Hors programme lycée / Angles orientés 46 exercices corrigés

a
1. Intervalle d’angles orientées E.2199 Dans l’ensemble de cet exercice, le cercle trigonométrique a été partagé en 12 parties égales. 1 Déterminer la mesure, en radian, des angles −→ OI ; −−→ OM i pour i =1 ;:::; 4 . 2 Pour chaque question, une partie du cercle trigonométrique a été surlignée. Écrire, sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles, l’ensemble des mesures de l’angle −→ OI ; −−→ OM lorsque M décrit chacune de ces parties : a b c d e f 3 Pour chaque question, surligner l’ensemble des points M du cercle dont l’angle −→ OI ; −−→ OM appartient à l’intervalle indiqué : a b ı 6 ; 5 ı 6 − ı 2 ; − ı 6 c d 5 ı 6 ; 7 ı 6 0 ; ı 2 ⋃ 5 ı 6 ; ı e f 5 ı 6 ; ı ⋃ − ı ; − 5 ı 6 5 ı 2 ; 29 ı 6 E.2307 1 a Pour chaque question, représenter sur le cercle l’ensemble des points repérés par un angle appartenant à l’intervalle donnée : I = 13 ı 6 ; 16 ı 6 J = 2 ı 3 ; 7 ı 3 b Donner l’expression de chacun de ses intervalles à l’aide de réunions d’intervalle exprimé par des mesures prin-cipales. 2 Associer chacun des intervalles situés à gauche avec son équivalent en mesure principale à droite : E.2816 On considère les deux intervalles de nom-bres réels : a I = − 19 ı 6 ; − 11 ı 4 b J = 20 ı 3 ; 49 ı 6 Supposons que ces deux intervalles représentent des mesures d’angles orientées ; exprimer chacun de ces deux intervalles à l’aide des mesures principales associées de ces angles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2199 sacados/2199 OIJM1M2M3M4 OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ OIJ chapExoCorrec/2307 sacados/2307 OIJ OIJ 2ı37ı323ı614ı3−4ı3ı6−ıı62ı3ı−ı−5ı62ı3ı−ı62ı3 chapExoCorrec/2816 sacados/2816
2. Lieu géométrique et angles orientées E.2213 On considère, dans le plan, cinq points M , A , P , B , N alignés dans cet ordre. 1 Déterminer la mesure des angles suivants : a MAMB b PAPB c NANB d ABMP e ABPM 2 Sur la figure ci-dessus, déterminer le lieu géométrique du Q vérifiant respectivement : a −→ QA ; −−→ QB = ı + 2 kı b −→ QA ; −−→ QB = 0 + 2 kı E.2202 Soit A et B deux points fixés du plan. Déterminer le lieu géométrique des points M vérifiant les rela-tions suivantes : faire une représentation d’une telle situation en précisant les emplacements possibles du point M . a −−→ MA ; −−→ MB = ı + 2 kı b −−→ MA ; −−→ MB = 0 + 2 kı c −−→ MA ; −−→ MB = − ı 2 +2 kı d −−→ MA ; −−→ MB = − ı 2 + kı e −−→ MA ; −−→ MB = ı + kı E.2239 On considère ci-dessous deux points A et B du plan : Toutes les constructions demandées ne doivent être effectuées qu’à l’aide du compas et de la règle non-graduée. Les traits de constructions doivent rester présents sur la figure. 1 Placer un point C vérifiant : −→ CA ; −−→ CB = ı 3 2 Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC . 3 Mettre en évidence le lieu des points M vérifiant la rela-tion suivante : −−→ MA ; −−→ MB = ı 3 Quel est le théorème utilisé? https://chingmath.fr chapExoCorrec/2213 sacados/2213 ABMNP chapExoCorrec/2202 sacados/2202 chapExoCorrec/2239 sacados/2239 AB
