Hors programme lycée / Algebre : expression du second degré avec discriminant 66 exercices corrigés

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1. Second degré: équation E.4411 Proposition: les racines d’un polynôme sont les valeurs annulant ce polynôme. Pour un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré, le nombre de racines existantes dépend du discriminant : Déterminer les racines des polynômes du second degré : a x 2 + 2 x − 35 = 0 b 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 c 5 x 2 − 3 x + 2 = 0 d 9 x 2 − 24 x + 16 = 0 e − 2 x 2 + 3 x − 5 = 0 f − 3 x 2 − x + 4 = 0 E.4415 Résoudre les équations suivantes : a 3 x 2 + 4 x + 1 = 0 b 3 x 2 − 4 x + 2 = 0 c − x 2 + 2 x + 3 = 0 d 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 E.4412 Résoudre les équations suivantes : a 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 b x 2 − 3 x + 1 = 0 E.4479 Rappels : Pour une fonction du second degré f : x ↦→ a · x 2 + b · x + c , les antécédents de 0 sont les racines du polynôme. Les abscisses des points d’intersection des courbes de f et g vérifient l’équation f ( x )= g ( x ) . Car : On considère les deux fonctions f et g dont les images d’un nombre x sont définies par les relations : f ( x ) = − x 2 + 3 x − 2 ; g ( x ) = 3 x 2 − x − 1 Dans le repère O ; I ; J , on donne les représentations graphiques C f et C g respectivement des fonctions f et g : 1 Graphiquement, donner les antécédents du nombre 0 par la fonction f . Les questions suivantes se traiteront algébriquement : 2 Déterminer les antécédents du nombre 0 par la fonction g . On donnera les valeurs arrondies au centième près. 3 a Résoudre l’équation: f ( x )= g ( x ) b Déterminer les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . E.4482 Résoudre les équations suivantes : a − 5 x 2 − 4 x + 1 = 0 b − 6 x 2 + 8 x + 8 = 0 c (3 x − 2)(2 x − 2) = x (2 x + 2) − 5 E.7486 On considère les deux fonctions f et g définies sur − 1 ; + ∞ définies par les relations : f ( x ) = − 2 x + 1 ; g ( x ) = 2 · x − 3 Dans un repère O ; I ; J , on note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g . 1 Établir l’identité: g ( x ) − f ( x )= 2 · x 2 − x − 1 x +1 2 En déduire les abscisses des points d’intersection des courbes C f et C g . E.8107 Résoudre l’équation: − 6 · x 2 − 8 · x − 2=0 2. Second degré: équation et simplification de radicaux E.9440 Résoudre les équations suivantes : a − 3 x 2 + 3 x + 3 = 0 fb − x 2 + 4 x + 3 = 0 E.9441 Résoudre les équations suivantes : a x 2 − 4 x − 3 = 0 b 2 x 2 − 4 x − 8 = 0 3. Second degré: forme factorisée https://chingmath.fr chapExoCorrec/4411 sacados/4411 <0Aucune solution01solution−b2·a>02solutions−b−2·a;−b2·a chapExoCorrec/4415 sacados/4415 chapExoCorrec/4412 sacados/4412 chapExoCorrec/4479 sacados/4479 f(xg(xPour cette valeur (abscisse),les deux fonctions aurontla même image (ordonnée) -123I-2-12JOCfCg chapExoCorrec/4482 sacados/4482 chapExoCorrec/7486 sacados/7486 chapExoCorrec/8107 sacados/8107 chapExoCorrec/9440 sacados/9440 chapExoCorrec/9441 sacados/9441
