Hors programme collège / Géométrie plane 37 exercices (100% corrigés)

a
ABC ABC A(d AB(d 1. Tracé de perpendiculaires au compas E.2340 On considère le triangle ABC ci-dessous : 1 Compléter la figure ci-dessus à l’aide du compas et de la droite non-graduée. Les traits de constructions doivent figurer sur la figure : a Tracer la droite perpendiculaire à ( AB ) passant par le point C . b Tracer la droite passant par B et formant un angle droit avec ( AC ) . c Tracer la droite passant par A et perpendiculaire à la droite passant par les points B et C . 2 Que remarquez-vous? E.2821 À l’aide du compas et de la règle graduée et pour chacun des côtés du triangle, tracer la per-pendiculaire à ce côté passant par le sommet opposé à ce côté : Les traits de constructions doivent être laissés sur la figure. 2. Tracés de parallèles au compas E.6556 À l’aide du compas et de la règle non-graduée, tracer la droite parallèle à la droite ( d ) et passant par le point A . E.6557 On considère la figure ci-dessous : 1 Tracer la droite (Δ ) parallèle à la droite (Δ) passant par le point A . 2 Tracer la droite ( d ) parallèle à la droite ( d ) passant par le point B . 3 a Nommer le point C intersection des droites ( d ) et (Δ ) . b Tracer le triangle ABC . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2340 sacados/2340 ABC chapExoCorrec/2821 sacados/2821 ABC chapExoCorrec/6556 sacados/6556 A(d chapExoCorrec/6557 sacados/6557 AB(d
(dA ABCI (d(d(d==(d (t(t (d1AB1C(D1D E.1458 À l’aide de votre compas, tracer la parallèle à la droite ( d ) passant par le point A . On laissera les traits de constructions visibles E.2101 Indication : l’ensemble des traits de constructions doivent être effectués exclusivement au compas et à la règle non graduée et doivent être conservés. Soit ABC un triangle et I le milieu de [ BC ] . Tracer dans la figure ci-dessous la droite ( d ) parallèle à ( AB ) passant par le point I . 3. Théorèmes: droites parallèles et droites perpendiculaires E.1546 1 a Décrire l’ensemble des informa-tions fournies avec la première fig-ure. b Que pouvez-vous dire de la po-sition relative des droites ( d ) et (Δ) ? Citer le théorème permettant une telle affirmation. 2 a Décrire l’ensemble des informa-tions fournies avec la seconde fig-ure. b Que pouvez-vous dire de la posi-tion relative des droites ( t ) et ( t ) ? Citer le théorème permettant une telle affirmation. E.2713 1 a Tracer la droite ( d 2 ) parallèle à la droite ( d 1 ) passant par le point A . b Tracer la droite ( d 3 ) parallèle à la droite ( d 1 ) passant par le point B . c Que pouvez-vous dire de la position relative des droites ( d 2 ) et ( d 3 ) ? Justifier votre réponse. 2 a Tracer la droite (Δ 2 ) perpendiculaire à la droite (Δ 1 ) passant par le point C . b Tracer la droite (Δ 3 ) perpendiculaire à la droite (Δ 1 ) passant par le point B . c Que pouvez-vous dire de la position des droites (Δ 2 ) et (Δ 3 ) ? Justifier votre réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1458 sacados/1458 (dA chapExoCorrec/2101 sacados/2101 ABCI chapExoCorrec/1546 sacados/1546 (d(d(d==(d (t(t chapExoCorrec/2713 sacados/2713 (d1AB1C(D1D
