Hors programme lycée / Autres suites 10 exercices corrigés

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1. Suites et nombres de Fibonacci E.590 L’hypothèse de continuité suppose que toute partie de droite peut être découpée indéfiniment et que chaque partie a une longueur non-nulle. Cette hypothèse va à l’encontre de la conception de la matière formée d’atomes, mais est très utilisée dans les phénomènes de mouvement, dans la théorie quantique. Le calcul infinitésimal est la branche des mathématiques qui étudie l’infiniment grand et l’infiniment petit. (paradoxe de Zénon d’Élée) ˇIl n’y a point de mouvement, car il faut que le mobile arrive au milieu de son parcours avant d’atteindre la finı Ce paradoxe est censé mettre en échec la continuité : c’est-à-dire l’idée qu’on peut diviser indéfiniment une longueur, no-tion opposée au discret (théorie atomiste) . E.1872 Considérons un point X se déplaçant de A vers B en décrivant l’intégralité du segment. On décompose le parcours du point de la manière suivante : On dira que ce point arrivera à la première étape, lorsqu’il aura parcouru la moitié de [ AB ] : on notera X 1 ce point. Il sera à la seconde étape lorsqu’il aura parcouru la moitié du chemin restant, c’est-à-dire la moitié de [ X 1 B ] : ce point sera noté X 2 . La troisième étape sera la moitié de [ X 2 B ] : la moitié de la distance restante. . . Et ainsi de suite. On considère X 0 comme étant le point A de départ. 1 Placer sur la droite ci-dessous les points X 1 , X 2 , X 3 et X 4 . 2 On supposera désormais que la distance AB mesure 1 mètre. a Donner les distances X 0 X 1 , X 1 X 2 , X 2 X 3 et X 3 X 4 . b Par extrapolation, donner les mesures de X 4 X 5 , X 5 X 6 , X 6 X 7 et X 7 X 8 . c Pour n ∈ N , faire une conjecture quant à la distance X n X n − 1 . 3 On se propose d’étudier la somme infinie de termes : S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + · · · Pour cela, pour n ∈ N , on considère la somme à n termes : S n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2 n a Écrire, sans calculer, les sommes S 3 , S 4 et S 5 . b Établir la formule : S n +1 = 1 2 + 1 2 · S n c Donner une raison pour laquelle les nombres S n se rap-prochent de la valeur 1 lorsque le nombre d’étapes de-vient très grand. On dira que S n admet une limite lorsque n tend vers + ∞ . d En notant S la valeur limite de S n lorsque n tend vers + ∞ : on notera lim n ↦→ + ∞ S n = S . Par passage à la limite de la formule 3 b , on obtient l’égalité: S = 1 2 + 1 2 · S . Retrouver la valeur de S . On vient de mettre en évidence une des propriétés de l’hypothèse de continuité : Tout segment peut être découpé en une infinité de segments tous de longueur non nulle. E.1873 Définition: (du Petit Robert) dichotomie : Division, subdivision binaire (entre deux éléments qu’on sé-pare nettement et qu’on oppose) En admettant la thèse de la continuité, tout objet est divisi-ble à l’infini. On sait que 2 ∈ [1 ; 2] car: 1 2 < 2 2 < 2 2 Deux nombres et leurs carrés étant rangés dans le même ordre. 1 < 2 < 2 Mise en place de l’algorithme: À l’étape 0 (l’étape initiale) , on sait que 2 est contenu dans l’intervalle [1 ; 2] Pour passer à l’étape suivante, on considère le milieu de cet intervalle 1 ; 5 . Puis, on compare 1 ; 5 et √ 2 afin de savoir si √ 2 est contenu dans l’intervalle [1 ; 1 ; 5] ou l’intervalle [1 ; 5 ; 2] . On obtient ainsi un nouvel intervalle correspondant à l’étape 1. On réitère ce procédé une infinité de fois. On notera [ a n ; b n ] l’intervalle correspondant à l’étape n et u n sa longueur. 1 a Donner les valeurs de u 0 , u 1 et u 2 . b Placer les points a 0 , b 0 , a 1 , b 2 , a 3 et b 4 sur la droite graduée ci-dessous. 2 a Donner la valeur de u n en fonction de n . b Donner un encadrement de b n − a n pour n =10 . En déduire la précision de l’approximation de 2 par a n . 3 Que devient la valeur de u n lorsque n croît vers + ∞ (on dit que n tend vers l’infini) . Autrement dit, quelle est la valeur de lim n ↦→ + ∞ u n . https://chingmath.fr sacados/590 sacados/1872 AB sacados/1873 12