E.4466 Factoriser, si possible, les expressions suivantes : a 2 x 2 + 3 x + 1 b 4 x 2 + 9 x + 2 c − 3 x 2 + 2 x − 1 Indication : présenter les résultats sous la forme : a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 avec a;b;c;d ∈ Z E.4413 Proposition: la factorisation d’un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré dépend de la valeur de son discriminant : Factoriser, si possible, les expressions suivantes : a x 2 + 4 x + 3 b 5 x 2 − 4 x − 1 c 3 x 2 + 4 x + 1 d 4 x 2 + 3 x + 4 e 12 x 2 + 36 x + 27 f 3 x 2 + 3 x + 4 E.4416 Factoriser, si possible, les polynômes du second degré ci-dessous : a 3 x 2 + 4 x + 1 b − 4 x 2 + 5 x c − 4 x 2 + 12 x − 9 Indication : présenter les résultats sous la forme : a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 avec a;b;c;d ∈ Z 4. Second degré: inéquation E.4417 Proposition: le tableau de signes d’un polynôme du sec-ond degré dépend du signe du coefficient du terme du sec-ond degré et du signe du discriminant. Les six possibilités sont représentées ci-dessous : Dresser le tableau de signes de chacune des expressions suiv-antes : a 2 x 2 + x − 1 b − 3 x 2 + 2 x + 1 c 2 x 2 − 1 d 4 x 2 − 3 x − 1 e − x 2 − x − 1 f − x 2 − 4 x − 1 Remarque: à la question f , on utilisera les racines du polynôme, arrondie au centième près. E.4467 Résoudre les inéquations suivantes : a x 2 + 5 x + 4 > 0 b − 3 x 2 + 4 x + 4 < 0 c 4 x 2 + 4 x + 1 > 0 d − 2 x 2 + 5 x + 3 > 0 e 4 x 2 − 3 x + 2 0 f 12 x 2 + 12 x + 3 0 E.4611 Dresser le tableau de signes des expres-sions suivantes sur R : a 2 x 2 − 3 x − 2 b (2 x + 1)(3 x 2 − 2 x − 1) E.4483 Résoudre les inéquations suivantes : a 2 x 2 + 3 x − 5 > 0 b − x 2 + 5 x − 4 0 c ( − 4 x 2 + x + 5)(3 − 2 x ) 0 5. Second degré: tableau de variations et tableau de signe E.4498 On considère les fonctions f et g définies sur R définies par les relations : f ( x ) = x 2 + x + 1 ; g ( x ) = − 2 · x 2 − 3 · x + 5 1 Établir le tableau de variations de chacune de ces fonc-tions. 2 Établir le tableau de signes de chacune de ces fonctions. E.4500 1 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre réel x est définie par : f ( x ) = 2 · x 2 + 3 · x + 2 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b Justifier que la fonction f n’admet aucun antécédent du nombre 0 . 2 Soit g la fonction définie par la relation: g ( x ) = − x 2 + 2 · x + 3 a Déterminer l’ensemble des antécédents du nombre 0 par la fonction g . b Dresser le tableau de variations de la fonction g (on y apportera les résultats de la question précédente) . c En déduire le tableau de signes de la fonction g . 6. Second degré: position relative de courbes https://chingmath.fr chapExoCorrec/4466 sacados/4466 chapExoCorrec/4413 sacados/4413 <0Aucunefactorisation0a·xb2·a2>0a·x−¸x−˛où¸et˛sontles deux racines du polynômes chapExoCorrec/4416 sacados/4416 chapExoCorrec/4417 sacados/4417 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−− chapExoCorrec/4467 sacados/4467 chapExoCorrec/4611 sacados/4611 chapExoCorrec/4483 sacados/4483 chapExoCorrec/4498 sacados/4498 chapExoCorrec/4500 sacados/4500
E.4471 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies par : f ( x ) = − x 2 + 4 · x − 3 ; g ( x ) = 7 2 · x 2 − 5 x + 1 Les questions ci-dessous doivent être traitées algébriquement : 1 Déterminer les antécédents de 0 par les fonctions f et g . On donnera les valeurs exacte et arrondies au centième près. 2 Déterminer la position relative de ces deux courbes. E.7417 On considère les deux fonctions définies respectivement sur R et R \{− 1 } et par les relations : f ( x ) = 2 2 · x + 3 ; g ( x ) = 2 · x + 2 1 a Établir l’égalité: g ( x ) − f ( x )= 4 · x 2 +10 · x +4 2 · x +3 b Dresser le tableau de signes du polynôme 4 · x 2 +10 · x +4 en laissant les étapes de votre raisonnement. 