Quatrième / Réciproque du théorème de Pythagore 40 exercices corrigés

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ChingQuizz : 10 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Egalité de Pythagore E.8760 Définition: trois nombres for-ment un triplet pythagoricien si le carré d’un nombre est égal à la somme des carrés des deux autres. Exemple : les nombres 6 , 8 et 10 forment un triplet pythagoricien car: 10 2 = 6 2 + 8 2 Justifier, pour chaque question, que ces trois nombres forment un triplet pythagoricien: a 3, 4 et 5 b 5, 12 et 13 c 9, 12 et 15 E.8761 On considère les deux triangles ABC et DEF représentés à la main ci-dessous : 1 À l’aide de la calculatrice, compléter les pointillés suiv-ants : a AB 2 = : : : : : : AC 2 = : : : : : : BC 2 = : : : : : : b DE 2 = : : : : : : DF 2 = : : : : : : EF 2 = : : : : : : Définition: on dit qu’un triangle vérifie l’ égalité de Pythagore si ses longueurs forment un triplet pythagoricien. 2 Justifier que les triangles ABC et DEF vérifient l’égalité de Pythagore. 2. Réciproque du théorème de Pythagore et chainons déductifs E.8759 Réciproque du théorème de Pythagore: Si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égale à la somme des carrées des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hy-poténuse. Autre version de l’énoncé: Si un triangle vérifie l’égalité de Pythagore alors ce trian-gle est rectangle et le plus grand de ses côtés est son hy-poténuse. Elias se demande si le mur construit en bordure de son jardin, en forme de triangle, formera un angle droit. Son père lui a donné ce croquis de son jardin avec les mesures exactes du jardin : Pour aider Elias, compléter ce chaînon déductif : https://chingmath.fr quizzChap/1248 chapExoCorrec/8760 sacados/8760 chapExoCorrec/8761 sacados/8761 ABC20m21m29mDEF8m15m17m chapExoCorrec/8759 sacados/8759 BAC12m9m15m JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes longueurs du triangleABCvéri∏ent l’égalitéde Pythagore car:*AB2CA2CB2*BC2AB2AC2*AC2BA2BC2D’après la réciproque du théorème de PythagoreChaînondéductifCalculsAB2:::AC2:::BC2:::
E.8762 Un triangle ABC a été représenté ci-dessous à main levée, mais y sont indiquées ses vraies mesures : Compléter le chaînon déductif ci-dessous pour prouver que ce triangle est rectangle. On précisera le sommet de l’angle droit. 3. Réciproque du théorème de Pythagore E.1797 Ci-dessous sont représentées, à main levée, les deux triangles ABC et DEF dont les mesures des côtés sont indiquées sur la figure : Démontrer que ces triangles sont rectangles. On indiquera le sommet de l’angle droit. Rappel: les premiers carrés parfaits sont : 1 2 = 1 11 2 = 121 21 2 = 441 31 2 = 961 41 2 = 1681 2 2 = 4 12 2 = 144 22 2 = 484 32 2 = 1024 42 2 = 1764 3 2 = 9 13 2 = 169 23 2 = 529 33 2 = 1089 43 2 = 1849 4 2 = 16 14 2 = 196 24 2 = 576 34 2 = 1156 44 2 = 1936 5 2 = 25 15 2 = 225 25 2 = 625 35 2 = 1225 45 2 = 2025 6 2 = 36 16 2 = 256 26 2 = 676 36 2 = 1296 46 2 = 2116 7 2 = 49 17 2 = 289 27 2 = 729 37 2 = 1369 47 2 = 2209 8 2 = 64 18 2 = 324 28 2 = 784 38 2 = 1444 48 2 = 2304 9 2 = 81 19 2 = 361 29 2 = 841 39 2 = 1521 49 2 = 2401 10 2 = 100 20 2 = 400 30 2 = 900 40 2 = 1600 50 2 = 2500 E.1066 On considère les triangles ABC et DEF représentés à main levée ci-dessous et dont les mesures exactes ont été ajoutées : Montrer que ces triangles sont des triangles rectangles. On indiquera le sommet de l’angle droit. E.8783 On considère le triangle DEF représenté ci-dessous et ayant pour mesures : DE =8 ; 7 cm ; EF =6 ; 3 cm ; DF =6 cm Démontrer que le triangle DEF est un triangle rectangle dont on précisera le sommet de l’angle droit. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8762 sacados/8762 BAC0;9cm4cm4;1cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisChaînondéductifCalculsAB216;81AC20;81BC216 chapExoCorrec/1797 sacados/1797 ABC13cm12cm5cmDEF29m21m20m chapExoCorrec/1066 sacados/1066 BAC2km2;1km2;9kmFDE4;2mm5;6mm7mm chapExoCorrec/8783 sacados/8783 DEF8;7cm6cm6;3cm
E.8785 On considère le triangle DEF représenté ci-dessous et ayant pour mesures : DE = 7 ; 5 cm ; EF = 6 cm ; DF = 4 ; 5 cm Démontrer que le triangle DEF est un triangle rectangle dont on précisera le sommet de l’angle droit. 4. Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore E.1063 On considère les deux triangles ABC et DEF représentés ci-dessous à main levée et dont les mesures exactes des côtés ont été indiquées : Préciser si ces triangles ABC et DEF sont rectangles. E.1064 On considère les deux triangles ABC et DEF représentés à main levée ci-dessous et dont les mesures exactes des côtés y sont indiquées : Déterminer si ces triangles sont rectangles ou non. E.1065 Déterminer la nature de chacun des triangles ci-dessous : 5. Réciproque et théorème de Pythagore E.1071 La configuration ci-dessous est com-posée des deux triangles ABO et OEF où ce dernier est rect-angle en F et où : EO = 5 ; 8 cm ; OF = 4 ; 2 cm ; OA = 3 ; 9 cm OB = 8 ; 9 cm ; AB = 2 × EF https://chingmath.fr chapExoCorrec/8785 sacados/8785 DEF7;5cm4;5cm6cm chapExoCorrec/1063 sacados/1063 CAB8km10km6kmEDF3—m6—m3—m chapExoCorrec/1064 sacados/1064 ABC4.5m5m7.5mDEF15m17m8m chapExoCorrec/1065 sacados/1065 ABC147km197km254kmDEF23;1mm25;5mm10;8mm chapExoCorrec/1071 sacados/1071 FEO5;8cm4;2cmBA3;9cm8;9cm
Déterminer la nature du triangle ABO . E.1068 On considère les deux trian-gles ABC et BCD représentés ci-dessous : 1 Calculer la longueur du segment [ BC ] arrondie au dix-ième près. 2 Le triangle ABC est-il rectangle? E.351 On considère le triangle BCD et sa hauteur [ AC ] . 1 Déterminer la longueur du segment [ BC ] . 2 Le triangle BCD est-il rectangle en C ? Indication : on rappelle les carrés parfaits suivants : 10 2 = 100 ; 14 2 = 196 ; 18 2 = 324 ; 22 2 = 484 11 2 = 121 ; 15 2 = 225 ; 19 2 = 361 ; 23 2 = 529 12 2 = 144 ; 16 2 = 256 ; 20 2 = 400 ; 24 2 = 576 13 2 = 169 ; 17 2 = 289 ; 21 2 = 441 ; 25 2 = 625 E.1070 On considère un rectangle ABCD ayant 20 cm pour longueur et 15 cm de largeur. Le point M est un point du plan tel que : AM =7 cm ; MC =24 cm Une représentation de cette configuration est donnée ci-contre : 1 Justifier que le triangle ADC est rectangle en D . 2 Déterminer la mesure du segment [ AC ] . 3 Montrer que le triangle AMC est un triangle rectangle. E.5747 On considère la figure ci-dessous où les points A , B , C sont alignés et les triangles ABE et EBD sont respectivement rectangles en A et B . 1 Démontrer que le segment [ BD ] a pour longueur 4 cm . 2 Justifier que le triangle BCD est un triangle rectangle en C . E.5750 On considère la figure ci-dessous où les points A , B , C sont alignés et les triangles ABE et EBD sont respectivement rectangles en A et B . 