Hors programme lycée / Barycentres 94 exercices corrigés

a
1. Première approche E.2464 Archimède (fl250 avant JC) est l’un des premiers a donné une explication du principe des moments et de celui du barycentre. Il écrit dans le traité ˇ Sur le centre de gravité de surface plane : ˇTout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout poids du corps peut être considéré comme concentréı Le schéma ci-dessous représente une barre sur laquelle, on a accroché deux poids distincts en ses extrémités. La propriété des moments indique que pour que la balance soit en équilibre au point O si les moments m A × OA et m B × OB sont égaux. Déterminer l’emplacement du point O sur cette barre (cette barre a été partagée en vingt parties distinctes) . E.2448 Dans chaque cas, placer le point G , s’il existe, sur les droites graduées ci-dessous vérifiant la relation demandée : E.2449 Soit A et B deux points du plan. Soit ¸ et ˛ deux nombres réels quelconques tels que ¸ + ˛ =0 . 1 On considère le point G vérifiant −→ AG = ˛ ¸ + ˛ ·−−→ AB : a Montrer que le point G vérifie la relation: ¸ · −→ GA + ˛ · −−→ GB = −→ 0 b Montrer que le point G vérifie la relation: −−→ BG = ¸ ¸ + ˛ · −−→ BA 2 Supposons maintenant que le point G est défini par la relation: ¸ · −→ GA + ˛ · −−→ GB = −→ 0 Démontrer que pour tout point M du plan, on a la rela-tion ci-dessous : ¸ · −−→ MA + ˛ · −−→ MB = ¸ + ˛ · −−→ MG E.2446 Ci-dessous est représentée un mobile. Afin de lui faire retrouver son aspect original, replacer cor-rectement les points A , C , D , E , F respectivement sur les segments [ GH ] , [ MN ] , [ JK ] , [ QP ] , [ RS ] , afin que chacune des branches de ce mobile soit horizontale. 2. Représentation avec Thalès E.2438 Toutes les constructions de cet exercice doivent être uniquement réalisées à l’aide du compas et de la règle non-graduée : 1 Partager le segment [ AB ] représenté ci-dessous en quatre parties égales: 2 Partager le segment [ AB ] représenté ci-dessous en cinq parties égales: https://chingmath.fr chapExoCorrec/2464 sacados/2464 3AB1 chapExoCorrec/2448 sacados/2448 −AG12·−−ABABABABABABABABABABABABABAB2·−AG3·−−AB−0ABABABABABABABABABABABABAB3·−GA2·−−GB−0ABABABABABABABABABABABABAB5·−GA−3·−−GB−0ABABABABABABABABABABABABAB−2·−GA2·−−GB−0ABABABABABABABABABABABABAB−GA−4·−−GB−0ABABABABABABABABABABABABAB chapExoCorrec/2449 sacados/2449 chapExoCorrec/2446 sacados/2446 ACDEFMNPQRSGHJK chapExoCorrec/2438 sacados/2438 AB AB
E.2447 La figure ci-dessous est composée d’un segment [ AC ] partagé en cinq parties égales et d’un segment [ AB ] : 1 Placer le point G barycentre du système pondéré : ( A ; 2) ; ( B ; 3) 2 Placer le point H barycentre du système suivant : ( A ; − 2) ; ( B ; 5) Indication : Utiliser le théorème de Thalès 3. Barycentre de deux points E.2459 1 Dans chaque cas, donner l’expression du vecteur −→ AG en fonction du vecteur −−→ AB des ensembles pondérés ci-dessous : a ( A ; 2) ; ( B ; 1) b ( A ; − 3) ; ( B ; 4) c A ; 3 4 ; B ; − 1 2 2 Dans chaque cas, donner l’expression du vecteur −−→ BG en fonction du vecteur −−→ BA des ensembles pondérés ci-dessous : a ( A ; 1) ; ( B ; 2) b ( A ; 5) ; ( B ; − 1) c A ; 2 ; B ; 3 2 E.2462 Soit A et B deux points du plan. On note K le symétrique de A par rapport à B . Parmi les systèmes pondérés ci-dessous, indiquer le système admettant K pour barycentre : a ( A ; 1) ; ( B ; − 1) b ( A ; − 1) ; ( B ; 1) c ( A ; − 2) ; ( B ; 1) d ( A ; 1) ; ( B ; − 2) E.2476 D’après le cours, si G est le barycen-tre du système ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) , on a la relation vectorielle suivante : −→ AG = ˛ ¸ + ˛ · −−→ AB Aidez-vous de cette formule pour répondre aux questions suiv-antes : 1 Soit Z le barycentre du système pondéré suivant : ( M ; m ) ; ( F ; ‹ ) Donner l’expression du vecteur −−→ MZ en fonction de −−→ MF . 2 Soit H le barycentre du système pondéré suivant : ( N ; b ) ; ( Q ; s ) Exprimer −−→ HQ en fonction de −−→ NQ . E.2675 Soit A , B et C trois points alignés, véri-fiant la relation vectorielle suivante : −→ AC = 2 3 · −−→ AB 1 a Montrer que ces trois points vérifient la relation suiv-ante : −→ CA + 2 · −−→ CB = −→ 0 b Déterminer les coefficients du système ci-dessous afin que C soit le barycentre de ce système : ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) 2 Montrer que A est barycentre du système pondéré ( B ; 2) ; ( C ; − 3) 3 Déterminer les coefficients de pondérations des points A et C afin que ce système admette B pour barycentre. E.2671 La figure ci-contre représente deux tri-angles ABC et A B C admettant le même point G pour iso-barycentre. Établir la relation suivante : −−→ AA + −−→ BB + −−→ CC = −→ 0 E.4243 Soit A et B deux points dis-tincts du plan. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant l’égalité: −−→ MA · −−→ MB = 0 4. Suites et barycentres - Annales https://chingmath.fr chapExoCorrec/2447 sacados/2447 ABC chapExoCorrec/2459 sacados/2459 chapExoCorrec/2462 sacados/2462 chapExoCorrec/2476 sacados/2476 sacados/2675 chapExoCorrec/2671 sacados/2671 GABCABC sacados/4243 Extrait Liban Juin 2005
E.3231 Partie A Étant donnés deux points distincts A 0 et B 0 d’une droite, on définit les points : A 1 milieu du segment [ A 0 B 0 ] ; B 1 barycentre de ( A 0 ; 1) ; ( B 0 ; 2) . Puis, pour tout entier naturel n , A n +1 milieu du segment [ A n B n ] et B n +1 barycentre de ( A n ; 1) ; ( B n ; 2) . 1 Placer les points A 1 , B 1 , A 2 et B 2 pour A 0 B 0 =12 cm . Quelle conjecture peut-on faire sur les points A n et B n quand n devient très grand? 2 On munit la droite ( A 0 B 0 ) du repère A 0 ; −→ i avec −→ i = 1 12 · −−−→ A 0 B 0 . Soit u n et v n les abscisses respectives des points A n et B n . Justifier que pour tout entier naturel n strictement positif, on a: u n +1 = u n + v n 2 ; v n +1 = u n + 2 v n 3 Partie B On considère les suites ( u n ) et ( v n ) définies par : u 0 = 0 v 0 = 12 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 pour tout n ∈ N 1 Démontrer que la suite ( w n ) définie par w n = v n − u n est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs ; 2 Montrer que la suite ( u n ) est croissante puis, que la suite ( v n ) est décroissante. 3 Déduire des deux questions précédentes que les suites ( u n ) et ( v n ) sont convergentes et ont même limite. 4 On considère la suite ( t n ) définie par : t n =2 u n +3 v n . Montrer qu’elle est constante. Partie C À partir des résultats obtenus dans les parties A et B , pré-ciser la position limite des points A n et B n quand n tend vers plus l’infini. 5. Réduction et barycentre de deux points E.2893 1 On définit le vecteur −→ u défini par la relation: −→ u = −→ AL + 2 · −→ AF a Tracer un représentant du vecteur −→ u . b Déterminer le barycentre du système : ( L ; 1) ; ( F ; 2) . c Réduire l’écriture du vecteur −→ u sous la forme : −→ u = k · −→ AZ où k ∈ R et Z est un des 15 points du segment. 2 Pour chacune des questions suivantes, donner une sim-plification de l’expression en introduisant un système pondéré bien choisi et son barycentre ; puis, tracer un représentant de cette expression : a −−→ AB + −→ AF b −−→ AJ + 2 · −→ AL E.2861 On considère le segment [ AJ ] représenté ci-dessous subdivisé en 9 parts égales et M un point du plan : 1 Algébriquement, justifier l’égalité suivante : −−→ MC + 4 · −−→ MH = 5 −−→ MG 2 Compléter les égalités suivantes : a − 2 · −−→ MB + 3 · −−→ MD = ¸ · −−−→ M : : : b − 2 · −−→ MC − 5 · −−→ MJ = ˛ · −−−→ M : : : 6. Règle d’homogénéité E.2461 Justifier que les deux systèmes pondérés ci-dessous admettent le même point pour barycentre : A ; 1 ; B ; 2 ; A ; 3 ; B ; 6 E.2463 Soit A et B deux points du plan. 1 Donner un système pondéré à partir des points A et B dont le barycentre vérifie la relation suivante : −→ AG = 2 3 · −−→ AB 2 Donner un système pondéré à partir des points A et B https://chingmath.fr chapExoCorrec/3231 sacados/3231 chapExoCorrec/2893 sacados/2893 BCDEFGHIJKLMNOPA sacados/2861 ABCDEFGHIJM chapExoCorrec/2461 sacados/2461 chapExoCorrec/2463 sacados/2463
