Quatrième / Olympiade 45 exercices corrigés

a
1. Logique E.8803 La frise Une frise est réalisée en recopiant vers la droite le motif con-stitué par les douze colonnes représentées ci-dessous : Chaque colonne de la frise est codée par trois symboles, 000 si les trois cases (de la colonne) sont blanches, 001 si les deux cases supérieures sont blanches et la troisième noire. . . et enfin 111 si les trois cases sont noires. 1 Comment est codée la colonne 10 de la frise? Même ques-tion pour la colonne 14 . 2 Dans le motif ci-dessus, donner la ou les colonne (s) codées 100 ? 3 On se donne un entier n . Comment la colonne 12 n +5 est-elle codée? 4 Comment la colonne 2 017 est-elle codée? E.8849 Pierre est un passionné des nom-bres. Il a dans sa voiture une horloge digitale à quatre chiffres qui indique l’heure de 00:00 à 23:59 . Au moment de partir pour long déplacement, Pierre observe son horloge et constate que les deux nombres indiqués, celui des minutes et celui des heures, sont des carrés de nom-bres entiers (qui , sur une horloge digitale, s’écrivent sous la forme:00, 01, 04, 09, 25,. . . ) Au retour de son voyage, Pierre constate que son horloge af-fiche de nouveau des carrés de deux nombres entiers. Son ordinateur de bord lui indique qu’il a parcouru 352 km en 4 heures et 20 minutes. Quand Pierre peut-il être rentrée de son voyage? E.8709 Code secret Les participants à un jeu cherchent à sortir d’une pièce équipée d’un digicode et doivent pour cela découvrir le code à composer. Ils disposent des deux indices suivants : Premier indice Le code est une combinaison ordonnée de quatre chiffres dif-férents pouvant constituer un nombre. Ce nombre doit être strictement inférieur à 2 018 . Par exemple, 0 6 2 7 est un code correspondant au nombre 627 . Combien de codes différents peut-on composer? Second indice Parmi tous les codes possibles obtenus avec le premier indice, l’un est tel que : le nombre formé par le chiffre des milliers et celui des centaines est le double du nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités ; par exemple pour 1809 , 18 est le double de 09 ; la somme des quatre chiffres du code est paire et non divisible par 9 . Quel est ce nombre? Le code à composer pour sortir de la pièce correspond au nombre obtenu comme différence entre les deux réponses précédemment obtenues (premier et second indices) . Quel est ce code? E.8787 Christophe a découpé quarante formes identiques à celle représentée ci-dessous (figure 1 ) . Il a commencé à les assembler en une frise régulière (figure 2) . Lorsqu’il aura fini de poser la quarantième forme, quel sera le périmètre de la frise ainsi créée? Figure 1. Figure 2. 2. Arithmétique E.8702 La persistance d’un nombre Dans cet exercice, on considère des nombres entiers supérieurs ou égaux à 10 , écrits dans le système décimal. Lorsqu’on multiplie les chiffres qui composent l’écriture d’un entier, on obtient un nouveau nombre. On recommence ce calcul avec ce nouveau nombre et ainsi de suite. Par exemple, pour le nombre 377 : Le processus s’arrête lorsqu’on obtient un nombre s’écrivant avec un seul chiffre. Il a fallu 4 étapes en tout : on dit que la persistance de 377 est 4 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8803 sacados/8803 123456789101112 chapExoCorrec/8849 sacados/8849 chapExoCorrec/8709 sacados/8709 chapExoCorrec/8787 sacados/8787 3cm1cm1cm1cm1cm2cm2cm1cm chapExoCorrec/8702 sacados/8702 3773×7×71471×4×7282×8161×66
1 Quelle est la persistance de chacun des nombres ? a 77 b 28 534 c 6 785 791 2 La persistance de chacun des nombres 2 019 , 4 806 et 13 970 875 est égale à 1 . Quel résultat général ces ré-sultats semblent-ils illustrer? Justifier. 3 Existe-t-il un chiffre que l’on pourrait insérer dans l’écriture d’un nombre sans changer sa persistance? 4 Trouver un nombre s’écrivant avec 20 chiffres dont la per-sistance soit 4 . 5 Quelles sont les persistances possibles d’un nombre dont l’écriture comporte un chiffre pair et 5? E.8704 Le code EAN-13 (European Arti-cle Numbering) est un code-barres utilisé par le commerce et l’industrie permettant d’identifier des objets de façon unique et d’être lu par un scanner. Ce code-barres est composé de 13 chiffres (entiers compris entre 0 et 9 ) , le dernier étant une clé de contrôle calculée à partir des 12 chiffres précédents. Un code-barres est symbolisé par le tableau suivant : . . . où on a porté les treize chiffres constituant le code barre. Le chiffre C est la clé de vérification. Pour le déterminer, on calcule: S = a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + a 11 +3 × a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 + a 12 . C est alors le chiffre tel que S + C soit un multiple de 10 . 