Hors programme lycée / Autres suites 10 exercices corrigés

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1. Suites et nombres de Fibonacci E.590 L’hypothèse du continu suppose que toute partie de droite peut être découpée indéfiniment et que chaque partie à une longueur non-nulle. Cette hypothèse va à l’encontre de la conception de la matière en tant que masse d’atome, mais est très utilisé dans les phénomènes de mouvement, dans la théorie quantique. Le calcul infinitésimal est la branche des mathématiques qui étudient l’infiniment loin et l’infiniment proche. (paradoxe de Zénon d’Élée) ˇIl n’y a point de mouvement, car il faut que le mobile arrive au milieu de son parcours avant d’atteindre la finı Ce paradoxe est censé mettre en échec la continuité : c’est-à-dire que l’on peut diviser indéfiniment une longueur. Concept à l’opposé du discret (théorie atomiste) E.1872 Considérons un point X se déplaçant de A vers B en décrivant l’intégralité du segment. On décompose le parcours du point de la manière suivante : On dira que ce point arrivera à la première étape, lorsqu’il aura parcouru la moitié de [ AB ] : on notera X 1 ce point. Il sera à la seconde étape lorsqu’il aura parcouru la moitié du chemin restant, c’est-à-dire la moitié de [ X 1 B ] : ce point sera noté X 2 . La troisième étape sera la moitié de [ X 2 B ] : la moitié de la distance restante. . . Et ainsi de suite. On considère X 0 comme étant le point A de départ. 1 Placer sur la droite ci-dessous les points X 1 , X 2 , X 3 et X 4 . 2 On supposera désormais que la distance AB mesure 1 mètre. a Donner la distance X 0 X 1 , X 1 X 2 , X 2 X 3 et X 3 X 4 . b Par extrapolation, donner les mesures de X 4 X 5 , X 5 X 6 , X 6 X 7 et X 7 X 8 . c Pour n ∈ N , faîtes une conjecture quant à la distance X n − 1 X n . 3 On se propose d’étudier la somme infinie de termes : S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + · · · Pour cela, pour n ∈ N , on considère la somme à n termes : S n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2 n a Écrire, sans calculer, les sommes S 3 , S 4 et S 5 . b Établir la formule : S n +1 = 1 2 + 1 2 · S n c Donner une raison pour laquelle les nombres S n se rap-prochent de la valeur 1 lorsque le nombre d’étapes de-vient très grande. On dira que S n admet une limite lorsque n tend vers + ∞ . d En notant S la valeur limite de S n lorsque n tend vers + ∞ : on notera lim n ↦→ + ∞ S n = S . Par passage à la limite de la formule 2 , on obtient l’égalité: S = 1 2 + 1 2 · S . Retrouver la valeur de S . On vient de mettre en évidence une des propriétés de l’hypothèse du continu : Tout segment peut être découpé en une infinité de segments tous de longueurs non-nulle. E.1873 Définition: (du petit Robert) dichotomie : Division, subdivision binaire (entre deux éléments qu’on sé-pare nettement et qu’on oppose) En admettant la thèse de la continuité, tout objet est divisi-ble à l’infini. On sait que 2 ∈ [1 ; 2] car: 1 2 < 2 2 < 2 2 Deux nombres et leurs carrés étant rangés dans le même ordre. 1 < 2 < 2 Mise en place de l’algorithme: À l’étape 0 (l’étape initiale) , on sait que 2 est contenu dans l’intervalle [1 ; 2] Pour passer à l’étape suivante, on considère le milieu de cet intervalle 1 ; 5 . Puis, on compare 1 ; 5 et √ 2 afin de savoir si √ 2 est contenu dans l’intervalle [1 ; 1 ; 5] ou l’intervalle [1 ; 5 ; 2] . On obtient ainsi un nouvel intervalle correspondant à l’étape 1. On réitère ce procédé une infinité de fois. On notera [ a n ; b n ] l’intervalle correspondant à l’étape n et u n sa longueur. 1 a Donner la valeur de u 0 , u 1 et u 2 . b Placer les points a 0 , b 0 , a 1 , b 2 , a 3 et b 4 sur la droite graduée ci-dessous. 2 a Donner la valeur de u n en fonction de n . b Donner un encadrement de b n − a n pour n =10 . En déduire la précision de l’approximation de 2 par u 10 . 3 Que devient la valeur de u n lorsque n croit vers + ∞ (on dit que n tend vers l’infini) . C’est-à-dire quel est la valeur de lim n ↦→ + ∞ u n . https://chingmath.fr sacados/590 sacados/1872 AB sacados/1873 12
