Sixième / Cercles et médiatrices 54 exercices corrigés

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Programme 2025 Vous trouverez des exercices autour des nombres décimaux: D’autres exercices sur les notations: https://chingmath.fr/cm/geometrie-plane Quelques exercices sur la cocyclicité des points: https://chingmath.fr/hp-college/geometrie-plane 1. Rappels: géométrie plane E.11827 Notation: ( AB ) la droite passant par les points A et B . [ AB ) la demi-droite d’origine A et passant par le point B [ AB ] le segment d’extrémités A et B On considère la figure ci-dessous : Pour chaque question, entourer l’objet géométrique présent dans la configuration ci-dessus : 1 [ AB ] ; ( AB ) ; [ AB ) ; [ BA ) 2 [ AC ] ; ( AC ) ; [ AC ) ; [ CA ) 3 [ BC ] ; ( BC ) ; [ BC ) ; [ CB ) E.11828 Relier chacune des phrases avec la no-tation adéquate : Le segment ayant pour extrémité les points A et B ( AB ) La demi-droite d’origine A et passant par le point B AB La distance séparant les points A et B [ AB ] La droite passant par les points A et B [ AB ) E.11829 On considère six points du plan représentés ci-dessous : Recopier et compléter les pointillés par le symbole correspon-dant parmi = ∈ et ∈ : a D : : : ( AE ) b A : : : [ EC ) c B : : : [ AE ] d C : : : [ FE ) e E : : : [ BD ] f B : : : [ AC ] E.11830 On considère la configuration suivante de plusieurs points du plan : Compléter les pointillés à l’aide des symboles ∈ , = ∈ : a G : : : : : : ( AH ) b C : : : : : : ( FB ) c D : : : : : : [ EA ) d B : : : : : : [ HA ) Indication : on vérifie l’exactitude des réponses à l’aide de la règle et de l’équerre. E.11831 On considère la figure ci-dessous : À l’aide du compas, déterminer tous les segments ayant la même longueur que les segments [ AB ] et [ CD ] . Indication : on les codera avec le symbole adéquat. https://chingmath.fr https://chingmath.fr/cm/geometrie-plane https://chingmath.fr/hp-college/bissectrice chapExoCorrec/11827 sacados/11827 ABC chapExoCorrec/11828 sacados/11828 chapExoCorrec/11829 sacados/11829 ABCDEF sacados/11830 ABCDEFGH sacados/11831 ABCDEFGHIJ
2. Rappels: cercle E.10784 On considère les 26 points ci-dessous : Citer l’ensemble des points ayant une distance de trois cen-timètres du point A . E.2321 On considère le cer-cle C de centre O représenté ci-contre. Recopier et compléter les énoncés suivant en utilisant les signes ∈ et ∈ pour indiquer l’appartenance ou non d’un point au cercle: 1 A : : : C 2 B : : : C 3 C : : : C 4 D : : : C 5 E : : : C 6 F : : : C 7 G : : : C 8 O : : : C E.11832 Dans le plan, on considère les dix-sept points ci-dessous : 1 a Tracer le cercle C de centre P et passant par le point K . b Ce cercle met en évidence cinq points équidistants au point P . Compléter les pointillés suivants : P : : : = P : : : = P : : : = P : : : = P : : : = : : : cm 2 Un cercle C de centre Q permet de définir cinq point équidistants du point Q . Tracer ce cercle et compléter les pointillées: Q : : : = Q : : : = Q : : : = Q : : : = Q : : : = : : : cm E.6527 Sur la figure ci-dessous sont représen-tés : six cercles C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 et C 6 ; six points A , B , C , D , E et F du plan. Associer chaque cercle à son centre. 3. Cercle et définition E.1550 On considère le cercle C dessiné ci-contre de centre O . Nommer chacun des segments représentés sur la figure, les nommer et donner leurs na-tures. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10784 sacados/10784 BCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZA chapExoCorrec/2321 sacados/2321 CABCDEFGHI chapExoCorrec/11832 sacados/11832 PQABCDEFGHIJKLMNO chapExoCorrec/6527 sacados/6527 EC1AC2FC3CC4BC5DC6 chapExoCorrec/1550 sacados/1550 OABCDEC
