a
Collège
6e
5e
4e
3e
Ressource
hp-collège
Lycée
2de
1re spé
1re stmg
tstmg
1re spécifique
Terminale Spécialité
Terminale Complémentaire
Terminale Experte
Ressource
hp-lycée
4
3
2
1
Hors programme lycée
/ Algebre : second degré se ramenant au premier degré
25 exercices corrigés
a
Second degré : forme canonique
(5 exercices)
Expression algébriques
(3 exercices)
Inéquations
(5 exercices)
Forme canonique et extrémums
(5 exercices)
Forme canonique et sens de variations
(3 exercices)
1.
Se
c
ond
de
gr
é
:
forme
c
anonique
E.600
On
v
a
s’in
téresser
aux
p
olynômes
du
sec-
ond
degré
:
des
fonctions
de
la
forme
x
↦→
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
a
v
ec
a
,
b
et
c
son
t
des
nom
bres
réels
fixés.
On
admet
la
prop
osition
suiv
an
te
:
Prop
osition
:
toute
fonction
p
olynomiale
du
second
degré
p
eut
s’écrire
sous
la
forme
:
¸
·
(
x
+
˛
)
2
+
‚
Cette
forme
s’app
elle
la
forme
canonique
.
Première
métho
de
1
a
Dév
elopp
er
c
hacune
des
iden
tités
remarquables
ci-
dessous
:
a
(2
x
+
1)
2
b
(3
−
2
x
)
2
c
(3
x
+
7)
2
d
(
−
4
x
+
1)
2
b
En
déduire
la
forme
canonique
de
c
hacune
de
ces
p
olynômes
du
second
degré
:
a
9
x
2
+
42
x
−
5
b
4
x
2
−
12
x
+
16
c
4
x
2
+
4
x
−
8
d
16
x
2
−
8
x
+
7
2
En
rep
ortan
t
cette
métho
de,
en
déduire
la
forme
réduite
de
25
x
2
+20
x
+7
.
Seconde
métho
de
On
s’in
téresse
à
l’égalité
:
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
=
¸
·
x
+
˛
2
+
‚
1
Mon
trer
que
les
nom
bres
¸
,
˛
et
‚
doiv
en
t
v
érifier
le
système
suiv
an
t
:
¸
=
a
2
·
¸
·
˛
=
b
‚
+
¸
·
˛
2
=
c
On
admettra
que
p
our
toute
v
aleur
du
triplet
(
a
;
b
;
c
)
,
le
système
précéden
t
admet
une
unique
solution.
2
P
our
c
hacune
des
fonctions
suiv
an
tes,
déterminer
les
v
aleurs
de
¸
,
˛
et
‚
:
a
:
x
↦−
→
x
2
+
8
x
−
9
;
b
:
x
↦−
→
2
x
2
+
12
x
+
4
c
:
x
↦−
→
6
x
2
+
6
x
+
7
;
d
:
x
↦−
→
−
2
x
2
+
3
x
−
4
Question
subsidiaire
1
Mon
trer
que
p
our
tout
nom
bre
a
,
b
et
c
tel
que
a
=
0
,
on
a
:
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
=
a
·
x
+
b
2
a
2
−
b
2
−
4
ac
4
a
2
Que
p
ouv
ez-v
ous
dire
de
l’équation
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
=
0
si
b
2
−
4
ac
<
0
3
On
admet
le
fait
que
:
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
=
a
·
x
+
b
+
b
2
−
4
ac
2
a
x
+
b
−
b
2
−
4
ac
2
a
Donner
les
deux
solutions
de
l’équation
2
x
2
+4
x
+1
=
0
E.2009
On
s’in
téresse
aux
équations
de
la
forme
:
(
E
)
:
(
x
+
˛
)
2
−
‚
=
0
1
a
F
actoriser
:
(
x
+
2)
2
−
9
.
b
Résoudre
l’équation
suiv
an
te
:
(
x
+2)
2
−
9
=
0
.
2
P
our
c
hacune
des
équations
suiv
an
tes,
donner
l’ensem
ble
des
solutions
:
a
(
x
−
7)
2
−
3
=
0
b
(
x
+
1)
2
+
2
=
0
c
(
x
−
8)
2
=
0
3
Quelle
condition
‚
doit
v
érifier
p
our
que
:
a
(
E
)
admette
deux
solutions
;
b
(
E
)
admette
une
unique
solution
;
c
(
E
)
n’admette
aucune
solution.
E.6035
Dans
un
cylindre,
don
t
la
base
a
un
ra
y
on
de
8
cm
,
on
dép
ose
une
b
oule.
