Hors programme collège / Arithmétique 31 exercices (100% corrigés)

a
1. Premières notions du PGCD E.630 Un menuisier fabrique des planches de bois toutes identiques entre elles dont l’épaisseur est un nombre entier de centimètres. À la fin de son travail, il possède deux tas de planches : Le premier tas a une hauteur totale de 30 cm ; le second tas a une hauteur totale de 42 cm . 1 a Donner la liste des huit diviseurs de 30 et la liste des huit diviseurs de 42 . b Quelles sont les mesures possibles de l’épaisseur choisie par le menuisier? 2 Dans chaque cas, donner le nombre de planches dont dis-pose le menuisier. E.629 Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses. Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets identiques, contenant chacun des iris et des roses. Justifier toutes les réponses aux questions ci-dessous : 1 Justifier qu’il peut réaliser 14 bouquets. Quelle est la composition d’un bouquet? 2 Sous ces contraintes, justifier qu’il ne peut réaliser 15 bouquets. E.615 1 Donner les sept diviseurs de 64 et les huit 24 . 2 Donner la forme irréductible de la fraction 24 64 . 3 Marc possède 64 bonbons rouges et 24 bonbons bleus. Il souhaite créer des paquets de bonbons où : chaque paquet contient le même nombre de bonbons rouges et le même nombre de bonbons bleus ; tous les bonbons doivent être utilisés. On utilise les notations suivantes : k : nombre de paquets confectionnés x : nombre de bonbons rouges pour chaque paquet y : nombre de bonbons bleus pour chaque paquet a Trouver une relation entre les nombres k , x , y , 64 et 24 . b En déduire le nombre maximal de paquets que Marc peut confectionner et le nombre de bonbons bleus et rouges contenus dans chacun d’eux. 2. Algorithme d’Euclide: PGCD E.602 1 Pour calculer le PGCD des entiers 6452 et 3241 , compléter le tableau suivant à l’aide de l’algorithme d’Euclide : 2 Que peut-on dire des entiers 6452 et 3241 ? E.642 1 À l’aide de l’algorithme d’Euclide, compléter le tableau ci-dessous afin de déterminer le PGCD des entiers 645 et 596 : 2 Que peut-on dire des entiers 645 et 596 ? E.640 On considère la fraction E = 108 288 . 1 Pourquoi la fraction E n’est-elle pas irréductible? (Justifier en ne faisant aucun calcul) 2 Calculer le PGCD de 108 et 288 . 3 Écrire la fraction E sous forme irréductible. E.625 1 Les entiers 1018 et 324 sont-ils premiers entre eux? Jus-tifier votre réponse. 2 Calculer le plus grand commun diviseur de 1018 et 324 . 3 Simplifier la fraction 324 1018 pour la rendre irréductible. E.628 1 Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 496 et de 806. 2 Écrire 496 806 sous la forme d’une fraction irréductible. 3 Calculer: 496 806 − 3 26 (on donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible) E.626 Utiliser la méthode de votre choix pour rendre les fractions suivantes irréductibles : a 24 68 c 416 224 b 16 302 8398 https://chingmath.fr chapExoCorrec/630 sacados/630 faire en sorte qu il n y a qu une epaisseur de planche possible chapExoCorrec/629 sacados/629 chapExoCorrec/615 sacados/615 chapExoCorrec/602 sacados/602 DividendeDiviseurReste64523241..............................×6452...3241...×............×............×............ chapExoCorrec/642 sacados/642 DividendeDiviseurReste645596..............................×645...596...×............×............×............ chapExoCorrec/640 sacados/640 chapExoCorrec/625 sacados/625 chapExoCorrec/628 sacados/628 Groupe Est - Septembre 2002 - 3 points chapExoCorrec/626 sacados/626
