 sacados/9065 ABCDEFGH7cm24cm15cm10cm
4. Pyramides: propriétés E.4958 Définition: La pyramide est un solide muni d’une base polygonale et d’un point appelé sommet (aussi ap-pelé apex) qui est relié à tous les sommets de la base. Proposition: Si la base d’une pyramide pos-sède n sommets, la pyramide contient 2 n arêtes et n +1 faces. On considère les deux pyramides ci-dessous : 1 Considérons la pyramide ABCDS : a Quelle est la nature de la base de cette pyramide? b De combien d’arêtes est constituée cette pyramide? c De combien de faces est constituée cette pyramide? 2 Considérons la pyramide EFGHIJT : a Quelle est la nature de la base de cette pyramide? b De combien d’arêtes est constituée cette pyramide? c De combien de faces est constituée cette pyramide? E.9111 1 On considère la pyramide P dont la base est un hep-tagone. Combien de faces constituent la pyramide P ? 2 La pyramide Q possède 18 arêtes. Quelle est la nature de sa base? Définition: noms des polygones: Nombre de côtés Nom du polygone 3 triangle 4 quadrilatère 5 pentagone 6 hexagone Nombre de côtés Nom du polygone 7 heptagone 8 octogone 9 ennéagone 10 décagone E.4952 On considère les deux pyramides ABCDEFD et GHIJKLS à base hexagonale représentées ci-dessous. La première pyramide est quelconque alors que la seconde est une pyramide régulière. 1 Peut-on tracer précisément le pied O de la hauteur de la pyramide ABCDEFS issue de S . 2 Placer le point O représentant le pied de la hauteur de la pyramide GHIJKLS issue du sommet S . Justifier votre démarche. Définition : une pyramide est dite régulière si sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré, heptagone régulier. . . ) et si le pied de la hauteur est le centre de sa base. E.4954 On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous où : K est le milieu du segment [ EH ] ; I est le centre de la face ABCD ; J est le centre de la face EFGH ; O est le centre du parallélépipède. Donner les natures des solides ci-dessous et préciser leur base et leur hauteur : a ADCEHG b ADCE c DICO d EKGF 5. Pyramides: volume https://chingmath.fr chapExoCorrec/4958 sacados/4958 Pyramide ABCDSTEFGHIJ chapExoCorrec/9111 sacados/9111 chapExoCorrec/4952 sacados/4952 ABCDEFS GHIJKLS chapExoCorrec/4954 sacados/4954 ABCDEFGHIJKO
E.4902 Proposition: Soit P une pyramide de hauteur h et dont la base a pour aire A . Le volume V de la pyramide a pour mesure : V = 1 3 ×A× h Une maison est construite en superposant un pavé droit ABCDEFGH et une pyramide EFGHS de sommet S . La représentation ci-dessous précise quelques mesures : Déterminer le volume total de cette maison. E.9066 La pyramide de Khéops, située en Égypte, est une pyramide à base carrée dont les côtés de la base mesure 230 m et la hauteur, à sa construction, mesurait 146 m . Voici une représentation de cette pyramide: 1 Déterminer le volume de la pyramide de Khéops, arrondi au mètre-cube près. 2 En supposant que toutes les pierres de la pyramide soient identiques et que chacune d’elles a un volume de 0 ; 95 m 3 et que chacune pèse 2 ; 1 tonnes. Déterminer le poids total de la pyramide de Khéops, au kilogramme près. 6. Pyramide et théorème de Pythagore E.9130 Dans l’espace, on considère la pyra-mide ABCS dont la base ABC est un triangle rectangle et le sommet est le point S . De plus, la face ABS est un triangle rectangle en A et la face CAS est un triangle rectangle en A . On donne les dimensions suivantes : AB = 15 cm ; AC = 21 cm ; BS = 25 cm 1 Établir que : AS =20 cm 2 Déterminer le volume de la pyramide. E.5675 On considère la pyramide ABCDS représentée ci-dessous où la base ABCD est un rectangle et H est le pied de la hauteur issue du sommet S et le milieu du segment [ AC ] : 1 Démontrer que le segment [ AH ] a pour longueur 15 m . 2 a Déterminer la longueur de la hauteur [ SH ] . b Déterminer le volume de la pyramide SABCD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4902 sacados/4902 Pyramide ABCDEFGHOS12m8m4m3m chapExoCorrec/9066 sacados/9066 ABCDHS230m146m chapExoCorrec/9130 sacados/9130 ABCS15cm25cm21cm chapExoCorrec/5675 sacados/5675 ABCDHS24m18m25m