E.2212 1 a Compléter le tableau ci-dessous : k − 2 − 1 0 1 2 ı 3 + kı b Sur un des cercles trigonométrique ci-dessous, représenter l’ensemble des points M vérifiant la rela-tion : −→ OI ; −−→ OM = ı 3 + kı où k ∈ Z . 2 Dans chaque cas, représenter l’ensemble des points M vérifiant la relation précisée : a −→ OI ; −−→ OM = ı 2 + kı 3 b 2 −→ OI ; −−→ OM = − 2 ı 3 + kı Les cercles suivants ont été partagés en douze parties égales. E.2243 On considère les expressions suivantes, où k est un entier relatif: a ı 2 + kı b ı 4 + kı 2 c ı + kı 3 d 3 ı 4 + 2 kı 3 Dans chaque cas, déterminer l’ensemble des points M , lorsque k décrit Z , du cercle trigonométrique repéré par cette mesure d’angle . E.2211 On représente ci-dessous un cercle de diamètre [ AB ] . 1 Soit M un point du demi-cercle mis en gras sur la figure. Donner la mesure de −−→ MA ; −−→ MB . 2 Déterminer l’ensemble des points N du plan vérifiant : −−→ NA ; −−→ NB = ı 2 + 2 kı . 3 Quel sont les deux théorèmes utiles pour cet exercice? 3. Géométrie plane et Relation de Chasles E.2220 cm considère la configuration ci-dessous où ABC est un triangle équilatéral, DCA et CEB sont des triangles isocèles rectangle respectivement en D et E . 1 Donner la mesure principale en radian des angles suiv-ants : a −−→ AD ; −→ AC b −→ AC ; −−→ AB c −−→ BA ; −−→ BE d −−→ DC ; −−→ AD 2 a Justifier que ( DB ) est la hauteur du triangle ADC issue de D et du triangle ABC issue de B . b Donner la mesure principale en radian des angles suiv-ants : −→ IA ; −→ IB ; −→ IB ; −→ IE 3 À l’aide de la relation de Chasles, déterminer la mesure principale en radian des angles suivants : a −−→ CD ; −−→ AB b −−→ DC ; −−→ AB c −→ IB ; −−→ CE https://chingmath.fr chapExoCorrec/2212 sacados/2212 OIJ OIJ OIJ chapExoCorrec/2243 sacados/2243 chapExoCorrec/2211 sacados/2211 ABC chapExoCorrec/2220 sacados/2220 ABCDEI
E.2797 On considère un triangle AEC équilatéral inscrit dans le rectangle AEFD . À l’intérieur du rectangle, on trace le triangle équilatéral DAJ ; on note I son centre. Attention, la figure ci-dessous n’a pas été tracée correctement ; le but de l’exercice est de montrer que les point I et J appar-tiennent respectivement aux segments [ AC ] et [ BC ] . On utilisera la propriété suivante : −→ u ; −→ v = −→ u ; −→ w = ⇒ −→ v et −→ w sont colinéaires et de même sens. 1 a Justifier que : −→ AC ; −−→ AD = ı 6 . b Justifier que l’angle au centre −→ IA ; −→ ID mesure 2 ı 3 . c En déduire que les vecteurs −→ AI et −→ AC sont colinéaires. 2 a Justifier que le triangle DCJ est isocèle en C . b En déduire la mesure de l’angle −→ CA ; −→ CJ . c En déduire que les points J , E , C sont alignés. 4. Equations et congruences E.2226 1 Résoudre dans l’intervalle − ı ; ı des mesures princi-pales les équations suivantes : a 2 sin 2 x = 1 b cos 3 x = 1 2 Résoudre dans l’intervalle − ı ; ı des mesures princi-pales les équations suivantes : a sin 2 x = sin x b cos 2 x = cos x E.2184 Dans cet exercice, on souhaite montrer que tous les nombres de l’ensemble E = ı 3 + 2 kı 3 ⏐ ⏐ ⏐ k ∈ Z vérifient l’équation: sin 2 x = sin x 1 a Compléter, dans le tableau ci-dessous, la valeur de ¸ quand k parcours les valeurs proposées : k -2 -1 0 1 2 3 4 ¸ = ı 3 + 2 kı 3 b En se servant de la question précédente, donner la mesure principale de l’angle ¸ en fonction de k : k -2 -1 0 1 2 3 4 Mesure principale de ¸ c Placer l’ensemble des points de E sur le cercle trigonométrique ci-dessous : 2 Montrer que tous les éléments de E vérifient l’équation: sin 2 x = sin x E.2270 On considère l’ensemble E de nombres défini par : E = ı 6 + k · ı 2 ⏐ ⏐ k ∈ Z 1 Donner l’ensemble de nombres formé par l’ensemble des mesures principales des angles de l’ensemble E . 