On
doit
v
erser
104
cm
3
d’h
uile
dans
le
cylindre
p
our
juste
recou-
vrir
la
b
oule.
Déterminer
le
ra
y
on
de
la
b
oule.
E.4454
Établir
les
égalités
suiv
an
tes
:
a
(
x
+
2)
2
−
4
=
x
2
+
4
x
b
(
x
−
9)
2
+
11
=
x
2
−
18
x
+
92
d
(
x
+
3)
2
−
12
=
x
2
+
6
x
−
3
e
2(
x
+
1)
2
+
4
=
2
x
2
+
4
x
+
6
E.4457
P
our
c
hacune
des
égalités
suiv
an
tes,
don-
ner
la
v
aleur
de
¸
(sans
justific
ation)
,
puis
v
érifier
l’égalité
prop
osée
:
a
(
x
+
2)
2
−
5
=
x
2
+
¸
·
x
−
1
b
(
x
−
3)
2
+
7
=
x
2
−
6
x
+
¸
c
2(
x
+
1)
2
−
9
=
¸
·
x
2
+
4
x
−
7
d
7(
x
−
2)
2
+
1
=
7
x
2
+
¸
·
x
+
29
e
(
x
−
5)
2
+
¸
=
x
2
−
10
x
+
10
f
3(
x
+
¸
)
2
+
4
=
3
x
2
+
48
x
+
196
2.
Expr
ession
algébriques
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/600
sacados/2009
sacados/6035
8
cm
chapExoCorrec/4454
sacados/4454
chapExoCorrec/4457
sacados/4457
E.435
On
considère
l’expression
algébrique
suiv
an
te
:
E
=
(
x
+
1)(2
x
−
1)
1
Relativ
emen
t
à
la
forme
dév
elopp
ée
réduite
de
l’expression
E
,
rép
ondre
aux
questions
suiv
an
tes
:
a
Déterminer
le
co
efficien
t
du
terme
en
x
2
.
b
Déterminer
le
terme
n
umérique.
2
Justifier
que
l’expression
E
n’est
égale
à
aucune
des
deux
expressions
suiv
an
tes
:
F
=
4
x
2
+
x
−
1
;
G
=
2(
x
+
1)
2
+
1
E.441
On
considère
la
fonction
f
définie
par
:
f
(
x
)
=
−
6
x
2
+
10
x
−
4
1
Établir
les
égalités
suiv
an
tes
:
f
(
x
)
=
2(
x
−
1)(2
−
3
x
)
=
−
6
x
−
5
6
2
+
1
6
2
Calculer
l’image
des
nom
bres
ci-dessous
par
la
fonction
f
a
0
b
2
3
c
5
6
E.3001
Rép
ondre
aux
questions
suiv
an
tes
sans
aucune
justification
:
1
On
considère
le
p
olynôme
P
=
2
·
(2
x
−
1)(3
−
x
)(
x
+2)
:
a
Donner,
sans
justification,
le
co
efficien
t
du
terme
de
degré
3
du
p
olynôme
P
et
la
v
aleur
de
son
terme
n
umérique.
b
P
armi
les
p
olynômes
ci-dessous,
lequel
est
la
forme
dév
elopp
ée
et
réduite
du
p
olynôme
P
?
−
4
x
3
+
6
x
2
+
22
x
+
12
4
x
3
+
6
x
2
+
22
x
−
12
−
4
x
3
+
6
x
2
+
22
x
−
12
4
x
3
+
6
x
2
+
22
x
+
12
2
Déterminer
la
v
aleur
de
a
,
un
nom
bre
réel,
v
érifian
t
l’égalité
suiv
an
te
:
(2
x
+
1)(3
x
2
+
a
·
x
+
1)
=
6
x
3
−
7
x
2
−
3
x
+
1
3.