E.9131 Dans l’espace, on considère la pyra-mide ABCS dont la base ABC est un triangle rectangle et le sommet est le point S . De plus, la face ABS est un triangle rectangle en A et la face CAS est un triangle rectangle en A . On donne les dimensions suivantes : AB = 24 cm ; BC = 34 ; 8 cm ; CS = 37 ; 3 cm Déterminer le volume de la pyramide. E.981 ABCDEFGH est un paral-lélépipède rectangle. M est un point du segment [ FG ] et N appartient au segment [ EF ] On donne les mesures suivantes : FE = 12 cm ; FG = 9 cm ; FB = 3 cm FN = 4 cm ; FM = 3 cm Voici une représentation de cette configuration : 1 Calculer la longueur MN 2 Montrer que l’aire du triangle FNM est égal à 6 cm 2 . 3 Calculer le volume de la pyramide ( P ) de sommet B et de base le triangle FNM . 4 On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enle-vant la pyramide ( P ) au parallélépipède rectangle. a Quel est le nombre de faces de ce solide? b Calculer son volume E.3275 Rappel: volume V d’une pyramide: V = (aire de la base) × hauteur 3 ABCDEFGH est un cube d’arête AB =12 cm . I est le milieu du segment [ AB ] ; J est le milieu du segment [ AE ] ; K est le milieu du segment [ AD ] . 1 Calculer l’aire du triangle AIK . 2 Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI . 3 Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ ? Écrire le résultat sous forme d’une fraction de numérateur 1 . 4 Tracer un patron de la pyramide AIKJ . E.4951 On considère la pyramide ABCD à base de triangulaire: AB = BC = BD ; AC = AD = CD = 5 cm De plus, les faces ABD , ABC et BCD sont des triangles rectangles en B . 1 Dans le triangle ABC , déterminer la mesure du segment [ AB ] arrondie au millimètre près. 2 Déterminer le volume de la pyramide ABCD arrondie au cm 3 près. 7. Pyramides et théorème de Thalès https://chingmath.fr chapExoCorrec/9131 sacados/9131 ABCS24cm37;3cm34;8cm chapExoCorrec/981 sacados/981 Groupe Sud - Juin 2003 - 7 points ABCDEFHGMN chapExoCorrec/3275 sacados/3275 Brevet juin 2010 - 6 points EHGFADCBIJK chapExoCorrec/4951 sacados/4951 ABCD
E.9125 On considère la pyramide ABCDS dont la base ABCD est un carré tel que : AB =9 cm ; SH =12 ; 75 cm ; SB =14 ; 25 cm On construit la pyramide MNPQS dont la base MNPQ est un carré parallèle au carré ABCD et tel que : SN =9 ; 5 cm Déterminer la mesure de la hauteur [ SH ] de la pyramide MNPQS . E.9106 On veut réaliser un tipi qui aura la forme d’une pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [ SH ] (voir le schéma ci-contre) . Le tipi aura les dimensions suiv-antes : AD =1 ; 60 m ; CD =1 ; 20 m SH =2 ; 40 m ; SF =1 ; 95 m SD =2 ; 60 m 1 Calculer le volume V de cette pyramide, en m 3 . Rappels: V = 1 3 × B × h est l’aire de la pyramide où h désigne la hauteur et B l’aire de la base. L’armature du tipi, constituée du cadre rectangulaire ABCD et des quatre arêtes latérales issues de S , est faite de baguettes de bambou. On ajoute à l’armature une baguette [ EF ] comme indiqué sur le dessin de sorte que ( EF ) == ( AD ) et SF =1 ; 95 m . 2 Calculer EF . E.9127 On considère la pyramide ABCDS dont la base ABCD est un carré tel que : AB =9 cm ; SH =12 ; 75 cm ; SB =14 ; 25 cm On construit la pyramide MNPQS dont la base MNPQ est un carré parallèle au carré ABCD et telle que : SH = 8 ; 5 cm 1 Déterminer le volume V de la pyramide ABCD . 2 a Établir que : SN = 9 ; 5 cm b Établir que : MN = 6 cm c Déterminer le volume V de la pyramide MNPQS . 