2 Montrer que tous les nombres de E vérifient l’équation suivante : cos(3 x ) = cos x − 2 ı 3 E.2625 Lorsque k décrit l’ensemble Z , alors l’expression ı 4 + k · ı 2 décrit un ensemble de nombre qu’on note E et qui peut s’écrire sous la forme : E = ı 4 + k · ı 2 ⏐ ⏐ ⏐ k ∈ Z 1 Donner les mesures principales des angles représentés par cet ensemble. 2 Vérifier que chaque nombre de l’ensemble E vérifie l’équation: cos 2 x =0 E.2626 Résoudre dans l’intervalle − ı ; ı des mesures principales les équations suivantes : a 2 · cos 2 x = 1 b sin 3 x = 3 2 c cos 2 x = cos x + ı 3 d sin 3 x = cos x E.2967 1 a Résoudre l’équation: 2 x 2 + 7 x + 3 = 0 . b Résoudre l’équation ci-dessous dans − ı ; ı : sin 2 x = − 1 2 2 En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: 2 · sin 2 x 2 + 7 · sin 2 x + 3 = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2797 sacados/2797 ABCDEFJI chapExoCorrec/2226 sacados/2226 chapExoCorrec/2184 sacados/2184 OIJ chapExoCorrec/2270 sacados/2270 chapExoCorrec/2625 sacados/2625 chapExoCorrec/2626 sacados/2626 chapExoCorrec/2967 sacados/2967
5. Inéquations E.2227 En s’aidant d’une représentation graphique du cercle trigonométrique, déterminer l’ensemble des solutions dans l’intervalle − ı ; ı des mesures principales les inéquations suivantes : a cos x √ 2 2 b 2 sin x 1 c cos x < − 1 2 E.2231 Ci-dessous sont représentés deux cercles trigonométriques où sont indiqués sur les axes des valeurs re-marquables : a b 1 Sur l’axe des abscisses, représenter les ensembles des nom-bres définis par les images d’intervalles suivants : a cos ı 4 ; 5 ı 6 b cos − ı 4 ; 2 ı 3 2 Sur l’axe des abscisses, représenter les ensembles des nom-bres définis par les images d’intervalles suivants : a sin ı 4 ; 5 ı 6 b sin − ı 4 ; 2 ı 3 E.2232 En s’aidant d’une représentation graphique du cercle trigonométrique, déterminer l’ensemble des solutions dans l’intervalle − ı ; ı des mesures principales les inéquations suivantes : a cos x > 0 b sin x > 0 c sin x < − 1 2 E.2303 1 À l’aide de la représentation du cercle trigonométrique: a Représenter sur l’axe des abscisses l’ensemble E : E = cos x ⏐ ⏐ x ∈ ı 6 ; 2 ı 3 Exprimer l’ensemble E sous forme d’un intervalle. b Représenter sur l’axe des ordonnées l’ensemble F : sin x ⏐ ⏐ x ∈ 2 ı 3 ; 7 ı 3 Exprimer l’ensemble F sous forme d’un intervalle. 2 Graphiquement et en s’aidant de la représentation du cer-cle trigonométrique, donner l’ensemble des solutions de chacune des inéquations ci-dessous : a sin x − 2 2 b cos x − 1 2 c cos x < 0 6. Etude de fonctions trigonométriques E.2143 1 Les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux majorées par 1 et minorées par − 1 . Traduire cette propriété par une inégalité. 2 Établir les encadrements suivants : a − 2 sin x + cos x 2 b − 5 2 · cos x − 3 · sin x 5 c 1 3 1 2 + cos x 1 3 À l’aide de votre calculatrice, tracer les trois fonctions as-sociées à ces encadrements, puis conjecturer, si possible, si un encadrement plus précis est possible. 7. Démonstrations des propriétés des angles associés E.2185 Dans le plan munit d’un repère or-thonormé et pour ¸ ∈ R , on considère deux points M ( ¸ ) et M ¸ + ı 2 du cercle trigonométrique. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2227 sacados/2227 chapExoCorrec/2231 sacados/2231 OIJ12√22√32-12-√22-√3212√22√32-12-√22-√32 OIJ12√22√32-12-√22-√3212√22√32-12-√22-√32 chapExoCorrec/2232 sacados/2232 chapExoCorrec/2303 sacados/2303 chapExoCorrec/2143 sacados/2143 chapExoCorrec/2185 sacados/2185 OIJCMNMxMyNy¸MNMxMyNy¸ı2