E.1874 Achille et la tortue (paradoxe de Zénon d’Élée) Problème: si la tortue a de l’avance sur Achille, celui-ci ne pourra jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car pendant qu’Achille court pour atteindre le point d’où est partie la tortue, celle-ci avance de telle sorte qu’Achille ne pourra jamais annuler cette avance. On suppose que la tortue a pris un mètre d’avance, qu’Achille court à la vitesse de 2 m = s et la tortue à une vitesse de 1 m = s . On note t 0 l’instant de départ, A 0 la position initiale d’Achille et T 0 celle de la tortue. t 1 est l’instant où Achille atteint la position précédente de la Tortue. Notons A 1 cette position, la tortue continuant à avancer se trouve en T 1 . Et ainsi de suite. En se basant sur le fait qu’on puisse découper en autant morceaux que l’on veut le parcours d’Achille et de la tortue (hypothèse de la continuité) , on croit qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue puisqu’il lui restera toujours une part du chemin à parcourir. Autre difficulté, quelle est la longueur to-tale de tous ces petites segments mis bout à bout? Autrement dit, Achille rattrapera la tortue à l’infini? 1 Placer sur la dernière droite graduée les points A 2 et T 2 . 2 Donner les valeurs de T 0 − A 0 , T 1 − A 1 , T 2 − A 2 . 3 On accepte le fait que, à tout rang de l’étude, on a: u n = T n − A n = 1 2 n . Nous allons calculer à quelle distance du point de départ d’Achille les participants vont se rejoindre. On note : S n = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n a Développer: 1 − 1 2 × S n b En déduire : S n = 1 − 1 2 n +1 1 − 1 2 c Donner la limite de S n lorsque n tend vers l’infini qu’on note : lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + · · · + u n ou lim n ↦→ + ∞ n k =0 u k . Remarque: Les paradoxes de Zénon ont été rapportés par Aristote dans son livre sur la physique (Livre VI) . On aurait aussi pu considérer les deux fonctions qui au temps associent la position d’Achille et de la tortue sur la droite et déterminer le point d’intersection. E.1875 La discontinuité (paradoxe de Zénon d’Élée) E.182 1 On considère le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , les nombres F n vérifient la relation suivante : F n = F n − 1 + F n − 2 Les nombres ( F n ) s’appellent les ˇ nombres de Fibonacci ı ; toute suite de nombres présentant une telle relation sera dîte de ˇ suite de Fibonacci ı. Plus précisément, la suite étudiée précédemment est définie par les conditions initiales: F 0 =0 ; F 1 =1 Il est clair que : lim n ↦→ + ∞ F n =+ ∞ . Nous allons maintenant étudier le quotient F n +1 F n de deux termes consécutifs quand n devient de plus en plus grand (c’est-à-dire lorsque n tend vers + ∞ ) . 2 a Pour n =2 , établir l’égalité suivante : F n +1 F n = 2 b Compléter le tableau suivant avec une précision à 10 − 5 près : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F n +1 F n 3 Conjecturer un lien entre la limite de la suite F n +1 F n et le nombre d’or 1+ 5 2 . Nous allons maintenant montrer que, pour toute suite de Fi-bonacci, le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or: 4 En notant R n la valeur du rapport F n +1 F n , montrer que : R n = 1 + 1 R n − 1 5 On admet que la suite ( R n ) admet une limite finie r lorsque n tend vers + ∞ . En déduire que r vérifie la re-lation: r 2 = r + 1 6 Vérifier que 1+ 5 2 et 1 − 5 2 sont solutions de cette équation. 7 En admettant qu’une équation du second degré a au plus deux solution, dire pourquoi la suite des rapports F n +1 F n tend nécessairement vers 1+ 5 2 2. Suites définies conjointement (terminales) https://chingmath.fr sacados/1874 A0T0tt0 A1T1tt1 tt2 sacados/1875 sacados/182