3 Établir les égalités suivantes : SN SB = MN AB = 2 3 ; V V = 2 3 3 Indication : on pourra s’aider de la calculatrice pour réduire les fractions. E.9128 On considère la pyramide ABCDS dont la base ABCD est un rectangle et dont le sommet est S . On donne les dimensions suivantes : AB = 24 m ; BC = 18 m ; SB = 39 m 1 a Montrer que le segment [ BH ] mesure 15 m . b En déduire que : SH = 36 m c Donner le volume de la pyramide ABCDS . Le point N appartient au segment [ SB ] tel que : SN = 26 m On crée une coupe de la pyramide à partir du point N par un plan parallèle à la base de la pyramide. On note H le point d’intersection du plan de découpe avec le segment [ SH ] . Le solide MNPQS est une pyramide de base rectangulaire MNPQ de sommet S et dont le point H est le pied de la hauteur issue de S . 2 Établir que : MN = 16 m ; SH = 24 m 3 Déterminer la mesure du segment [ SH ] . 4 On admet que NP = 12 m . En déduire le volume, au mètre-cube près, de la pyramide MNPQS . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9125 sacados/9125 ABCDMNPQHSH chapExoCorrec/9106 sacados/9106 ABCDEFSH chapExoCorrec/9127 sacados/9127 ABCDMNPQHSH chapExoCorrec/9128 sacados/9128 ABCDHSMNPQHS
8. Pyramides: agrandissements et réductions E.9104 On considère la pyramide ABCDS dont la base ABCD est un rectangle et dont le sommet est S . On donne les dimensions suivantes : AB = 8 m ; BC = 6 m ; SH = 12 m ; SH = 9 m 1 Déterminer le volume de la pyramide ABCDS . 2 a Justifier que la réduction pour obtenir la pyramide MNPQS a un coefficient de réduction de 3 4 . b En déduire le volume de la pyramide MNPQS . E.9109 Définition: on dit qu’une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré, pentagone régulier. . . ) et si le pied de la hauteur issue du sommet de la pyramide est le centre de sa base. On considère la pyramide ABCDS régulière, dont la base ABCD est un carré et le pied de la hauteur issue de S est le point H . On a les mesures : AB =9 cm ; SH =12 ; 75 cm ; SB =14 ; 25 cm On construit la pyramide MNPQS dont la base MNPQ est un carré parallèle au carré ABCD . On note H le pied de la hauteur de cette pyramide issue du sommet S . On a la mesure : SH =8 ; 5 cm 1 Déterminer le volume V de la pyramide ABCDS . 2 Déterminer la mesure du segment [ SN ] . Indication : on admet que les droites ( HB ) et ( H N ) sont parallèles. 3 a Déterminer le coefficient de réduction appliqué aux dimensions de la pyramide ABCDS pour obtenir la pyramide MNPQS . b Déterminer le volume V de la pyramide MNPQS . E.4953 On considère la pyramide ABCDE à base rectangulaire représentée ci-dessous et telle que [ OE ] soit la hauteur de la pyramide et où O est le centre de la base : Les points I , J , K et L représentent les milieux respectifs des segments [ EA ] , [ EB ] , [ EC ] et [ ED ] . On admet que : Le solide IJKLE est une pyramide de base rectangulaire IJKL et de sommet S ; les bases ABCD et IJKL sont parallèles et on a aussi les relations : ( IJ ) == ( AB ) ; ( JK ) == ( BC ) AB = 16 cm ; BC = 12 cm ; EB = 26 cm 1 a Justifier que le segment [ KJ ] mesure 6 cm b On admet que la base IJKL d’aire A est une réduc-tion de la base ABCD d’aire A . Donner le coefficient de réduction de l’aire A pour obtenir l’aire A 2 On admet que OE =24 cm . Déterminer les volumes V de la pyramide ABCDE et V de la pyramide IJKLE . E.9120 Le volume de la grande pyramide est de 576 km 3 . Le volume de la petite pyramide est de 9 km 3 . Établir l’égalité: SH SH = 1 4 E.984 La hauteur de la grande pyramide mesure 32 cm . La hauteur de la petite pyramide mesure 8 cm . Le volume de la petite pyramide est de 13 cm 3 . Calculer le volume de la grande pyra-mide. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9104 sacados/9104 ABCDHSMNPQHS chapExoCorrec/9109 sacados/9109 ABCDMNPQHSH chapExoCorrec/4953 sacados/4953 OABCDEIJKL chapExoCorrec/9120 sacados/9120 HH chapExoCorrec/984 sacados/984 HH