1 Démontrer que le segment [ BD ] a pour longueur 4 cm . 2 Justifier que le triangle BCD n’est pas un triangle rect-angle. 6. Utilisation des mesures approchées. E.1795 On considère les deux triangles ABC et BCD représentés ci-dessous ; les longueurs de différents seg-ments ont été notés sur la figure. (Attention, le dessin n’est pas dessiné en vraie grandeur) https://chingmath.fr chapExoCorrec/1068 sacados/1068 5;26;1CBDA8;93;9 chapExoCorrec/351 sacados/351 ABCD9cm12cm16cm20cm chapExoCorrec/1070 sacados/1070 ABCDM chapExoCorrec/5747 sacados/5747 ABCDE1;8cm2;4cm5cm3;2cm2;4cm chapExoCorrec/5750 sacados/5750 ABCDE1;8cm2;4cm5cm3cm2;4cm chapExoCorrec/1795 sacados/1795 5;6mm4;2mmCBDA8;9mm3;9mm
1 Calculer la longueur du segment [ BC ] . 2 Le triangle ABC est-il rectangle? E.4533 La figure ci-dessous représente deux triangles ABC et ABD où le triangle ABD est rectangle en A . 1 Déterminer la mesure du segment [ AB ] au millimètre près. 2 Le triangle ABC est-il un triangle rectangle? Justifier votre réponse. E.1067 Soit ABC un triangle et I un point du segment [ AB ] tel que : CI = 5 ; 6 cm ; IB = 3 ; 3 cm ; BC = 6 ; 5 cm ; AC = 13 ; 5 cm 1 Montrer que le triangle CIB est rectangle en I . 2 Donner la longueur de [ AI ] , arrondie au millimètre près. E.1069 Dans la figure ci-dessous, le quadrilatère est un carré de 3 cm de côté et le point M est placé tel que : AM =3 ; 6 cm ; MC =2 ; 24 cm 1 Etablir que AC ≈ 4 ; 24 cm . 2 Le triangle AMC est-il rectangle? Justifier. E.5375 On considère le triangle ABC rect-angle isocèle en C représenté ci-contre où le segment [ AB ] a pour mesure 9 cm . Déterminer la longueur du segment [ AC ] , arrondi au millimètre près. 7. Utilisation des mesures approchées dans l’espace E.2935 Dans l’espace, on considère le tétraè-dre SABC . Les angles suivants sont des angles droits : SAB ; SBC ; SAC . On a les mesures suivantes : SA = 12 cm ; AB = 9 cm ; BC = 8 cm 1 Montrer que la longueur du segment [ AC ] vérifie: AC 2 = 145 cm . 2 Montrer que le triangle ABC est rectangle en B . E.2934 Dans l’espace, on considère le tétraè-dre SABC . Les angles suivants sont des angles droits : SAB ; SBC ; SAC On a les mesures suivantes : AB = 5 cm ; SB = 13 cm ; SC = 15 cm 1 Déterminer la longueur du segment [ BC ] , arrondie au millimètre près. 2 a Déterminer la longueur du segment [ SA ] . b En déduire la valeur de AC . 3 Le triangle ABC est-il rectangle? (utiliser la valeur ex-acte de la longueur BC ) . 8. Quadrilatère et réciproque du théorème de Pythagore https://chingmath.fr chapExoCorrec/4533 sacados/4533 4;2cm4cm3;1cm6;6cmABCD chapExoCorrec/1067 sacados/1067 ABCI chapExoCorrec/1069 sacados/1069 ABCDM chapExoCorrec/5375 sacados/5375 ABC chapExoCorrec/2935 sacados/2935 ABCS12cm9cm8cm chapExoCorrec/2934 sacados/2934 ABCS5cm13cm15cm
