Hors programme lycée / Algèbre 32 exercices corrigés

a
1. Domaine de résolution, de définition E.1343 Voici ci-contre le travail d’un élève cherchant à résoudre l’équation: (1+ x ) 2 =1+ x 1 a Vérifier que la valeur − 1 est une solution de cette équation. b Que peut-on dire de la résolution proposée par l’élève? 2 Le diagramme ci-dessous représente les différentes étapes effectuées par cet élève. Compléter les ˇ étiquettes ı en in-diquant l’action effectuée par l’élève : 3 a Pour quelles valeurs de x sont définies les deux ex-pressions : (1 + x ) 2 ; 1 + x b Pour quelles valeurs de x sont définies les deux expres-sions : (1 + x ) 2 1 + x ; 1 + x 1 + x c Expliquer d’où vient l’erreur faite par l’élève. E.4389 On souhaite résoudre l’équation: ( E ): ( x − 2) x x +1 = 2 x 2 +1 x +1 1 Quel est le domaine de résolution de cette équation? 2 Pour x = − 1 , établir l’égalité suivante : 2 x 2 + 1 x + 1 − ( x − 2) x x + 1 = x + 1 3 Que peut-on dire de l’ensemble des solutions de ( E ) ? E.4402 Le diagramme ci-dessous présente les étapes de la résolution algébrique d’une équation. Décrire succinctement chacune de ces étapes en indiquant dans les étiquettes l’ action mathématique réalisée (factorisa-tion, développement, soustraction. . . ) . E.4544 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − 2 x + 3 1 Justifier que l’ensemble de définition de la fonction f est R + . 2 Établir que la fonction f est strictement croissante sur R + . E.454 Résoudre l’équation suivante : 2 x − 2 x − 1 = 3 x +3 2 x +1 2. Développement E.6994 Donner la forme développée réduite des expressions suivantes : a 2 x + 1 x + 2 b x − 1 (2 x + 2 c − 2 − x 3 x + 1 d 2 x + 3 2 3. Factorisation E.4424 Factoriser les expressions suivantes : a (3 x − 1)(2 x + 1) + (5 − x )(2 x + 1) b x (2 − x ) + (3 x + 1)(2 − x ) c ( x + 1)( x − 1) − (2 x + 3)( x − 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/1343 sacados/1343 (1x21x(1x21x1x1x1x1x0 chapExoCorrec/4389 sacados/4389 chapExoCorrec/4402 sacados/4402 5(x2x3(x25x102x3x1527x103x177x3x17−107x3x77x−3x74x7x74 chapExoCorrec/4544 sacados/4544 chapExoCorrec/454 sacados/454 chapExoCorrec/6994 sacados/6994 chapExoCorrec/4424 sacados/4424
E.4403 Résoudre les équations suivantes : a (4 x + 3)(2 − 3 x ) + (2 − 6 x )(2 − 3 x ) = 0 b 2 · ( x − 2)(3 x + 2) = 3(2 x + 3)( x − 2) c ( x + 1)(3 x − 2) = ( x + 1) 2 E.9423 Factoriser les expressions suivantes : a (3 x + 4)(2 x − 1) + 4(3 x + 4) b (2 x + 4)(3 − 3 x ) + (2 x + 4) c ( x + 1)(3 − 2 x ) + (3 − 2 x ) 2 E.9426 On considère l’équation: ( F ) : 3 − 3 x 2 x + 2 + 3 x − 2 2 x + 3 = 0 1 Établir l’égalité suivante : 3 − 3 x 2 x + 2 + 3 x − 2 2 x + 3 = 5 − x (2 x + 2)(2 x + 3) 2 Résoudre l’équation ( F ) . 