1 Le code 4971850187820 est-il valide? 2 Déterminer C pour que le code 978204732850 C soit valide. 3 Un chiffre a été remplacé par x dans le code 32525 x 7041767 . Quelle valeur donner à x pour que ce code soit valide? 4 Le code 3742278085985 n’est pas valide. Quelles peuvent être les valeurs des deux premiers chiffres à gauche dans d’autres codes valides comportant les 11 mêmes chiffres à droite? E.8829 Partie de fléchettes On joue aux fléchettes sur une cible comportant trois zones : une à 5 points, une à 7 points et une à 11 points. On s’intéresse aux différents scores possibles, le nombre de fléchettes n’étant pas limité. Par exemple, 30 est un score possible puisque : 30 = 11 + 7 + 7 + 5 ou 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 . 1 Vérifier que 26 , 43 , 220 012 sont des scores possibles. 2 On dit que deux jeux sont identiques si, pour chacun d’entre eux, chaque zone de la cible comporte le même nombre de fléchettes. Par exemple les jeux correspondant aux scores : 7+5+5+11 et 5 + 7 + 11 + 5 sont identiques. a Trouver quatre jeux différents donnant le score 40 . b Démontrer qu’il existe deux jeux différents et deux seulement correspondant au score 34 . 3 Trouver tous les scores que l’on peut obtenir avec un lancer de trois fléchettes ayant toutes atteint la cible. Présenter les résultats de manière organisée. 4 a Démontrer que 14 et les quatre entiers suivants sont des scores possibles. b Déterminer la liste des entiers positifs non nuls qui ne correspondent à aucun score. E.8841 Un programme de calcul Voici un programme de calcul: Soit N un nombre entier naturel écrit dans le système déci-mal: Étape n o 1: Repérer le chiffre X des unités de N . Étape n o 2: Calculer N − X . Soit M le nombre obtenu. Étape n o 3: Diviser M par 10 . Soit D le nombre obtenu. Étape n o 4: Calculer D +2 X . Soit R le nombre obtenu. Étape n o 5: Si R est différent de N , alors passer à l’étape n o 6. Sinon, arrêter et afficher R . Étape n o 6: Si R s’écrit avec un seul chiffre, alors ar-rêter et afficher R . Sinon ,donner à N la valeur R et reprendre le programme de calcul à l’étape n o 1. 1 Quel résultat affiche-t-on lorsqu’on introduit N =15 dans le programme de calcul? 2 Que se passe-t-il lorsqu’on introduit N =2015 dans le pro-gramme de calcul? 3 Quels sont les nombres susceptibles de figurer à l’affichage final? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8704 sacados/8704 a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12C chapExoCorrec/8829 sacados/8829 chapExoCorrec/8841 sacados/8841
E.8844 Nombres à la chaîne 1 → 2 9 → 10 25 → ↓ ↑ ↓ ↑ 4 ← 3 8 11 24 ↓ ↑ ↓ ↑ 5 → 6 → 7 12 23 ↓ ↑ 16 ← 15 ← 14 ← 13 22 ↓ ↑ 17 → 18 → 19 → 20 → 21 Les entiers consécutifs 1 , 2 , 3 , 4 , etc. . . sont disposés dans les cases d’un tableau selon le schéma ci-contre. Le nombre 8 se trouve à l’intersection de la deux-ième ligne et de la troisième colonne. Le nombre 13 se trouve à l’intersection de la quatrième ligne et de la quatrième colonne. Quel nombre se trouve à l’intersection de la vingt-cinquième ligne et de la vingt-cinquième colonne? E.8845 Des un avec des neuf 1 Calculer les sommes : a = 99 + 999 ; b = 99 + 999 + 9999 2 On considère le nombre N défini comme la somme : N = 99 + 999 + 9 999 + · · · + 9999 : : : 999 Le premier terme de cette somme s’écrit avec deux chiffres 9 ; on ajoute les nombres s’écrivant avec trois puis quatre chiffres 9 , etc. . . Le dernier terme de la somme s’écrit avec cent chiffres 9 . On effectue la somme et on écrit N en écriture décimale ordinaire. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans cette écriture? E.8846 On s’intéresse aux diverses façons d’écrire un nombre entier naturel comme somme d’autres en-tiers naturels (pour éviter les répétitions, ils sont écrits dans l’ordre croissant) . Par exemple: 5 = 1+1+1+1+1 5 = 1 + 1 + 1 + 2 5 = 1 + 1 + 3 5 = 1 + 2 + 2 5 = 1 + 4 5 = 2 + 3 sont les six décompositions possibles du nombre 5 . À chacune des sommes ainsi écrites, on associe le produit de ses termes. Les résultats obtenus pour 5 sont 1 , 2 , 3 , 4 et 6 . 1 Quelles sont les décompositions possibles du nombre 7 ? Quels sont les produits correspondants? Lequel est le plus grand? 2 On s’intéresse à présent aux décompositions du nombre 28 , qu’on ne cherchera pas à écrire, et aux produits cor-respondants. a On considère une décomposition quelconque du nom- bre 28 où apparait le nombre 1 . On appelle P le pro-duit associé. Trouver une décomposition dont le pro-duit associé est supérieure à P . b On considère une décomposition quelconque du nom-bre 28 où apparait le nombre 5 . On appelle R le pro-duit associé. Trouver une décomposition dont le pro-duit associé est supérieur à R . c Quelle décomposition de 28 donnent le plus grand pro-duit associé? E.8847 On appelle pyramide de Pascale un empilement de cases complétées de la manière suivante : on choisit deux nombres entiers positifs m et n ; le premier nombre de chaque ligne est égal à m (dans l’exemple ci-dessous m =7 ; le dernier nombre de chaque ligne est égal à n (dans l’exemple ci-dessous n =2 ) ; un nombre inscrit dans une case est égal à la somme des nombres inscrits dans les deux cases situées juste au-dessus. 