Iné
quations
E.4404
Résoudre
les
inéquations
suiv
an
tes
:
a
(2
x
+
1)(
x
+
2)
<
0
b
(3
−
x
)(2
x
+
1)
0
c
(5
x
+
1)(
x
−
2)
>
(3
+
x
)(
x
−
2)
d
(
x
+
3)(5
−
x
)
2(
x
+
3)
E.4453
Résoudre
les
inéquations
suiv
an
tes
:
a
(
x
+
2)(
x
−
3)
>
0
b
(
x
+
2)(5
−
3
x
)
+
(
x
+
2)(
x
−
2)
0
c
(2
x
+
1)(3
x
−
1)
+
(6
x
+
3)(3
x
−
1)
0
d
(2
−
3
x
)(
x
−
5)
+
2(10
−
2
x
)
<
0
E.4452
Compléter
le
tableau
de
signes
de
c
ha-
cune
des
expressions
E
:
1
x
−∞
−
3
−
1
2
+
∞
2
x
+
1
0
3
+
x
0
E
=(2
x
+1)(3+
x
)
0
0
2
x
−∞
3
4
2
+
∞
x
−
2
4
x
−
3
E
=(
x
−
2)(4
x
−
3)
3
x
−∞
+
∞
2
+
x
2
−
x
E
=
2+
x
2
−
x
E.9424
Résoudre
les
inéquations
suiv
an
tes
:
a
3
−
2
x
3
x
+
1
>
0
b
3
x
+
1
x
+
1
<
x
+
1
4
x
+
2
E.4409
Soit
(
E
)
le
p
olynôme
du
second
de-
gré
:
(
E
)
:
x
2
+4
x
−
12
1
Déterminer
la
forme
canonique
de
a
Justifier
que
le
p
olynôme
(
E
)
admet
p
our
forme
canon-
ique
:
(
x
+2)
2
−
16
.
b
Justifier
que
le
p
olynôme
(
E
)
admet
p
our
minim
um
−
16
.
2
a
Déduire
de
la
question
1
a
la
forme
factorisée
du
p
olynôme
(
E
)
.
b
En
déduire
les
deux
racines
du
p
olynôme
(
E
)
.
3
Dresser
le
tableau
de
v
ariations
de
la
fonction
f
définie
par
:
f
(
x
)
=
x
2
+
4
x
−
12
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/435
sacados/435
chapExoCorrec/441
sacados/441
chapExoCorrec/3001
sacados/3001
chapExoCorrec/4404
sacados/4404
chapExoCorrec/4453
sacados/4453
chapExoCorrec/4452
sacados/4452
chapExoCorrec/9424
sacados/9424
chapExoCorrec/4409
sacados/4409
4.
F
orme
c
anonique
et
extr
émums
E.4407
On
considère
l’expression
−
2
x
2
+8
x
+
1
:
1
Établir
l’égalité
suiv
an
te
:
−
2
x
2
+
8
x
+
1
=
−
2(
x
−
2)
2
+
9
2
En
déduire
que
cette
expression
attein
t
son
maxim
um
en
x
=
2
.
Quelle
est
sa
v
aleur
maximale?
E.8516
1
Déterminer
la
forme
canonique
de
l’expression
:
x
2
−
10
x
−
2
2
Justifier
que
cette
expression
admet
p
our
v
aleur
mini-
male
−
27
et
que
cette
v
aleur
est
attein
te
en
5
.
E.8517
On
considère
le
p
olynôme
x
2
−
6
x
+
12
:
1
Déterminer
la
forme
canonique
de
ce
p
olynôme.
2
Justifier
que
ce
p
olynôme
est
strictemen
t
p
ositif
p
our
toute
v
aleur
de
x
.
E.4481
On
considère
le
p
olynôme
6
x
2
−
4
x
+
2
.
1
Déterminer
la
forme
canonique
de
ce
p
olynôme.
2
Justifier
que
4
3
est
la
v
aleur
minimale
prise
par
ce
p
olynôme
sur
R
.
E.8518
On
considère
la
fonction
f
définie
sur
R
par
:
f
(
x
)
=
3
x
2
+
a
·
x
+
b
où
a;b
∈
R
Déterminer
les
v
aleurs
de
a
et
de
b
afin
que
la
fonction
f
attein
t
sa
v
aleur
minimale
2
p
our
x
=
3
.
5.
F
orme
c
anonique
et
sens
de
variations
E.7252
On
considère
la
fonction
f
définie
sur
R
par
la
relation
:
f
(
x
)
=
x
2
+
6
x
+
2
1
Justifier
que
la
fonction
f
admet
p
our
forme
canonique
:
f
(
x
)
=
x
+
3
2
−
7
2
Établir
la
décroissance
de
la
fonction
f
sur
l’in
terv
alle
−∞
;
−
3
.
Rapp
els
:
on
utilisera
les
deux
propriétés
suiv
an
tes
:
La
fonction
carrée
étan
t
décroissan
te
sur
R
−
,
on
a
:
a
<
b
<
0
=
⇒
a
2
>
b
2
ce
qui
se
traduit
par
la
phrase
:
ˇ
deux
nom
bres
négatifs
et
leurs
carrés
son
t
comparés
dans
l’ordre
in
v
erse.