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g . Comparer les courbes C f et C g sur − 2 3 ; + ∞ . 7. Equation et ensemble de résolution E.2735 On considère l’équation suivante : 1 2 x 2 − 3 x + 1 − 1 2 x 2 + 5 x + 2 = 0 1 Déterminer l’ensemble de résolution de cette équation. 2 Déterminer l’ensemble des solutions de cette équation. E.2733 Résoudre les équations suivantes en tenant garde à l’ensemble de résolution de chaque équation : a 3 x 2 − 2 x − 3 = x b 1 3 x 2 − 8 x + 4 = − 2 5 x 2 − 6 x − 8 E.5055 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre réel x est définie par la relation: f ( x ) = − 2 x 2 − 3 x + 2 1 a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 On considère la droite ( d ) d’équation : y = − 5 · x . a Résoudre l’équation: − 2 x 2 − 3 x +2=25 · x 2 . b Justifier que la droite ( d ) intercepte la courbe C f représentative de la fonction f en un unique point. E.9439 Résoudre l’inéquation: − 4 · x 2 +3 · x +7 0 8. Inéquations et expressions rationnelles E.2278 Résoudre les inéquations suivantes : a x 2 − x 2 x − 1 0 b 18 x 2 − 12 x + 2 3 x 2 + x − 2 > 0 c x 2 + 2 x − 5 x 0 d x − 2 x + 1 − 3 x − 1 x − 1 < 0 E.2298 Résoudre les inéquations suivantes : a 3 x 2 − 5 x + 2 − 3 x 2 + 4 x − 2 0 b 2 x − 5 2 x − 1 < x + 1 x + 3 E.2306 Résoudre l’inéquation suivante : 3 x 2 − 5 x + 2 − 3 x 2 − 4 x + 2 0 E.2747 Résoudre dans R l’inéquation: − 3 x 2 + 4 x + 4 5 x 2 + x − 4 0 E.835 Résoudre dans R l’équation suivante : − x 2 − 3 3 + 2 = 1 2 x + 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4471 sacados/4471 -2-1234I-2-12JOCfCg chapExoCorrec/7417 sacados/7417 chapExoCorrec/2735 sacados/2735 chapExoCorrec/2733 sacados/2733 chapExoCorrec/5055 sacados/5055 chapExoCorrec/9439 sacados/9439 chapExoCorrec/2278 sacados/2278 chapExoCorrec/2298 sacados/2298 chapExoCorrec/2306 sacados/2306 chapExoCorrec/2747 sacados/2747 chapExoCorrec/835 sacados/835
E.5743 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre réel x est donnée par la relation: f ( x ) = x + 2 x 2 + 2 x − 3 1 Résoudre l’inéquation: f ( x ) 0 2 Parmi les quatre courbes ci-dessous, une seule est la courbe représentative de la fonction f . Laquelle? E.2283 Donner l’ensemble de définition de la fonction f définie par : f ( x ) = 1 − 2 x + 1 x 2 + 5 x − 1 E.6632 On considère les deux fonctions f et g définies respectivement sur R \{− 1 } et R par les relations : f ( x ) = 2 · x 2 + 3 · x − 3 x + 1 ; g ( x ) = x − 2 Résoudre l’inéquation: f ( x ) g ( x ) E.9438 Résoudre dans R l’équation et l’inéquation suivante : a − x 2 − 3 3 + 2 = 1 2 x + 1 b 4 x x + 1 5 x − 3 9. Inéquations et expressions rationnelles: degré supérieur à 2 E.4569 On considère les deux fonctions f et g définies sur − 2 ; + ∞ par les relations : f ( x ) = x − 1 x 2 + 1 ; g ( x ) = 3 · x − 3 2 · x + 4 1 a Établir l’égalité suivante : f ( x ) − g ( x ) = − 3 · x 3 + 5 · x 2 − x − 1 ( x 2 + 1)(2 · x + 4) b Déterminer la valeur des réels a , b et c vérifiant la re-lation suivante : f ( x ) − g ( x ) = x − 1 a · x 2 + b · x + c ( x 2 + 1)(2 x + 4) 2 Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) − g ( x ) = 0 3 a Dresser le tableau de signes de : f ( x ) − g ( x ) . (on admettra que le produit ( x 2 +1)(2 · x +4) est stricte-ment positif sur − 2 ; + ∞ ) . b En déduire la position relative des courbes C f et C g sur l’intervalle − 2 ; + ∞ . E.4541 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par les relations : f ( x ) = 2 · x 3 − 10 · x 2 + 6 · x + 12 ; g ( x ) = 2 · x − 4 On considère C f et C g les courbes représentatives des fonc-tions f et g . 