E.4441 On considère le parallélogramme ABCD représenté ci-dessous : Montrer que le parallélogramme ABCD est un rectangle. E.4442 On considère le quadrilatère ABCD représenté ci-dessous : 1 Justifier que ABCD est un parallélogramme. 2 ABCD est-il un rectangle? Justifier votre réponse. 3 ABCD est-il un losange? Justifier votre réponse. 9. Théorème/réciproque de Pythagore et aires E.4532 Dans la forêt tropicale, une famille d’autochtones construit une hutte dont un schéma est donné ci-dessous : 1 Justifier que le triangle ABC est un triangle rectangle. 2 a Déterminer l’aire de la façade ABC de cette hutte. b En déduire la mesure de la hauteur [ BH ] de la hutte. 3 Déterminer la mesure du segment [ HC ] . E.6056 Jean-Michel est propriétaire d’un champ, représenté par le triangle ABC ci-dessous. Il achète à son voisin le champ adjacent, représenté par le trian-gle ADC . On obtient ainsi un nouveau champ formé par le quadrilatère ABCD . Jean-Michel sait que le périmètre de son champ ABC est de 154 mètres et que BC =56 m . Son voisin l’informe que le périmètre du champ ADC est de 144 mètres et que AC = 65 m . De plus, il sait que : AD =16 m . 1 a Justifier que les longueurs AB et DC sont respec-tivement égales à 33 m et 63 m . b Calculer le périmètre du champ ABCD . 2 Démontrer que le triangle ADC est rectangle en D . On admet que le triangle ABC est rectangle en B . 3 Calculer l’aire du champ ABCD . 4 Jean-Michel veut clôturer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commerçant habituel et tombe sur l’annonce suivante : Grillage: 0 ; 85 e par mètre. Combien va-t-il payer pour clôturer son champ? 10. Théorème/réciproque de Pythagore dans l’espace https://chingmath.fr chapExoCorrec/4441 sacados/4441 ABCD8cm3;9cm8;9cm chapExoCorrec/4442 sacados/4442 ABCDO10;5cm8;5cm6cm chapExoCorrec/4532 sacados/4532 ABCH8;4;m11;2m14m chapExoCorrec/6056 sacados/6056 ABCD
E.8694 On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous et dont les mesures suiv-antes sont données : AB = 24 m ; BC = 7 m ; CG = 12 m Le point M appartient à la diagonale [ EG ] du rectangle EFGH et tel que : EM = 9 m 1 a Dans le triangle EMA rectangle en E , déterminer la mesure du segment [ AM ] . b Dans le triangle ABC rectangle en B , déterminer la mesure du segment [ AC ] . c Dans le triangle MGC rectangle en G , déterminer la mesure du segment [ MC ] . 2 En déduire que le triangle ACM est rectangle en M . E.8782 On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous et dont les mesures suiv-antes sont données : AB = 40 m ; BC = 30 m ; CG = 24 m Le point M appartient à la diagonale [ EG ] du rectangle EFGH et tel que : EM =18 m 1 Établir que : MA = 30 m 2 Établir que : MG = 3 En déduire que le triangle ACM est rectangle en M . E.8781 On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous et dont les mesures suiv-antes sont données : AB = 240 m ; BC = 238 m ; CG = 120 m Le point M appartient à la diagonale [ EG ] du rectangle EFGH et tel que : MG = 288 m Établir que le triangle ACM est rectangle en M . 11. Expressions littérales E.1331 On considère le triangle ABC ci-dessous où certaines des mesures du triangle sont exprimées en fonction d’une valeur indéterminée notée x : Sans justification, déterminer une valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle en C . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8694 sacados/8694 ABCDEFGHM24m7m12m9m chapExoCorrec/8782 sacados/8782 ABCDEFGHM40m30m24m18m chapExoCorrec/8781 sacados/8781 ABCDEFGHM240m238m120m288m chapExoCorrec/1331 sacados/1331 ABC5x4x12