E.3780 On considère un cercle C de centre O et A , C deux points de ce cercle: 1 Placer sur le cercle le point B tel que [ AB ] soit un di-amètre. 2 À l’aide du compas et de la règle, tracer la perpendicu-laire à la droite ( AB ) passant par le point C . 3 a Tracer en bleu la corde reliant les points A et C . b Tracer en rouge l’arc de cercle reliant les points B et C . E.10855 Dans le plan, on considère les 6 points ci-dessous : 1 Tracer le cercle C 1 ayant pour centre A et pour rayon le segment [ AB ] . 2 Tracer le cercle C 2 ayant pour diamètre [ CD ] . 3 Quel est le cercle admettant le segment [ EF ] pour corde? E.10785 Expliquer en quelques mots, par une phrase : 1 La différence entre le rayon et le diamètre du cercle. 2 La différence entre le cercle et le disque. E.11833 Dans le plan, on considère le cer-cle C de centre O et cinq points de ce cercle: 1 Coder sur la figure l’ensemble des segments ayant la même longueur. 2 Cocher les cases correctes. E.11834 L’exercice n’existe pas. 4. Cercle: étude d’une figure complexe E.4079 On considère les deux cercles C et C de centres respectifs I et J et de même diamètre. Les points A , I , B , J et C sont alignés. 1 Justifier que le segment [ AB ] est un diamètre du cercle C . 2 Parmi, les phrases suivantes, lesquelles sont correctes? C est le cercle de centre I . C est un cercle de centre I . C est le cercle de centre J et de diamètre [ AB ] . C est le cercle de centre J et de diamètre AB . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3780 sacados/3780 OACC chapExoCorrec/10855 sacados/10855 ABCDEF chapExoCorrec/10785 sacados/10785 chapExoCorrec/11833 sacados/11833 ABCDEFC RayonDiamètreCordeADCFEABCFD sacados/11834 chapExoCorrec/4079 sacados/4079 ABCIJCC
E.2834 On considère la figure ci-dessous qui est composé du cercle C de centre B et de diamètre [ AC ] et du cercle C de centre A et de rayon [ AD ] . Le cercle C passe par le point B . 1 Citer tous les segments de longueurs égales dans cette figure en justifiant vos affirmations. 2 Comparer, en justifiant les longueurs suivantes : a AC et AB + BC b DA + AC et DC Indication : pour comparer ces longueurs, on pourra utiliser le compas pour reporter des longueurs sur la droite ci-dessous : E.10817 ˇ Le Ying et le Yang ı est un concept du Taoïsme qui représente deux forces opposées mais complémentaire. Cette figure est composée d’un cercle et de deux demi-cercles. Pour construire cette figure (à droite) , on utilise le cercle de centre O tel que les points A et B appartiennent à C et tel que les points O , A , B sont alignés. Décrire les cercles et demi-cercles composant cette figure. E.10816 La spirale de Fibonacci permet de construire une spirale par des quarts de cercle construit à partir de carrés réduits les uns des autres grâce au nombre d’or. Dans la figure ci-dessous, est représenté une partie de la spi-rale de Fibonacci avec quatre quarts de cercle. Décrire chacun de ces quarts de cercle. 5. Cercle et égalité de longueurs E.2785 On considère la figure ci-dessous : 1 Citer tous les segments de même longueur que [ EC ] . 2 On note a la longueur du segment [ FC ] . Citer tous les points de la figure appartenant au cercle de centre D et de rayon a . E.6542 On considère la figure ci-dessous où : Le point I est le milieu du segment [ AB ] ; Le cercle C 1 a pour centre le point B et passe par A ; Le cercle C 2 a pour centre I et passe par le point A . Le point M appartient au cercle C 1 et il est tel que le cercle C 3 de centre M passe par les points A et B . 1 Pour chacun des cercles C 1 , C 2 et C 3 , préciser la nature du segment [ AB ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2834 sacados/2834 ABCCCD chapExoCorrec/10817 sacados/10817 ABO chapExoCorrec/10816 sacados/10816 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/2785 sacados/2785 ABCDEF chapExoCorrec/6542 sacados/6542 ABC1IC2MC3