E.982 La maquette de maison représentée ci-dessous est composée : d’un pavé droit de dimensions : AB = 30 cm ; AE = 20 cm ; AD = 5 cm surmonté d’une pyramide de hauteur 6 cm . 1 Calculer le volume V 1 de cette maquette. 2 Sachant que cette maquette est une réduction de coef-ficient 1 = 50 de la maison réelle, déduire de la première question le volume V 2 en m 3 de la maison. E.986 Le coefficient de réduction des di-mensions est de 1 2 . Sachant que l’aire de la base de la grande pyramide est de 24 m 2 , cal-culer l’aire de la base de la petite pyramide. Sachant que le volume de la petite pyramide est de 56 m 3 , calculer le volume de la grande pyramide. E.9117 La pyramide SA B C D a été obtenu par section de la pyramide SABCD à l’aide d’un plan paral-lèle à la base de ce dernier. Sachant que le volume a été réduit de 64, déterminer le coefficient de réduction de l’aire de leurs bases communes. 9. Pyramides: patrons E.4959 Découper le patron ci-dessous d’une pyramide à base triangulaire et reconstruire le solide. E.4960 Découper le patron ci-dessous d’une pyramide à base triangulaire et reconstruire le solide. https://chingmath.fr chapExoCorrec/982 sacados/982 Brevet - 3 points ABCDEFGHS chapExoCorrec/986 sacados/986 ABCDEFGHIOI chapExoCorrec/9117 sacados/9117 SABCDABCD chapExoCorrec/4959 sacados/4959 chapExoCorrec/4960 sacados/4960
E.7979 On découpe la pyra-mide FIJK dans le cube ABCDEFGH comme le mon-tre le dessin ci-contre. Le segment [ AB ] mesure 6 cm . Les points I , J et K sont les milieux respectifs des arêtes [ FE ] , [ FB ] et [ FG ] . 1 Tracer le triangle IFK en vraie grandeur. 2 Un des quatre schémas ci-dessous correspond au patron de la pyramide FIJK . Indiquer son numéro sur la copie. Aucune justification n’est attendue. E.6454 On considère un cube ABCDEFGH d’arête 5 cm à l’intérieur duquel on a taillé la pyramide ABCDH . 1 a Déterminer la mesure du segment [ AH ] , au mil-limètre près. b Déterminer la mesure du segment [ BH ] , au millimètre près. 2 a Donner la nature et les dimensions de chacune de ses faces. b Réaliser un patron de la pyramide ABCDH . 10. Cônes: volumes E.9067 Proposition: Un cône de rayon r et de hau-teur h a pour volume : V = 1 3 × ı × r 2 × h Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7979 sacados/7979 ABCDEFGHIJK Schéma1Schéma2Schéma3Schéma4 chapExoCorrec/6454 sacados/6454 ABCDEFGH chapExoCorrec/9067 sacados/9067 rCônehauteur(h
On considère un cône de révolu-tion de hauteur 5 cm et dont la base a pour rayon 2 cm . Le point A est le sommet du cône et O le centre de sa base. B est le milieu de [ AO ] . Calculer le volume du cône en cm 3 . On arrondira à l’unité. E.5457 Une bouée marine de signalisation est com-posée de deux cônes ayant la même base comme représentée dans la figure ci-contre. On donne les dimensions suivantes : SO =0 ; 8 m ; S O =0 ; 5 m ; OA =0 ; 25 m Déterminer le volume total de cette bouée ar-rondie au dm 3 près. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 11. Cônes: propriétés, théorème de Pythagore et théorème de Thalès E.9108 Ci-dessous est représenté un cône et son patron : Le disque de la base a pour rayon 3 cm et tout segment de la face latérale, reliant le sommet du cône à un point de la base, a pour mesure 7 ; 8 cm . Déterminer le volume de ce cône arrondi au millimètre cube près. