a
Collège
6e
5e
4e
3e
Ressource
hp-collège
Lycée
2de
1re spé
1re stmg
tstmg
1re spécifique
Terminale Spécialité
Terminale Complémentaire
Terminale Experte
Ressource
hp-lycée
4
3
2
1
Cinquième
/ Préparation aux Olympiades
5 exercices corrigés
a
Logique
(2 exercices)
Division euclidienne
(1 exercice)
Arithmétique
(1 exercice)
Avec un peu d'algèbre
(1 exercice)
1.
L
o
gique
E.10821
Pierre
est
un
passionné
des
nom
bres.
Il
a
dans
sa
v
oiture
une
horloge
digitale
à
quatre
c
hiffres
qui
indique
l’heure
de
00:
00
à
23:
59
.
Au
momen
t
de
partir
p
our
long
déplacemen
t,
Pierre
observ
e
son
horloge
et
constate
que
les
deux
nom
bres
indiqués,
celui
des
min
utes
et
celui
des
heures,
son
t
des
carrés
de
nom-
bres
en
tiers
(qui
,
sur
une
horlo
ge
digitale,
s’é
crivent
sous
la
forme
:00,
01,
04,
09,
25,.
.
.
)
Au
retour
de
son
v
o
y
age,
Pierre
constate
que
son
horloge
af-
fic
he
de
nouv
eau
des
carrés
de
deux
nom
bres
en
tiers.
Son
ordinateur
de
b
ord
lui
indique
qu’il
a
parcouru
352
k
m
en
4
heures
et
20
min
utes.
Quand
Pierre
p
eut-il
être
ren
trée
de
son
v
o
y
age?
E.10823
La
p
ersistance
d’un
nom
bre
Dans
cet
exercice,
on
considère
des
nom
bres
en
tiers
sup
érieurs
ou
égaux
à
10
,
écrits
dans
le
système
décimal.
Lorsqu’on
m
ultiplie
les
c
hiffres
qui
comp
osen
t
l’écriture
d’un
en
tier,
on
obtien
t
un
nouv
eau
nom
bre.
On
recommence
ce
calcul
a
v
ec
ce
nouv
eau
nom
bre
et
ainsi
de
suite.
P
ar
exemple,
p
our
le
nom
bre
377
:
Le
pro
cessus
s’arrête
lorsqu’on
obtien
t
un
nom
bre
s’écriv
an
t
a
v
ec
un
seul
c
hiffre.
Il
a
fallu
4
étap
es
en
tout
:
on
dit
que
la
p
ersistance
de
377
est
4
.
1
Quelle
est
la
p
ersistance
de
c
hacun
des
nom
bres
?
a
77
b
28
534
c
6
785
791
2
La
p
ersistance
de
c
hacun
des
nom
bres
2
019
,
4
806
et
13
970
875
est
égale
à
1
.
Quel
résultat
général
ces
ré-
sultats
sem
blen
t-ils
illustrer?
Justifier.
3
Existe-t-il
un
c
hiffre
que
l’on
p
ourrait
insérer
dans
l’écriture
d’un
nom
bre
sans
c
hanger
sa
p
ersistance?
4
T
rouv
er
un
nom
bre
s’écriv
an
t
a
v
ec
20
c
hiffres
don
t
la
p
er-
sistance
soit
4
.
5
Quelles
son
t
les
p
ersistances
p
ossibles
d’un
nom
bre
don
t
l’écriture
comp
orte
un
c
hiffre
pair
et
5?
2.
Division
euclidienne
E.10822
La
frise
Une
frise
est
réalisée
en
recopian
t
v
ers
la
droite
le
motif
con-
stitué
par
les
douze
colonnes
représen
tées
ci-dessous
:
Chaque
colonne
de
la
frise
est
co
dée
par
trois
sym
b
oles,
000
si
les
trois
cases
(de
la
c
olonne)
son
t
blanc
hes,
001
si
les
deux
cases
sup
érieures
son
t
blanc
hes
et
la
troisième
noire.
.
.
et
enfin
111
si
les
trois
cases
son
t
noires.
1
Commen
t
est
co
dée
la
colonne
10
de
la
frise?
Même
ques-
tion
p
our
la
colonne
14
.