E.1874 Achille et la tortue (paradoxe de Zénon d’Élée) Problème: si la tortue a de l’avance sur Achille, celui-ci ne pourra jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car qu’Achille court pour atteindre le point d’où est partie la tortue, celle-ci avance de telle sorte qu’Achille ne pourra jamais annuler cette avance. On suppose que la tortue a pris un mètre d’avance, qu’Achille court à la vitesse de 2 m = s et la tortue à une vitesse de 1 m = s . On note t 0 l’instant de départ, A 0 la position initiale d’Achille et T 0 celle de la tortue. t 1 est l’instant où Achille atteint la position précédente de la Tortue. Notons A 1 cette position, la tortue continuant à avancer se trouve en T 1 . Et ainsi de suite. En se basant sur le fait qu’on puisse découper en autant de bout le parcours d’Achille et de la tortue (hypothèse de la continuité) , on croit qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue puisqu’il lui restera toujours une part du chemin à par-courir. Autre embêtement, tous ses petits segments mis bout à bout ont quelle mesure? Autrement dit, Achille rattrapera la tortue à l’infini? 1 Placer sur la dernière droite graduée le point A 2 et T 2 . 2 Donner les valeurs de T 0 − A 0 , T 1 − A 1 , T 2 − A 2 . 3 On accepte le fait que, à tout rang de l’étude, on a: u n = T n − A n = 1 2 n . Nous allons calculer à quelle distance du point d’Achille, les participants vont se rejoindre. On note : u n = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n a Développer: 1 − 1 2 × S n b En déduire : S n = 1 − 1 2 n +1 1 − 1 2 c Donner la limite de S n lorsque n tend vers l’infini qu’on note : lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + · · · + u n ou lim n ↦→ + ∞ + ∞ k =0 u n . Remarque: Les paradoxes de Zénon ont été rapportés par Aristote dans son livre sur la physique (Livre VI) . On aurait aussi pu considérer les deux fonctions qui au temps associe la position d’Achille et de la tortue sur la droite et déterminer le point d’intersection. E.1875 La discontinuité (paradoxe de Zénon d’Élée) E.182 1 On considère le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 Montrer que, pour tout entier n naturel supérieur à 2 , les nombres F n vérifient la relation suivante : F n = F n − 1 + F n − 2 Les nombres ( F n ) s’appellent les ˇ nombres de Fibonacci ı ; toute suite de nombres présentant une telle relation sera dite de ˇ Suites de Fibonacci ı. Plus précisément, la suite étudiée précédemment est définie par les conditions initiales: F 0 =0 ; F 1 =1 Il est clair que : lim n ↦→ + ∞ F n =+ ∞ . Nous allons étudier maintenant le rapport de deux termes consécutifs ; c’est-à-dire que nous allons étudier la valeur du quotient F n +1 F n quand n devient de plus en grand (c’est-à-dire lorsque n tend vers + ∞ ) . 2 a Pour n =2 , établir l’égalité suivante : F n +1 F n = 2 b Compléter le tableau suivant avec une précision à 10 − 5 près : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F n +1 F n 3 Faire une conjecture quant à la limite de la suite ( F n ) et le nombre d’or 1+ 5 2 . Nous allons maintenant montrer que toutes suites de Fi-bonacci ont le rapport de ses termes consécutifs qui tend vers le nombre d’or: 4 En notant R n la valeur du rapport F n +1 F n , montrer que : R n = 1 + 1 R n − 1 5 En admettant, que la suite ( R n ) admet une limite finie r lorsque n tend vers + ∞ , en déduire que r vérifie la relation: r 2 = r + 1 6 Vérifier que 1+ 5 2 et 1 − 5 2 sont deux nombres vérifi-ant cette équation. 7 En admettant le fait qu’un polynôme du second degré ne peut s’annuler qu’en au plus deux valeurs, dîtes pourquoi la suite des rapports F n +1 F n tend nécessairement vers 1+ 5 2 2. Suites définies conjointement (terminales) https://chingmath.fr sacados/1874 A0T0tt0 A1T1tt1 tt2 sacados/1875 sacados/182