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.9126 On considère le cône de base C , de centre H et de rayon [ HA ] , et de sommet S tel que : HA =6 cm ; HS =15 cm On coupe le cône par un plan parallèle à sa base et passant par le point H du segment [ SH ] et tel que : SH =5 cm . On admet que : la section est un cercle C de centre H et de rayon [ H A ] où le point A est sur le segment [ SA ] . les droites ( A H ) et ( AH ) sont parallèles. Déterminer la mesure du rayon du cercle C . E.983 On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est le disque de rayon [ OA ] . Ce cône a pour hauteur SO =8 cm et pour génératrice SA = 10 cm . I est un point du segment [ SO ] tel que SI =2 cm . Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Montrer que : OA =6 cm . 2 Montrer que la valeur exacte du volume V du cône est égale à 96 ı cm 3 . Donner la valeur arrondie au mm 3 près. 3 Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle ASO . 4 On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et pas-sant par le point I . La section obtenue est un disque de centre I , réduction du disque de base. a Déterminer le rapport k de cette réduction. b Soit V le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre I . Exprimer V en fonction de V , puis donner la valeur arrondie de V au mm 3 près. 12. Cônes: agrandissements et réductions https://chingmath.fr AOBOAcm2cm chapExoCorrec/5457 sacados/5457 AOSS chapExoCorrec/9108 sacados/9108 3cm7;8cm3cm7;8cm chapExoCorrec/9126 sacados/9126 SAHAHCC chapExoCorrec/983 sacados/983 Brevet - 5,5 points ASOI
E.4204 En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmey-ers, comme celui schématisé ci-dessous : Le récipient est rempli d’eau jusqu’au niveau maximum in-diqué sur le schéma par une flèche. On note : C 1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB ; C 2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon O B . On donne : SO =12 cm ; OB =4 cm Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 142 1 Le volume V d’un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par la formule : V = 1 3 × ı × R 2 × h Calculer la valeur exacte du volume du cône C 1 . 2 Le cône C 2 est une réduction du cône C 1 . On donne SO =3 cm . a Quel est le coefficient de cette réduction? b Prouver que la valeur exacte du volume du cône C 2 est égale à ı cm 3 . 3 a En déduire que la valeur exacte du volume d’eau contenue dans le récipient, en cm 3 , est 63 ı . b Donner le volume d’eau, arrondie au cm 3 près. 4 Ce volume d’eau est-il supérieur à 0 ; 2 litre? Expliquer pourquoi. E.9114 L’aire de la base du petit cône de révo-lution est de 5 mm 2 alors que celle de la base du grand cône est de 80 mm 2 . Calculer le coefficient d’agrandissement de l’aire. En déduire le coefficient d’agrandissement des dimensions. Sachant que le grand cône a pour volume 384 mm 2 , déterminer le volume du petit cône. E.9121 L’aire de la petite base est de 27 m 2 . L’aire de la grande base 108 m 2 . La hauteur du grand cône de révolution est de 1 m . Calculer la hauteur du petit cône de révolution. 13. Cônes: patrons E.9107 Ci-dessous est représenté le patron d’un cône de révolution : Exprimer la mesure de l’angle ¸ , en degré, en fonction des valeurs de r et de g . E.11081 Ci-dessous est représenté un cône et son patron : Le disque de la base a pour rayon 3 cm et tout segment de la face latérale, reliant le sommet du cône à un point de la base, a pour mesure 7 ; 8 cm . Indication : on utilisera ı ≈ 3 ; 1416 1 Déterminer la circonférence du disque de la base. 2 En déduire l’angle de la section du disque du patron. 3 Déterminer l’aire de la surface latérale de ce cône. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4204 sacados/4204 Pondichery Avril 2010 SOBBONiveaumaximumde l’eau chapExoCorrec/9114 sacados/9114 OAHAHCC chapExoCorrec/9121 sacados/9121 OOAAS chapExoCorrec/9107 sacados/9107 grC1C2¸ sacados/11081 4;2cm7cm4;2cm7cm