2 Placer le point C diamétralement opposé au point A dans le cercle C 1 . 3 Quelle particularité possède le triangle ABM ? Justifier votre réponse. E.10317 Effectuer le programme de tracer suivant : 1 Placer un point O sur cette droite ( d ) et tracer le cercle C de centre O et de diamètre 4 cm . 2 Le cercle C intercepte la droite ( d ) aux points A et B . 3 Tracer le cercle C de centre A . Il intercepte la droite ( d ) en un nouveau point nommé M . 4 Tracer le cercle C de centre B . Il intercepte la droite ( d ) en un nouveau point nommé N . E.6211 Dans le plan, on considère les quatre points A , B , C , D représentés ci-dessous : 1 Effectuer le programme de tracés suivant : Tracer le segment ayant pour extrémité les points A et C . Tracer la demi-droite d’origine A et passant par le point B . Tracer la droite passant par les points B et D . 2 Recopier le programme de tracés en utilisant les nota-tions mathématiques. 3 a Tracer le cercle C ayant pour diamètre le segment [ AC ] . Noter O son centre. b Tracer le cercle C de centre D et passant par le point B . c Quelles égalités de longueur observe-t-on sur cette fig-ure? E.10314 On considère la figure ci-dessous où : AB = BC = CD = DE = 2 cm C 1 , C 2 , C 3 sont des demi-cercles de diamètres respectifs [ AC ] , [ BD ] , [ CE ] . 1 a Justifier que BC = BM . b Justifier que CB = CM = CN = CD . c Justifier que DC = DN . 2 a Quelles sont les natures des triangles BCM et CDN ? b On nomme I le milieu du segment [ BC ] et J le milieu du segment [ CD ] . Quelle est la nature du quadrilatère MNJI ? c Justifier que le quadrilatère BCNM est un losange. 6. Cercle et quadrillage E.10815 Dans le plan ci-dessous, on consid-ère les huit points représentés ci-dessous : Sans utiliser, ni le compas, ni la règle graduée, répondre aux questions suivantes : 1 On considère le cercle C de centre A et passant par le point B . a Justifier que le point C appartient au cercle C . b Justifier que le point D n’appartient pas au cercle C . 2 On considère le cercle C de centre E et passant par le point B . Compléter les pointillés ci-dessous avec les symboles ∈ et ∈ . Justifier vos affirmations. B : : : C ; F : : : C ; G : : : C ; H : : : C Question subsidiaire: les points B , D , H appartiennent à un même cercle. Déterminer le centre de ce cercle. 7. Programme de contruction https://chingmath.fr chapExoCorrec/10317 sacados/10317 chapExoCorrec/6211 sacados/6211 ABCD chapExoCorrec/10314 sacados/10314 ABCDEMNC1C2C3 chapExoCorrec/10815 sacados/10815 ABCDEHGF
E.10313 1 Réaliser le programme de constructions ci-dessous : Tracer un segment [ AB ] tel que AB =5 cm Tracer le cercle C de centre A et passant par le point B . Tracer le cercle C de centre B et de diamètre 10 cm . Nommer M et N les deux points d’intersection des cer-cles C et C . Tracer la droite ( d ) passant par les points M et N . Nommer P le point d’intersection de la droite ( d ) et du segment [ AB ] . 2 a Que peut-on dire de la position relative des droites ( AB ) et ( d ) ? b Que peut-on dire de la position du point P sur le seg-ment [ AB ] ? 8. Rédiger un programme de construction E.10312 On considère la configuration ci-dessous : Écrire le programme de construction en commençant par : ˇ Tracer un triangle BED . ı 9. Introduction aux médiatrices E.2819 On considère les deux segments [ AB ] et [ CD ] représentés ci-dessous : 1 Comment s’appelle la droite ( d ) relativement au segment [ AB ] ? Justifier votre réponse. 2 a Placer deux points M et N sur la droite ( d ) de part et d’autre de la droite ( AB ) b Comparer à l’aide de votre compas les deux couples de longueurs suivants : AM et BM ; AN et BN . 3 a Parmi les 10 points représentés sur la seconde figure, trois de ces points vérifient la relation: CM = DM Mettre en évidence ces trois points. b Quelle particularité possèdent ces trois points? https://chingmath.fr chapExoCorrec/10313 sacados/10313 chapExoCorrec/10312 sacados/10312 DBEFCA(AC==(BE(EF==(BDC(d chapExoCorrec/2819 sacados/2819 AB(dCD