1 À l’aide des coordonnées des points figurant sur la figure, donner les valeurs du cosinus, sinus et tangente pour les angles ¸ et ¸ + ı 2 . 2 a Par quelle transformation, le triangle OMM x a pour image le triangle OM M y ? b En déduire les valeurs de cos ¸ + ı 2 et sin ¸ + ı 2 en fonction de cos( ¸ ) et sin( ¸ ) . 3 Nous allons déterminer le signe des différentes valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles ¸ et ¸ + ı 2 . Ceci afin de s’assurer de la validité des formules trouvées à la question 2 quelle que soit la valeur de l’angle ¸ : cos ¸ sin ¸ tan ¸ ¸ ∈ 0 ; ı 2 ¸ ∈ ı 2 ; ı ¸ ∈ − ı ; − ı 2 ¸ ∈ − ı 2 ; 0 cos ¸ + ı 2 sin ¸ + ı 2 tan ¸ + ı 2 ¸ ∈ 0 ; ı 2 ¸ ∈ ı 2 ; ı ¸ ∈ − ı ; − ı 2 ¸ ∈ − ı 2 ; 0 On en déduit que : tan ¸ + ı 2 = sin ¸ + ı 2 cos ¸ + ı 2 = cos ¸ − sin ¸ = − tan ¸ . Question subsidiaire: Nous allons montrer d’une autre manière que : tan ¸ + ı 2 = − 1 tan ¸ : 4 a Exprimer ON en fonction de ¸ . b En utilisant le fait que cos ı 2 − ¸ =sin ¸ , exprimer la valeur de ON en fonction de ¸ . c En déduire l’aire du triangle ONN . 5 En utilisant le fait que ( OI ) est la hauteur du triangle ONN issue de O , calculer d’une seconde manière l’aire du triangle ONN . 6 Établir la formule suivante : IN + tan ¸ = 1 cos ¸ × 1 sin ¸ 7 En déduire la relation: tan ¸ + ı 2 = − 1 tan ¸ . E.2186 Dans le repère orthonormé ( O ; I ; J ) , on considère le cercle C trigonométrique: c’est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1. On note les points M et M respectivement repéré par les angles complémentaires ¸ et ˛ ( ¸ + ˛ = ı 2 ) . On note : M ( ¸ ) et M ( ˛ ) . On note ( d ) la bissectrice de l’angle JOI et P le point d’intersection de C avec ( d ) 1 Dans cette question, nous allons montrer que les deux points M et M sont symétriques relativement à la droite ( d ) . Pour cela, notons N l’image du point M par la symétrie d’axe ( d ) : a Justifier que le point N est un point du cercle C . b Donner la mesure de l’angle JON en fonction de ¸ . En déduire que le point N appartient à la demi-droite [ OM ) . c Justifier que l’image du point M , par la symétrie d’axe ( d ) , est le point M . On note M x (resp. M x ) le projeté orthogonal sur l’axe des abscisses et M y (resp. M y ) le projeté orthogonal sur l’axe des ordonnées du point M (resp. M ) . 2 a Établir des liens entre les coordonnées des points M et M dans le repère ( O ; I ; J ) . b En déduire les relations suivantes : cos ¸ = sin ı 2 − ¸ ; sin ¸ = cos ı 2 − ¸ https://chingmath.fr OIJCM¸M OIJCM¸M OIJCM¸M OIJCM¸M chapExoCorrec/2186 sacados/2186 OIJCMMxMy¸oMMxMy˛oP(d
Pour finir l’étude de comparaison du cosinus et du sinus de deux angles complémentaire, il faut aussi voir ce qui se passe si le point M se trouve sur un autre quadrant sur le cercle trigonométrique. On considère deux points M et N du cercle trigonométrique caractérisés respectivement par les angles ¸ et ˛ ainsi que leurs projetés orthogonaux respectifs sur les axes du repère: 3 a Pour chacune des trois figures ci-dessous, établir oralement la véracité de l’assertion ci-dessous : Les angles ¸ et ˛ sont complémentaires si, et seulement si, les points M et N sont symétriques relativement à la droite ( d ) b Justifier que ceci nous suffit pour établir pour toute valeur de ¸ , les égalités suivantes : cos ¸ = sin ı 2 − ¸ ; sin ¸ = cos ı 2 − ¸ . 