14. Problèmes et tâches complexes E.7961 Heiata et Hiro ont choisi comme gâteau de mariage une pièce montée composée de 3 gâteaux cylindriques superposés, tous centrés sur l’axe ( d ) comme la figure l’indique ci-dessous : Les trois gâteaux cylindriques sont de même hauteur : 10 cm . Le plus grand gâteau cylindrique, le n o 1 , a pour rayon 30 cm . Le rayon du gâteau n o 2 est égal au 2 3 de celui du gâteau n o 1 . Le rayon du gâteau n o 3 est égal au 3 4 de celui du gâteau n o 2 . 1 Montrer que le rayon du gâteau n o 2 est de 20 cm . 2 Calculer le rayon du gâteau n o 3 . 3 Montrer que le volume total exact de la pièce montée est égal à 15 250 ı cm 3 . Rappel: le volume V d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est donné par la formule V = ı × R 2 × h . 4 Quelle fraction du volume total représente le volume du gâteau n o 2 ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible. E.6608 Ci-dessous est représenté une boite de chocolat en forme de cylindre: Ses dimensions sont : une hauteur de 8 cm ; un diamètre de 10 cm . Pour fermer cette boite, on utilise un élastique qui entoure trois fois la boîte. À chaque tour, l’élastique passe par les centres des deux disques. Donner la longueur de l’élastique lorsqu’il est ainsi posé sur la boîte. 15. Grandeurs et unités quotients E.4207 Sur le chantier de sa future maison, M. Dubois croise un maçon qui semble avoir des dif-ficultés à porter une tige d’acier pleine, de forme cylindrique. Cette tige mesure 1 ; 5 m de long et a un rayon de base de 4 cm . 1 Calculer le volume de cette figure arrondie au cm 3 près. 2 L’acier a une masse volumique de 7 ; 85 g = cm 3 . Calculer la masse de cette tige arrondie au kg . Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 142 E.9062 Pour fabriquer un puits dans son jardin, M mme Martin a besoin d’acheter 5 cylindres en béton comme celui décrit ci-dessous. Dans sa remorque, elle a la place pour mettre les 5 cylindres, mais elle ne peut transporter que 500 kg au maximum. À l’aide des caractéristiques du cylindre, déterminer le nom-bre minimum d’allers-retours nécessaires à M me Martin pour rapporter ses 5 cylindres avec sa remorque. Caractéristique d’un cylin-dre : diamètre intérieur : 90 cm diamètre extérieur: 101 cm hauteur : 50 cm masse volumique du béton : 2 400 kg = m 3 Déterminer la masse, arrondie au kilogramme près, nécessaire de béton pour la conception de ce puits. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7961 sacados/7961 (dno1no2no3 chapExoCorrec/6608 sacados/6608 chapExoCorrec/4207 sacados/4207 chapExoCorrec/9062 sacados/9062 Asie Juin 2019
Rappel: volume du cylindre = ı × rayon × rayon × hauteur Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 14 E.6309 Une famille de quatre person-nes hésite entre deux modèles de piscine. Elle regroupe des informations afin de prendre sa décision. Information 1 : les deux modèles de piscine : La piscine ˇrondeı Hauteur intérieure : 1 ; 20 m Vue du dessus : un cercle de rayon 1 ; 70 m La piscine ˇoctogonaleı Hauteur intérieure : 1 ; 20 m Vue du dessus : un polygone régulier de diamètre extérieur 4 ; 40 m . Information 2 La construction d’une piscine de surface au sol de moins 10 m 2 ne nécessite aucune démarche administrative. Information 3 Surface minimale conseillée par baigneur : 3 ; 40 m 2 . Information 4 Aire d’un octogone régulier: A octogone = 2 2 × R 2 où R est le rayon du disque extérieur à l’octogone. Information 5 Débit du robinet de remplissage : 12 litres d’eau par minute. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Chacun des modèles proposés impose-t-il des démarches administratives? 2 Les quatre membres de la famille veulent se baigner en même temps. Expliquer pourquoi la famille doit dans ce cas choisir la piscine octogonale. 