ABCDMN ABCDE ABC 3 a Tracer la droite ( D 2 ) parallèle à la droite ( D 1 ) pas-sant par le point C . b Tracer la droite ( D 3 ) perpendiculaire à la droite ( D 1 ) passant par le point D . c Que pouvez-vous dire de la position relative des droites ( D 2 ) et ( D 3 ) ? Justifier votre réponse. E.6566 On considère la configuration don-née ci-dessous où le quadrilatère ABCD est un rectangle: 1 Les tracés doivent être faits à la règle non-graduée et au compas : a Tracer la droite ( d ) parallèle à la droite ( CD ) passant par le point M . b Tracer la droite (Δ) perpendiculaire à la droite ( DC ) passant par le point N . (les traits de construction doivent être apparents) . 2 Pour chacune des questions ci-dessous, citer le théorème permettant de justifier la relation proposée : a (Δ) ⊥ ( AB ) b ( d ) == ( AB ) E.6235 On considère la configuration don-née ci-dessous : où le quadrilatère ABCD est un rectangle et le triangle BEC est isocèle de sommet principal C . 1 Citer le théorème permettant d’affirmer que les droites ( DA ) et ( CB ) sont parallèles entre elles. 2 Citer le théorème permettant d’affirmer que le point C appartient à la médiatrice du segment [ BE ] . 4. Effectuer un programme de contruction E.2240 On considère le triangle ABC donné ci-dessous : Compléter la figure avec le programme de tracé suivant : 1 Tracer la droite ( d ) passant par C et perpendiculaire à la droite ( AB ) . 2 Nommer M le point d’intersection de ( d ) et de ( AB ) . 3 Tracer ( d ) tel que ( d ) == ( AC ) et M ∈ ( d ) . 4 Nommer N le point d’intersection de la droite ( BC ) et ( d ) . 5 Tracer la droite (Δ) passant par le point B et parallèle à la droite ( AC ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6566 sacados/6566 ABCDMN chapExoCorrec/6235 sacados/6235 ABCDE chapExoCorrec/2240 sacados/2240 ABC
ABC ABC E.2714 On considère le triangle ABC ci-dessous : Effectuer les tracés suivant dans la figure ci-dessus : 1 Tracer la droite ( d ) passant par le point C et perpendic-ulaire à la droite ( AB ) . 2 Nommer T le point d’intersection de la droite ( d ) avec la droite ( AB ) . 3 Tracer la droite ( d ) passant par le point T et perpendic-ulaire à la droite ( AC ) . 4 Nommer M le point d’intersection de la droite ( d ) avec la droite ( AC ) . 5 Tracer la droite (Δ) parallèle à la droite ( AB ) passant par le point M . 6 Nommer S l’intersection de la droite (Δ) avec la droite ( BC ) . 7 Tracer la droite (Δ ) passant par les points S et T . E.2744 On considère le triangle ABC ci-dessous : Effectuer les tracés suivant dans la figure ci-dessus : 1 Tracer la droite ( d ) perpendiculaire à la droite ( BC ) et passant par le point A . 2 Nommer T le point d’intersection de la droite ( d ) et de la droite ( BC ) . 3 Tracer la droite ( d ) parallèle à la droite ( AB ) et passant par le point T . 4 Nommer M le point d’intersection des droites ( d ) et ( AC ) . 5 Tracer la droite (Δ) passant par le point M et parallèle à la droite ( BC ) . 6 Nommer S le point d’intersection de la droite ( AB ) et (Δ) . 7 Tracer la droite ( ST ) . E.1507 Effectuer le programme de tracé suivant : 1 Placer trois points A , B et C non-alignés. 2 Tracer les demi-droites [ CA ) et [ CB ) . 3 Tracer le segment [ AB ] . 4 Placer un point I appartenant au segment [ AC ] . 5 Tracer la droite ( d ) parallèle à ( AB ) passant par le point I . 6 Tracer la perpendiculaire à la droite ( BC ) passant par le point B . E.2218 Effectuer le programme de tracé suivant : 1 Placer trois points A , B , C non-alignés. 2 Tracer le triangle ABC . 3 Tracer la droite ( d ) perpendiculaire à la droite ( AB ) pas-sant par le point C . 4 Nommer I l’intersection des droites ( AB ) et ( d ) . 5 Tracer la droite (Δ) parallèle à la droite ( AC ) passant par le point I . E.1505 Effectuer la figure correspondant au programme de tracé suivant : 1 Placer trois points A , B , C non-alignés. 2 Tracer le triangle ABC et tracer la droite ( BC ) . 3 Tracer la droite ( d ) perpendiculaire à la droite ( BC ) pas-sant par le point A . 4 Nommer M l’intersection des droites ( d ) et ( AB ) . 