1 Montrer que 2 est solution de l’équation: f ( x )= g ( x ) . 2 a Déterminer la valeur des réels a , b , c vérifiant : f ( x ) − g ( x ) = x − 2 a · x 2 + b · x + c b En déduire la forme factorisée de l’expression : f ( x ) − g ( x ) . 3 a Dresser le tableau de signes de la différence : f ( x ) − g ( x ) b En déduire la position relative des courbes C f et C g sur R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5743 sacados/5743 -5-4-3-2-1012345-3-2-1123C1 -5-4-3-2-1012345-3-2-1123C2 -5-4-3-2-1012345-3-2-1123C3 -5-4-3-2-1012345-3-2-1123C4 chapExoCorrec/2283 sacados/2283 chapExoCorrec/6632 sacados/6632 chapExoCorrec/9438 sacados/9438 chapExoCorrec/4569 sacados/4569 chapExoCorrec/4541 sacados/4541
E.2736 On considère les deux fonctions f et g dont les images d’un nombre x sont définies par les relations suivantes : f ( x ) = 1 x − 2 ; g ( x ) = 2 x + 1 1 a Déterminer le tableau de variations des fonctions f et g respectivement sur les intervalles 2 ; + ∞ et − 1 2 ; + ∞ . b Justifier, à la vue du tableau de variation, que les courbes C f et C g ne s’interceptent qu’une seule fois sur l’intervalle ]2 ; + ∞ [ . 2 On souhaite résoudre l’équation: ( E ): 1 x − 2 = 2 x +1 a Déterminer les valeurs de a , b , c afin que : ( x − 2) 2 · (2 x + 1) − 1 = (2 x − 3)( a · x 2 + b · x + c ) b En déduire les solutions de l’équation: ( x − 2) 2 · (2 x + 1) − 1 = 0 . c Déterminer les solutions de l’équation ( E ) . E.4546 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = − x − 3 2 · x 2 − 3 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Soit g la fonction affine définie par la relation: g ( x ) = x + 3 a Déterminer la valeur des réels a , b et c vérifiant l’égalité suivante : f ( x ) − g ( x )= (1 − x )( a · x 2 + b · x + c ) 2 · x 2 − 3 b En déduire la forme factorisée de f ( x ) − g ( x ) . 3 a Dresser le tableau de signes de f ( x ) − g ( x ) sur l’intervalle − 3 2 ; 3 2 . On admettra que l’expression 2 x 2 − 3 est négative sur − 3 2 ; 3 2 . b En déduire la position relative des courbes C f et C g sur l’intervalle − 3 2 ; 3 2 . 10. Un peu plus loin E.2739 On munit le plan d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) et on considère les points A ( − 0 ; 6 ; 1 ; 2) et B (1 ; 0) . 1 Déterminer la mesure de la distance AB . 2 On souhaite déterminer les coordonnées du point C tel que le triangle ABC soit équilatéral: a Justifier que les coordonnées du point C vérifient les deux équations suivantes : x C + 0 ; 6 2 + y C − 1 ; 2 2 = 4 x C − 1 2 + y C 2 = 4 b En déduire l’égalité suivante : y = 4 3 x + 1 3 c En déduire les valeurs possibles de x . d Donner les coordonnées des deux points réalisant l’énoncé. E.2924 Le but de cet exercice est de démon-trer que les seuls polynômes périodiques sont les polynômes constants. On utilisera la proposition suivante : Proposition: tout polynôme réel de degré n admet au maximum n racines réelles. Notons a un nombre réel non-nul et P un polynôme péri-odique de période a : 1 On note Q le polynôme défini par : Q ( x ) = P ( x ) − P ( a ) Justifier que, pour tout n ∈ N , on a: Q ( n · a ) = 0 2 En conclure que le polynôme P est constant. 