dont le barycentre vérifie la relation suivante : −−→ BG = 1 4 · −−→ AB E.2460 On représente ci-dessous une droite graduée sur laquelle sont placés cinq points. Pour chacune des questions ci-dessous, chercher les valeurs de ¸ et ˛ de sorte que l’ensemble pondéré est le barycentre voulu : 1 Le système pondéré L ; ¸ ; M ; ˛ a pour barycen-tre le point N . 2 Le système pondéré L ; ¸ ; J ; ˛ a pour barycen-tre le point K . 3 Le système pondéré N ; ¸ ; M ; ˛ a pour barycen-tre le point L . 7. Barycentre de trois points E.2897 Dans chaque cas, déterminer la valeur des coefficients ¸ , ˛ , ‚ afin que le point G soit barycentre du système : G ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) Les points A , B , C vérifient les relations : 1 3 · −→ GA − 2 · −−→ AB + −−→ GC = −→ 0 2 M représente un point quelconque du plan : 5 · −−→ MG = 2 · −−→ MA − −−→ BC + 3 · −−→ MC E.2899 On considère dans le plan trois points A , B , C non-alignés. Démontrer qu’il n’existe pas de point M vérifiant la relation: 3 · −−→ MA − 4 · −−→ MB + −−→ MC = −−→ AB E.4027 On considère le triangle ABC ci-dessous. Chacun de ses côtés a été partagé en 12 parts égales: On souhaite déterminer l’emplacement du point G vérifiant la relation vectorielle: 4 · −→ GA + 6 · −−→ GB + −−→ GC = −→ 0 1 Considérons le point M vérifiant la relation vectorielle: 2 · −−→ MA + 3 · −−→ MB = −→ 0 a À l’aide de la relation de Chasles, montrer que le point M vérifie la relation: −−→ BM = 2 5 · −−→ BA b Placer le point M sur la figure. c En utilisant la relation de Chasles et la définition du point G , établir la relation vectorielle suivante : 10 · −−→ GM + −−→ GC = −→ 0 d En déduire que le point G appartient à la droite ( MC ) . 2 Considérons le point N barycentre du système partiel: ( B ; 6) ; ( C ; 1) Placer le point N sur la figure. 3 En déduire la position du point G . E.4044 Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct ( −−→ AB ; −−→ AD )= ı 2 . On note I son centre et J le milieu de [ AI ] . Déterminer la valeur du nombre réel m afin que le point C soit le barycentre du système pondéré suivant : ( A ; m ) ; ( B ; 1) ; ( D ; 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/2460 sacados/2460 KJLMN chapExoCorrec/2897 sacados/2897 chapExoCorrec/2899 sacados/2899 chapExoCorrec/4027 sacados/4027 ABC chapExoCorrec/4044 sacados/4044
E.4045 À tout point M du plan, on associe le point M tel que : −−−→ MM = −−→ MA + −−→ MB + 2 · −−→ MC Montrer que cette transformation du plan est l’homothétie de rapport − 3 et de centre G , où G désigne le barycentre du système : ( A ; 1) ; ( B ; 1) ; ( C ; 2) E.4047 Parmi les trois propositions suivantes, une seule est exacte. Il s’agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué. On considère un triangle ABC et on note I le point tel que : 2 · −→ IB + −→ IC = −→ 0 Les points G , I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système : a ( A ; 1) ; ( C ; 2) b ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 2) c ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 1) E.4049 Soit A , B et C trois points non-alignés. 1 a Soit M le point défini par la relation vectorielle: −−→ AM = ¸ · −−→ AB où ¸ ∈ R Déterminer les valeurs de ¸ pour lesquelles: le point M appartient au segment [ AB ] ; le point M appartient à l’ensemble ( AB ) \ [ AB ] b Déterminer les conditions sur les deux nombres réels a et b afin que le barycentre G du système pondéré : ( A ; a ) ; ( B ; b ) appartienne au segment [ AB ] . 2 On considère le barycentre H du système pondéré : H ( A ; a ) ; ( B ; b ) ; ( C ; c ) Déterminer les conditions sur a , b et c afin que le point H appartienne à l’intérieur du triangle ABC . E.4070 Pour l’affirmation suivante, une seule des propositions proposées est exacte. Donner la réponse exacte: Soit ABCD un carré direct −−→ AB ; −−→ AD = ı 2 . On note I le centre du carré. L’ensemble des points M du plan tels que : −−→ MA + −−→ MC = AB est : 1 la médiatrice de [ AC ] . 2 le cercle circonscrit au carré ABCD . 3 la médiatrice de [ AI ] . 4 le cercle inscrit dans le carré ABCD . E.2966 Dans le plan, on considère le triangle ABC représenté ci-dessous où ses côtés sont partagés en trois parties égales. 1 a Justifier que les deux systèmes pondérés suivants ad-mettent le même barycentre : ( A ; 2) ; ( B ; 1) ; ( B ; 1) ; ( C ; 2) ( I ; 1) ; ( J ; 1) b Justifier que le milieu du segment [ IJ ] est le centre de gravité du triangle. 2 Placer les points suivants en servant uniquement d’une règle non-graduée ; les traits de construction doivent être présent sur la figure, mais aucune justification n’est de-mandée : a Le point G centre de gravité du triangle ABC b Le point H milieu du segment [ AC ] . 8. Réduction d’expressions E.2880 Soit A , B , C trois points du plan non-alignés. On considère les trois systèmes pondérés et leurs barycentres associés suivants : G ( A ; 2) ; ( B ; 1) ; H ( C ; − 1) ; ( B ; 2) I ( A ; 2) ; ( B ; 3) ; ( C ; − 1) 1 Justifier que ces trois systèmes admettent effectivement un barycentre. 2 a Justifier l’égalité vectorielle suivante : 2 · −→ IA + −→ IB = 3 · −→ IG b Démontrer que les trois points G , H , I sont alignés. 3 Ci-dessous est donnée la représentation de trois points du plan non alignés et où le segment [ AB ] a été divisé en 15 parts égales. Déterminer la position du point I sur cette figure ; aucune justification n’est demandée. https://chingmath.fr sacados/4045 sacados/4047 chapExoCorrec/4049 sacados/4049 chapExoCorrec/4070 sacados/4070 chapExoCorrec/2966 sacados/2966 ABCIJ chapExoCorrec/2880 sacados/2880 ABC