4. Factorisation par un facteur commun E.9420 Factoriser les expressions suivantes : a ( x + 2)( x − 3) + (3 x + 6)(2 x − 1) b (3 x + 6)( x − 4) − (2 x − 8)( x − 2) c (2 x + 7)(27 x + 18) − (5 − x )(3 x + 2) E.9422 Factoriser les expressions suivantes : a (3 x + 2)(5 − x ) + (6 x + 4) b (5 − 2 x )( x + 1) − 3 x (2 x − 5) c (5 − 2 x ) + (4 x − 10)(7 − 2 x ) E.9418 Factoriser les expressions suivantes : a (3 x + 2)(4 x + 2) − (5 x + 1)(2 x + 1) b (2 x − 1)(9 x + 3) + (3 x + 1) 2 E.4613 Rappels: L’opposé de l’expression 3 x − 4 peut s’exprimer avec les deux formes suivantes : − 3 x +4 ; 4 − 3 x L’opposé du produit a × b peut s’exprimer avec les deux formes : ( − a ) × b ; a × ( − b ) Attention, le produit ( − a ) × ( − b ) est égal au produit a × b . Applications: Dans l’expression (3 x − 4)(5 x +1)+(4 − 3 x )(2 − 2 x ) , le facteur commun est 3 x − 4 . On a les transformations successives : (2 − x )( x − 4) = − ( x − 2) ( x − 4) = ( x − 2)(4 − x ) Factoriser les expressions suivantes : a (3 x − 4)(5 x + 1) + (4 − 3 x )(2 − 2 x ) b ( x − 2)(2 x + 3) + (2 − x )( x − 4) E.6995 Rappel: lorsque les coefficients d’un polynôme sont des multiples d’un même nombre, une factorisation est possible. Exemple: 2 x + 2 = 2 · x + 1 6 x − 3 = 3 · 2 x − 1 Factoriser les expressions suivantes : a x + 1 2 x − 1 + 2 x + 2 3 x + 2 b 6 x − 3 x + 1 + 2 x − 1 x + 2 c 9 x − 3 (3 x + 1) − x − 2 3 x − 1 d 2 x + 2 2 + x + 1 E.7219 Factoriser les expressions suivantes : a x + 3 2 x − 1 − 3 x + 1 x + 3 b 6 − 3 x x + 2 − 2 − x 2 5. Factorisation par un facteur commun et équation E.9414 Résoudre les équations suivantes : a (4 x + 2)(3 x − 1) + x (6 x + 3) = 0 b (3 x + 9) 2 = 2(2 x + 6)(3 x − 2) E.2858 Résoudre les équations suivantes : a (3 x + 1)(1 − 3 x ) + (6 x + 2)(3 x − 1) = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4403 sacados/4403 chapExoCorrec/9423 sacados/9423 chapExoCorrec/9426 sacados/9426 chapExoCorrec/9420 sacados/9420 chapExoCorrec/9422 sacados/9422 chapExoCorrec/9418 sacados/9418 chapExoCorrec/4613 sacados/4613 chapExoCorrec/6995 sacados/6995 chapExoCorrec/7219 sacados/7219 chapExoCorrec/9414 sacados/9414 chapExoCorrec/2858 sacados/2858
E.2113 Résoudre les équations suivantes avec la méthode de votre choix: a (2 x − 3)(4 x − 2) + (3 − 6 x )( x − 3) = 0 b (2 − 6 x )(3 x + 3) = ( − 9 x + 3)(2 x + 1) E.9416 Résoudre les équations suivantes : a (5 x + 2)(4 x − 3) = (2 x − 1)(3 − 4 x ) b (2 − 3 x )(2 x − 4) + (10 − 5 x )(3 x − 1) = 0 E.9419 Résoudre l’équation suivante : (5 x + 1)(3 x − 1) − 2( x + 1)(1 − 3 x ) = 0 E.4566 Résoudre les équations suivantes : a ( x + 2)(3 − x ) + 2( x − 3)(2 x − 5) = 0 b (6 − 2 x )(3 x + 2) = (3 x − 9)( x + 2) c (9 − 3 x )(5 + 2 x ) + ( x − 3)(5 + x ) = 0 E.4425 Factoriser les expressions suivantes : a ( x − 1)(2 x + 1) − (2 x − 2)(5 − 2 x ) b 3(4 + 2 x ) − (3 + x )(10 + 5 x ) c (2 − x )(3 x − 4) + 2 − 3 2 x (2 x + 3) 6. Factorisation: identité remarquable E.9421 Factoriser les expressions suivantes : a (2 x + 1) 2 − 4(2 − 3 x ) 2 b 18 x 2 − 24 x + 8 + (3 x − 2)(2 − x ) E.4528 Factoriser les expressions suivantes : a − 5(3 x + 2) − 5 x (2 x + 1) 7. Factorisation par facteur commun et identité remarquable E.4551 Factoriser