5 Tracer la droite ( d ) parallèle à la droite ( BC ) passant par le point A . E.1668 1 Des erreurs de notations et d’expressions jalonnent le pro-gramme de tracé ci-dessous ; recopier ce programme en corrigeant les erreurs : a Tracer AB tel que [ AB ]=7 cm . b Tracer [ AX ) tel que A =85 o . c Tracer [ AY ) tel que B =35 o . d Appeler C là où se coupent AX et BY . e Placer M centre de ( AB ) . f Tracer d tel que d == à ( AC ) et passant par M . g Notons L le point d’intersection de ( d ) . 2 Effectuer le programme de tracé ci-dessus. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2714 sacados/2714 ABC chapExoCorrec/2744 sacados/2744 ABC chapExoCorrec/1507 sacados/1507 chapExoCorrec/2218 sacados/2218 chapExoCorrec/1505 sacados/1505 chapExoCorrec/1668 sacados/1668
ABC(dI ABC(dMTS(d(AB== 5. Ecrire un programme de contruction E.2209 On considère la figure ci-dessous : 1 Deux programmes de tracé sont proposés. Lequel des deux permet de tracer correctement la figure : a Placer trois points non-alignés et tracer le triangle ABC . Placer I sur le segment [ BC ] . Tracer ( AI ) perpendiculaire à la droite ( BC ) ; nommer ( d ) cette droite. b Placer trois points non-alignés et tracer le triangle ABC . Tracer la droite ( d ) passant par le point A et perpen-diculaire à la droite ( BC ) . Nommer I le point d’intersection des deux droites ( d ) et ( BC ) . 2 Ainsi que peut-on dire : C’est le point I qui permet de tracer la droite ( AI ) , ou c’est la droite ( d ) qui permet d’obtenir I ? E.2221 On considère le triangle ci-dessous où : Le point M est le point de concours des droites (Δ) , ( d ) et ( AC ) ; Le point T est le point de concours des droites ( d ) , ( d ) et ( AB ) ; Le point S est le point de concours des droites (Δ) , (Δ ) et ( BC ) ; Au fur et à mesure des questions, on complétera la figure se trouvant en fin d’exercice; le but de cet exercice est de retrou-ver le programme de tracés permettant de reconstruire cette figure. 1 Dans un premier temps, nous allons étudier les dif-férentes caractéristiques de ces quatre droites ; compléter le tableau ci-dessous : Cette droite passe par les points Perpendiculaire ou parallèle à la droite ( d ) ( d ) (Δ) (Δ ) Passons maintenant à l’identification de l’ordre de tracé de ces droites et à reproduction de cette figure : 2 a Expliquer que la droite ( d ) ne peut pas être tracée en premier dans la figure ci-dessous. b Expliquer que seule la droite ( d ) peut être tracée en premier. c Nommer le nouveau point qui apparait sur la figure. 3 En observant de nouveau le tableau de la question 1 , quel est la droite qu’on peut actuellement tracer sur la figure. 4 Tracer les deux dernières droites. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2209 sacados/2209 ABC(dI chapExoCorrec/2221 sacados/2221 ABC(dMTS(d(AB==
ABC ABCMN(d ABCMH(d(BC==(d (dABCM ABC(DPN(dMCACB E.2214 On considère la configuration suiv-ante : 1 Choisir parmi les trois programmes de tracé suivant celui permettant d’obtenir la figure suivante : a Tracer le triangle ABC . Placer un point N sur le segment [ AC ] et un point M appartenant au segment [ BC ] . Tracer la droite (Δ) passant par les points M et N perpendiculaire à la droite ( AC ) . Tracer la droite ( d ) passant par les points M et A per-pendiculaire à la droite ( BC ) . b Tracer le triangle ABC . Placer un point M appartenant au segment [ BC ] . Tracer la droite ( d ) passant par les points A et M qui est perpendiculaire à la droite ( BC ) . Tracer la droite (Δ) perpendiculaire à la droite ( AC ) passant par le point M . Nommer N le point d’intersection des droites (Δ) et ( d ) . c Tracer le triangle ABC . Tracer la droite ( d ) perpendiculaire à la droite ( BC ) et passant par le point A . Nommer M le point d’intersection des droites ( d ) et de ( BC ) . Tracer la droite (Δ) perpendiculaire à la droite ( AC ) passant par le point M . Nommer N le point d’intersection des droites (Δ) et ( AC ) . 