ı
La
fonction
carrée
est
croissan
te
sur
R
+
,
on
a
:
0
<
a
<
b
=
⇒
a
2
<
b
2
ce
qui
se
traduit
par
la
phrase
:
ˇ
deux
nom
bres
p
ositifs
et
leurs
carrés
son
t
comparés
dans
le
même
ordre.
ı
E.7253
On
considère
la
fonction
f
définie
sur
R
par
la
relation
:
f
(
x
)
=
−
2
x
2
+
6
x
+
1
1
Mon
trer
que
la
fonction
f
admet
p
our
forme
canonique
:
f
(
x
)
=
−
2
·
x
−
3
2
2
+
11
2
2
Établir
la
décroissance
de
la
fonction
f
sur
l’in
terv
alle
3
2
;
+
∞
.
E.8519
On
considère
la
fonction
f
définie
par
:
f
(
x
)
=
1
−
x
2
+
2
x
+
4
1
Établir
que
l’ensem
ble
de
définition
de
f
est
:
D
f
=
R
\
1
−
5
;
1+
5
2
Sur
l’in
terv
alle
1+
5
;
+
∞
,
établir
le
sens
de
la
fonc-
tion
f
.
6.
Exer
cic
es
non-classés
E.2296
On
définit
la
fonction
f
sur
R
don
t
l’image
de
x
∈
R
est
définie
par
la
relation
:
f
(
x
)
=
8
x
2
−
2
x
+
1
1
Donner
la
forme
canonique
de
la
fonction
f
.
2
Établir
que
la
fonction
f
est
minorée
par
7
8
.
3
a
Établir,
sans
justification,
le
tableau
de
v
ariations
de
la
fonction
f
.
b
En
déduire
que
la
fonction
f
n’admet
pas
de
zéro
sur
R
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/4407
sacados/4407
chapExoCorrec/8516
sacados/8516
chapExoCorrec/8517
sacados/8517
chapExoCorrec/4481
sacados/4481
chapExoCorrec/8518
sacados/8518
chapExoCorrec/7252
sacados/7252
chapExoCorrec/7253
sacados/7253
chapExoCorrec/8519
sacados/8519
chapExoCorrec/2296
sacados/2296
E.205
On
considère
la
fonction
f
don
t
l’image
de
x
est
définie
par
la
relation
:
f
(
x
)
=
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
où
a
,
b
et
c
son
t
des
nom-
bres
réels
fixés,
mais
incon-
n
us
p
our
l’instan
t.
On
considère
la
représen-
tation
de
la
fonction
f
dans
le
rep
ère
orthogonal
(
O
;
I
;
J
)
ci-dessous
:
1
Mon
trer
que
les
nom
bres
a
,
b
,
c
doiv
en
t
v
érifier
le
système
d’équation
suiv
an
te
:
a
−
b
+
c
=
9
2
a
+
b
+
c
=
1
2
4
a
+
2
b
+
c
=
3
2
Résoudre
le
système
précéden
t
et
en
déduire
l’expression
de
f
(
x
)
.
E.4568
On
considère
les
deux
fonctions
f
don
t
l’image
d’un
nom
bre
x
est
donnée
par
la
relation
:
f
(
x
)
=
−
3
·
x
2
+
3
·
x
+
6
1
On
considère
le
p
olynôme
−
3
·
x
2
+3
·
x
+6
du
second
de-
gré
:
a
À
l’aide
de
la
calculatrice,
déterminer
les
deux
racines
de
ce
p
olynôme.
b
Dresser
le
tableau
de
signes
de
ce
p
olynôme.
c
En
déduire
l’ensem
ble
de
définition
de
la
fonction
f
.
2
À
l’aide
de
la
calculatrice,
dresser
le
tableau
de
v
ariations
de
la
fonction
f
.
E.5711
1
Établir
que
le
p
olynôme
2
x
2
−
3
x
−
2
admet
p
our
forme
factorisée
:
2
x
2
−
3
x
−
2
=
2
·
x
+
a
b
·
x
+
c
où
les
v
aleurs
des
nom
bres
a
,
b
,
c
seron
t
à
préciser.
2
Établir
que
le
p
olynôme
12
x
2
−
12
x
+3
admet
p
our
forme
factorisée
:
12
x
2
−
12
x
+
3
=
3
·
2
·
x
+
a
c
·
x
+
d
où
les
v
aleurs
des
nom
bres
a
,
b
,
c
seron
t
à
préciser.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/205
sacados/205
-2
-1
2
3
I
-1
2
3
4
5
J
O
A
B
C
chapExoCorrec/4568
sacados/4568
chapExoCorrec/5711
sacados/5711
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