les expressions suivantes : a (3 x + 2)(5 x − 1) − (2 − 10 x )(2 − 4 x ) b ( x + 3)(3 x + 6) + (4 x + 8) 2 c (2 x + 3)(5 x − 4) − (2 x − 2)(6 − x ) d ( x − 3)( − 3 x − 3) − (2 x + 2)(3 − 3 x ) E.9425 Résoudre les équations suivantes : a (1 − 5 x )(2 x + 1) = (1 − 3 x )(3 x + 2) b (6 x + 1)(3 x + 1) + (2 x + 1)(2 − 9 x ) = 0 c ( − 5 x − 4)(2 x + 1) = ( − 4 x − 3)(3 x + 2) E.4547 Résoudre les équations suivantes : a (4 x + 2)(3 x − 1) + x (6 x + 3) = 0 b ( x + 3) 2 = 2(2 x + 6)(3 x − 2) c ( − 5 x − 4)(2 x + 1) = ( − 4 x − 3)(3 x + 2) d (1 − 5 x )(2 x + 1) = (1 − 3 x )(3 x + 2) 8. Equations E.1940 On considère deux nombres réels x et y vérifiant les encadrements suivants : − 4 x − 1 ; 2 y 5 1 Donner les encadrements des nombres suivants : a 3 × (1 − x ) + 1 b 1 − 3 − x 4 2 Donner les encadrements des nombres suivants : a x 2 b x × y c 2 x − 3 y 9. Racines carrées https://chingmath.fr chapExoCorrec/2113 sacados/2113 chapExoCorrec/9416 sacados/9416 chapExoCorrec/9419 sacados/9419 chapExoCorrec/4566 sacados/4566 chapExoCorrec/4425 sacados/4425 chapExoCorrec/9421 sacados/9421 chapExoCorrec/4528 sacados/4528 chapExoCorrec/4551 sacados/4551 chapExoCorrec/9425 sacados/9425 chapExoCorrec/4547 sacados/4547 chapExoCorrec/1940 sacados/1940
E.296 1 Soit a et b deux nombres tels que a 0 et b 0 . Comparer les nombres : a + b ; a + b 2 Quelles conditions sur a et b doit-on avoir pour que l’inégalité soit stricte? 10. Division euclidienne E.2299 Exemple: voici deux divisions euclidiennes de polynômes : 2 x 3 +2 x 2 − 16 x − 12 2 x 3 +6 x 2 − 4 x 2 − 16 x − 4 x 2 − 12 x − 4 x − 12 − 4 x − 12 0 x + 3 2 x 2 − 4 x − 4 3 x 3 − 5 x 2 + x − 7 3 x 3 − 6 x 2 x 2 + x x 2 − 2 x 3 x − 7 3 x − 6 − 1 x − 2 3 x 2 + x + 3 Elles permettent d’obtenir les écritures multiplicatives suiv-antes : 2 x 3 + 2 x 2 − 16 x − 12 = ( x + 3)(2 x 2 − 4 x − 4) Cette égalité permet d’obtenir les trois racines de ce polynôme du second degré. 3 x 3 − 5 x 2 + x − 7 = ( x − 2)(3 x 2 + x + 3) − 1 Cette égalité permet d’obtenir l’identité suivante ap-pelée ˇ décomposition en élément simple d’une fraction rationnelle ı : 3 x 3 − 5 x 2 + x − 7 x − 2 = 3 x 2 + x + 3 − 1 x − 2 À l’aide de la division euclidienne de polynômes, répondre aux questions suivantes : 1 En remarquant que − 3 est une racine de x 3 + 3 x 2 − 2 x + 3 , déterminer que ce polynôme n’admet aucune autre racine. 2 Montrer que : 2 x 3 − 5 x 2 + x − 4 2 x + 1 = x 2 − 3 x + 2 − − 6 2 x + 1 11. Exercices non-classés E.7332 On considère les deux fonctions f et g définies sur R + par les relations : f ( x ) = 2 · x − 1 · x ; g ( x ) = 3 · x 2 − 9 · x + 6 À l’aide de la calculatrice, conjecturer la position relative sur R + des courbes C f et C g représentatives respectivement des fonctions f et g . On utilisera les résultats de la calculatrice arrondie au cen-tième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/296 sacados/296 chapExoCorrec/2299 sacados/2299 chapExoCorrec/7332 sacados/7332