E.11835 Dans le plan, on considère le triangle ABC : 1 À l’aide du compas, vérifier que le triangle ABC est isocèle en C . Coder l’égalité de longueur mise en évi-dence. 2 a Placer le point I milieu du segment [ AB ] . Coder l’égalité de longueurs obtenues. b Tracer la droite ( d ) passant par le point I et perpen-diculaire à la droite ( AB ) . c Remarquer que le point C appartient à la droite ( d ) . 3 a Placer un point D tel que le triangle ABD soit isocèle en D . Indiquer l’égalité de longueurs créée. b Que remarque-t-on? 10. Définition de la médiatrice E.5609 Définition: soit A et B deux points distincts du plan. On appelle médiatrice du segment l’unique droite pas-sant par le milieu du segment [ AB ] et perpendiculaire à la droite ( AB ) . On considère le triangle ABC représenté ci-dessous et de trois droites ( d ) , ( d ) et (Δ) avec leurs propriétés indiquées sur la figure : Parmi ces trois droites, laquelle est la médiatrice d’un des côtés du triangle ABC ? Justifier votre réponse. E.2805 On considère le polygone ABCDE ci-dessous et les différentes droites l’interceptant représentées ci-dessous : Parmi les huit droites présentées sur la figure, lesquelles peuvent être la médiatrice d’un des cinq côtés du polygone ABCDE . 11. Médiatrice et équerre: tracer E.3670 Définition: soit A et B deux points distincts du plan. On appelle médiatrice du segment l’unique droite pas-sant par le milieu du segment [ AB ] et perpendiculaire à la droite ( AB ) . À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer la médi-atrice de chacun des segments ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11835 sacados/11835 ABC chapExoCorrec/5609 sacados/5609 ABC(d(d chapExoCorrec/2805 sacados/2805 ABCDE(d7(d8(d6(d4(d2(d1(d3(d5 chapExoCorrec/3670 sacados/3670 ABCDFE
12. Médiatrice et équerre: un peu plus loin E.3699 On considère les deux segments [ AB ] et [ CD ] ci-dessous. Indication : les tracés seront effectués à la règle graduée et à l’équerre; les traits de construction doivent être présents sur la feuille. 1 a Tracer la médiatrice du segment [ AB ] . b Tracer la médiatrice du segment [ CD ] . 2 Tracer un cercle C et un cercle C tels que : Les cercles C et C ont le même centre. Le cercle C passe par les point A et B . Le cercle C passe par les points C et D . Les cercles C et C , ayant le même centre, s’appellent des cercles concentriques . 13. Médiatrice et compas: tracer E.6442 À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer la médiatrice de chacun des segments ci-dessous : E.2804 Dans le cadre ci-dessous et à l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer les médiatrices des segments [ AB ] , [ CD ] , [ EF ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3699 sacados/3699 ABCD chapExoCorrec/6442 sacados/6442 https://chingamath.lan/gestion/edit/?e=5612&lang=fr ABCD chapExoCorrec/2804 sacados/2804 CDABEF