4 En déduire la relation reliant tan ¸ et tan ı 2 − ¸ . E.2187 On considère un repère orthonormé O ; I ; J ) et le cercle trigonométrique de ce repère: c’est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1. La droite (Δ) est la tangente en I au cercle C . Soit ¸ un nombre réel quelconque. On considère les points M ( ¸ ) et M ( − ¸ ) . Un exemple de cette situation est donnée dans le graphique ci-contre. 1 Pour mettre en évidence, les différentes valeurs des fonc-tions trigonométriques associées aux angles ¸ et − ¸ : a Tracer le projeté orthogonal de M sur la droite ( OI ) . Le nommer M x . b Tracer le projeté orthogonal de M sur la droite ( OJ ) . Le nommer M y . c Nommer N le point d’intersection des droites ( OM ) et (Δ) . Tracer le projeté orthogonal de N sur la droite ( OJ ) . Le nommer N y . d Faîtes de même pour le point M 2 a Comparer les abscisses des points M et M . b En déduire une relation entre cos ¸ et cos( − ¸ ) ?. 3 a Comparer les ordonnées des points M et M . b En déduire une relation entre sin ¸ et sin( − ¸ ) ?. 4 a Comparer les ordonnées des points N et N . b En déduire une relation entre tan ¸ et tan( − ¸ ) ?. 8. Repérage polaire et cartésien E.2265 On considère le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé. Chaque point ci-dessous est présenté avec ses coordonnées cartésiennes ( x ; y ) . Déterminer les coordonnées polaires [ ;„ ] associées ( le cas échéant, donner une valeur arrondie au dixième près) : a M − 3 ; − 3 b N (2 ; − 2) c P 6 ; − 2 d Q (5 ; 2) E.2266 On considère le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé. 1 Chaque point ci-dessous est présenté avec ses coordon-nées polaires [ ; „ ] . Déterminer les coordonnées cartésiennes de chacun de ses points : (le cas échéant, donner une valeur arrondie au dixième près) : a M 3 ; ı 4 b N 2 ; − ı 6 c P 3 2 ; 5 ı 6 d Q 10 ; − ı 12 2 On considère le point R de coordonnée polaire [4 ; „ ] tel https://chingmath.fr OIJCMMxMyNxNy¸(dN˛ OIJCMMxMyNxNy¸(dN˛ OIJCMMxMyNxNy¸(dN˛ chapExoCorrec/2187 sacados/2187 OIJCM¸oM−¸o chapExoCorrec/2265 sacados/2265 chapExoCorrec/2266 sacados/2266
que tan „ = 3 . Peut-on déterminer de manière unique les coordonnées cartésiennes du point R . E.2267 Dans un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, construire uniquement au compas et à la règle non-graduée les points suivants : a A 3 ; 3 ı 2 b B 5 2 ; ı 4 c C 2 ; − 2 ı 3 d D 3 ; ı 6 E.2305 1 On considère deux points A et B du plan respectivement de coordonnée polaire 3 ; 4 ı 3 et 2 ; − ı 4 . Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A et B . 2 On considère deux points C et D du plan respectivement de coordonnées cartésiennes ( − 5 ; 5) et 3 ; − 3 . Déterminer les coordonnées polaires des points C et D . E.2908 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J : 1 On considère les deux points A et B définis par leurs coordonnées cartésiennes : a A − 3 3 ; 3 b B − 1 10 ; − 3 10 Déterminer les coordonnées polaires de ces deux points. 2 On considère les deux points C et D définis par leurs coordonnées polaires: a C 1 4 ; − 3 ı 4 b D 15 ; ı 6 Déterminer les coordonnées cartésiennes de ces deux points. 9. Angles orientés E.810 Dans le plan muni d’un repère orthonormal ( O ; I ; J ) , on considère le cercle de centre O et de rayon 1 appelé cercle trigonométrique . Tout point M définit un an-gle géométrique IOM . Le sens de parcours du cer-cle trigonométrique permet de caractériser tout point du cercle par son angle géométrique: l’angle est positif si l’arc IM est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. l’angle est négatif si l’arc IM est orienté dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans la représentation ci-dessus : On a: −→ OI ; −−→ OM =+ ı 3 rad Dans le cercle trigonométrique, on note M + ı 3 . On a: −→ OI ; −−−→ OM = − ı 3 rad Dans le cercle trigonométrique, on note M − ı 3 . 