11. Un peu plus loin: systèmes d’équations du second degrés E.2715 On considère le système suivant : x · y = − 1 x − 2 2 y + 3 = 0 1 Vérifier que le couple 2 3 ; − 3 2 est solution de ce sys-tème 2 Justifier que les abscisses des solutions de ce système for-ment l’ensemble des solutions de l’équation suivante sur R ∗ : 3 x 2 − 8 x + 4 3 En déduire l’ensemble des solutions de ce système. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2736 sacados/2736 chapExoCorrec/4546 sacados/4546 chapExoCorrec/2739 sacados/2739 chapExoCorrec/2924 sacados/2924 chapExoCorrec/2715 sacados/2715
E.2716 1 Déterminer les solutions du système d’équations suivant : x · y = − 2 2 y + 3 x − 2 = 1 2 On considère les deux fonctions g définies dont les images d’un nombre x sont définies par les relations suivantes : f ( x ) = 7 − 3 x 2 x − 4 ; g ( x ) = − 2 x Voici la courbe représentative de ces deux fonctions : a Justifier que les points d’intersection de ces deux courbes vérifient le système d’équations de la question 1 . b En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . E.2748 Résoudre le système d’équations : 2 x + 3 y = 12 x × y = − 2 E.1393 Résoudre le système suivant : x 2 + 4 y 2 = 5 x × y = 1 Indication : Ce système possède quatre couples de solutions. E.2003 Résoudre le système suivant : − 5 x 2 + 4 y 2 = − 1 x × y = 1 Indication : ce système admet deux couples comme solu-tions. E.2004 Résoudre le système suivant : − 2 x 2 − 2 y 2 = − 4 x × y = − 1 Indication : ce système admet deux couples pour solutions E.2005 Résoudre le système suivant : 4 x 2 + y 2 = − 3 x × y = 1 Indication : ce système n’admet aucun couple comme solution. E.2006 Résoudre le système suivant : − x 2 + 9 y 2 = 9 x × y = − 2 E.2007 a − 10 x 2 + 4 y 2 = 6 x × y = − 2 b − 7 x 2 + 4 y 2 = 9 x × y = − 2 c − 4 x 2 + 3 y 2 = 8 x × y = − 2 d − 2 x 2 + 1 y 2 = − 1 x × y = − 1 e 1 x 2 + − 8 y 2 = − 7 x × y = 1 f 2 x 2 + − 7 y 2 = 1 x × y = 2 g 3 x 2 + − 5 y 2 = 7 x × y = − 2 h 4 x 2 + − 4 y 2 = − 7 x × y = 3 i 5 x 2 + − 4 y 2 = 4 x × y = − 4 j 6 x 2 + − 5 y 2 = 9 x × y = − 9 E.2008 Résoudre le système suivant : 6 x 2 + 7 y 2 = − 8 x × y = − 5 E.7248 Résoudre le système d’équations : x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y + z = 1 E.2044 Résoudre le système suivant : x × y = − 2 ( x + 8)( y + − 2) = − 7 E.2042 Résoudre les systèmes suivants : a x × y = 3 ( x + − 1)( y + 1) = 4 b x × y = 3 ( x + 5)( y + 5) = 8 c x × y = 4 ( x + 6)( y + 3) = 4 d x × y = 6 ( x + − 3)( y + 1) = 6 e x × y = 7 ( x + 2)( y + 2) = − 5 E.2043 Résoudre le système suivant : x × y = 4 ( x + 6)( y + − 3) = − 8 E.2045 Résoudre le système suivant : x × y = 2 ( x − 1)( y − 9) = 2 E.2046 Résoudre l’équation suivante : x × y = 2 ( x + 4)( y − 1) = − 2 12. Un peu plus loin: changement de variables https://chingmath.fr chapExoCorrec/2716 sacados/2716 IJOCgCgCfCf chapExoCorrec/2748 sacados/2748 chapExoCorrec/1393 sacados/1393 chapExoCorrec/2003 sacados/2003 chapExoCorrec/2004 sacados/2004 chapExoCorrec/2005 sacados/2005 sacados/2006 sacados/2007 sacados/2008 sacados/7248 sacados/2044 Aucun couple de solution sacados/2042 sacados/2043 Un seul couple de solution sacados/2045 Couple de solution avec valeurs rationnelles sacados/2046 Solution sous forme de radicaux