1 a Reproduire et compléter l’exemple de pyramide de Pascale ci-dessus. b Pour chaque ligne, calculer la somme des nombres fig-urant sur celle-ci. Que remarque-t-on? 2 Si l’on considère la pyramide de Pascale associée aux nombres entiers m =1 et n =1 , sur quelle ligne la somme des nombres sera-t-elle égale à 1024 ? 3 Prouver que, pour des nombres entiers m et n quelcon-ques, la somme des nombres de la quatrième ligne est égale au double de la somme des nombres de la troisième ligne. 4 Compléter la pyramide de Pascale ci-dessous : 3. Autour des quotients E.8708 Développement décimal Quand on effectue la division de 28 par 27 , on trouve : 1 ; 037 037 037 037 : : : La division posée permet d’obtenir une écriture décimale péri- odique illimitée du quotient 28 27 . La période de cette écriture est composée de trois chiffres (ici 037) qui se répètent. La 5 e décimale est 3 . 1 Quelle est la 52 e décimale de 28 27 ? 2 Quand on effectue la division de 19 par 13 , on trouve : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8844 sacados/8844 chapExoCorrec/8845 sacados/8845 chapExoCorrec/8846 sacados/8846 chapExoCorrec/8847 sacados/8847 7777722222Exemple de pyramide de Pascale avecm7etn2On n’a représenté ici que les cinq premières lignes 346 chapExoCorrec/8708 sacados/8708
1 ; 461 538 461 538 461 538 : : : De combien de chiffres est composée la période? Quelle est la 100 e décimale de 19 13 ? 3 Quand on effectue la division de 9 533 par 270 , on trouve : 35 ; 307 407 407 40 : : : De combien de chiffres est composée la période? Quelle est la 1 000 e décimale de 9 533 270 ? 4 L’écriture décimale de 1 97 fait apparaître une période de 96 chiffres qui commence par 0309... Quel est le 96 e chiffre de cette période? E.8756 Les Égyptiens n’utilisaient que des fractions de numérateur 1 , à l’exception de la fraction 2 3 . Pour trouver le double de leurs fractions de numérateur 1 , on disposait de tables dont l’utilisation est décrite ci-dessous : Par exemple, par lecture de la première ligne, on a: Le double de 1 5 est 1 3 + 1 15 1 Interpréter la troisième ligne de la table. 2 Il manque un nombre dans la ligne du 15 et un dans la ligne du 17 . Retrouver ces deux nombres. 3 Pourquoi n’y a-t-il que des nombres impairs dans la pre-mière colonne? E.8850 Et à la fin, que reste-t-il? On écrit la liste des cent nombres : 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 ,. . . , 1 98 , 1 99 , 1 100 à laquelle on applique le procédé suivant : on choisit des nom-bres a et b dans la liste et on les remplace par le seul a + b + ab , puis on continue de même. À chaque étape, l’effectif perd une unité. À la fin, on ne peut plus continuer , il n’y a qu’un nombre. 1 Si on procède systématiquement et en commençant par la gauche : a Quelle liste obtient-on après la première étape? Après la deuxième? b Quel nombre obtient-on après les 99 étapes? 2 Et si on commence par la droite? 3 Si on procède au hasard, quels résultats peut-on obtenir? 4. Utilisation des puissances E.8851 1 Quel est le nombre de chiffres du nombre : N =10 2006 − 2006 2 Quelle est la somme des chiffres de N ? 5. Algèbre et équation E.8806 Loto nouveau Lors d’une partie de Loto, chaque joueur reçoit des cartes sur lesquelles sont inscrits des nombres entiers. Des jetons numérotés sont tirés au sort et le numéro porté par chacun est annoncé à haute voix. On gagne lorsque tous les nombres d’une ligne de sa carte ont été annoncés. Ce soir, les règles ont un peu varié! L’organisateur distribue des cartes sur lesquelles figurent neuf nombres répartis en trois lignes de trois nombres consécutifs (le tableau ci-dessus est un exemple d’une telle carte) . 1 L’organisateur annonce : ˇ un lot est offert à qui complète une ligne de nombres dont la somme est 41 ı . Peut-on gagner? 2 L’organisateur annonce : ˇ un lot de consolation est offert à qui complète une ligne de nombres dont la somme est 57 ı. Quels sont les nombres inscrits sur une ligne gag-nante? 3 À partir de maintenant : ˇ un lot de consolation est offert à qui présente une ligne de nombres dont le produit est multiple de 6 ı. Qui gagne? Dans cette question, les cartes comportent trois lignes de qua-tre nombres consécutifs. 4 L’organisateur annonce : ˇ si en ajoutant 1 au produit des https://chingmath.fr chapExoCorrec/8756 sacados/8756 53157428961811666138521041510...17...5168 chapExoCorrec/8850 sacados/8850 chapExoCorrec/8851 sacados/8851 chapExoCorrec/8806 sacados/8806 345121314282930