E.1327 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous où les longueurs sont données en fonc-tion de l’indéterminé x : 1 Justifier que, pour x =5 , le triangle ABC est un triangle rectangle en C . 2 Le triangle ABC est-il rectangle lorsque x =4 . E.1329 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous où certaines de ses longueurs sont ex-primées en fonction d’une valeur indéterminée notée x : 1 Montrer que pour x =12 , le triangle ABC est un triangle rectangle en C . 2 Justifier que le triangle ABC est rectangle pour x =3 . 3 Le triangle ABC est-il rectangle pour x =8 ? E.1330 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous où certaines de ses longueurs sont ex-primées en fonction d’une valeur indéterminée notée x : 1 Montrer que pour x =8 , le triangle ABC est un triangle rectangle en C . 2 Justifier que le triangle ABC est rectangle pour x =6 . 3 Le triangle ABC est-il rectangle pour x =7 . 12. Partage E.8835 1 On considère un rectangle ABCD ayant pour mesure : AB = 24 mm ; AD = 16 mm On place les points M et n , appartenant respective-ment aux segments [ CD ] et [ AD ] , tels que représentés ci-dessous : a Montrer que : MN =15 mm b On admet les mesures suivantes : MB =20 mm ; BN = 25 mm Quelle est la nature du triangle MNB ? Justifier. 2 On considère un rectangle EFGH ayant pour mesure : EF = 16 mm ; EH = 6 mm On considère le point P tel que HP = 8 mm . Cette figure est représentée ci-dessous : Justifier que le triangle EFP n’est pas un triangle rect-angle. 13. Exercices non-classés E.6312 ABC est un triangle tel que : AB = 5 cm ; BC = 7 ; 6 cm ; AC = 9 ; 2 cm https://chingmath.fr chapExoCorrec/1327 sacados/1327 fichierPlus/1327/ ABC2x3x7x chapExoCorrec/1329 sacados/1329 ABCx15x chapExoCorrec/1330 sacados/1330 ABCx222−2xx chapExoCorrec/8835 sacados/8835 MN1mmABCD PEFGH1mm chapExoCorrec/6312 sacados/6312
1 Tracer ce triangle en vraie grandeur. 2 ABC est-il un triangle rectangle? 3 Avec un logiciel, on a construit ce triangle, puis : on a placé un point P mobile sur le côté [ AC ] ; on a tracé les triangles ABP et BPC ; on a affiché le périmètre de ces deux triangles. a On déplace le point P sur le segment [ AC ] . Où faut-il le placer pour que la distance BP soit la plus petite possible? b On place maintenant le point P à 5 cm de A . Lequel des triangles ABP et BPC a le plus grand périmètre? c On déplace à nouveau le point P sur le segment [ AC ] . Où faut-il le placer pour que les deux triangles ABP et BPC aient le même périmètre? E.8784 On considère la figure représentée ci-dessous où le quadrilatère GHIJ est un rectangle. On donne les mesures suivantes : GH =7 ; 5 cm ; HI =4 cm ; IK =3 ; 6 cm ; GK =7 ; 6 cm Le triangle GKI est-il un triangle rectangle? Justifier votre réponse. E.8786 On considère la figure représentée ci-dessous où le quadrilatère GHIJ est un rectangle. On donne les mesures suivantes : GH =5 ; 6 cm ; HI =3 ; 3 cm ; IK =4 cm ; GK =5 ; 2 cm Le triangle GKI est-il un triangle rectangle? Justifier votre réponse. E.8985 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous et dont on connait les mesures : AB = 13 ; 6 ;cm ; AC = 28 ; 9 cm ; BC = 25 ; 5 cm Montrer que la hauteur du triangle ABC issue du sommet C mesure 12 cm . https://chingmath.fr ABCPPérimètredeABP;29PérimètredeBPC;09 chapExoCorrec/8784 sacados/8784 GHIJK7;5cm4cm3;6cm7;6cm chapExoCorrec/8786 sacados/8786 GHIJK5;6cm3;3cm4cm5;2cm chapExoCorrec/8985 sacados/8985 28;9cm13;6cm25;5cmABC