E.2891 Dans le plan, on considère les trois points A , B , C représentés ci-dessous : Les marques représentées sur les segments ou sur les droites représentent un partage régulier de chacune d’eux. M représente un point du plan quelconque : 1 a Placer, sans justification, le point G barycentre du système pondéré ( A ; 2) ; ( B ; 1) ; ( C ; 1) b Réduire l’expression vectorielle ci-dessous où M est un point quelconque du plan : 2 · −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC 2 Déterminer, graphiquement, l’ensemble des points M du plan tels que les vecteurs −→ u et −→ v , définis ci-dessous, sont colinéaires: −→ u = 2 · −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC −→ v = 2 · −−→ MA − −−→ MB + 2 · −−→ MC E.2898 Dans le plan, on considère trois points A , B , C non-alignés. On note : I le barycentre du système ( B ; 1) ; ( C ; − 2) ; J le barycentre du système ( A ; − 1) ; ( B ; 3) ; G barycentre de ( A ; 1) ; ( B ; − 1) ; ( C ; − 4) . 1 Placer les points I et J dans le dessin ci-dessous. 2 a Justifier l’égalité suivante : −→ IA − −→ IB − 4 · −→ IC = − 4 · −→ IG . b En déduire l’égalité: 2 · −→ IJ =4 · −→ IG . c Placer le point G sur la figure. 3 En laissant vos traits de construction, tracer un représen-tant du vecteur : −→ GA − −−→ GB − 4 −−→ GC 9. Règle d’associativité E.2477 On considère le parallélogramme ABCD ci-dessous : Chaque côté et diagonale a été volontairement partagé en 12 parts égales. 1 Placer le point G , barycentre du système pondéré suiv-ant : ( A ; 1) ; ( B ; − 1) ; ( C ; 1) 2 Placer le barycentre H des points A , D , C pondérés re-spectivement par 0, 1, 2. 3 Placer le barycentre J du système pondéré suivant : ( D ; − 3) ; ( C ; 4) ; ( A ; 2) E.2475 Soit ABCD un parallélogramme et O le centre de symétrie de ce quadrilatère. 1 a Déterminer des coefficients non-nuls du système pondérés ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) ; ( D ; ‹ ) afin qu’il admette le point O pour barycentre. b Cette solution est-elle unique? Donner un autre sys-tème pondéré, non obtenu par homogénéité, admettant O comme barycentre. 2 Notons E l’image du point O par la symétrie de centre C . Déterminer une pondération des points A , C , D pour que E devienne le barycentre de ces points. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2891 sacados/2891 ABC sacados/2898 ABC chapExoCorrec/2477 sacados/2477 ABCD chapExoCorrec/2475 sacados/2475
E.2485 On considère la figure ci-dessous où ABCD est un rectangle. I est le milieu de [ AB ] ; J milieu de [ DO ] et K l’image du point O par la symétrie d’axe ( CB ) . 1 a Soit Q le milieu du segment [ OB ] . Déterminer les coefficients d’un système pondéré ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) admettent le point Q pour barycentre. b En déduire la valeur de ‹ afin que le point J soit le barycentre de : ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) ; ( D ; ‹ ) 2 a Soit M et N les milieux respectifs des segments [ AD ] et [ BC ] . À l’aide du calcul vectoriel, montrer que : −−→ DK − 3 · −−→ CK − 3 · −−→ BK + −−→ AK = −→ 0 b Déterminer la pondération apportée au sommet du rectangle pour que K soit le barycentre des points A , B , C et D . 3 a Le point P est tel que : −−→ CP = 3 2 ·−−→ CB Justifier que I est le milieu du segment [ MP ] . b En déduire des coefficients de pondérations non-nuls des quatre sommets du rectangle afin que I soit le barycentre de ABCD . E.2482 Soit ABCD un carré. Construire chaque barycentre proposé ci-dessous de deux manières distinctes : 1 G est barycentre de : ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 2) ; ( D ; 1) . 2 H est le barycentre de : ( A ; 2) ; ( B ; − 1) ; ( C ; 3) ; ( D ; 1) . E.2516 On considère les triangles ABC et DEF représentés ci-dessous. Les points présents sur les segments présentent un partage en part égale du segment. 1 Déterminer les coefficients du système pondéré ci-dessous afin que G soit le barycentre de ce système : ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) 2 Quelles valeurs doivent avoir les coefficients de pondéra-tions des points D , E et F pour que H soit le barycentre du triangle DEF ? E.2517 On considère le triangle ABC rectangle en B représenté ci-dessous : Le segment [ AC ] a été partagé en 3 parties égales. On munit les points A , B , C des poids respectifs 2, 1, -2 ; on note G le barycentre de ce système pondéré. 1 À l’aide de la règle non-gradué et du compas, placer sur la figure le barycentre I du système ( A ; 2) ; ( B ; 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/2485 sacados/2485 ABCDIJKOMNPQ chapExoCorrec/2482 sacados/2482 chapExoCorrec/2516 sacados/2516 ABCGIDEFHJK chapExoCorrec/2517 sacados/2517 ABC
2 a Établir les deux relations vectorielles ci-dessous : −→ IA = − 1 2 · −→ IB ; −→ IC = − 1 2 · −→ IG b Placer le point G sur la figure en servant de la règle non-graduée et du compas. 3 En déduire que les droites ( AC ) et ( GB ) sont parallèles. Les traits de constructions doivent rester présents sur la fig-ure. E.2672 On considère un triangle quelconque ABC et les points I , J , K vérifiant les relations vectorielles suivantes : −→ IA + −→ IB = −→ 0 ; −→ CJ = 1 3 · −−→ CB ; −−→ AK = 2 · −→ AC On souhaite montrer que les points I , J et K sont alignés. 1 a Montrer que B est le barycentre du système pondéré de points ( C ; − 2) ; ( J ; 3) b En déduire la relation suivante : − 2 · −→ IC + 3 −→ IJ = −→ IB 2 Établir la relation suivante : 2 · −→ IC − −→ IK = −→ IA 3 En déduire que I est barycentre du système : ( J ; 3) ; ( K ; − 1) E.525 Dans le plan, on considère le quadrillage ci-dessous : 1 Déterminer le barycentre G du système : ( A 1 ; 1) ; ( C 5 ; 1) ; ( F 5 ; 2) 2 En se servant uniquement des points présentés sur la fig-ure, déterminer le barycentre H du système : ( A 6 ; 2) ; ( D 6 ; − 2) ; ( B 4 ; − 3) 3 Déterminer la valeur de ¸ , un nombre réel, afin que le système pondéré ( B 4 ; 2) ; ( H 1 ; 1) ; ( E 4 ; ¸ ) admette le point B 1 pour barycentre. 10. Barycentre et caractérisation de droites E.2473 Soit ABC un triangle. F un point du segment [ BC ] vérifiant la relation −−→ BF = 3 4 ·−−→ BC . E est un point de [ AB ] vérifiant −−→ BE = 1 3 ·−−→ BA . 1 Déterminer les coefficients du système pondéré suivant : ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) de sorte que : E est soit le barycentre partiel du système ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; F est soit le barycentre partiel du système ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) 2 On note G le barycentre de ce système ; justifier que le point G est sur l’intersection des droites ( AF ) et ( CE ) . E.2494 On considère ci-dessous le triangle ABC dont chacun des côtés a été partagé en six parties égales. Soit ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 1) un système pondéré et G son barycentre. 1 On note D le barycentre de ( A ; 1) ; ( B ; 2) : a Donner une relation vectorielle caractérisant la posi-tion du point D sur la droite ( AB ) . b Placer le point D sur la figure ci-dessus. 2 On note F le barycentre de ( B ; 2) ; ( C ; 1) . Placer le point F sur la figure ci-dessus. 3 a Justifier que G est un point de la droite ( FA ) . b Justifier que G est un point de la droite ( DC ) . 4 Notons E le barycentre partiel des points A et C dans le système considéré a Justifier que E est le point d’intersection des droites https://chingmath.fr chapExoCorrec/2672 sacados/2672 ABCIJK chapExoCorrec/525 sacados/525 A0B0C0D0E0F0G0H0A1B1C1D1E1F1G1H1A2B2C2D2E2F2G2H2A3B3C3D3E3F3G3H3A4B4C4D4E4F4G4H4A5B5C5D5E5F5G5H5A6B6C6D6E6F6G6H6 chapExoCorrec/2473 sacados/2473 ABCEF sacados/2494 ACBACBACB