quatre nombres d’une même ligne, vous obtenez un carré parfait ∗ , alors vous gagnez un lot ı. Qui gagne? ∗ On rappelle qu’un carré parfait est le carré d’un entier E.9472 On s’intéresse aux carrés magiques 3 × 3 : ce sont des tableaux à trois lignes et trois colonnes (désignées respectivement par L 1 , L 2 , L 3 et C 1 , C 2 , C 3 ) dans lesquels sont inscrits 9 nombres, de sorte que les sommes des nombres écrits dans chaque ligne, dans chaque colonne et dans chaque diagonale (les diagonales sont désignées par D 1 et D 2 ) soient égales. Cette somme commune est notée S , c’est la con-stante du carré magique. 1 Dans le carré ci-contre, on inscrit les entiers compris entre 1 et 9 . Le compléter pour en faire un carré magique. 2 Des deux tableaux ci-dessous, un seul est magique. Lequel? 2 On désigne par x un nombre quelconque. On se demande s’il est possible de créer un carré magique 3 × 3 dans lequel figureraient les neufs nombres : 16 x − 10 ; 2 x − 3 ; − 2 ; 4 x − 4 ; 12 x − 8 10 x − 7 ; 6 x − 5 ; 8 x − 6 ; 14 x − 9 a Quelle serait la constante de ce carré magique? b Proposer un carré magique 3 × 3 utilisant ces neuf nom-bres. 3 Proposer finalement deux carrés magiques 3 × 3 : a Un carré de 9 nombres tous négatifs ; b Un carré de constante S 30 6. Géométrie E.8705 Six demi-cercles de rayon 1 , et les diamètres de trois d’entre eux, déterminent le domaine représenté ci-dessous. Quelle est l’aire de ce domaine? E.8842 Une spirale https://chingmath.fr sacados/9472 816 23-2332818833813 23-2332818833813 chapExoCorrec/8705 sacados/8705 chapExoCorrec/8842 sacados/8842
Une telle spirale est obtenue en traçant successivement des quarts de cercle de rayons de plus en plus grands. Le premier quart de cercle a un rayon de 1 , comme le deux-ième. Le troisième quart de cercle a un rayon de 2 , le qua-trième de 3 , le suivant de 5 . 1 Quel est le rayon du sixième quart de cercle? du sep-tième? du dixième? 2 Le rayon du quinzième quart de cercle est 610 et celui du seizième est 987 . Quel est le rayon du dix-septième? 3 Quel est le rayon du vingtième quart de cercle? E.8843 Le meilleur emballage On emballe sept tuyaux cylindriques de diamètre 20 cm en les entourant de ruban adhésif. On peut les disposer à plat ou en fagot comme le montrent les figures ci-dessous. Quelle est dans chacun des cas la longueur d’un tour du ruban adhésif, arrondie au millimètre près? Indication : on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 7. Vers les suites E.8828 Creusez de plus en plus, mais de moins en moins. 1 La carpette de Sierpinski On considère un carré de côté 27 . À chaque étape, on enlève le carré central de chaque carré gris. À quelle étape l’aire de la carpette devient-elle inférieure à la moitié de l’aire initiale? 2 L’éponge de Sierpinski On considère à présent un cube d’arête a . À chaque étape, on évide chaque cube de sept petits cubes à l’intérieur comme ci-dessous. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8843 sacados/8843 chapExoCorrec/8828 sacados/8828 étape 0 étape 1 étape 2 étape 3
À quelle étape le volume de l’éponge devient-il inférieur à la moitié du volume initial? E.9471 Sur l’étal du marchand, tous les fruits sont rangés. Les oranges sont organisées en pyramide à base carrée. L’étage du haut comporte une seule orange. Cet étage est noté E 1 . L’étage au-dessous sera noté E 2 , et ainsi de suite. Chaque orange est posée sur quatre autres. 1 a Combien d’oranges comporte l’étage E 2 ? b Combien d’oranges comporte l’étage E 3 ? c Combien d’oranges comporte l’étage E 10 ? d Y a-t-il un étage comportant exactement 64 oranges? e Y a-t-il un étage comportant exactement 200 oranges? 2 Combien d’oranges comporte: a une pyramide à 2 étages? b une pyramide à 3 étages? c une pyramide à 10 étages? 3 Les oranges de l’étal ont été organisées pour former une pyramide à sept étages. La pyramide se révèle mal-heureusement trop instable et il faut en former de plus petites. Proposer une organisation en pyramide à base carrée permettant de ranger toutes les oranges. Toutes les pyramides seront complètes et chacune comptera, au minimum, 3 étages. E.9473 On construit une suite de motifs selon un procédé dont les trois premières étapes sont représen-tées ci-dessous : L’unité d’aire est le carreau de quadrillage 1 Pour chacune des étapes 2 et 3 : a Déterminer l’aire totale des parties intérieures claires; b Déterminer l’aire totale des parties noires. 