2 Réaliser le programme de tracé choisi afin de vérifier qu’on obtient la même figure. E.1504 Donner le programme de tracé de la figure ci-dessous : E.10783 On considère la configuration ci-dessous : Écrire un programme de tracés permettant d’obtenir cette figure. Indication : on commencera ce programme de tracés par ˇ placer les 3 points A , B , C non-alignés ı. E.3781 1 Déterminer le programme de tracé de la figure ci-dessous en commençant par ˇ Tracer un triangle ABC isocèle rect-angle en C . Placer M le milieu du segment [ BC ] . ı 2 a Tracer le cercle C de centre P et ayant le segment [ AB ] pour diamètre. b Que remarque-t-on? https://chingmath.fr ABC chapExoCorrec/2214 sacados/2214 ABCMN(d chapExoCorrec/1504 sacados/1504 ABCMH(d(BC==(d chapExoCorrec/10783 sacados/10783 (dABCM chapExoCorrec/3781 sacados/3781 ABC(DPN(dMCACB
ABCML(d(d(BC== ABCILK(d(d==(AB(d ABCMNP(d(d(AB==(d (dABCMTS(d(d==(AC==(AB ABC3cm4cmXY GHI2;5cm3cmWV ABCXI E.1513 Donner le programme tracé perme-ttant d’obtenir la figure ci-dessous : E.1514 Donner le programme de tracé de la figure ci-dessous : E.2241 Écrire le programme de tracé per-mettant d’obtenir la figure ci-dessous : E.1506 Écrire le programme de tracé de la figure suivante : 6. Us-math E.9624 Avec les notations américaines : ci-dessous est donné le programme de construction du triangle ABC : Dans ABC , on a: AB ⊥ BC AB = 3 cm BC = 4 cm Les points X et Y sont placés tels que : AC ←→ XY 1 Construire le triangle DEF dont le programme de con-struction est donné ci-dessous : DEF vérifie les conditions suivantes : DF = 4 cm ; EF = 6 cm ; DE ⊥ EF Les points R et S sont placés tels que : ←→ RS DF 2 Avec les notations américaines, donner le programme de con-struction du triangle GHI représenté ci-contre. E.9625 À l’aide des notations améri-caines, donner le programme de tracer de la figure ci-contre. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1513 sacados/1513 ABCML(d(d(BC== chapExoCorrec/1514 sacados/1514 ABCILK(d(d==(AB(d chapExoCorrec/2241 sacados/2241 ABCMNP(d(d(AB==(d chapExoCorrec/1506 sacados/1506 (dABCMTS(d(d==(AC==(AB chapExoCorrec/9624 sacados/9624 ABC3cm4cmXY GHI2;5cm3cmWV chapExoCorrec/9625 sacados/9625 ABCXI
OSaut 1 Saut 2 OSaut 1 7. Autour de la tangente E.10818 Un skieur s’apprête à sauter sur une bosse pour atterrir de l’autre côté de la piste. On sup-pose qu’en plein vol, la trajectoire du skieur sera un arc de cercle. 1 On admet que le cercle qui représente le mieux la trajec-toire du skieur et lui permette d’avoir le meilleur ˇ récep-tion ı à l’atterrissage a pour centre O . Tracer cette trajectoire du skieur. Indication : dans des conditions idéales, la trajectoire du skieur sera une parabole. Cette courbe bien différente du cercle sera étudiée au lycée. Ci-contre, une trajectoire en parabole possible du skieur. Toujours en supposant que la trajectoire du skieur soit un arc de cercle, on souhaite connaitre sa trajectoire lors du ˇ saut 2 ı afin que sa réception soit ˇ idéale ı mais cette fois, il va falloir déterminer le centre du cercle de sa trajectoire. Pour cela, commençons à analyser la trajectoire du ˇ saut 1 ı. 2 Sur la figure du ˇ saut 1 ı, prolonger la di-rection rectiligne du skieur lors de sa prise d’appui et remarquer toutes les propriétés entre cette droite, le cercle et le point d’impulsion du skieur. 