a
Collège
6e
5e
4e
3e
Ressource
hp-collège
Lycée
2de
1re spé
1re stmg
tstmg
1re spécifique
Terminale Spécialité
Terminale Complémentaire
Terminale Experte
Ressource
hp-lycée
4
3
2
1
Hors programme lycée
/ Arithmétique
17 exercices corrigés
a
Division euclidienne
(2 exercices)
Pgcd avec l'algorithme euclidien
(7 exercices)
Entiers, PGCD, PPCM
(2 exercices)
Développement illimité
(1 exercice)
Triplet pythagoricien
(1 exercice)
Théorème de Bezout et algorithme d'Euclide
(2 exercices)
1.
Division
euclidienne
E.1718
On
donne
la
division
euclidienne
de
195
695
par
3
:
195695
=
65231
×
3
+
2
1
En
étudian
t
le
pro
duit
(65231
×
3+2)
×
2
,
déterminer
la
division
euclidienne
de
195695
×
2
par
3.
2
F
aire
de
même
p
our
la
division
euclidienne
de
195
695
×
3
par
3.
3
Compléter
le
tableau
suiv
an
t
:
n
1
2
3
4
5
6
7
Division
euclidienne
de
195695
×
n
E.16
On
admet
qu’on
obtien
t
le
même
reste
en
divisan
t
un
en
tier
par
9
qu’en
divisan
t
la
somme
de
ses
c
hiffres
par
9.
P
ar
exemple
:
8753
=
972
×
9
+
5
le
reste
est
donc
5.
8
+
7
+
5
+
3
=
23
=
2
×
9
+
5
le
reste
est
égalemen
t
5.
Sur
les
billets
de
banque
en
euros
figure
un
co
de
de
11
c
hiffres
précédé
d’une
lettre.
On
remplace
la
lettre
par
son
rang
dans
l’alphab
et
habituel
comp
ortan
t
26
c
hiffres.
On
obtien
t
ainsi
un
en
tier
à
12
ou
13
c
hiffres
et
on
c
herc
he
le
reste
de
la
divi-
sion
de
ce
nom
bre
par
9
.
Ce
reste
est
le
même
p
our
tous
les
billets
authen
tiques
et
il
v
aut
8
.
Exemple
:
Co
de
:
s
00
212
913
862
Rang
dans
l’alphab
et
de
la
lettre
s
:
19
Nom
bre
obten
u
:
1
900
212
913
862
Reste
p
our
ce
billet
:
8
1
Le
co
de
u
01
308
937
097
figure
sur
un
billet
de
banque.
a
Donner
l’en
tier
à
13
c
hiffres
corresp
ondan
t
à
ce
co
de.
b
Calculer
le
reste
de
la
division
par
9
de
la
somme
des
13
c
hiffres
de
cet
en
tier.
c
Que
p
eut-on
dire
de
ce
billet?
2
Sur
un
billet
authen
tique
figure
le
co
de
s
02
166
448
10
x
,
x
p
our
le
dernier
c
hiffre
illisible.
Mon
trer
que
x
+42
est
congru
à
8
mo
dulo
9.
En
déduire
x
.
3
Sur
un
autre
billet
authen
tique
la
partie
du
co
de
formé
par
les
11
c
hiffres
est
16
122
340
242
,
mais
la
lettre
qui
les
précède
est
effacée.
On
app
elle
n
le
rang
dans
l’alphab
et
de
la
lettre
effacée.
a
Déterminer
les
v
aleurs
p
ossibles
de
n
.
b
Quelles
son
t
les
p
ossibilités
p
our
la
lettre
effacée?
2.
Pgc
d
ave
c
l’algorithme
euclidien
E.13
P
our
rendre
irréductible
la
fraction
6452
3241
,
nous
allons
calculer
le
PGCD
des
en
tiers
6452
et
3241?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/1718
chapExoCorrec/16
sacados/16
20
euro
20
20
s
0021291386
s
0021291386
chapExoCorrec/13
sacados/13
Dividende
Diviseur
Reste
6452
3241
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
×
6452
...
3241
...
×
...
...
...
...
×
...
...
...
...
×
...
...
...
...
E.14
Dans
une
maison
nouv
ellemen
t
con-
struite,
on
v
eut
carreler
les
sols
de
certaines
pièces.
1
Le
sol
de
la
salle
à
manger
est
un
rectangle
de
longueur
4
;
54
m
et
de
largeur
3
;
75
m
.
On
v
eut
carreler
cette
pièce
a
v
ec
des
car-
reaux
carrés
de
33
cm
de
côté.