E.5900 On définit les suites u n et v n sur l’ensemble N des entiers naturels par : u 0 = 0 ; v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 · v n 3 Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites u n et v n . Partie A 1 Calculer u 1 et v 1 . 2 On considère la fonction f extrait d’un algorithme où le paramètre n est un entier supérieur ou égal à 1 : Fonction f(n) u ← 0 v ← 1 Pour k variant de 1 à n w ← u u ← w+v 2 v ← w+2 · v 3 Fin Pour Renvoyer ( u ; v) a On appelle la fonction f avec pour argument la valeur n =2 . Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’appel à la fonction f . k w u v 1 2 b Pour un nombre entier N donné, à quoi correspond le couple de valeurs renvoyé par la fonction f par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? Partie B 1 a À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel, on a: v n − u n > 0 b En déduire que la suite u n est une suite croissante et v n est une suite décroissante. 2 Justifier que les suites u n et v n sont convergentes. Partie C 1 On considère la suite w n définie, pour tout entier na-turel n , par : w n = v n − u n a Démontrer que la suite w n est géométrique. b Justifier que les limites des suites u n et v n sont égales. 2 On considère la suite t n définie, pour tout entier na-turel n , par : t n =2 · u n +3 · v n a Démontrer que la suite t n est constante. b En déduire l’expression des termes de la suite u n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite u n . 3. Un peu plus loin: suites homographiques E.2454 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 14 ; u n +1 = 10 · u n − 1 u n + 8 pour tout n ∈ N . On admet que la suite u n est définie sur N et que les termes de la suite sont strictement supérieurs à 1 . 1 On représente ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = 10 x − 1 x + 8 ainsi que la représentation de la première bissectrice du plan : Représenter sur l’axe des abscisses les cinq premiers ter-mes de la suite. 2 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = 1 u n − 1 pour tout entier naturel n . a Montrer que pour tout n ∈ N , on a: v n +1 − v n = 1 9 b Donner la formule explicite définissant chaque terme https://chingmath.fr chapExoCorrec/5900 sacados/5900 chapExoCorrec/2454 sacados/2454 024681012142468
de la suite v n en fonction du rang n . c En déduire la formule explicite définissant chaque terme de la suite u n en fonction du rang n . E.2414 On considère la suite u n n ∈ N définie : u 0 =4 ; u n +1 = − u n +6 u n − 2 pour tout entier naturel n . 1 Déterminer les trois premiers termes de la suite u n . 2 Soit la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = u n + 2 u n − 3 pour tout entier naturel n . a Déterminer les trois premiers termes de cette suite. b Montrer que : v n +1 v n = − 1 4 c En déduire la nature de la suite v n ainsi que la for-mule explicite déterminant le terme de rang n en fonc-tion de n . 3 a Déterminer l’expression du terme u n en fonction du terme v n . b En déduire la formule explicite définissant les termes de u n en fonction de n . E.5166 On considère la fonction f définie sur −∞ ; 8 par la relation: f ( x ) = 4 · x + 4 − x + 8 Dans le repère orthonormé O ; I ; J ci-dessous, est représen- tée la courbe C f représentative de la fonction f . On considère la suite u n définie par les relations : u 0 = − 4 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N 1 Sur le graphique, représenter les cinq premiers termes de la suite u n sur l’axe des abscisses. 2 Par le calcul, déterminer la valeur exacte des cinq pre-miers termes de la suite u n . 3 On considère la suite v n définie par la relation: v n = 1 u n − 2 pour tout n ∈ N a Déterminer les cinq premiers termes de la suite v n . b Faire une conjecture sur la nature de la suite v n et sur la valeur de ses éléments caractéristiques. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2414 sacados/2414 chapExoCorrec/5166 sacados/5166 -4-3-2-12I-12JOCf