2
Dans
le
motif
ci-dessus,
donner
la
ou
les
colonne
(s)
co
dées
100
?
3
On
se
donne
un
en
tier
n
.
Commen
t
la
colonne
12
n
+5
est-elle
co
dée?
4
Commen
t
la
colonne
2
017
est-elle
co
dée?
3.
A
rithmétique
E.10824
Le
co
de
EAN-13
(Eur
op
e
an
A
rti-
cle
Numb
ering)
est
un
co
de-barres
utilisé
par
le
commerce
et
l’industrie
p
ermettan
t
d’iden
tifier
des
ob
jets
de
façon
unique
et
d’être
lu
par
un
scanner.
Ce
co
de-barres
est
comp
osé
de
13
c
hiffres
(entiers
c
ompris
entr
e
0
et
9
)
,
le
dernier
étan
t
une
clé
de
con
trôle
calculée
à
partir
des
12
c
hiffres
précéden
ts.
Un
co
de-barres
est
sym
b
olisé
par
le
tableau
suiv
an
t
:
.
.
.
où
on
a
p
orté
les
treize
c
hiffres
constituan
t
le
co
de
barre.
Le
c
hiffre
C
est
la
clé
de
v
érification.
P
our
le
déterminer,
on
calcule
:
S
=
a
1
+
a
3
+
a
5
+
a
7
+
a
9
+
a
11
+3
×
a
2
+
a
4
+
a
6
+
a
8
+
a
10
+
a
12
.
C
est
alors
le
c
hiffre
tel
que
S
+
C
soit
un
m
ultiple
de
10
.
1
Le
co
de
4971850187820
est-il
v
alide?
2
Déterminer
C
p
our
que
le
co
de
978204732850
C
soit
v
alide.
3
Un
c
hiffre
a
été
remplacé
par
x
dans
le
co
de
32525
x
7041767
.
Quelle
v
aleur
donner
à
x
p
our
que
ce
co
de
soit
v
alide?
4
Le
co
de
3742278085985
n’est
pas
v
alide.
Quelles
p
euv
en
t
être
les
v
aleurs
des
deux
premiers
c
hiffres
à
gauc
he
dans
d’autres
co
des
v
alides
comp
ortan
t
les
11
mêmes
c
hiffres
à
droite?
4.
A
ve
c
un
p
eu
d’algèbr
e
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/10821
sacados/10821
chapExoCorrec/10823
sacados/10823
377
3
×
7
×
7
147
1
×
4
×
7
28
2
×
8
16
1
×
6
6
chapExoCorrec/10822
sacados/10822
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
chapExoCorrec/10824
sacados/10824
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
C
E.10825
Un
programme
de
calcul
V
oici
un
programme
de
calcul
:
Soit
N
un
nom
bre
en
tier
naturel
écrit
dans
le
système
déci-
mal
:
Étap
e
n
o
1
:
Rep
érer
le
c
hiffre
X
des
unités
de
N
.
Étap
e
n
o
2
:
Calculer
N
−
X
.
Soit
M
le
nom
bre
obten
u.
Étap
e
n
o
3
:
Diviser
M
par
10
.
Soit
D
le
nom
bre
obten
u.
Étap
e
n
o
4
:
Calculer
D
+
2
X
.
Soit
R
le
nom
bre
obten
u.
Étap
e
n
o
5
:
Si
R
est
différen
t
de
N
,
alors
passer
à
l’étap
e
n
o
6.
Sinon,
arrêter
et
affic
her
R
.
Étap
e
n
o
6
:
Si
R
s’écrit
a
v
ec
un
seul
c
hiffre,
alors
ar-
rêter
et
affic
her
R
.
Sinon
,donner
à
N
la
v
aleur
R
et
reprendre
le
programme
de
calcul
à
l’étap
e
n
o
1.
1
Quel
résultat
affic
he-t-on
lorsqu’on
in
tro
duit
N
=
15
dans
le
programme
de
calcul?
2
Que
se
passe-t-il
lorsqu’on
in
tro
duit
N
=
2015
dans
le
pro-
gramme
de
calcul?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/10825
sacados/10825
Extrait Olympiade
ChingMath
by ChingLab
©
Collège
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Cinquième
Quatrième
Troisième
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