2 a Quelle est, à l’étape 4 , l’aire totale des parties in-térieures claires? Et celles des parties noires? b Et à l’étape 20 ? E.9474 On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1 De combien de façons peut-on monter un escalier d’une marche? de deux marches? de trois marches? de quatre marches? de cinq marches? 2 De combien de façons différentes peut-on monter un es-calier de 20 marches? 8. Géométrie avec le théorème de Pythagore E.8703 Dans la ville de Nîmes, des travaux ont amené à la découverte d’une magnifique mosaïque romaine du début du troisième siècle, dite ˇmosaïque de Penthéeı. Cette mosaïque se compose de plusieurs pan-neaux figurés de formes géométriques diverses, séparés par des ˇtressesı (torsades) . C’est là l’oeuvre d’un maître-artisan possédant de solides connaissances de ˇgéométrie pratiqueı et https://chingmath.fr étape 0 étape 1 étape 2 sacados/9471 sacados/9473 Etape no1Etape no2Etape no3 sacados/9474 chapExoCorrec/8703 sacados/8703
capable d’assembler des arcs de cercles en des formes variées, pour finalement composer un tout harmonieux. Sur la figure ci-dessus, on a extrait mentalement de la mosaïque un ovale inclus dans un carré ABCD de côté 3 unités, découpé lui-même en 9 carrés. On sait que l’ovale est constitué de 4 quarts de cercles. 1 Quel est le centre de chacun de ces quarts de cercles? 2 Calculer le périmètre de cet ovale. 3 Calculer l’aire de cet ovale. 4 a Construire un tel ovale (on prendra 3 cm pour unité) . b En déduire une construction d’une figure de même périmètre, mais avec une aire plus petite. c Construire une figure de même périmètre, mais avec une aire égale à 4 unités d’aire. E.8711 Les fourmis 1 Voici ci-dessous deux solides : un pavé droit et une boule sur lesquels se déplacent deux fourmis. La fourmi n o 1 se déplace sur le pavé droit en suivant le parcours formé par les segments [ AB ] puis [ BC ] . La fourmi n o 2 se déplace sur une boule de centre O et de rayon 2 cm qui repose sur un socle de 1 cm de hauteur. Elle part du point D , va en E , en suivant le segment [ DE ] , puis rejoint le point F en suivant le demi-cercle de diamètre [ EF ] . Quelle fourmi parcourt le chemin le plus court? 2 Deux fourmis se déplacent sur un cylindre de rayon 2 cm . La fourmi n o 1 , par du point G et décrit le cercle supérieur du cylindre plusieurs fois de suite. La fourmi n o 2 , quant à elle, se déplace sur le cylindre en suivant le tracé fléché de G à H , en prenant le plus court chemin, puis remonte en G par le même chemin. Les deux fourmis débutent leur parcours au même instant et se déplacent à la même vitesse, supposée constante. a Est-ce que la fourmi n o 2 rencontrera la fourmi n o 1 à son retour en G ? b Imaginons que les deux fourmis continuent de se dé-placer de la sorte sans s’arrêter. Pourront-elles se rencontrer à un moment donné en G ? Indications : on arrondira tous les résultats au millimètre près. on utilisera: ı ≈ 3 ; 1416 https://chingmath.fr AUBMNZPODWCV chapExoCorrec/8711 sacados/8711 O2cmDEFsocle0;5cm0;5cmABC5cm2cm4cm 2cmGH5cm
E.8805 Savez-vous planter des clous? Madame Briqueau souhaite accrocher un cadre dans son sa-lon. Ce cadre est rectangulaire et mesure 84 cm de longueur et 56 cm de hauteur. Son système d’accrochage est constitué d’une ficelle de 60 cm de long, attachée au dos du cadre en deux points situés tous deux à 21 cm du bord supérieur du cadre et chacun à 20 cm d’un des bords latéraux. Le mur destiné à l’accrochage est rectangulaire et mesure 2 ; 68 m de haut sur 3 ; 78 m de large. Madame Briqueau voudrait que son cadre, une fois posé, soit centré en largeur (même espace à gauche et à droite du cadre) et que son bord inférieur soit horizontal et à 1 ; 42 m du sol. 1 À quelle distance du bord gauche du mur madame Briqueau doit-elle planter le crochet? 2 Quelle forme prendra la ficelle quand le cadre sera en place? 3 À quelle distance du haut du mur madame Briqueau devra-t-elle planter le crochet (arrondi au millimètre) ? E.8808 Les lacets Il existe plusieurs façons de lacer des chaussures. En voici trois : Quel est le laçage le plus long? (On ne tient pas compte de la longueur de brins qui servent à faire un noeud) . E.8809 Dans les yeux On schématise les yeux par des disques de rayons 5 mm . Oeil de chat [ BC ] et [ DE ] sont deux diamètres perpendiculaires. La pupille est délimitée par deux arcs de cercles de cen-tres respectifs B et C , pas-sant par D . Oeil de lapin La pupille est délimitée par un cercle de même centre que l’oeil et de rayon 3 mm Lequel de ces deux yeux a la plus grande pupille? 9. Géométrie avec le théorème de Thalès E.8710 La couronne Les sommets du polygone grisé représenté ci-dessous sont situés sur des droites parallèles espacées de 5 cm . La ˇ base ı a pour longueur 4 cm . Quelle est l’aire de ce polygone? 10. Géométrie avec trigonométrie https://chingmath.fr chapExoCorrec/8805 sacados/8805 chapExoCorrec/8808 sacados/8808 1cm3cmZIGZAGAméricain3cmNoeudPapillon3cmGavageABCDEF chapExoCorrec/8809 sacados/8809 ABCDE chapExoCorrec/8710 sacados/8710 4cm5cm5cm