E.610 Utiliser la méthode de votre choix pour rendre les fractions suivantes irréductibles. a 35 45 b 168 312 c 6546 2584 E.6297 Voici une feuille de calcul obtenue à l’aide d’un tableur. Dans cet exercice, on cherche à comprendre comment cette feuille a été remplie. 1 En observant les valeurs du tableau, proposer une formule à entrer dans la cellule C1 , puis à recopier vers le bas. 2 Dans cette question, on laissera sur la copie toutes les traces de recherche. Elles seront val-orisées. Le tableur fournit deux fonctions MAX et MIN . À partir de deux nombres, MAX renvoie la valeur la plus grande et MIN la plus petite. (exemple MAX(23;12)=23 ) . Quelle formule a été entrée dans la cellule A2 , puis re-copiée vers le bas? 2 Que représente le nombre figurant dans la cellule C5 , par rapport aux nombres 216 et 126 ? 3 La fraction 216 126 est-elle irréductible? Si ce n’est pas le cas, la rendre irréductible en détaillant les calculs. 3. Algorithme d’Euclide: Nombres premiers entre eux E.616 1 Calculer le PGCD des entiers 1183 et 455 en précisant la méthode utilisée. 2 Écrire sous la forme irréductible la fraction 1183 455 (On indiquera le détail des calculs) E.646 1 Est-ce que les entiers 2464 et 924 sont premiers entre eux? Justifier. 2 Calculer le PGCD de 2464 et de 924 . 3 Donner la somme 2464 924 + 5 6 sous la forme d’une fraction irréductible E.5181 Voici les réponses proposées par un élève à un exercice. Pour chacune de ces réponses, expliquer pourquoi elle est exacte ou inexacte. 1 x 2 − 81 = ( x − 9) 2 2 ( x − 3)( x + 5) = ( x + 1) 2 − 16 3 Les entiers 735 et 674 sont premiers entre eux. 4. Algorithme d’Euclide: PGCD et modélisation E.643 Un fleuriste possède 240 tulipes et 36 or-chidées. Il veut utiliser toutes les fleurs en sa possession pour confec-tionner le plus grand nombre de bouquets possibles, chacun des bouquets contenant le même nombre de tulipes et le même nombre d’orchidées. 1 On note : k : le nombre de bouquets confectionnés. x : le nombre de tulipes composant chaque bouquet. y : le nombre d’orchidées composant chaque bouquet. Écrire les entiers 240 et 36 à l’aide de k , x et y . 2 Que représente l’entier k pour les deux entiers 240 et 36 . Préciser. 3 Appliquer l’algorithme d’Euclide aux entiers suivants 240 et 36 : 4 Préciser le nombre de bouquets que le fleuriste pourra confectionner et le nombre d’orchidées et de tulipes en-trant dans la composition de chacun d’eux. https://chingmath.fr chapExoCorrec/610 sacados/610 chapExoCorrec/6297 sacados/6297 123456ABC21612690543618126903636181890365418180 chapExoCorrec/616 sacados/616 Groupe Nord - Juin 2003 - 2 points chapExoCorrec/646 sacados/646 chapExoCorrec/5181 sacados/5181 chapExoCorrec/643 sacados/643 DividendeDiviseurReste24036.....................×240...36...×............×............
E.603 Un commerçant possède 248 bonbons à la fraise et 32 bon-bons à la menthe. Il souhaite confectionner le maximum de paquets de bon-bons à la fraise et des paquets de bonbons à la menthe. Il souhaite utiliser tous les bonbons qu’il dispose et chaque paquet doit contenir le même nombre de bonbons. Pour résoudre cet exercice, compléter l’exercice suivant : Utilisons les notations suivantes : k : le nombre de bonbons dans chaque paquet x : le nombre de paquets à la fraise y : le nombre de paquets à la menthe On a les relations suivantes en fonctions de k , x et y : 248 = : : : : : : × : : : : : : ; 32 = : : : : : : × : : : : : : L’entier : : : : : : est donc un diviseur des entiers 248 et 32 : sachant qu’il souhaite confectionner le maximum de paquets, ce nombre est . . . . . . de 248 et 32 . D’après l’algorithme d’Euclide, on a: On en déduit : PGCD (248 ; 32) = : : : : : : On a les deux calculs suivants : 248 : : : : : : = : : : : : : ; 32 : : : : : : = : : : : : : Ainsi, le commerçant va donc confectionner : : : : : : paquets à la fraise et : : : : : : paquets à la menthe dont chacun contiendra : : : : : : bonbons. E.3550 1 Les entiers 198 et 144 sont-ils premiers entre eux? Justi-fier la réponse sans faire de calcul . 2 Calculer le PGCD de 198 et 144 en détaillant la méth-ode. 3 Écrire la fraction 144 198 sous forme irréductible. Expliquer la méthode. 4 Sur le marché, un producteur a 198 courgettes et 144 aubergines. Il réalise avec la totalité des légumes des barquettes toutes composées de manière identique. Il utilise un max-imum de barquettes. a Combien utilise-t-il de barquettes? b Combien chaque barquette contient-elle de courgettes et d’aubergines? E.3545 1 Déterminer le PGCD de 1 394 et 255 . 