1 Dans la figure ci-dessous, les points A i définissent un angle orienté −→ OI ; −−→ OA i ayant une mesure ˇ re-marquable ı. Pour chacun des points, indiquer la mesure de l’angle associé et rajouter le signe per-mettant de repérer chaque point marqué du cercle trigonométrique: 2 Dans le cercle trigonométrique ci-dessus, placer sur cette figure les points N , P , Q , R , S , T réalisant les mesures suivantes : a −→ OI ; −−→ ON = − ı 4 rad b −→ OI ; −−→ OP = 5 ı 6 rad c −→ OI ; −−→ OQ = − 2 ı 3 rad d −−→ OK ; −−→ OR = − ı 4 rad e −−→ OK ; −→ OS = ı 6 rad f −→ OJ ; −→ OT = − ı 4 rad https://chingmath.fr sacados/2267 chapExoCorrec/2305 sacados/2305 chapExoCorrec/2908 sacados/2908 chapExoCorrec/810 sacados/810 OIJCMı3M−ı3− OIJKLπ6A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12
E.5464 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on consid-ère le cercle trigonométrique représenté ci-dessous sur lequel sont placés plusieurs points : Les points M , N , P vérifient les mesures suivantes : IOM = 30 o ; ION = 45 o IOP = 60 o 1 Donner la mesure des angles repérant les points M , N , P en radians. 2 Les points M , N , P sont respectivement les images des points M , N , P par la symétrie d’axe ( OI ) : a Que peut-on dire de −→ OI ; −−→ OM et −→ OI ; −−−→ OM ? b Donner la mesure en radians des angles suivants : −→ OI ; −−−→ OM ; −→ OI ; −−→ ON ; −→ OI ; −−→ OP 3 Les points M  , N  et P  sont respectivement les images des points M , N , P par la symétrie d’axe ( OJ ) : a Que peut-on dire de −→ OI ; −−→ OM et −→ OI ; −−−→ OM  ? b Donner la mesure en radians des angles suivants : −→ OI ; −−−→ OM  ; −→ OI ; −−−→ ON  ; −→ OI ; −−→ OP  4 Les points M  , N  et P  sont respectivement les im-ages des points M , N , P par la symétrie de centre O : a Quelle relation algébrique vérifie les deux angles : −→ OI ; −−→ OM ; −→ OI ; −−−→ OM  b Donner la mesure en radians des angles suivants : −→ OI ; −−−→ OM  ; −→ OI ; −−−→ ON  ; −→ OI ; −−→ OP  E.5465 On considère le quadri-latère ABCD représenté ci-dessous qui est con-stitué de deux triangles ABC et ACD respective-ment équilatéral et isocèle rectangle en D . À l’aide des points de cette figure et pour chaque question, donner un angle orienté réalisant les mesures suivantes : a ı 3 rad b − ı 4 rad c − ı 6 rad d 7 ı 12 rad E.2153 On considère le cercle trigonométrique C ci-dessous où est inscrit un dodécagone (polygone régulier à 12 côtés) 1 Déterminer la mesure de l’angle −→ OI ; −→ OA 2 Placer sur le cercle C les points M , N , P tels que : a −→ OI ; −−→ OM = 2 ı 3 rad b −→ OJ ; −−→ ON = − ı 6 rad c −→ OA ; −−→ OP = − ı 2 rad c −−→ OQ ; −→ OJ = − 5 ı 6 rad 10. Mesures principales E.2189 On considère la droite graduée suivante sur lequel est posé le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1) . Le point I (unité des abscisses) est placé sur l’origine de la droite graduée. On fait rouler le cercle sur l’ensemble de la droite graduée. 1 Indiquer les différentes positions possibles du point I sur la droite. 2 Justifier que les points A , B , C de la droite graduée représente le même point du cercle trigonométrique. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5464 sacados/5464 IIJJMNPMNPMNPMNP chapExoCorrec/5465 sacados/5465 ABCDI chapExoCorrec/2153 sacados/2153 OIAJ chapExoCorrec/2189 sacados/2189 −2ı−ı0ı2ı3ı4ıOIJABC