On
commence
la
p
ose
par
un
ˇ
c
oin
ı
de
la
pièce
comme
le
suggère
la
figure
ci-con
tre.
Calculer
le
nom
bre
de
car-
reaux
non
découp
é
qui
auron
t
été
p
osés.
2
Le
sol
de
la
cuisine
est
un
rectangle
de
longueur
4
;
55
m
et
de
largeur
3
;
85
m
.
On
v
eut
carreler
cette
pièce
a
v
ec
un
nom
bre
en
tier
de
dalles
carrées,
sans
aucune
découp
e.
a
Donner
la
liste
des
diviseurs
de
455
puis
la
liste
des
diviseurs
de
385.
b
Donner
la
liste
des
diviseurs
comm
uns
à
455
et
385.
c
Quel
est
alors
le
plus
grand
côté
p
ossible
des
dalles
carrées
à
utiliser
p
our
carreler
cette
cuisine?
3
On
disp
ose
de
dalles
rectangulaires
de
longueur
24
cm
et
de
largeur
15
cm
.
a
Donner
la
liste
des
m
ultiples
de
24
inférieurs
à
400,
puis
la
liste
des
m
ultiples
de
15
inférieurs
à
400
b
Donner
la
liste
des
m
ultiples
comm
uns
à
24
et
15,
in-
férieurs
à
400.
c
Quelle
serait
la
longueur
du
côté
de
la
plus
p
etite
pièce
carrée
qui
p
ourrait
être
carrelée
a
v
ec
un
nom
bre
en
tier
de
dalles
de
ce
t
yp
e,
sans
aucune
découp
e?
E.3328
1
À
l’aide
de
l’algorithme
d’Euclide,
compléter
le
tableau
ci-dessous
afin
de
déterminer
le
PGCD
des
nom
bres
240
et
36
:
2
Rendre
la
fraction
240
36
irréductible
en
effectuan
t
une
unique
simplification.
P
ar
quel
en
tier
a
v
ez-v
ous
simpli-
fié?
Justifier
v
otre
démarc
he.
E.4995
1
Déterminer
à
l’aide
de
l’algorithme
d’Euclide
le
P
GC
D
des
en
tiers
410
et
246
:
2
a
Simplifier
la
fraction
246
410
.
b
Effectuer
les
calculs
suiv
an
ts
:
246
410
−
8
5
;
1
246
−
1
410
E.3329
1
Calculer
le
Plus
Grand
Comm
un
Diviseur
(PGCD)
de
496
et
de
806.
2
Écrire
496
806
sous
la
forme
d’une
fraction
irréductible.
3
Calculer
496
806
−
3
26
(on
donner
a
le
r
ésultat
sous
la
forme
d’une
fr
action
irr
é-
ductible)
E.3749
Déterminer,
à
l’aide
de
l’algorithme
d’Euclide,
le
P
GC
D
des
en
tiers
a
et
b
:
a
a
=
354
;
b
=
20
b
a
=
1
456
;
b
=
256
c
a
=
17
;
b
=
3941
d
a
=
256
419
;
b
=
3
866
E.6077
On
considère
l’équation
(
E
)
:
44
·
x
+
35
·
y
=
2
x
∈
N
;
y
∈
N
1
a
À
l’aide
de
l’algorithme
d’Euclide,
mon
trer
que
les
en
tiers
44
et
35
son
t
premiers
en
tre
eux.
b
Déterminer
un
couple
(
x
0
;
y
0
)
v
érifian
t
la
relation
:
44
·
x
0
+
35
·
y
0
=
1
2
En
déduire
l’ensem
ble
des
solutions
de
l’équation
(
E
)
.
3.
Entiers,
PGCD,
PPCM
E.259
1
Donner
la
décomp
osition
en
pro
duit
de
facteurs
premiers
des
en
tiers
naturels
suiv
an
ts
:
a
25
×
72
b
54
×
12
c
32
×
84
d
100
×
98
2
Déduire
de
la
question
1
,
déterminer
:
a
Le
PGCD
du
couple
(
25
×
72
;
54
×
12
)
;
b
Le
PPCM
du
couple
(
32
×
84
;
100
×
98
)
d’en
tiers
na-
turels.
3
Utiliser
un
arbre
de
diviseurs
p
our
déterminer
l’ensem
ble
des
diviseurs
de
l’en
tier
315.
E.277
1
Déterminer
les
décomp
ositions
en
pro
duit
de
facteurs
pre-
miers
des
en
tiers
suiv
an
ts
:
a
36
×
54
b
125
×
134
c
280
×
24
2
En
déduire
le
PGCD
et
le
PPCM
du
couple
(
6720
;
16750
)
d’en
tiers
naturels.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/14
sacados/14
chapExoCorrec/3328
sacados/3328
Dividende
Diviseur
Reste
240
36
...