E.5612 On considère le repère cartésien ci-dessous : 1 Placer dans le repère les trois points ci-dessous : A ( − 3 ; 2) ; B (1 ; 4) ; C (4 ; − 1) 2 a À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer la médiatrice ( d ) du segment [ BC ] . b Par quel point particulier passe la droite ( d ) ? 3 a À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer la médiatrice (Δ) du segment [ AB ] . b Donner les coordonnées du point d’intersection de la droite (Δ) avec l’axe des ordonnées. E.2336 Effectuer le programme de tracé suivant à l’aide uniquement du compas et de la règle non-graduée : 1 Tracer la perpendiculaire à la droite ( d ) passant par le point A . On nommera M le point d’intersection de cette droite avec ( d ) . 2 Tracer la perpendiculaire à la droite (Δ) passant par le point A . On nommera N le point d’intersection de cette droite avec (Δ) . 3 Tracer le segment [ MN ] et sa médiatrice. E.6234 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous :: Effectuer le programme de tracé ci-dessous : 1 a À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer la médiatrice (Δ) du segment [ BC ] . b Nommer I le milieu du segment [ BC ] . 2 a À l’aide de la règle non-graduée et de l’équerre, tracer la parallèle ( d ) à la droite ( AB ) passant par le point C . b Nommer J le point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . 3 a À l’aide de l’équerre, tracer la droite ( d ) perpendic-ulaire à la droite ( AB ) et passant par le point J . b Nommer K le point d’intersection des droites ( AB ) et ( d ) . 14. Propriété caractérisante de la médiatrice E.1203 Tracer un cercle C de centre O et de rayon 6 cm . Placer deux points A et B sur ce cercle. 1 Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier votre réponse. 2 Justifier que le point O appartient à la médiatrice de [ AB ] ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5612 sacados/5612 -4-3-2-1012345-2-112345xxyy chapExoCorrec/2336 sacados/2336 A(d chapExoCorrec/6234 sacados/6234 ABC chapExoCorrec/1203 sacados/1203
E.1199 1 Exprimer toutes les propriétés codées sur la figure ci-contre 2 Quel est le centre du cercle cir-conscrit au triangle BCD ? Expliquer pourquoi. E.5646 On considère la configuration ci-dessous : Déterminer, en justifiant votre démarche, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC . E.5608 On considère un cercle C de centre O où le segment [ AB ] est un diamètre. Les points C et D sont deux points du cercle C tels que : AC = AD . 1 Justifier que le point O appartient à la médiatrice du segment [ CD ] . 2 Justifier que la droite ( AB ) est la médiatrice du segment [ CD ] . 15. Médiatrices et symétrie axiale E.6219 1 a Tracer la médiatrice ( d ) du segment [ AB ] . b Tracer la médiatrice ( d ) du segment [ BC ] . c Nommer O le point d’intersection des droites ( d ) et ( d ) . d Le point O est-il un point particulier de cette figure? Justifier votre affirmation. 2 a Tracer la droite (Δ) parallèle à la droite ( BC ) et passant pr le point O . b Nommer M et N les deux points d’intersection de la droite (Δ) avec le cercle C . c Le segment [ MN ] est-il un segment particulier de cette figure? Justifier votre affirmation. 3 a Tracer la droite ( D ) , médiatrice du segment [ ED ] . b Que représente la droite ( D ) pour le segment [ GF ] ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/1199 sacados/1199 ABCDI chapExoCorrec/5646 sacados/5646 ABCIJKL chapExoCorrec/5608 sacados/5608 ABCDOC chapExoCorrec/6219 sacados/6219 ABCCDEFG
E.5610 Dans la figure ci-dessous est représenté le trapèze ABCD 1 À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer la mé-diatrice ( d ) du segment [ AB ] . 2 Quels éléments doit-on vérifier sur la figure pour affirmer que la droite ( d ) est également la médiatrice du segment [ CD ] ? 3 Que représente la droite ( d ) pour le trapèze ABCD ? 16. Cercle circonscrit: introduction E.6492 On considère les trois points A , B et C représentés ci-dessous : 1 À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer les médiatrices des segments [ AB ] et [ BC ] . 2 a Nommer M le point d’intersection de ces deux mé-diatrices. b Tracer le cercle C de centre M et passant par le point A . Que remarque-t-on? 17. Cercle circonscrit: avec le compas E.10366 On considère le triangle ABC ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5610 sacados/5610 ABCD chapExoCorrec/6492 sacados/6492 ABC chapExoCorrec/10366 sacados/10366 ABC