E.2200 1 a Que pouvez-vous dire des points du cercle trigonométrique repérés par les angles : 50 o ; 410 o ; 3650 o ; − 310 o b Même question pour les angles : ı 3 rad ; − 5 ı 3 rad ; 7 ı 3 rad Ainsi, pour ¸ ∈ R , tous les angles de l’ensemble ¸ +2 k · ı ⏐ ⏐ k ∈ Z définis-sent un même point sur le cercle trigonométrique. La figure ci-contre montre que le point M peut être repéré par les deux angles : M 7 6 ı ; M − 5 6 ı L’intervalle − ı ; ı s’appelle l’ intervalle des mesures principales et a une longueur de 2 ı . On admet que, pour tout ¸ · R , il existe un seul élément de l’ensemble ¸ +2 kı | k ∈ Z appartenant à l’intervalle − ı ; ı . 2 a Compléter par oui ou non le tableau ci-dessous : Angle − 3 7 ı − 5 3 ı 7 8 ı 57 4 ı − ı appartient à − ı ; ı b Lequel des nombres ci-dessous appartient à l’intervalle ] − ı ; ı ] ? 9 ı 2 − 4 ı ; 9 ı 2 − 2 ı ; 9 ı 2 ; 9 ı 2 +2 ı ; 9 ı 2 +4 ı c Lequel des nombres ci-dessous appartient à l’intervalle ] − ı ; ı ] ? − 5 ı 3 − 2 ı ; − 5 ı 3 ; − 5 ı 3 +2 ı ; − 5 ı 3 +4 ı d Soit E = 5 ı 4 +2 kı ⏐ ⏐ ⏐ k ∈ Z . Donner l’unique élément de l’ensemble E appartenant à l’intervalle des mesures principales. E.2738 On considère la droite graduée ci-dessous où sont placés les points A 20 3 ı , B − 17 5 ı et C 43 8 ı . 1 a Graphiquement, déterminer le nombre de fois dont on doit enlever 2 · ı à l’abscisse du point A afin d’obtenir la mesure principale de ce nombre? b En déduire la mesure principale de 20 3 . 2 Déterminer la mesure principale des abscisses des points B et C . E.535 On munit le plan d’un repère orthonormé O ; I ; J . On désigne par M et N deux points du cercle trigonométrique. 1 Parmi les mesures d’angles ci-dessous, lesquelles apparti-ennent à l’intervalle des mesures principales : a 5 ı 3 b − 7 ı 4 c − 2 ı 3 d 1 ; 1 ı 2 Déterminer la mesure principale des angles définis par les points M , N , P et Q ci-dessous, puis placer chacun de ces points sur le cercle trigonométrique ci-contre : a −→ OI ; −−→ OM = 7 ı 3 b −→ OI ; −−→ ON = − 15 ı 4 c −→ OI ; −−→ OP = 5 ı 3 d −→ OI ; −−→ OQ = 19 ı 6 E.2201 Déterminer la mesure principale des angles orientés de mesure suivante : a 9 ı 4 b 192 ı 6 c − 5 ı 4 d − 33 ı 2 e 16 ı 7 f 52 ı 3 E.2242 1 Donner la mesure principale des angles suivants : a 15 ı 7 b 13 ı 9 c 173 ı 12 d 165 ı 7 e − 64 ı 15 f − 429 ı 33 2 Voici deux intervalles de mesures d’angles orientés : I = 2 ı 3 ; 7 ı 3 ; J = 7 ı 3 ; 35 ı 8 Déterminer l’écriture de chacun de ces ensembles en util-isant les mesures principales d’angles orientées. E.2737 1 On se propose, dans cette question, de déterminer la mesure principale de l’angle ¸ = 73 5 ı : a Soit k un entier relatif réalisant l’encadrement suivant : − ı < 73 5 ı +2 · k · ı ı Réaliser un encadrement de k à l’aide de l’encadrement ci-dessus. b À l’aide de la calculatrice, déterminer l’unique nombre entier k réalisant cet encadrement. c En déduire la mesure principale de l’angle ¸ . 2 De la même manière, déterminer la mesure principale des angles suivants : a − 29 3 ı b − 27 4 ı c 70 9 ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/2200 sacados/2200 OIJCM76ı−56ı chapExoCorrec/2738 sacados/2738 -5ı-4ı-3ı-2ı-ı0ı2ı3ı4ı5ı6ı7ı8ıABC chapExoCorrec/535 sacados/535 OIJKLπ6π4π32π33π45π6-π6-π4-π3-2π3-3π4-5π6 chapExoCorrec/2201 sacados/2201 chapExoCorrec/2242 sacados/2242 chapExoCorrec/2737 sacados/2737