( BG ) et ( AC ) . b Placer graphiquement le point E sur le triangle ci-dessus ; justifier la position de E sur le segment [ AC ] . E.2465 On considère ci-dessous le triangle ABC dont chacun des côtés a été partagé en six parties égales. 1 a Placer le point E le milieu de [ AC ] . b Placer le point F barycentre du système pondéré suiv-ant : A ; 1 ; B ; 2 c Placer le point G barycentre du système pondéré suiv-ant : C ; 2 2 ; B ; 2 2 Tracer les trois droites ( BE ) , ( FC ) et ( AG ) . On remarque que les trois droites sont concourantes. 3 On considère le point H barycentre du système pondéré suivant de trois points : ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 1) a Justifier que H est le barycentre du système pondéré suivant : ( F ; 3) ; ( C ; 1) b Justifier que H est également le barycentre du système suivant : ( B ; 1) ; ( E ; 1) c Justifier que le point H appartient à la droite ( GA ) . 4 En déduire que les droites ( BE ) , ( FC ) et ( AG ) sont con-courantes. E.2466 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous dont tous les côtés ont été subdivisés en 7 parties égales et un point G placé à l’intérieur du triangle ABC . Déterminer la pondération affectée aux points A , B , C afin que G soit le barycentre du triangle ABC . Justifier votre démarche. E.2515 On considère un triangle ABC . E et F sont des points appartenant respectivement aux droites ( AC ) et ( AB ) vérifiant les relations vectorielles suivantes : −−→ CE = 1 3 · −→ CA ; −−→ BF = − 3 4 · −−→ AB On considère le système ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) : 1 Déterminer la valeur des coefficients de pondération de ce système afin que : E est le barycentre de ( A ; ¸ ) ; ( C ; ‚ ) . F est le barycentre de ( A ; ¸ ) ; ( B ; ˛ ) 2 On note G le centre de gravité de ce système de pondéra-tion et D le point d’intersection des droites ( BC ) et ( AG ) . a Justifier que le point D est le barycentre partiel des points B et C . b Déterminer une relation vectorielle caractérisant la po-sition de D sur la droite ( BC ) . E.2484 Dans le plan, on considère un triangle ABC . Soit I et J deux points vérifiant les relations vecto-rielles suivantes : −→ BI = 2 3 · −−→ BC ; −→ CJ = 1 4 · −→ CA Soit O le point d’intersection des droites ( AI ) et ( BJ ) . On note K le point d’intersection de ( CO ) avec la droite ( AB ) . Déterminer la valeur de ¸ vérifiant la relation suivante : −−→ BA = ¸ · −−→ BK 11. Barycentre de plusieurs points E.2862 On considère les quatre points A , B , C , D représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2465 sacados/2465 ACBACBACB chapExoCorrec/2466 sacados/2466 ACBG chapExoCorrec/2515 sacados/2515 chapExoCorrec/2484 sacados/2484 sacados/2862 ABCD
Déterminer la position du barycentre du système pondéré suivant : ( A ; 3) ; ( B ; − 5) ; ( C ; 2) ; ( D ; 1) E.2863 Dans le plan, on considère le quadrilatère ABCD ci-dessous : Pondérant les points de cette figure, on obtient les points M , N , O , P barycentre partiel respectivement des couples suiv-ants ( A ; B ) , ( B ; C ) , ( C ; D ) , ( D ; A ) : 1 a Déterminer la position du barycentre partiel du tri-angle BCD . b Déterminer la position du barycentre partiel du trian-gle ABC . 2 En déduire la position du point G barycentre du quadri-latère ABCD . E.2518 On considère le plan munit de quatre points A , B , C et D . Munis d’un poids, on obtient le système pondéré suivant ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 1) ; ( D ; − 2) ; on note G son barycen-tre. 1 Écrire une relation vectorielle faisant intervenir ces cinq points du plan. 2 En déduire que A est barycentre du système ( B ; ˛ ) ; ( C ; ‚ ) ; ( D ; ‹ ) ; ( G ; " ) dont on déterminera les coefficients. E.2892 Un lustre possède quatre ampoules dis-tinctes en poids et en tailles; son armature en fer est de forme rectangulaire et de dimension 30 cm sur 10 cm . Une représen-tation de ce lustre est donnée ci-dessous : 1 Tracer dans le plan le rectangle ABCD à l’échelle 1 = 2 . On souhaite trouver le centre de gravité de cette figure ; pour cela, on associe à ce problème le système pondéré ( A ; 3) ; ( B ; 2) ; ( C ; 1) ; ( D ; 3) et on recherche la position du point G : 2 Placer les points suivants : a I barycentre partiel des points A et B . b J le barycentre partiel des points B et C . c K le barycentre partiel des points C et D . d L le barycentre partiel A et D . 3 En déduire la position du point G sur la figure. E.2894 On considère une plaque de métal ho-mogène et d’épaisseur constante ; on effectue la découpe suiv-ante. Les quadrilatères ABCD et CDEF sont deux carrés de côtés respectifs 20 cm et 40 cm 1 Déterminer l’aire respective des deux carrés. 2 En déduire la position du centre de gravité de cette plaque. E.2900 Dans le plan, on considère le quadrilatère ABCD ; chacun de ses côtés ont été partagés en douze parties égales. Les points I , J , K , L font parties de ce marquage; les segments [ IJ ] et [ KL ] ont été partagés de la même façon. Déterminer deux pondérations non homogènes du système A ; B ; C ; D admettant le point G pour barycentre. 12. Barycentre et coordonnées https://chingmath.fr sacados/2863 ABCDMNOP chapExoCorrec/2518 sacados/2518 chapExoCorrec/2892 sacados/2892 ABCDG600g400g200g600g sacados/2894 ABCDFGH20cm40cm chapExoCorrec/2900 sacados/2900 IJKLGABCD
E.2474 On munit le plan du repère O ; −→ i ; −→ j . On considère les points A , B , C de coordonnées respectives (2 ; 5) , (3 ; − 2) , et ( − 3 ; − 1) . On considère le système pondéré suivant : ( A ; 1) ; ( B ; 2) ; ( C ; 4) Déterminer les coordonnées du point G barycentre de ce sys-tème. E.2901 On considère le plan muni du repère orthonormé O ; I ; J représenté ci-dessous : Les points A , B , C ont pour coordonnées respec-tives : (2 ; 2) , ( − 3 ; 1) , ( − 3 ; − 3) . On considère le système pondéré ci-dessous ayant pour le point G pour barycentre : G ( A ; 2) ; ( B ; − 1) ; ( C ; 1) 1 a Déterminer les coordonnées du point G . b Placer le point G dans le repère. 2 Soit M le point du plan ayant pour coordonnée (4 ; 2) . Placer le point H vérifiant la relation: −−→ MH = 2 · −−→ MA − −−→ MB + −−→ MC 13. Barycentre et nombres complexes E.4073 Dans le plan complexe rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, le point A a pour affixe i . À tout point M d’affixe z avec z =i , on associe le point M dont l’affixe est définie par : z = − z 2 z − i On nomme G l’isobarycentre des points A , M et M et g l’affixe de G : 1 Vérifier l’égalité: g = 1 3 · ( z − i) 2 En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors G est un point du cercle de centre O de rayon 1 3 · r . 3 Démontrer que : arg( g )= − −→ u ; −−→ AM E.4108 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On prendra pour unité graphique 1 cm On désigne par A , B et C les points d’affixes respectives : z A = 3 + 2 · i ; z B = − 3 ; z C = − 1 − 6 · i Déterminer et construire l’ensemble Γ 1 des points M du plan tels que : −−→ MA − −−→ MB + −−→ MC = 1 2 · −−→ MA + −−→ MC 14. Espace et isobarycentre E.4084 On munit l’espace d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : P 1 ; 2 ; 3 ; Q 4 ; 2 ; − 1 ; R − 2 ; 3 ; 0 Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. 1 Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier. 2 On nomme P le centre de gravité du triangle OQR . Cal-culer les coordonnées de P , centre de gravité du triangle OQR . 3 Vérifier qu’une équation cartésienne du plan ( OQR ) est : 3 · x + 2 · y + 16 · z = 0 4 On considère la propriété ( P ) suivante : P : Dans un tétraèdre, chaque médiane est or-thogonale à la face opposée. La propriété ( P ) est-elle vraie dans un tétraèdre quel-conque? https://chingmath.fr chapExoCorrec/2474 sacados/2474 chapExoCorrec/2901 sacados/2901 -4-3-2-12345678I-4-3-2-1234JOMABC chapExoCorrec/4073 sacados/4073 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2008 sacados/4108 chapExoCorrec/4084 sacados/4084 Extrait Pondichey Avril 2011
