Hors programme collège / Polygones réguliers 15 exercices (dont 11 corrigés)

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1. Généralité E.5373 On considère l’hexagone régulier ABCDEF représenté ci-contre inscrit dans le cercle C de centre O . 1 a Donner la mesure de l’angle COD . b Quelle est la mesure de l’angle COE ? c En déduire la mesure de l’angle EAC . Justifier. 2 a Donner, sans justification, la mesure des angles ACE et CEA . b Quelle est la nature du triangle ACE ? E.3958 Dans la figure ci-dessous : ABCD est un carré de côté 9 cm ; les segments de même longueur sont codés. 1 Faire une figure en vraie grandeur. 2 a Calculer JK . b L’octogone IJKLMNOP est-il un octogone régulier? Justifier la réponse. c Calculer l’aire de l’octogone IJKLMNOP . 3 Les diagonales du carré ABCD se coupent en S . a Tracer sur la figure en vraie grandeur le cercle de centre S et de diamètre 9 cm . b Le disque de centre S et de diamètre 9 cm a-t-il une aire supérieure à l’aire de l’octogone? Justifier la réponse. 2. Propriété des polygones réguliers E.3957 On considère la figure ci-dessous représen-tant six polygones réguliers ayant pour centre le point O : 1 Nommer chacun de ces six polygones réguliers. 2 Sur chacun de ces polygones, est représenté un angle ayant pour centre le point O et reliant deux sommets consécutifs du polygone régulier. Dans chacun des cas, déterminer la mesure de l’angle ¸ . 3. Polygones réguliers et angles inscrits https://chingmath.fr chapExoCorrec/5373 sacados/5373 ABCDEFOC chapExoCorrec/3958 sacados/3958 DNMCLKBJIAPO sacados/3957 a¸oOb¸oOc¸oOd¸oOe¸oOf¸oO
E.5715 Ci-contre est représentée un hexagone régulier. Déterminer la mesure des angles codés sur la figure. 4. Polygones réguliers et trigonométrie E.4025 Considérons l’hexagone régulier ABCDEF de centre O représenté ci-dessous : Le rayon du cercle a pour mesure 4 cm . Le point H est la hauteur issue du sommet O dans le triangle OAB . 1 a Déterminer la mesure de l’angle AOB . Justifier votre démarche. b En déduire la mesure du segment [ AB ] . c Déterminer la mesure de l’angle AOH . Justifier votre démarche. 2 Déterminer le périmètre de l’hexagone ABCDEF . 3 On donnera les mesures ci-dessous au centième de cen-timètres carrés. a Déterminer l’aire du triangle OAB . b En déduire l’aire de cet hexagone. E.865 ABCDEFGHI est un polygone régulier à 9 côtés (appelé ennéagone) , O est son centre et son cercle circonscrit a pour rayon 5 cm . 1 Quelle condition doit vérifier un polygone inscrit dans un cercle pour être régulier? 2 a Quelle est la valeur de l’angle AOB ? b Notons M le milieu du segment [ AB ] . Calculer la longueur AM arrondie au millimètre près. c Donner la mesure du périmètre de l’ennéagone au mil-limètre près. 3 Expliquer pourquoi le triangle ADG est un triangle équilatéral. E.864 On considère l’octogone régulier ABCDDEFGH . On note O le centre du polygone et C son cercle circonscrit. Le rayon du cercle C est de 4 cm . 1 Dans l’octogone ABCDEFGH , donne la mesure d’un angle au centre reliant deux de ses sommets consécutifs. 2 Construire en vraie grandeur l’octogone régulier ABCDEFGH . 3 a On note I le milieu du segment. Déterminer la mesure du segment [ IA ] au millimètre près. b En déduire le périmètre de l’octogone ABCDEFGH au millimètre près. https://chingmath.fr sacados/5715 ABCDEFO¸˛‚‹ chapExoCorrec/4025 sacados/4025 ABCDEFOH chapExoCorrec/865 sacados/865 ABCDEFGHIO chapExoCorrec/864 sacados/864
E.5673 Le Pentagone est un bâtiment hébergeant le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA =238 m . Il est représenté par le schéma ci-contre. 1 Calculer la mesure de l’angle AOB . 2 La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [ AB ] au point M : a Justifier que ( OM ) est aussi la bissectrice de AOB et la médiatrice de [ AB ] . b Prouver que [ AM ] mesure environ 140 m . c En déduire la mesure du périmètre du Pentagone, ar-rondie au centimètre près. 5. Polygones réguliers, échelle et trigonométrie E.5369 Le schéma ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de centre O . Le segment [ OH ] est une hauteur du triangle OBH . 1 Justifier que le trian-gle OAB est un triangle équilatéral. 2 Calculer la longueur OH , exprimée en m . En donner l’arrondi au centimètre près. 3 Utiliser ce résultat pour calculer l’aire du triangle OBA , arrondi au dixième de m 2 près. 4 En déduire l’aire d’un hexagone régulier de 96 m de périmètre, arrondi au m 2 près. E.5371 On considère l’octogone régulier MNPQRSTU représenté en réduction ci-contre où le segment [ MN ] mesure 12 m en vraie grandeur. Le point K représente le pied de la hauteur issue de I . 1 Donner la mesure de l’angle MNI . 2 On souhaite représenter dans le cadre ci-dessous, le tri-angle IMN à l’échelle 1 = 4 000 a Donner la mesure du segment représentant le côté [ MN ] . b Effectuer la représentation du triangle IMN dans le cadre en y ajoutant la hauteur [ IK ] . 3 En déduire la longueur de la hauteur [ IK ] , arrondie au mètre près. https://chingmath.fr sacados/5673 OABCDEM chapExoCorrec/5369 sacados/5369 ABCDEFOH chapExoCorrec/5371 sacados/5371 CRSTUMNPQIK