3 On commence le remplissage de cette piscine octogonale le vendredi à 14 h 00 et on laisse couler l’eau pendant la nuit, jusqu’au samedi matin à 10 h 00 . La piscine va-t-elle déborder? 16. Exercices non-classés E.4962 Ci-dessous est représenté le patron d’un cône de révolution : Découper le patron, puis construire le cône de révolution. E.5691 Dans cet exercice, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l’évaluation. Un moule à muffins (des pâtisseries) est constitué de 9 cavités. Toutes ces cavités sont iden-tiques. Chaque cavité a la forme d’un tronc de cône (cône coupé par un plan paral-lèle à sa base) représenté ci-contre. Les dimensions sont in-diquées sur la figure ci-contre. Rappels: Volume d’un cône de rayon de base r et de hauteur h : V = 1 3 × r 2 × ı × h 1 ‘ = 1 dm 3 Indications : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Montrer que le volume d’une cavité est d’environ 125 cm 3 . 2 Léa a préparé 1 litre de pâte. Elle veut remplir chaque cavité du moule au 3 4 de son volume. A-t-elle suffisam-ment de pâte pour les 9 cavités du moule? Justifier la réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6309 sacados/6309 1;70m 4;40m chapExoCorrec/4962 sacados/4962 chapExoCorrec/5691 sacados/5691 Brevet - Asie Juin 2013 Correction Catherine Royer 7;5cm4cm12cm
E.7962 La centrale géothermique de Ritter-shoffen (Bas-Rhin) a été inaugurée le 7 juin 2016 . On y a creusé un puits pour capter de l’eau chaude sous pression, à 2 500 m de pro-fondeur, à une température de 170 degrés Celsius. Ce puits a la forme du tronc de cône représenté ci-contre. Les proportions ne sont pas respectées. Indication : on calcule le volume d’un tronc de cône grâce à la for-mule suivante : V = ı 3 × h × R 2 + R × r + r 2 où h désigne la hauteur du tronc de cône, R le rayon de la grande base et r le rayon de la petite base. on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 1 Vérifier que le volume du puits est environ égal à 225 m 3 . 2 La terre est tassée quand elle est dans le sol. Quand on l’extrait, elle n’est plus tassée et son volume augmente de 30 % . Calculer le volume final de terre à stocker après le forage du puits. E.5676 La figure ci-dessous représente un solide composé de deux cônes de révolution partageant le même disque de base qui a un rayon de mesure 3 cm . La distance AB mesure 6 cm . Déterminer le volume de ce solide arrondi au cm 3 près. Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 E.4961 On considère le cône de révolution dont le rayon de la base est de 4 cm et la hauteur mesure 4 cm . Une représentation de ce solide est donnée ci-dessous : Déterminer le volume de ce cône de révolution, arrondi au centimètre cube près. E.5440 Rappel: la formule du volume du cône est : aire de la base × hauteur 3 On considère un sablier composé de deux cônes identiques de même sommet C et dont le rayon de la base est AK =1 ; 5 cm . Pour la protéger, il est enfermé dans un cylindre de hauteur 6 cm et de même base que les deux cônes. 1 On note V le volume du cylindre et V 1 le volume du sablier. Tous les volumes seront ex-primés en cm 3 . a Montrer que la valeur exacte du volume V du cylindre est 13 ; 5 ı . b Montrer que la valeur exacte de V 1 est 4 ; 5 ı . c Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il? (On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible) . 2 On a mis 6 cm 3 de sable dans le sablier. Sachant que le sable va s’écouler d’un cône à l’autre avec un débit de 80 cm 3 = h , quel temps sera mesuré par ce sablier? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7962 sacados/7962 Petitebasede20cmdediamètreGrandebasede46cmdediamètreHauteur:2500m chapExoCorrec/5676 sacados/5676 ABO3cm chapExoCorrec/4961 sacados/4961 AOS chapExoCorrec/5440 sacados/5440 AOCK