E.6793 1 Déterminer les racines du polynôme: ( P ) : x 2 − 8 · x + 4 2 Développer et simplifier les expressions suivantes : a = 1 + 3 2 ; b = 1 − 3 2 3 On considère le polynôme ( P ) défini par : ( P ) : x 4 − 8 · x 2 + 4 a Montrer que 1+ 3 est une racine de ( P ) . b En déduire les quatre racines du polynôme ( P ) . E.6877 Résoudre les deux équations suivantes en utilisant le changement de variable: a P : x 4 − 5 · x 2 + 4 b P : x 4 + 5 · x 2 + 4 E.2971 On considère l’expression ( E ) définie par : ( E ) : x 4 − 3 x 3 + 4 x 2 − 3 x + 1 = 0 1 a Montrer que si a est solution de l’équation ( E ) alors 1 a l’est aussi. b Montrer que l’équation ( E ) est équivalente à l’équation: ( E ) : x 2 − 3 x + 4 − 3 x + 1 x 2 = 0 2 a Développer l’expression suivante : x + 1 x − 1 x + 1 x − 2 b En utilisant le changement de variable X = x + 1 x , mod-ifier l’équation ( E ) en une équation du second degré en X . c Résoudre l’équation en X obtenu à la question précé-dente. d En déduire les valeurs de x solution de ( E ) . 3 Donner l’ensemble des solutions de l’équation ( E ) . E.5143 On considère l’équation ( E ) définie par : x 4 − 8 x 3 + 2 x 2 − 8 x + 1 = 0 1 Montrer que l’équation ( E ) est équivalente à: ( E ): x 2 − 8 x + 2 − 8 x + 1 x 2 = 0 2 Déterminer les réels a , b et c vérifiant la relation: x 2 − 8 x + 2 − 8 x + 1 x 2 = a · x + 1 x 2 + b · x + 1 x + c 3 En posant pour changement de variable X = x + 1 x , ré-soudre l’équation ( E ) . 13. Second degré: problèmes E.4423 Un champ est composé de deux carrés et d’un triangle rectangle. On a représenté ce champ dans la figure ci-dessous : 1 Justifier que l’aire A du champ a pour valeur en fonction de x : A ( x ) = x 2 + 2 x + 32 2 En déduire la valeur de la longueur x afin que l’aire totale du champ soit de 200 m 2 . E.4499 La courbe C f est une parabole représen-tant une fonction f du second degré. La courbe C f passe par les points A ( − 1 ; − 2) , B (0 ; − 1) et admet pour sommet le point S dont l’abscisse est − 1 4 . La fonction f étant définie par un polynôme du second degré, on en déduit l’existence de trois réels a , b et c tels que : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c 1 À l’aide des coordonnées du point B , déterminer la valeur du nombre c . 2 En utilisant les caractéristiques du sommet S de la parabole, justifier que la fonction f admet l’écriture: f ( x ) = 2 b · x 2 + bx − 1 3 À l’aide des coordonnées du point A , déterminer l’expression complète de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6793 sacados/6793 chapExoCorrec/6877 sacados/6877 chapExoCorrec/2971 sacados/2971 A refaire pique sur internet chapExoCorrec/5143 sacados/5143 chapExoCorrec/4423 sacados/4423 ABCDEFGx4m chapExoCorrec/4499 sacados/4499 -2-12I-4-22JOCfASB