E.5372 On considère le pentagone régulier MNPQR inscrit dans le cercle C de centre I représenté en réduction ci-contre où le segment [ MN ] mesure 12 m en vraie grandeur. Le point K représente le pied de la hauteur issue de I . 1 Déterminer la mesure de l’angle MNI . 2 On souhaite représenter dans le cadre ci-dessous, le tri-angle IMN à l’échelle 1 = 4 000 a Donner la mesure du segment représentant le côté [ MN ] . b Effectuer la représentation du triangle IMN dans le cadre en y ajoutant la hauteur [ IK ] . 3 En déduire la longueur de la hauteur [ IK ] , arrrondie au mètre près. 6. Problème du brevet E.5370 On rappelle que l’aire d’un triangle se calcule par la formule : base × hauteur 2 Rémy dispose de 96 m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle forme donner à son enclos pour que celui-i ait la plus grande surface possible. Toutes les parties sont indépendantes Partie 1 Sa première idée est de réaliser un rectangle avec les 96 m de grillage. Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que : la longueur est le double de la largeur; son périmètre est 96 m . Calculer l’aire de ce rectangle de 96 m de périmètre. Partie 2 Sa deuxième idée est de réaliser un carré. Calculer l’aire d’un carré de 96 m de périmètre Partie 3 Sa troisième idée est de réaliser un hexagone régulier. Le schéma à main levée ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 16 m . Le segment [ OH ] est une hauteur du triangle équilatéral OBH . 1 Calculer la longueur OH , exprimée en m et arrondie au centimètre près. 2 Utiliser ce résultat pour calculer l’aire du triangle OBA , arrondie au dixième de mètre-carré près. 3 En déduire l’arrondi à l’unité de l’aire d’un hexagone régulier de 96 m de périmètre. Partie 4 Sa quatrième idée est de réaliser un octogone régulier de 96 m de périmètre. La figure ci-contre représente le plan réalisé par Rémy. Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I . Le seg-ment [ IK ] est une hauteur du triangle isocèle IMN . 1 Vérifier que MN =12 m dans la réalité. 2 En prenant pour échelle 1 cm pour 4 m , représenter dans le cadre ci-dessous le triangle IMN , puis le point K . Laisser apparents tous les traits de construction. 3 Mesurer sur votre plan la longueur IK . Combien de mètres cela représente-t-il dans la réalité? 4 En déduire l’aire du triangle MIN , puis, à partir de cette https://chingmath.fr chapExoCorrec/5372 sacados/5372 CRMNPQIK chapExoCorrec/5370 sacados/5370 basehauteur ABCDEFOH RSTUMNPQIK
valeur, calculer l’aire d’un octogone régulier de 96 m de périmètre. Partie 5 Les recherches ont permis à Rémy de remarquer que l’aire d’un polygone régulier de 96 m de périmètre semble aug-menter quand on augmente le nombre de ses côtés. Il imag-ine qu’un enclos circulaire aurait peut-être une surface encore plus grande. 1 Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de périmètre 96 m ? On arrondira au centième de centimètre cette valeur. 2 En déduire l’aire d’un disque ayant pour périmètre 96 m , arrondi au mètre près. 7. Tracé de polygones E.3955 Tracer, à l’aide uniquement du compas et de la règle non-graduée, le triangle équilatéral ABC dont le sommet A et le centre O sont représentés ci-dessous : 8. Tracé de polygones E.3954 Tracer, à l’aide uniquement du compas et de la règle non-graduée, de l’hexagone régulier ABCDDEF dont le de centre O et de rayon [ OE ] sont représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3955 sacados/3955 AO chapExoCorrec/3954 sacados/3954 EO
9. Exercices non-classés E.6287 Les éoliennes sont construites de manière à avoir la même mesure d’angle entre chacune de leurs pales. 1 Une éolienne a trois pales. Quelle est la mesure de l’angle entre deux de ses pales? 2 Pour réduire le bruit provoqué par les éoliennes, il faut augmenter le nombre de pales. On a représenté ci-dessous le mât d’une éolienne à six pales par le segment [ AB ] . En prenant le point A pour centre des pales, compléter la construction avec des pales de 5 cm . 3 On estime qu’à 80 m du centre des pales d’une éolienne le niveau sonore est juste suffisant pour que l’on puisse entendre le bruit qu’elle produit. Un randonneur dont les oreilles sont à 1 ; 80 m du sol se dé-place vers une éolienne dont le mât mesure 35 m de haut. Il s’arrête dès qu’il entend le bruit qu’elle produit (voir le schéma ci-dessous) . À quelle distance du mât de l’éolienne (distance BC ) se trouve-t-il? Arrondir le résultat à l’unité. https://chingmath.fr sacados/6287 AB 35mA80moreilles1;80mMâtUne paleCentre des palesBCSolLa ∏gure n’est pas à l’échelle