E.8807 Hexagones gigognes Soit H 1 un hexagone régulier in-scrit dans un cercle et H 2 un hexagone régulier circonscrit au même cercle. Sur la figure ci-dessous (qui n’est pas en vraie grandeur) , A , B et C désignent trois sommets consé-cutifs de l’hexagone H 2 et G et F , les milieux respectifs des segments [ AB ] et [ BC ] , sont deux sommets de l’hexagone H 1 . L’aire de l’hexagone H 2 vaut 340 m 2 . Combien vaut l’aire de l’hexagone H 1 ? E.9014 Sur la figure ci-dessous, les aires de six carrés ont été indiquées. Un des sommets du carré oblique blanc coïncide avec un som-met du carré d’aire 1 . Quelle est l’aire de ce carré? 11. Proportionnalité, pourcentage, unité E.8804 BavardaCar Monsieur A doit effectuer en voiture un voyage de 350 km (sans péage) . Il doit prendre en route quatre autres person-nes, madame B , monsieur C , madame D et monsieur E , qui se rendent au même endroit que lui. Il récupère madame B après 60 km de route puis roule encore pendant 60 km avant de prendre en charge monsieur C et madame D . Il prend en charge monsieur E à 200 km de l’arrivée. La dépense en carburant est estimée à 36 ; 40 e . On envisage différents modes de partage pour la répartition des frais entre tous les occupants de la voiture . 1 Premier mode: chacun paie la même somme. Quelle est cette somme? 2 Deuxième mode: la part de chacun est proportionnelle à la distance qu’il a parcourue dans la voiture. Quelle est la part de chacun? 3 Troisième mode: la part de chacun se calcule en prenant en compte, sur chacun des tronçons, le nombre de personnes présents dans la voiture et la longueur du tronçon. Quelle est la part de chacun? E.8840 Course poursuite Une course à pied d’un type nouveau a été créée récemment. Les coureurs partent tous en même temps et n’ont pas de ligne d’arrivée à franchir. Une voiture part à leur poursuite une demi-heure plus tard. Tout coureur dépassé par la voiture est éliminé. Le dernier coureur dépassé est donc déclaré vain-queur de la course. L’objectif de chaque coureur est donc de parcourir la plus grande distance possible, avant d’être rattrapé par la voiture. Voici l’organisation de la course : Les coureurs s’élancent à 10 heures du matin. La voiture qui les poursuit démarre 30 minutes plus tard. Elle accroît sa vitesse progressivement : Pendant la première heure, elle roule à 15 km = h ; L’heure suivante, elle roule à 16 km = h ; L’heure suivante, elle roule à 17 km = h ; Les deux heures suivantes, elle roule à 20 km = h ; Elle stabilise ensuite sa vitesse à 35 km = h . 1 Robert s’est fait rattraper par la voiture une heure après son départ. Quelle distance a-t-il parcourue? 2 Michèle s’est fait rattraper par la voiture deux heures après son départ. À quelle vitesse moyenne a-t-elle couru? 3 Philippe a parcouru 30 km avant d’être rattrapé. À quelle heure a-t-il été repris par la voiture? 4 Le vainqueur de la course de l’an passé a parcouru 78 km . Combien de temps a-t-il couru, et à quelle vitesse moyenne? 5 Victoire pense cette année pouvoir courir pendant des heures à 14 km = h . Si elle y parvient, quelle distance parcourra-t-elle? 12. Probabilité E.8848 Vrai - Faux Ludovic doit répondre à un test de 25 questions. Les réponses sont ˇ Vrai ı ou ˇ Faux ı. Son professeur de mathématiques donne l’indication suivante : dans toute série de 5 réponses consécutives, il y a exactement trois réponses ˇ Vrai ı. 1 Pourquoi la liste suivante ne convient-elle pas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8807 sacados/8807 CBAFG chapExoCorrec/9014 sacados/9014 491681?936 chapExoCorrec/8804 sacados/8804 chapExoCorrec/8840 sacados/8840 chapExoCorrec/8848 sacados/8848
Question 1 V Question 2 F Question 3 V Question 4 V Question 5 F Question 6 F . . . . . . 2 Combien y a-t-il de réponses ˇ Vrai ı dans la liste des 25 réponses? 3 Le professeur indique que la réponse à la première ques-tion est ˇ Faux ı. Ludovic affirme qu’il connait la réponse à la sixième sans avoir lu les questions. Comment a-t-il fait? 4 Le professeur souffle à Ludovic que la réponse à la dernière question est également ˇ Faux ı. Ludovic affirme qu’il peut maintenant trouver toutes les réponses sans lire les questions. A-t-il raison? 