...
...
...
...
...
...
×
240
...
36
...
×
...
...
...
...
×
...
...
...
...
chapExoCorrec/4995
sacados/4995
Dividende
Diviseur
Reste
410
246
...
...
...
...
...
...
...
×
410
...
246
...
×
...
...
...
...
×
...
...
...
...
chapExoCorrec/3329
sacados/3329
chapExoCorrec/3749
sacados/3749
chapExoCorrec/6077
sacados/6077
chapExoCorrec/259
sacados/259
chapExoCorrec/277
sacados/277
4.
Développ
ement
il
limité
E.1822
On
considère
la
suite
(
u
n
)
géométrique
de
premier
terme
u
0
=
2
et
de
raison
3.
1
a
Déterminer
les
termes
u
1
,
u
2
,
u
3
et
u
4
.
b
Donner
l’écriture
en
base
7
de
u
2
.
c
Mon
trer
que
l’écriture
en
base
7
est
105
7
.
d
P
our
obtenir
l’écriture
en
base
7
de
u
4
,
un
élèv
e
a
ef-
fectué
la
m
ultiplication
ci-dessous.
Dire
s’il
a
ou
non
raison
et
expliquer
p
ourquoi.
1
0
5
×
3
3
1
5
2
a
Mon
trer
que
:
u
5
=
486
.
b
On
considère
la
fonction
f
,
extrait
d’un
algorithme,
et
prenan
t
p
our
argumen
t
a
un
en
tier
naturel
:
Fonction
f(a)
L
←
liste
vide
x
←
a
Tant
que
x
>
0
r
←
reste
de
la
division
euclidienne
de
x
par
7
Ajouter
r
en
tête
de
la
liste
L
x
←
q
Fin
Tant
Renvoyer
L
Compléter
le
tableau
ci-dessous
afin
d’y
inscrire
les
dif-
féren
tes
v
aleurs
prises
par
les
v
ariables
de
la
fonction
f
lors
d’un
app
el
à
la
fonction
f
à
l’aide
du
paramètre
a
=
486
:
r
q
L
x
Initialisation
vide
486
Fin
étap
e
1
Fin
étap
e
2
.
.
.
.
.
.
Expliquer
le
lien
en
tre
les
élémen
ts
de
la
liste
L
et
l’écriture
de
u
5
en
base
7.
3
On
a
divisé
le
terme
u
10
de
la
suite
(
u
n
)
par
un
certain
en
tier.
On
obtien
t
le
quotien
t
Q
don
t
l’écriture
décimale
est
Q
=
14
;
727
272
727
272
72
:::
écriture
dans
laquelle
les
c
hiffres
7
et
2
se
rép
èten
t
à
l’infini.
On
note
(
v
n
)
la
suite
géométrique
de
premier
terme
0
;
72
et
de
raison
0
;
01
.
a
Calculer
v
0
+
v
1
+
v
2
b
On
p
ose
S
n
=
v
0
+
v
1
+
v
2
+
···
+
c
n
où
n
est
un
en
tier
na-
turel
non
n
ul.
c
Calculer
S
n
.
En
déduire
lim
n
↦→
+
∞
S
n
.
d
En
déduire
une
écriture
de
0
;
727
272
:
:
:
où
les
c
hiffres
7
et
2
se
rép
èten
t
à
l’infini
sous
la
forme
du
quotien
t
de
deux
en
tiers.
Quel
est
le
nom
bre
par
lequel
on
a
divisé
u
10
?
5.
T
riplet
pythagoricien
E.1953
1
Mon
trons
que
le
triplet
2
mn
;
m
2
−
n
2
;
m
2
+
n
2
est
un
triplet
p
ythagoricien
:
a
Dév
elopp
er
et
réduire
:
m
2
−
n
2
m
2
−
n
2
b
Dév
elopp
er
et
réduire
:
m
2
+
n
2
m
2
+
n
2
c
Simplifier
l’écriture
de
:
2
·
m
·
n
2
d
Établir
l’égalité
suiv
an
te
:
2
·
m
·
n
2
+
m
2
−
n
2
2
=
m
2
+
n
2
2
Main
tenan
t,
nous
allons
mon
trer
que
tout
triplet
p
ythagoricien
p
eut
s’écrire
sous
la
forme
2
·
m
·
n
;
m
2
−
n
2
;
m
2
+
n
2
.