E.5900 On définit les suites u n et v n sur l’ensemble N des entiers naturels par : u 0 = 0 ; v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 · v n 3 Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites u n et v n . Partie A 1 Calculer u 1 et v 1 . 2 On considère la fonction f extrait d’un algorithme où le paramètre n est un entier supérieur ou égal à 1 : Fonction f(n) u ← 0 v ← 1 Pour k variant de 1 à n w ← u u ← w+v 2 v ← w+2 · v 3 Fin Pour Renvoyer ( u ; v) a On appelle la fonction f avec pour argument la valeur n =2 . Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’appel à la fonction f . k w u v 1 2 b Pour un nombre entier N donné, à quoi correspond le couple de valeurs renvoyé par la fonction f par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? Partie B 1 a À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel, on a: v n − u n > 0 b En déduire que la suite u n est une suite croissante et v n est une suite décroissante. 2 Justifier que les suites u n et v n sont convergentes. Partie C 1 On considère la suite w n définie, pour tout entier na-turel n , par : w n = v n − u n a Démontrer que la suite w n est géométrique. b Justifier que les limites des suites u n et v n sont égales. 2 On considère la suite t n définie, pour tout entier na-turel n , par : t n =2 · u n +3 · v n a Démontrer que la suite t n est constante. b En déduire l’expression des termes de la suite u n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite u n . 3. Un peu plus loin: suites homographiques E.2454 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 14 ; u n +1 = 10 · u n − 1 u n + 8 pour tout n ∈ N . On admet que la suite u n est définie sur N et que les termes de la suite sont strictement supérieurs à 1 . 1 On représente ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = 10 x − 1 x + 8 ainsi que la représentation de la première bissectrice du plan : Représenter sur l’axe des abscisses les cinq premiers ter-mes de la suite. 2 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = 1 u n − 1 pour tout entier naturel n . a Montrer que pour tout n ∈ N , on a: v n +1 − v n = 1 9 b Donner la formule explicite définissant chaque terme https://chingmath.fr chapExoCorrec/5900 sacados/5900 chapExoCorrec/2454 sacados/2454 024681012142468
de la suite v n en fonction du rang n . c En déduire la formule explicite définissant chaque terme de la suite u n en fonction du rang n . E.2414 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 =4 ; u n +1 = − u n +6 u n − 2 pour tout entier naturel n . 1 Déterminer les trois premiers termes de la suite u n . 2 Soit la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = u n + 2 u n − 3 pour tout entier naturel n . a Déterminer les trois premiers termes de cette suite. b Montrer que : v n +1 v n = − 1 4 c En déduire la nature de la suite v n ainsi que la for-mule explicite déterminant le terme de rang n en fonc-tion de n . 3 a Déterminer l’expression du terme u n en fonction du terme v n . b En déduire la formule explicite définissant les termes de u n en fonction de n . E.5166 On considère la fonction f définie sur −∞ ; 8 par la relation: f ( x ) = 4 · x + 4 − x + 8 Dans le repère orthonormé O ; I ; J ci-dessous, est représen- tée la courbe C f représentative de la fonction f . On considère la suite u n définie par les relations : u 0 = − 4 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N 1 Sur le graphique, représenter les cinq premiers termes de la suite u n sur l’axe des abscisses. 2 Par le calcul, déterminer la valeur exacte des cinq pre-miers termes de la suite u n . 3 On considère la suite v n définie par la relation: v n = 1 u n − 2 pour tout n ∈ N a Déterminer les cinq premiers termes de la suite v n . b Faire une conjecture sur la nature de la suite v n et sur la valeur de ses éléments caractéristiques. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2414 sacados/2414 chapExoCorrec/5166 sacados/5166 -4-3-2-12I-12JOCf