13. Algorithmique E.8706 Sous scratch, la commande ci-dessous teste si un nombre entier est divisible par un nombre entier. Ainsi, la proposition est vraie, car 66=6 × 11 . Autrement dit, 66 est divisible par 11 . Par contre, la proposition est fausse, car 64 n’est pas divisible par 11 . La commande ci-dessous est utilisée pour la programmation du déplacement vertical d’un lutin représentant un ballon changeant de couleur (bleu, violet ou jaune) en fonction de son ordonnée et chaque étape permettant de faire évoluer le nombre de points. a À chaque passage dans la boucle ˇ Si l’ordonnée est in-férieure à 150 ı, combien est augmentée l’ordonnée du ballon? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8706 sacados/8706 nombre entiermodulonombre entier=0 66modulo11=0 64modulo11=0 quandest cliquémettre à50% de la taille initialebasculer sur le costumeballon bleumettreordonnéeà-155mettrepointsà0aller à x:0y:ordonnéesiordonnéemodulo11=0alorsmettrepointsàpoints*3basculer sur le costumeballon jaunesiordonnéemodulo7=0alorsmettrepointsàpoints*2basculer sur le costumeballon violetmettrepointsàpoints+10basculer sur le costumeballon bleusinonsinonattendre2secondesajouter àordonnée15aller à x:0y:ordonnéesiordonnée<150alorsrépéter indé∏nimentligne 0ligne 1ligne 2ligne 3ligne 4ligne 5ligne 6ligne 7ligne 8ligne 9ligne 10ligne 11ligne 12ligne 13ligne 14ligne 15ligne 16ligne 17ligne 18
b Si l’ordonnée du ballon est égale à 55 , expliquer pourquoi le nombre de points est multiplié par 3 ? c Si l’ordonnée du ballon est égale à 100 , que se passe-t-il pour le nombre de points? d Pour quelle(s) ordonnées(s) le ballon passe-t-il par la couleur jaune? Pourquoi? e Quel sera le nombre de points final attribué au ballon? f Par quel nombre dois-je remplacer la valeur ˇ10ı (ligne 14) pour que le nombre de points final soit égal à 955 ? g Par quel nombre doit-on remplacer la valeur 2 (ligne 11) pour que le nombre de points soit égal à 17 300 ? E.8707 Gymkhana pour robot Un robot est posé sur un plateau quadrillé sur lequel sont disposés des obstacles numérotés. Il est positionné au départ prêt à avancer dans le sens de la flèche. Ce robot est équipé d’un capteur de présence placé à l’avant. Ce capteur permet de repérer un obstacle situé devant lui. Enfin, ce robot est aussi équipé d’une puce permettant de programmer ses déplacements avec un langage par blocs type ˇ Scratch ı ou ˇ MBlock ı. Le programme suivant a été implanté dans la puce de ce robot. Le robot est ensuite mis en marche par l’intermédiaire du drapeau vert. 1 Donner la liste des dix premiers obstacles rencontrés. 2 Quel sera le 50 ème obstacle qu’il rencontrera? 3 Quel sera le 2019 ème obstacle qu’il rencontrera? E.8712 Louise, Nassim, Ilam et Sophie participent à un jeu télévisé comportant 2 parties. Lors de la 1 ère partie, ces quatre candidats doivent répondre chacun à trois questions. Pour chaque réponse juste, le joueur gagne 5 points, il perd 2 points s’il ne répond pas et perd 3 points si sa réponse est fausse. Le candidat récoltant le moins de points est éliminé au 1 er tour. Louise ne répond qu’à 2 questions dont une est fausse. Nassim répond à toutes les questions : 2 sont justes. Ilam répond correctement aux 2 premières questions, mais ne répond pas à la dernière. Sophie ne répond qu’à une seule question, mais elle est juste. 1 a Quel est le candidat éliminé lors de cette 1 ère partie de jeu? b Lister tous les scores possibles que peut obtenir un candidat jouant à ce jeu lors de la 1 ère partie. 2 Lors de la 2 ème partie du jeu, le principe est le même, mais les candidats doivent répondre à 8 questions. Zoé regarde ce jeu chez elle. Elle sort sa tablette et ouvre une feuille de calculs dans un tableur. Voici ce qu’elle écrit: À partir de combien de bonnes réponses peut-on avoir un score positif? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8707 sacados/8707 12364758910111213141517161819202122 quandest cliquéeInitialisationavancer deVitessetournerde90degréssiCapteurtouché?alorsrépéter indé∏nimentde∏nir Initialisationaller àDépartmettreVitesseà5 chapExoCorrec/8712 sacados/8712 123456ABCDBonnesNerépondspasFaussesScore00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)017-23026-22035-21044-2000=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)