2
Étude
du
triplet
16
;
30
;
34
a
Vérifier
que
ce
triplet
est
de
Pythagore.
P
ar
iden
tification
a
v
ec
le
triplet
général,
on
doit
a
v
oir
m
et
n
qui
v
érifie
sim
ultanémen
t
les
trois
lignes
(le
système
suivant)
:
m
2
−
n
2
=
16
2
·
m
·
n
=
30
m
2
+
n
2
=
34
b
Résoudre
le
système
précéden
t.
1
P
our
un
triplet
p
ythagoricien
a
;
b
;
c
,
p
osons
:
m
2
=
c
+
a
2
;
n
2
=
c
−
a
2
a
Établir
les
égalités
suiv
an
tes
:
a
=
m
2
−
n
2
;
b
=
2
·
m
·
n
;
c
=
m
2
−
n
2
6.
Thé
or
ème
de
Bezout
et
algorithme
d’Euclide
E.3751
P
our
c
haque
équation,
déterminer
un
couple
de
solution
d’en
tiers
(
u
;
v
)
:
a
354
·
u
+
49
·
v
=
1
b
34
·
u
+
57
·
v
=
1
E.3753
1
Déterminer
un
couple
(
x
;
y
)
d’en
tiers
solutions
de
l’équation
:
56
·
x
+
45
·
y
=
1
2
En
déduire
un
couple
(
x
;
y
)
d’en
tiers
relatifs
v
érifian
t
l’égalité
:
56
·
x
+
45
·
y
=
3
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/1822
sacados/1953
chapExoCorrec/3751
sacados/3751
chapExoCorrec/3753
sacados/3753
7.
Exer
cic
es
non-classés
E.29
1
Sans
la
calculatrice,
effectuer
la
division
euclidienne
de
372
par
15
.
2
A
v
ec
la
calculatrice,
déterminer
la
division
euclidienne
de
37
852
par
23
.
3
a
2456
=
17
×
143
+
25
Déduire
la
division
euclidienne
de
2
456
par
17
.
b
32
247
143
=
225
+
72
143
Déduire
la
division
euclidienne
de
32
247
par
143
.
c
516
43
=
12
Déduire
la
division
euclidienne
de
516
par
43
.
d
674
24
=
28
+
1
12
Déduire
la
division
euclidienne
de
674
par
24
.
e
5460
63
=
86
+
2
3
Déduire
la
division
euclidienne
de
5
460
par
63
.
E.336
On
v
eut
essa
y
er
de
déterminer
le
signe
des
expressions
suiv
an
tes
:
2
y
;
x
+
y
;
x
−
y
;
x
(2
y
−
1)
;
−
x
+
y
Dans
les
cas
suiv
an
ts
:
x
>
0
et
y
>
0
:
P
ositif
Négatif
On
ne
p
eut
conclure
2
y
x
+
y
x
−
y
x
(2
y
−
1)
−
x
+
y
x
>
0
et
y
<
0
:
P
ositif
Négatif
On
ne
p
eut
conclure
2
y
x
+
y
x
−
y
x
(2
y
−
1)
−
x
+
y
E.5302
Le
but
de
cet
exercice
est
de
démon
trer
par
l’absurde
qu’il
existe
une
infinité
d’en
tiers
premiers
de
la
forme
4
n
−
1
,
où
n
est
un
élémen
t
de
N
∗
(ensemble
des
entiers
natur
els
non
nuls)
.
1
Soit
E
l’ensem
ble
des
en
tiers
premiers
de
la
forme
4
n
−
1
où
n
est
un
élémen
t
de
N
∗
.
Mon
trer
que
E
a
au
moins
deux
élémen
ts.
2
On
supp
ose
E
fini
.
Soit
P
le
pro
duit
de
tous
les
élémen
ts
de
E
et
X
=
4
P
−
1
.
a
T
rouv
er
un
minoran
t
de
X
.
b
Mon
trer
que
X
n’est
pas
divisible
par
2
,
et
en
déduire
que
tout
facteur
premier
de
X
est
soit
de
la
forme
4
n
+1
,
soit
de
la
forme
4
n
−
1
où
n
est
un
élémen
t
de
N
∗
.
c
Mon
trer
que
X
p
ossède
au
moins
un
facteur
premier
de
la
forme
4
n
−
1
où
n
est
un
élémen
t
de
N
∗
.
3
En
considéran
t
un
facteur
premier
p
de
X
de
la
forme
4
n
−
1
,
la
définition
de
P
et
la
relation
X
=
4
P
−
1
,
ac
hev
er
la
démonstration
par
l’absurde.
h
ttps:/
/c
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