2 Un artisan dispose de 1 394 graines d’açaï et de 255 graines de palmier pêche. Il veut réaliser des colliers identiques, c’est-à-dire con-tenant chacun le même nombre de graines d’açaï et le même nombre de graines de palmier pêche. a Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines? b Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d’açaï et de graines de palmier pêche? E.2353 1 Calculer le PGCD de 110 et 88 . 2 a Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : ˇDécouper dans ces plaques des carrés tous iden-tiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte.ı Quelle sera la longueur du côté d’un carré? b Combien obtiendra-t-il de carrés par plaque? E.611 1 Déterminer le PGCD des entiers 108 et 135 . 2 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ; tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ; toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. a Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser? b Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet? E.614 1 a Calculer le PGCD de 494 et 43. b Que pouvez-vous dire de ces deux entiers? c La fraction 494 43 est-elle réductible? 2 a Calculer le PGCD de 396 et 252. Un bijoutier possède 396 rubis et 252 diamants. Il souhaite composer le maximum de bagues telles que chacune ait le même nombre de rubis et le même nombre de diamants. b Combien de bagues peut-il confectionner? https://chingmath.fr chapExoCorrec/603 sacados/603 DividendeDiviseurReste24832.....................×248...32...×............×............ chapExoCorrec/3550 sacados/3550 chapExoCorrec/3545 sacados/3545 chapExoCorrec/2353 sacados/2353 chapExoCorrec/611 sacados/611 Groupe Ouest - 2001 - ? points chapExoCorrec/614 sacados/614
E.3459 Un vendeur possède un stock de 276 cartes postales et de 230 porte-clés. Il veut confectionner des coffrets ˇ Souvenirs de Tahiti et ses Îles ı de sorte que : le nombre de cartes postales soit le même dans chaque coffret ; le nombre de porte-clés soit le même dans chaque coffret ; toutes les cartes postales et porte-clés soient utilisés. 1 Combien de coffrets, contenant chacun 10 porte-clés, pourra-t-il confectionner? Combien de cartes postales contiendra alors chacun des coffrets? 2 a Calculer le PGCD de 276 et 230 en détaillant la méthode utilisée. b Quel nombre maximal de coffrets le vendeur peut-il confectionner? Combien de porte-clés et de cartes postales contiendra alors chaque coffret? E.619 1 Montrer que le PGCD des entiers 372 et 775 est égal à 31 ; écrire les calculs. 2 Un chef d’orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de répétition de sorte que : Le nombre de choristes femmes est le même dans chaque groupe ; Le nombre de choristes hommes est le même dans chaque groupe ; chaque choriste appartient à un groupe. a Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire? b Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe? E.3455 1 Déterminer le PGCD des entiers 75 et 45 . 2 Deux fleuristes possèdent le même stock: 45 iris et 75 roses. Chacun d’eux a son idée sur l’utilisation de ces fleurs : Le fleuriste A souhaite faire des bouquets d’iris et des bouquets de roses comportant chacun le même nombre de fleurs. Il souhaite de plus que ces bouquets est le maximum de fleurs possibles. Le fleuriste B souhaite faire le maximum de bouquets tous identiques où chaque bouquet contient des iris et des roses. a Déterminer le nombre de bouquets d’iris et le nombre de bouquets de roses réalisés par le fleuriste A . b Déterminer le nombre de bouquets de fleurs (et leur composition) réalisés par le fleuriste B . E.609 Pour la fête du village, le pâtissier a préparé des sachets contenant des gâteaux. Dans certains, il a mis des pains au chocolat et dans les autres des croissants. Il a mis le même nombre de gâteaux dans chaque sachet. il y a en tout 910 pains au chocolat et 693 croissants. 1 Souhaitant mettre le plus de gâteaux possible dans chaque paquet, combien a-t-il mis de gâteaux dans chaque sachet? 2 Combien y a-t-il de sachets contenants des croissants? E.3379 1 Déterminer le PGCD de 120 et 144 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. 2 Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiaré et de 144 savonnettes au monoï. Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets ˇ Souvenirs de Polynésie ı de sorte que : le nombre de flacons de parfum au tiaré soit le même dans chaque coffret ; le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret ; tous les flacons et savonnettes soient utilisés. Trouver le nombre de coffrets à préparer et la composi-tion de chacun d’eux. Indication : l’évaluation de cette question tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie. 3 L’algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donnés. Il utilise la propriété suivante : ˇ a et b étant deux entiers positifs tels que a supérieur à b , PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a − b ) ı Sur un tableur, Heiarri a créé cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de 2 277 et 1 449 . A B C 1 a b a − b 2 2277 1449 828 3 1449 828 621 4 828 621 207 5 621 207 414 6 414 207 207 7 207 207 0 a En utilisant sa feuille de calcul, dire quel est le PGCD de 2 277 et 1 449 . b Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule C2 pour obtenir le résultat indiqué dans cette cellule par le tableur? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3459 sacados/3459 chapExoCorrec/619 sacados/619 Asie - Juin 2003 - 4 points chapExoCorrec/3455 sacados/3455 chapExoCorrec/609 sacados/609 Groupe Nord - Septembre 2002 - 2 points chapExoCorrec/3379 sacados/3379
E.644 Les deux questions posées dans cet exercice sont indépendantes. 6510 fourmis noires et 4650 fourmis rouges décident de s’allier pour combattre les termites. 1 Pour cela, la reine des fourmis souhaite constituer, en utilisant toutes les fourmis, des équipes qui seront toutes composées de la même façon : un nombre de fourmis rouges et un autre nombre de fourmis noires. Quel est le nombre maximal d’équipes que la reine peut ainsi former? 2 Si toutes les fourmis, rouges et noires, se placent en file indienne, elles forment une colonne de 42 ; 78 m de long. Sachant qu’une fourmi rouge mesure 2 mm de plus qu’une fourmi noire, déterminer la taille d’une fourmi rouge et celle d’une fourmi noire. E.608 Pour le 1 er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire? Quelle sera la composition de chaque bouquet? 5. PPCM E.279 Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines pièces. 1 Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4 ; 55 m et de largeur 3 ; 85 m . On veut carreler cette pièce avec des dalles carrées, sans effectuer aucune découpe ; de plus, les dimensions de ces pavés doivent être un nombre entier de centimètres. a Donner la plus grande taille de pavés carrés utilisables dans ces pièces. b Donner toutes les tailles possibles. 2 On dispose de dalles rectangulaires de 24 cm de longueur et de 15 cm de largeur. Quelle est la dimension de la plus petite pièce carrée qui puisse être pavé sans aucune découpe supplémentaire des dalles? E.1471 Pour son anniversaire, Paul a con-fectionné une pizza de 60 cm de longueur sur 24 cm de largeur. Il souhaite découper sa pizza de la manière suivante : Chaque part doit être carrée et de même dimension. Les dimensions d’une part doivent être exprimées à l’aide d’un nombre entier de centimètres. Aidons-le à choisir la dimension de chaque part. 1 Trouver les huit diviseurs de l’entier 24. 2 Trouver les douze diviseurs de l’entier 60. 3 Quels sont les diviseurs communs aux entiers 24 et 60? 4 Donner les dimensions possibles de chaque part de la pizza de Paul. 6. Us-math: GCF E.9637 Avec les notations américaines : le ˇ greatest common factor ı (GCF) de deux entiers est le plus grand diviseur commun. Par exemple,: les diviseurs de 18 sont : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 et 18 . les diviseurs de 24 sont : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 et 24 . Ainsi, le GCF de 18 et 24 est 6 . Pour chacune des questions, compléter les pointillés: https://chingmath.fr chapExoCorrec/644 sacados/644 chapExoCorrec/608 sacados/608 Groupe Nord - Juin 2002 - 3 points chapExoCorrec/279 sacados/279 chapExoCorrec/1471 sacados/1471 chapExoCorrec/9637 sacados/9637 951=÷÷951GCF=1 7215=÷÷7215GCF=2 5612=÷÷5612GCF=3 1580=÷÷1580GCF=4