E.4041 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : A 1 ; − 1 ; 4 ; B 7 ; − 1 ; − 2 ; C 1 ; 5 ; − 2 1 a Calculer les coordonnées des vecteurs : −−→ AB ; −→ AC ; −−→ BC b Montrer que le triangle ABC est équilatéral. c En déduire que x + y + z − 4=0 est une équation cartési-enne du plan ( ABC ) . 2 Déterminer les coordonnées du point G isobarycentre des points A , B , C . E.4244 On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1. 1 Exprimer plus simplement le vecteur : −−→ AB + −−→ AD + −→ AE 2 En déduire que le produit scalaire −→ AG · −−→ BD est nul. 3 Démontrer de même que le produit scalaire −→ AG · −−→ BE est nul. 4 Démontrer que la droite ( AG ) est orthogonale au plan ( BDE ) . 15. Espace et barycentre E.2486 On considère le tétraèdre ABCD ci-dessous où I , J , K , L , M , N sont les milieux respectifs des côtés [ BC ] , [ DC ] , [ AD ] , [ AC ] , [ AB ] , [ BD ] . En se servant de l’isobarycentre du tétraèdre, montrer les deux questions suivantes : 1 Montrer que les droites ( JM ) , ( KI ) , ( LN ) sont concour-antes. 2 Montrer que le quadrilatère JLMN est un parallélo-gramme. Pour les deux questions suivantes, on se servira des théorèmes de géométrie classique : 3 Montrer que le quadrilatère JLMN est un parallélo-gramme. 4 En déduire que les trois droites, reliant les milieux de côtés opposés, sont concourantes. E.2519 On considère le tétraèdre ABCD ci-dessous : On considère : Le point G barycentre du système : ( D ; 2) ; ( B ; 2) . Le point H barycentre du système : ( A ; 3) ; ( B ; − 2) ; ( C ; 3) . On nomme I le milieu du segment [ GH ] . Justifier que le point I appartient au plan ( ADC ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4041 sacados/4041 sacados/4244 Extrait de Polynesie Juin 200 chapExoCorrec/2486 sacados/2486 ABCDIJKLMN ABCDIJKLMN ABCDIJKLMN chapExoCorrec/2519 sacados/2519 ABCDGHI
E.4068 On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 3 . On choisit le repère orthonormé D ; −→ i ; −→ j ; −→ k tel que : −→ i = 1 3 · −−→ DA ; −→ j = 1 3 · −−→ DC ; −→ k = 1 3 · −−→ DH 1 Donner les coordonnées des points A , C et E . 2 Déterminer les coordonnées du point I barycentre du sys-tème ( C ; 2) ; ( E ; 1) 3 Déterminer les coordonnés des vecteurs −→ AE et −→ DI . E.4246 Dans l’espace, on considère trois points A , B et C . On note G le barycentre du système : ( A ; 1) ; ( B ; 1) ; ( C ; 2) On considère La transformation qui, à tout point M de l’espace, associe le point M tel que : −−−→ MM = −−→ MA + −−→ MB + 2 · −−→ MC Justifier que cette transformation est l’homothétie de centre G et de rapport 3 . 16. Espace, barycentre et droite E.4252 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on donne les trois points : A 1 ; 2 ; − 1 ; B − 3 ; − 2 ; 3 ; C 0 ; − 2 ; − 3 On appelle G le barycentre du système pondéré : ( A ; 1) ; ( B ; − 1) ; ( C ; 2) 1 Démontrer que le point G a pour coordonnées 2 ; 0 ; − 5 . 2 Démontrer que la droite ( CG ) est orthogonale au plan ( P ) . 3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( CG ) . 4 Déterminer les coordonnées du point H , intersection du plan ( P ) avec la droite ( CG ) . E.4060 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on a les points : A 0 ; 0 ; 2 ; B 0 ; 4 ; 0 ; C 2 ; 0 ; 0 On désigne par G l’isobarycentre des points A , B et C . Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse : La droite ( AG ) admet pour représentation paramétrique : x = t y = 2 t z = 2 − 2 t où t ∈ R E.4026 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé . Pour tout réel k , on considère le point M k dont les coordon-nées sont définies par : x = 2 − k y = 3 · k z = 2 + k 1 a Déterminer les coordonnées du point M k dans les trois cas suivants : k = 0 ; k = 1 ; k = − 1 b Justifier que les points M 0 , M 1 et M − 1 sont alignés. 2 On considère le point A de coordonnées − 1 ; 9 ; 4 : a Le point A appartient-il à l’ensemble des points M k ? b Le point A appartient-il à la droite M 0 M 1 ? 3 a Montrer que, pour tout k réel, les vecteurs −−−−→ M 0 M k et −−−−→ M 0 M 1 sont colinéaires. b En déduire la nature de l’ensemble des points M k lorsque k décrit R . c Sans justification, donner la nature de l’ensemble des points M k lorsque k décrit chacun des trois ensembles suivants : −∞ ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; + ∞ https://chingmath.fr chapExoCorrec/4068 sacados/4068 DABCHEFG sacados/4246 Inspir de Pondichery Avril 2009 sacados/4252 Extrait de Liban Juin 2011 chapExoCorrec/4060 sacados/4060 chapExoCorrec/4026 sacados/4026
E.4042 On considère le cube OABCDEFG d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie. Soient Les points P et Q tels que : −−→ OP = 2 · −→ OA ; −−→ OQ = 4 · −−→ OC On appelle R le barycentre des points pondérés ( B ; − 1) et ( F ; 2) . L’espace est muni du repère orthonormé O ; −→ OA ; −−→ OC ; −−→ OD . 1 a Démontrer que le point R a pour coordonnées 1 ; 1 ; 2 . b Démontrer que les points P , Q et R ne sont pas alignés. c Quelle est la nature du triangle PQR ? 2 On considère le plan ( P ) d’équation : 4 · x + 2 · y + z − 8 = 0 a Montrer que les points P , Q , R vérifient l’équation. b Vérifier que le point D n’appartient pas au plan ( PQR ) . E.4086 Soit ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. A est le centre de gravité du triangle BCD . Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [ AA ] est une médiane du tétraèdre ABCD . G est l’isobarycentre des points A , B , C et D . On souhaite démontrer la propriété suivante : ( P 2 ) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont con-courantes en G . En utilisant l’associativité du barycentre, montrer que G ap-partient à la droite ( AA ) , puis conclure. 17. Espace, barycentre et recherche de la pondération E.2881 On considère le parallélépipède ABCDEFGH représenté ci-dessous : Le système pondéré suivant admet le point N comme barycen-tre : ( A ; 1) ; ( B ; − 1) ; ( E ; − 1) ; ( D ; − 1) 1 a Donner un représentant, à l’aide des points de cette figure, de la somme suivante : −−→ GE + −−→ GB + −−→ GD b Établir que le point N est le milieu du segment [ AG ] . 2 On munit l’espace du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . En se servant des coordonnées des points, établir que le point N est le milieu du segment [ AG ] . 3 On considère le système E ; F ; A ; H ; déterminer la pondération de ce système afin que son barycentre soit le point N https://chingmath.fr chapExoCorrec/4042 sacados/4042 OABCDEFG sacados/4086 Extrait Pondichey Avril 2011 Y a t il une utilite pour le tetraedre soit regulier ABCDA chapExoCorrec/2881 sacados/2881 ABCDEFGH