3 Reproduire toutes les propriétés de la question 2 afin de déterminer la position exacte du centre de ce cercle. Puis, tracer la trajectoire du skieur lors du ˇ saut 2 ı. E.10819 Sur la figure ci-dessous, des arcs de cercles ont été effacés : Retracer précisemment ces deux arcs de cercle de sorte que la direction de l’arc suive exactement celle du segment. Indication : on recherchera donc la position exacte des cen-tres de ces arcs de cercle. 8. Autour de la tangente (version 2) E.10856 Ci-contre, un Sangaku, un dessin japonais traditionnel. Reproduire ce dessin dans la figure ci-dessous où le triangle équilatéral et les centres des cer-cles ont été donnés. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10818 sacados/10818 OSaut 1 Saut 2 OSaut 1 chapExoCorrec/10819 sacados/10819 chapExoCorrec/10856 sacados/10856
ABCD ABCD Indication : la précision des points de contacts des dif-férents objets d’un Sangaku est primordial. 9. Médiatrice et équerre: points cocycliques E.2436 Dans le plan, on a les deux segments [ AB ] et [ CD ] dont les représentations sont données ci-dessous : 1 a À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer la médiatrice de chacun de ces deux segments. b Nommer O le point d’intersection des deux médiatri-ces. 2 a Tracer le cercle de centre O et de rayon [ OA ] . b Que remarquez-vous? E.6441 Dans le plan, on a les deux seg-ments [ AB ] et [ CD ] dont les représentations sont données ci-dessous : 1 a À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer la médiatrice de chacun de ces deux segments. b Nommer O le point d’intersection des deux médiatri-ces. 2 a Tracer le cercle de centre O et de rayon [ OA ] . b Que remarquez-vous? https://chingmath.fr chapExoCorrec/2436 sacados/2436 ABCD chapExoCorrec/6441 sacados/6441 ABCD
ABCDI DABC (dABCD E.3779 On considère le quadrilatère ABCD ci-dessous ; I est le milieu du segment [ AD ] : 1 À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer sans sortir du cadre : a la médiatrice du segment [ BC ] , notée ( d 1 ) ; b la médiatrice du segment [ CD ] , notée ( d 2 ) . 2 a Nommer O le point d’intersection des médiatrices ( d 1 ) et ( d 2 ) . b Tracer le cercle de centre O passant par le point A . Que remarque-t-on? 3 En admettant qu’il existe un cercle passant par les quatre somet du quadrilatère, justifier, sans la tracer, la position de la médiatrice du segment [ AD ] . E.5611 On considère le quadrilatère ABCD représenté dans le cadre ci-dessous. 1 À l’aide de la règle graduée et de l’équerre, tracer les médiatrices de chacun des quatre côtés de ABCD . 2 a Quelle particularité présentent ces quatre médiatri-ces? b Tracer le cercle ayant pour centre le point de concours des médiatrices de ces quatre côtés et passant par le point A . Que remarque-t-on? 10. Exercices non-classés E.1618 La figure ci-dessous représente une droite ( d ) et quatre points du plan : 1 Effectuer le programme de tracé suivant : a Tracer la droite ( d 1 ) perpendiculaire à la droite ( d ) passant par le point A . b Nommer H le point d’intersection de ( d 1 ) avec la droite ( d ) . c Placer le point A , distinct de A , sur la droite ( d 1 ) vérifiant l’égalité de distance : AH = HA 2 Effectuer le programme de tracé suivant : a Tracer la droite ( d 2 ) perpendiculaire à la droite ( d ) passant par le point B . b Nommer I le point d’intersection de ( d 2 ) et ( d ) . c Placer le point B , distinct de B , sur la droite ( d 2 ) tel qu’on ait l’égalité suivante de distance : BI = IB 3 Effectuer le même type de tracé pour les points C et D . 4 a Tracer le quadrilatère ABCD . Quelle est sa nature? b Tracer le quadrilatère A B C D . Quelle est sa nature? c Que peut-on dire de ces deux quadrilatères relative-ment à la droite ( d ) ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3779 sacados/3779 ABCDI chapExoCorrec/5611 sacados/5611 DABC chapExoCorrec/1618 sacados/1618 (dABCD