E.8713 Les douze images ci-dessous sont extraites d’un fichier d’image animée (comprenant réellement 15 images successives) présentant le développement d’une fleur de sa naissance à sa mort. Seules la première et la dernière image sont correctement placées. 1 re partie : Indiquer l’ordre de défilement des dix autres images pendant l’animation. 2 ème partie : Questions préliminaires : compréhension de l’algorithme a Que faut-il faire pour lancer le programme? b Combien peut-on observer de cycles de la fleur avant l’arrêt du programme? c Quelle est la ˇ durée ı de l’animation? d La variable cycles affichée est-elle le nombre de cycles déjà exécutés ou le rang du cycle en cours d’exécution? Justifier votre choix. Question 1 Quelle serait la durée de l’animation pour exactement 5 cy-cles? 9 cycles? Question 2 Lorsque le chronomètre affiche la fin de la 9 ème ˇ seconde ı, quel est le nombre de cycles affiché? Quel ˇ costume ı du ˇ lutin ı serait sur l’image à cet instant? 14. Fin d’année: avec identitié remarquable E.8757 Le triangle ABC ci-contre est tel que : AC = 13 ; AB = 14 ; BC = 15 Soit H , J , K les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets C , A , B . 1 Montrer que CH est un nombre entier. 2 Montrer que AJ est un nombre décimal et que BK est un quotient d’entiers. 3 Proposer un triangle dont les trois côtés et les trois hau-teurs ont pour longueurs des nombres entiers. 15. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/8713 sacados/8713 quandaestpressémettreà250%delatailleinitialemettrecyclesà0costumesuivantRépéter14foisajouteràcycles1stoptoutsicycles=40alorsrépéterindé∏nimentcycles:40chrono:12.7 chapExoCorrec/8757 sacados/8757 ABCHKJ
E.9747 Sommes de chiffres Dans cet exercice, les nombres considérés sont des entiers in-scrits selon la numération décimale. Pour cet exercice, on appelle poids d’un nombre N la somme de ses chiffres. 1 Quel est le poids du nombre 29 ? Quel est le poids du nombre 7 646 ? 2 Proposer trois nombres différents de même poids 42 . 3 Est-il exact de dire que ˇ plus un nombre a de chiffres, plus son poids est élevé ı? 4 Quel est le plus petit nombre de poids 50 ? 5 Quel est le plus petit nombre de poids 2 022 ? 6 Peut-on trouver un nombre ne s’écrivant qu’avec des 5 et 7 et dont le poids soit 53 ? 7 Peut-on trouver un nombre ne s’écrivant qu’avec des 3 et des 6 et dont le poids soit 200 ? E.9748 Carré inscrit dans un cercle inscrit. . . L’unité de longueur est le cm. Attention : les figures ne sont pas à l’échelle. Tous les résultats numériques demandés sont attendus en valeur exacte. Sur la figure ci-dessus est représenté le cercle C 1 , de centre O et de rayon 2 . Les segments [ AC ] et [ BD ] sont deux diamètres perpendiculaires de ce cercle. 1 Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? On dit que le cercle C 1 est le cercle circonscrit au carré ABCD . 2 Quelle est l’aire de la partie grisée de la figure? On considère le carré EFGH dont les côtés sont parallèles à ceux de ABCD et tangents au cercle C 1 . On dit que le cercle C 1 est inscrit dans le carré EFGH . On considère de même que précédemment le cercle C 2 circonscrit au carré EFGH . La figure ci-dessous représente cette situation. 3 Calculer l’aire de la partie grisée sur cette nouvelle figure. 4 Sur le même principe, on peut construire une nouvelle figure avec un cercle C 3 circonscrit à un nouveau carré IJKL dont les côtés seraient tangents à C 2 et parallèles aux côtés du carré EFGH . Quelle est, sur cette nouvelle figure, l’aire comprise entre le cercle C 3 et les côtés du carré IJKL ? E.9749 Triplets pythagoriciens Une unité de longueur est donnée dans le plan. Un triangle ABC a pour côtés : AB = 15 ; AC = 8 ; BC = 17 1 Montrer que ce triangle est rectangle, en indiquant quel point est le sommet de l’angle droit. Plus généralement, on s’intéresse aux triangles rectangles dont les côtés ont des longueurs entières. On pose : AB = m ; AC = n ; BC = p . On fait l’hypothèse que m<n<p et on dit que le triplet ( m ; n ; p ) est pythagoricien . 2 a Si ( m ; n ; p ) est un triplet pythagoricien, quel point est le sommet de l’angle droit du triangle rectangle ABC associé? b Montrer que 3 ; 4 ; 5 est un triplet pythagoricien. Les triangles associés sont les ˇ triangles égyptiens ı. c Montrer que, si le triplet m ; n ; 5 est pythagoricien, alors m =3 et n =4 . La tablette Plimpton 322 (Université Columbia, New-York) témoigne de recherches conduites par des Babyloniens. 4 On suppose que le triplet (5 ; n ; p ) est pythagoricien. a Montrer que : p − n p + n =25 b Comparer p + n et p − n et en déduire leurs valeurs puis finalement les valeurs de p et de n . Le triangle associé est dit ˇ babylonien ı. 5 Existe-t-il des entiers m et p tels que le triplet ( m ; 5 ; p ) soit pythagoricien? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9747 sacados/9747 Olympiades Mars 2022 chapExoCorrec/9748 sacados/9748 Olympiades Mars 2022 OABCD OABCDEFGH chapExoCorrec/9749 sacados/9749 Olympiades Mars 2022 Corde à13noeuds et triangle égyptien
E.9750 Angle inconnu L’angle en C du triangle ABC mesure 70 o . On a placé sur le côté [ BC ] le point D et sur le côté [ AC ] le point E tels que : BD = DE = EA . Les segments [ BE ] et [ AD ] se coupent en F . Quelle est la mesure de l’angle AFB ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9750 sacados/9750 Olympiades Mars 2022 ABCDEF