E.2870 On considère le tétraèdre ABCD présenté ci-dessous : Les arêtes de ce tétraèdre ont été partagées en part égales. Les points M , N , O , P sont respectivement des points des arêtes [ BC ] , [ CD ] , [ AD ] , [ AB ] . 1 Déterminer la pondération, si elle existe, des sommets du tétraèdre afin que les points M , N , O , P soient les barycentres partiels des extrémités des arêtes auxquelles ils appartiennent. 2 Notons G le barycentre de ce tétraèdre : a Justifier que le point G appartient à la droite ( PN ) . b En déduire que les points M , N , O , P sont coplanaires. E.2872 On considère le tétraèdre ABCD présenté ci-dessous : Les arêtes de ce tétraèdre ont été partagées en part égales. Les points M , N , O , P sont respectivement des points des arêtes [ BC ] , [ CD ] , [ AD ] , [ AB ] . 1 Déterminer la pondération, si elle existe, des sommets du tétraèdre afin que les points M , N , O , P soient les barycentres partiels des extrémités des arêtes auxquelles ils appartiennent. 2 Notons G le barycentre de ce tétraèdre : a Justifier que le point G appartient à la droite ( PN ) . b En déduire que les points M , N , O , P sont coplanaires. E.3114 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les trois points A , B et C de coordonnées : A − 1 ; 1 ; 3 ; B 2 ; 1 ; 0 ; C 4 ; − 1 ; 5 Peut-on écrire C comme barycentre des points A et B ? E.3271 On considère le tétraèdre ABCD ; on note I milieu du segment [ AB ] et J celui de [ CD ] . 1 a Soit G 1 le barycentre du système de points pondérés : ( A ; 1) ; ( B ; 1) ; ( C ; − 1) ; ( D ; 1) Exprimer −−→ IG 1 en fonction de −−→ CD . Placer I , J et G 1 sur la figure (voir feuille annexe) . b Soit G 2 le barycentre du système de points pondérés ( A ; 1) ; ( B ; 1) ; ( D ; 2) . Démontrer que G 2 est le milieu du segment [ ID ] . Placer G 2 . c Démontrer que IG 1 DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G 2 par rapport aux points G 1 et J . 2 Soit m un réel. On note G m le barycentre du système de points pondérés : ( A ; 1) ; ( B ; 1) ; ( C ; m − 2) ; ( D ; m ) a Préciser l’ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentre G m existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l’ensemble E . b Démontrer que G m appartient au plan ( ICD ) . c Démontrer que le vecteur m −−−→ JG m est constant. d En déduire l’ensemble F des points G m lorsque m décrit l’ensemble E . E.4043 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : A − 1 ; 1 ; 3 ; B 2 ; 1 ; 0 ; C 4 ; − 1 ; 5 Peut-on écrire le point C comme barycentre des points A et B . 18. Espace, barycentre et lieu géométrique https://chingmath.fr sacados/2870 ABCDMNOP sacados/2872 ABCDMNOP sacados/3114 Extrait de Pondichery Avril 2010 sacados/3271 Antilles-Guyane Juin 2004 4 points ABCD chapExoCorrec/4043 sacados/4043
E.4040 L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points A 3 ; 1 ; 3 et B − 6 ; 2 ; 1 . Déterminer les caractéristiques de l’ensemble des points M de l’espace tels que : 4 · −−→ MA − −−→ MB = 2 E.4048 L’espace est muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : A 1 ; − 1 ; 3 ; B 0 ; 3 ; 1 ; C 6 ; − 7 ; − 1 D 2 ; 1 ; 3 ; E 4 ; − 6 ; 2 1 a Montrer que le barycentre du système : ( A ; 2) ; ( B ; − 1) ; ( C ; 1) est le point E . b En déduire l’ensemble Γ des points M de l’espace tels que : 2 · −−→ MA − −−→ MB + −−→ MC = 2 · √ 21 2 Montrer que les points A , B et D définissent un plan. 3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( EC ) . E.4059 Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse : Soit B et C deux points de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que : −−→ MB + −−→ MC = −−→ MB − −−→ MC est la sphère de diamètre [ BC ] . 19. Ancienne annales et suites (avant 2012) E.3432 Partie A On considère les suites de points A n et B n définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté O ; −→ u donné en annexe, le point A 0 a pour abscisse 0 et le point B 0 a pour abscisse 12. Le point A n +1 est le barycentre des points ( A n ; 2) et ( B n ; 1) , le point B n +1 est le barycentre des points pondérés ( A n ; 1) et ( B n ; 3) . 1 Sur le graphique, placer les points A 2 , B 2 . 2 On définit les suites a n et b n des abscisses respectives des points A n et B n . Montrer que : a n +1 = 2 · a n + b n 3 On admet de même que : b n +1 = a n +3 · b n 4 Partie B 1 On considère la suite u n définie, pour tout entier na-turel n , par : u n = b n − a n . a Montrer que la suite u n est géométrique. En préciser la raison. b Donner l’expression de u n en fonction de l’entier na-turel n . c Déterminer la limite de u n . Interpréter géométrique-ment ce résultat. 2 a Démontrer que la suite a n est croissante (on pourra utiliser le signe de u n ) . b Étudier les variations de la suite b n . 3 Que peut-on dire des résultats précédents quant à la con-vergence des suites a n et b n ? Partie C 1 On considère la suite v n définie, pour tout entier na-turel n , par : v n = 3 · a n + 4 · b n Montrer que la suite v n est constante. 2 Déterminer la limite des suites a n et b n . 20. Ancienne annales et espaces (avant 2012) E.3265 On considère le cube aBCDEFGH ci-contre ; O 1 et O 2 sont les centres des carrés ABCD et EFGH , et I est le centre de gravité du triangle EBD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4040 sacados/4040 chapExoCorrec/4048 sacados/4048 chapExoCorrec/4059 sacados/4059 sacados/3432 Antilles-Guyane Juin 2006 5 points A0A1B0B1u024681012 sacados/3265 EHGFADCB
Soit m un nombre réel et G m le barycentre du système de points pondérés : ( E ; 1) ; ( B ; 1 − m ) ; ( G ; 2 m − 1) ; ( D ; 1 − m ) Partie A 1 Justifier l’existence du point G m . 2 Préciser la position du point G 1 . 3 Vérifier que G 0 = A . En déduire que les points A , I et G sont alignés. 4 Démontrer que −−−→ AG m = m −−→ AO 2 . En déduire l’ensemble des points G m lorsque m parcourt l’ensemble des nombres réels. 5 a Vérifier que les points A , G m , E et O 1 sont coplanaires. b Déterminer la valeur de m pour laquelle G m se trouve sur la droite ( EI ) . Partie B Dans cette question, l’espace est rapportée au repère or-thonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Démontrer que la droite ( AG ) est orthogonale au plan ( EBD ) . En déduire une équation cartésienne du plan ABD . 2 Déterminer les coordonnées du point G m . 3 Pour quelles valeurs de m , la distance de G m au plan ( EBD ) est-elle égale à 3 3 ? E.3269 Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A , I le milieu du segment [ AB ] et J le centre de gravité de ABC . Pour tout réel m , différent de − 1 3 , on note G m le barycentre du système de points pondérés : S m = ( A ; 1) ; ( B ; m ) ; ( C ; 2 m ) Pour tout point M du plan, on note : −→ V M = 3 −−→ MA − −−→ MB − 2 −−→ MC Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie ( V ) ou fausse ( F ) . Chaque bonne réponse donne 0 ; 5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0 ; 25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ra-mené à 0 . Affirmation V ou F G 1 est le milieu du segment [ CI ] G 1 est barycentre de ( J ; 2) ; C ; 2 3 Pour tout point M : −→ V M = −−→ AB +2 −→ AC Pour tout ; , distinct de − 1 3 , −−−→ AG m est col-inéaire à −−−→ AG − 1 IBG − 1 2 est un triangle rectangle Pour tout point P de ( AG − 1 ) , il existe un réel m tel que P = G m E.4064 Dans le plan ( P ) , on consid-ère le triangle ABC isocèle en A , de hauteur [ AH ] tel que AH = BC =4 . On prendra le centimètre pour unité. 