E.4470 On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm . 1 a Lorsque la boîte sera construire, le nombre x représentera quelle dimension? La longueur, la largeur ou la hauteur? b Quelles valeurs peuvent prendre la variable x dans ce problème? c Donner l’expression du volume V en fonction de la valeur de x . 2 Dans cette question, nous cherchons pour quelles valeurs de ˇ x ı, cette boîte possède un volume égal à 144 cm 3 : a Établir l’égalité suivante : 4 x 3 − 52 x 2 + 160 x − 144 = (2 x − 4)(2 x 2 − 22 x + 36) b En déduire les valeurs de x pour lesquelles V ( x ) a pour valeur 144. 14. Exercices non-classés E.4567 Soit f une fonction définie sur R à l’aide d’un polynôme du second degré dont le coefficient du terme du second degré est strictement négatif. Sa courbe représentative C f est une parabole dont le sommet a pour coordonnée 1 4 ; − 7 8 . 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b En déduire le signe du discriminant du polynôme du second degré définissant la fonction f . 2 La courbe C f passe par les points : A (0 ; − 1) et B ( − 2 ; − 11) . Déterminer les réels a , b et c vérifiant l’égalité: f ( x ) = a · x 2 + b · x + c E.4414 On considère le polynôme du second degré ( E ): x 2 +3 x +3 . 1 Déterminer le discriminant du polynôme ( E ) . 2 En effectuant un raisonnement par l’absurde et en sup-posant que l’expression ( E ) admette la forme factorisée : ( E ) : a ( x − ¸ )( x − ˛ ) Établir que l’expression ( E ) n’admet pas de forme fac-torisée. E.2751 plutôt con que chaque exercice que j’ai fait sur cette notation avec fraction rationnelle, la valeur impossible annule les deux quotients .... À changer E.2806 Résoudre l’équation suivante : − 3 √ − 2 x + 1 = − x − 3 E.2010 1 Établir l’identité suivante : ax 2 + bx + c = a x + b 2 a 2 − b 2 − 4 ac 4 a Remarque: cette question permet d’affirmer que tout polynôme du second degré a · x 2 + b · x + c admet une écriture de la forme ¸ ( x + ˛ ) 2 − ‚ . Cette dernière forme s’appelle la forme canonique d’un polynôme du second degré. 2 a Justifier que l’expression : a x + b 2 a 2 − b 2 − 4 ac 4 a = 0 n’admet aucune solution, une solution, deux solutions suivant la valeur de b 2 − 4 ac ? b Pour chacune des équations ci-dessous, décrire l’ensemble des solutions : c’est-à-dire s’il est vide ou le nombre d’éléments le constituant : ( E ) : 4 x 2 − 5 x + 4 ( F ) : 2 x 2 − x − 1 ( G ) : 9 x 2 − 24 x + 16 Remarque: on vient de voir que l’ensemble des solutions de l’équation ax 2 + bx + c =0 dépend du signe de b 2 − 4 ac . Définition: on appelle discriminant du polynôme ax 2 + bx + c le nombre noté Δ valant : Δ = b 2 − 4 a · c . Remarque: relativement à la question précédente, on en déduit qu’une équation du second degré admet comme en-semble de solution : l’ensemble vide si Δ < 0 , un ensemble à un élément si Δ=0 , un ensemble à deux éléments distincts si Δ > 0 . 3 On considère un polynôme du second degré ayant un dis-criminant strictement positif : Δ= b 2 − 4 a · c> 0 a Factoriser l’expression : x + b 2 a 2 − Δ b En déduire que l’équation du second degré : a · x 2 + b · x + c = 0 admet pour solutions : x 1 = − b − √ Δ 2 · a ; x 2 = − b + √ Δ 2 · a 4 On considère l’équation ( H ): 2 x 2 +2 x − 12=0 a Déterminer le discriminant du polynôme 2 x 2 +2 x − 12 . Combien de solution admet l’équation ( H ) ? b Par application directe de la question 3 b , prouver que l’équation ( H ) admet pour ensemble de solution − 3 ; 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4470 sacados/4470 16cmxx10cm chapExoCorrec/4567 sacados/4567 chapExoCorrec/4414 sacados/4414 sacados/2751 chapExoCorrec/2806 sacados/2806 sacados/2010