E.2799 1 Donner, sous forme de réunions d’intervalles, l’ensemble formé par les mesures principales des angles repérant les points surlignés du cercle trigonométrique: a b 2 Pour chaque question, surligner l’ensemble des points ayant pour angle orienté l’ensemble précisé sous le cer-cle trigonométrique: a 13 ı 3 ; 29 ı 6 b ı 2 ; 8 ı 3 E.2269 Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : a 254 ı 5 b − 70 ı 3 c 92 ı 7 E.2817 Faire un exercice du style 1 Justifier que les intervalles suivants repèrent les mêmes points sur un cercle trigonométrique: − 19 ı 6 ; − 11 ı 4 5 ı 6 ; 5 ı 4 2 Chercher l’intrus − 19 ı 6 ; − 11 ı 4 5 ı 6 ; 5 ı 4 − 7 ı 6 ; − 3 ı 4 5 ı 6 ; − 3 ı 4 3 Utiliser les questions précédentes pour représenter l’intervalle − 19 ı 6 ; − 11 ı 4 E.4920 On considère une droite graduée d’origine O sur laquelle est placé des points définis par leur abscisse : a ı 2 ; b ı ; c − ı 2 ; d − ı ; e ı 3 f 3 ı 4 ; g − ı 3 ; h − ı 4 ; j − 5 ı 6 On considère le cercle C de rayon 1 placé sur la droite graduée comme l’indique la figure précédente. 1 a Soit M un point de C tel que l’arc OM mesure ı . Donner la mesure de l’angle OIM b Placer l’unique point A du cercle C tel que l’arc OA ait pour longueur ı . 2 a Soit M un point de C tel que l’arc OM mesure ı 2 . Donner la mesure de l’angle OIM b Placer les deux points B et C appartenant au cercle C tel que les arcs OB et OC aient pour longueur ı 2 . 3 De même, placer les points E , F , G , H , J tels que les arcs OE , OF , OG , OH , OJ aient respectivement la même longueur que l’abscisse des points e , f , g , h , j . 11. Angles oriéntés et algèbre E.2798 Sur le dessin ci-dessous, est représen-tée une ligne brisée ABCDE dont les angles géométriques ABC et BCD ont été indiqués. Les droites ( AB ) et ( DE ) sont parallèles. Déterminer la mesure principale de l’angle orientée −−→ DC ; −−→ DE . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2799 sacados/2799 OIJ OIJ OIJ OIJ chapExoCorrec/2269 sacados/2269 sacados/2817 sacados/4920 IOıaπ2b-π2c-ıdπ3e3π4f-π3g-π4h-5π6j0o20o40o60o80o100o120o140o160o180o160o140o120o100o80o60o40o20o chapExoCorrec/2798 sacados/2798 ABCDE5ı75ı9
E.2268 On considère l’heptagone régulier ABCDEFG de centre O . Le point I est le point d’intersection des droites ( BC ) et ( FG ) . 1 Donner, en justifiant votre démarche, la mesure des an-gles orientées suivants (on passera dans un premier temps par l’angle géométrique) : a −−→ OG ; −−→ OB b −→ AG ; −−→ AB c −−→ CE ; −−→ CD 2 Déterminer, avec l’aide de la relation de Chasles, la mesure des angles orientés suivants : a −−→ OE ; −−→ CB b −→ IG ; −→ IB E.2233 On considère le carré ABCD . Soit le point E extérieur au carré tel que BCE soit équilatéral. Soit F le point intérieur au carré tel que le triangle ABF soit équilatéral. On souhaite montrer que les points D , F et E sont alignés. 1 a Donner la mesure des deux angles orientés suivants : −→ AF ; −−→ AD ; −−→ DF ; −−→ DA b En déduire la mesure de l’angle orienté −−→ DC ; −−→ DF . 2 a Donner la mesure de l’angle orienté −−→ CD ; −−→ CE . b En déduire la mesure de l’angle orienté −−→ DC ; −−→ DE . 3 En déduire que les points D , F et E sont alignés. Les questions suivantes ont pour objectif d’utiliser la relation de Chasles. 4 Déterminer la mesure des angles orientés : a −−→ BE ; −−→ CF b −→ AF ; −−→ CE https://chingmath.fr chapExoCorrec/2268 sacados/2268 OBCDEFGAI chapExoCorrec/2233 sacados/2233 ABCDEF