1 En justifiant la construction, placer le point G , barycen-tre du système de points pondérés : ( A ; 2) ; ( B ; 1) ; ( C ; 1) 2 On désigne le point M un point quelconque de ( P ) . a Montrer que le vecteur −→ V =2 · −−→ MA −−−→ MB −−−→ MC est un vecteur dont la norme est 8 . b Déterminer et construire l’ensemble E 1 des points M du plan tels que : 2 · −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC = −→ V 3 On considère le système de points pondérés : ( A ; 2) ; ( B ; n ) ; ( C ; n ) où n est un entier naturel fixé. a Montrer que le barycentre G n de ce système de points pondérés existe. Placer G 0 , G 1 , G 2 . b Montrer que le point G n appartient au segment AH . c Calculer la distance AG n en fonction de n et déter-miner la limite de AG n quand n tend vers + ∞ . Préciser la position limite de G n quand n tend vers + ∞ . d Soit E n l’ensemble des points M du plan tels que : 2 · −−→ MA + n · −−→ MB + n · −−→ MC = n · −→ V Montrer que E n est un cercle qui passe par le point A . En préciser le centre et le rayon, notée R n . e Construire E 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3269 sacados/3269 chapExoCorrec/4064 sacados/4064
E.4069 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité graphique: 2 cm ) . On considère les points A , B et C d’affixes respectives : z A = − 3 2 + i · 3 2 ; z B = z A ; z C = − 3 Partie A 1 Écrire les nombres complexes z 1 et z B sous forme expo-nentielle. 2 Placer les points A , B et C . 3 Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. Partie B Soit f l’application qui, à tout point M du plan d’affixe z , associe le point M d’affixe z = 1 3 · i · z 2 . On note O , A , B et C les points respectivement associés par f aux points O , A , B et C . 1 a Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A , B et C . b Placer les points A , B et C . c Démontrer l’alignement des points O , A et B ainsi que celui des points O , B et A . 2 Soit G l’isobarycentre des points O , A , B et C . On note G le point associé à G par f . a Déterminer les affixes des points G et G . b Le point G est-il l’isobarycentre des points O , A , B et C ? 3 Démontrer que si M appartient à la droite ( AB ) alors M appartient à la parabole d’équation : y = − 1 3 · x 2 + 3 4 (On ne demande pas de tracer cette parabole) E.4241 On considère un tétraèdre ABCD . On note I , J , K , L , M , N les milieux respectifs des arêtes [ AB ] , [ CD ] , [ BC ] , [ AD ] , [ AC ] et [ BD ] . On désigne par G l’isobarycentre des points A , B , C et D . 1 Montrer que les droites ( IJ ) , ( KL ) et ( MN ) sont con-courantes en G . Dans la suite de l’exercice, on suppose que : AB = CD ; BC = AD ; AC = BD (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques) . 1 a Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Pré-ciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM . b En déduire que ( IJ ) et ( KL ) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites ( IJ ) et ( MN ) sont orthogonales et les droites ( KL ) et ( MN ) sont orthog-onales. E.3204 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ j , on donne les points : A 2 ; 1 ; 3 ; B − 3 ; − 1 ; 7 ; C 3 ; 2 ; 4 1 Montrer que les points A , B et C ne sont pas alignés. 2 Soit ( d ) la droite de représentation paramétrique : x = − 7 + 2 t y = − 3 t z = 4 + t où t ∈ R a Montrer que la droite ( d ) est orthogonale au plan ( ABC ) . b Donner une équation cartésienne du plan ( ABC ) . 3 Soit H le point commun à la droite ( d ) et au plan ( ABC ) . a Montrer que H est le barycentre de ( A ; − 2) , ( B ; − 1) et ( C ; 2) . b Déterminer la nature de l’ensemble Γ 1 , des points M de l’espace tels que : − 2 −−→ MA − −−→ MB + 2 −−→ MC · −−→ MB − −−→ MC = 0 En préciser les éléments caractéristiques. c Déterminer la nature de l’ensemble Γ 2 , des points M de l’espace tels que : − 2 −−→ MA − −−→ MB + 2 −−→ MC = 29 En préciser les éléments caractéristiques. d Préciser la nature et donner les éléments caractéris-tiques de l’intersection des ensembles Γ 1 et Γ 2 . e Le point S − 8 ; 1 ; 3 appartient-il à l’intersection des ensembles Γ 1 et Γ 2 . https://chingmath.fr sacados/4069 Liban Juin 2009 5 points sacados/4241 Extrait de Pondichery Avril 2008 chapExoCorrec/3204 sacados/3204 Liban mai 2006 5 points
E.4085 Partie I Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. A est le centre de gravité du triangle BCD . Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [ AA ] est une médiane du tétraèdre ABCD . 1 On souhaite démontrer la propriété suivante : ( P 1 ) : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée. a Montrer que : −−→ AA · −−→ BD = 0 ; −−→ AA · −−→ BC = 0 . (On pourra utiliser le milieu I du segment [ BD ] et le milieu J du segment [ BC ] .) b En déduire que la médiane ( AA ) est orthogonale à la face BCD . Un raisonnement analogue montre que les autres médi-anes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthog-onales à leur face opposée. 2 G est l’isobarycentre des points A , B , C et D . On souhaite démontrer la propriété suivante : ( P 2 ) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes en G . En utilisant l’associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite ( AA ) , puis conclure. Partie II On munit l’espace d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : P 1 ; 2 ; 3 ; Q 4 ; 2 ; − 1 ; R − 2 ; 3 ; 0 1 Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier. 2 Calculer les coordonnées de P , centre de gravité du tri-angle OQR . 3 Vérifier qu’une équation cartésienne du plan ( OQR ) est : 3 · x + 2 · y + 16 · z = 0 4 La propriété ( P 1 ) est-elle vraie dans un tétraèdre quel-conque? E.3207 Pour chacune des cinq proposi-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Dans l’espace rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k or-thonormé, on donne les points : A 0 ; 0 ; 2 ; B 0 ; 4 ; 0 ; C 2 ; 0 ; 0 On désigne par I le milieu du segment [ BC ] , par G l’isobarycentre des points A , B et C , et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan ( ABC ) . Proposition 1: ˇl’ensemble des points M de l’espace tels que −−→ AM ·−−→ BC =0 est le plan ( AIO ) ı. Proposition 2: ˇl’ensemble des points M de l’espace tels que −−→ MB + −−→ MC = −−→ MB −−−→ MC est la sphère de diamètre [ BC ] ı. Proposition 3: ˇLe volume du tétraèdre OABC est égal à 4ı. Proposition 4: ˇle plan ( ABC ) a pour équation 2 x + y +2 z =4 et le point H a pour coordonnées 8 9 ; 4 9 ; 8 9 ı. Proposition 5: ˇla droite ( AG ) admet pour représentation paramétrique : x = t y = 2 t z = 2 − 2 t où t ∈ R ı. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4085 sacados/4085 Pondichey Avril 2011 5 points ABCDA chapExoCorrec/3207 sacados/3207