1 À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer les trois médiatrices du segment ABC . 2 Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC . E.6236 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous où le point I est le milieu du segment [ AB ] . 1 À l’aide de l’équerre, tracer la perpendiculaire à la droite ( AB ) passant par le point I . 2 À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer la médiatrice du segment [ BC ] . 3 Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC . E.6503 On considère les trois points A , B et C représentés ci-dessous : 1 À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer les médiatrices des segments [ AB ] et [ BC ] . (On laissera présent les traits de constructions) . 2 a Nommer M le point d’intersection de ces deux mé-diatrices. b Tracer le cercle C de centre M et passant par le point A . Que remarque-t-on? E.2820 On considère le triangle ABC ci-dessous : 1 Tracer, à l’aide de la règle non-graduée et du compas, les médiatrices des trois côtés du triangle ABC ci-dessous : 2 Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC . E.10391 On considère le triangle ABC ci-dessous : 1 À l’aide de la règle non-graduée et du compas, tracer les trois médiatrices du segment ABC . 2 Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC . E.1219 1 Tracer un triangle ABC tel que : AB = 6 cm ; AC = 7 cm ; BC = 5 cm 2 Tracer à la règle et au compas les trois médiatrices du triangle ABC . 3 Nommer O l’intersection des médiatrices. Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC https://chingmath.fr chapExoCorrec/6236 sacados/6236 ABCI chapExoCorrec/6503 sacados/6503 ABC chapExoCorrec/2820 sacados/2820 ABC chapExoCorrec/10391 sacados/10391 ABC chapExoCorrec/1219 sacados/1219
E.3700 On considère les deux segments [ AB ] et [ CD ] ci-dessous. Les tracés doivent être effectués au com-pas et à la règle non-graduée ; ils doivent être présents sur la feuille. 1 a Tracer la médiatrice du segment [ AB ] . b Tracer la médiatrice du segment [ CD ] . 2 a Tracer un même cercle C passant par les points A , B , C et D . b Justifier la position du centre du cercle C . Les quatre points A , B , C et D appartiennent à un même cercle: on dit que ces points sont cocycliques . 18. Cercle circonscrit: avec l’équerre E.2315 On considère le triangle ABC ci-dessous : 1 Tracer les médiatrices des trois segments suivants : [ AB ] ; [ AC ] ; [ BC ] 2 Que remarque-t-on? On nomme I le point de concours des médiatrices. 3 Tracer le cercle de centre I ayant pour rayon la distance IA . 4 Que remarquez-vous? Proposition-définition: tout triangle (non aplati) ABC admet un unique cercle qui passe par ses trois sommets A , B et C . Ce cercle s’appelle le cercle circonscrit au triangle ABC et son centre est le point de concours des médiatrices des trois côtés du triangle ABC . E.2324 1 Tracer le triangle ABC dont les mesures des côtés sont : AB =5 cm ; AC =8 cm ; BC =7 cm 2 a À l’aide de la règle graduée, rechercher les milieux des segments [ AB ] et [ BC ] . b Tracer les médiatrices des côtés [ AB ] et [ BC ] . 3 Nommer O le point d’intersection des médiatrices, puis tracer le cercle de centre O et de rayon [ OA ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3700 sacados/3700 ABCD chapExoCorrec/2315 sacados/2315 ABC chapExoCorrec/2324 sacados/2324