E.3223 On donne dans le plan trois points A , B et C distincts non alignés. Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 et 3 . Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre − 1 . On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le nombre lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V . 1 Justifier que les points pondérés ( A ; a ) , ( B ; b ) et ( C ; 4) admettent un barycentre. On le note G . 2 a Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : E 1 : ˇ G appartient à la droite ( BC ) ı ; E 2 : ˇ G appartient au segment [ BC ] ı. b Montrer que la probabilité de l’événement E 3 : ˇ G est situé à l’intérieur du triangle ABC et n’appartient à aucun des côtésı est égale à 2 5 . On pourra faire appel des considérations de signe. 3 Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui consiste à tirer un car-ton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre G de la question 1 . On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l’événement E 3 . a Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la vari-able aléatoire X soit égale à 4. b Déterminer le plus petit entier n pour que la prob-abilité d’avoir au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0 ; 999 . E.3224 Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux) dans la case correspondante. Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent 1 2 point. Soit ABCDEFGH un cube de côté 1 . On choisit le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE On appelle I et J les milieux respectifs des segments [ EF ] et [ FG ] . L est le barycentre de ( A ; 1) ; ( B ; 3) . Soit ( ı ) le plan d’équation : 4 x − 4 y +3 z − 3=0 1 Les coordonnées de L sont : a 1 4 ; 0 ; 0 b 3 4 ; 0 ; 0 c 2 3 ; 0 ; 0 2 Le plan ( ı ) est le plan : a ( GLE ) b ( LEJ ) c ( GFA ) 3 Le plan parallèle au plan ( ı ) passant par I coupe la droite ( FB ) en M de coordonnées : a 1 ; 0 ; 1 4 b 1 ; 0 ; 1 5 c 1 ; 0 ; 1 3 4 a Les droites ( EL ) et ( FB ) sont sécantes en un point N qui est l’image de M par la symétrie de centre B . b Les droites ( EL ) et ( IM ) sont parallèles. c Les droites ( EL ) et ( IM ) sont sécantes. 5 Le volume du tétraèdre FIJM est : a 1 36 b 1 48 c 1 24 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3223 sacados/3223 chapExoCorrec/3224 sacados/3224 EHGFADCB
E.3233 L’espace E est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points A , B et C de coordonnées respectives 1 ; 0 ; 2 , 1 ; 1 ; 4 et − 1 ; 1 ; 1 . 1 a Montrer que les points A , B et C ne sont pas alignés. b Soit −→ n le vecteur de coordonnées 3 ; 4 ; − 2 . Vérifier que le vecteur −→ n est orthogonal aux vecteurs −−→ AB et −→ AC . En déduire une équation cartésienne du plan ( ABC ) . 2 Soient P 1 et P 2 les plans d’équations respectives : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 ; x − 2 y + 6 z = 0 a Montrer que les plans P 1 et P 2 sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d’équations paramétriques. b La droite D et le plan ( ABC ) sont-ils sécants ou bien parallèles? 3 Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycen-tre G des points A , B et C affectés des coefficients re-spectifs 1 , 2 et t . a Justifier l’existence du point G pour tout réel positif t . Soit I le barycentre des points A et B affectés des co-efficients respectifs 1 et 2 . Déterminer les coordonnées du point I . Exprimer le vecteur −→ IG en fonction du vecteur −→ IC . b Montre que l’ensemble des points G lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le seg-ment [ IC ] privé du point C . Pour quelle valeur de t , le milieu J du segment [ IC ] coïncide-t-il avec G ? E.3253 Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points A 3 ; 1 ; 3 et B − 6 ; 2 ; 1 . Le plan P admet pour équation cartésienne : x +2 y +2 z =5 1 L’ensemble des points M de l’espace tels que : 4 · −−→ MA − −−→ MB = 2 est : a un plan de l’espace b une sphère c l’ensemble vide 2 Les coordonnées du point H , projeté orthogonal du point A sur le plan P sont : a 11 3 ; 1 3 ; 1 3 b 8 3 ; 1 3 ; 7 3 c 7 3 ; − 1 3 ; 5 3 3 La sphère de centre B et de rayon 1: a coupe le plan P suivant un cercle b est tangente au plan P c ne coupe pas le plan P 4 On considère la droite D de l’espace passant par A et de vecteur directeur −→ u 1 ; 2 ; − 1 et la droite D d’équations paramétriques x = 3 + 2 t y = 3 + t z = t où t ∈ R Les droites D et D sont : a coplanaires et parallèles b coplanaires et sécantes c non coplanaires 5 L’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B est : a la droite d’équations paramétriques : x = − 3 2 − t y = 3 2 − 7 · t z = 2 + t où t ∈ R b le plan d’équation cartésienne : 9 x − y +2 z +11=0 . c le plan d’équation cartésienne : x +7 y − z − 7=0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3233 sacados/3233 chapExoCorrec/3253 sacados/3253
E.3241 Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC , ABD , ACD soient trois triangles isocèles rectangles A avec : AB = AC = AD = a . On appelle A 1 le centre de gravité du triangle BCD . 1 Montrer que la droite ( AA 1 ) est orthogonale au plan ( BCD ) . (on pourra par exemple calculer −−→ AA 1 · −−→ CD et −−→ AA 1 · −−→ BC ) 2 En exprimant de deux façons différentes le volume du té-traèdre ABCD , calculer la longueur du segment [ AA 1 ] . 3 On appelle G l’isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [ BC ] . a Montrer que G appartient au segment [ AA 1 ] et déter-miner la longueur AG . b Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que : −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD = 2 · −−→ MB + −−→ MC 4 Soit H l’image de A par la symétrie de centre G . a Démontrer que : 4 · −→ GA + −→ AC + −−→ AD = −−→ BA . b Démontrer l’égalité: HC 2 − HD 2 = −−→ DC ·−−→ BA . c En déduire que : HC = HD . Rappel: le volume d’une pyramide de hauteur h et d’aire de base associée b est : V = 1 3 · b · h E.3194 ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et ren-due avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . Partie A. Un triangle et son centre de gravité 1 Démontrer que le triangle BDE est équilatéral. 2 Soit I le centre de gravité du triangle BDE . a Calculer les coordonnées de I . b Démontrer que −→ AI = 1 3 −→ AG . Que peut-on en déduire pour les points A , I , G ? 3 Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan ( BDE ) . Partie B. Une droite particulière Pour tout nombre réel k , on définit deux points M k et N k , ainsi qu’un plan P k de la façon suivante : M k est le point de la droite ( AG ) tel que −−−→ AM k = k · −→ AG ; P k est le plan passant par M k et parallèle au plan ( BDE ) ; N k est le point d’intersection du plan P k et de la droite ( BC ) . 1 Identifier P 1 3 , M 1 3 et N 1 3 en utilisant des points déjà défi-nis. Calculer la distance M 1 3 N 1 3 . 2 Calcul des coordonnées de N k . a Calculer les coordonnées de M k dans le repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . b Déterminer une équation du plan P k dans ce repère. c En déduire que le point N k a pour coordonnées 1 ; 3 · k − 1 ; 0 . 3 Pour quelles valeurs de k la droite ( M k N k ) est-elle or-thogonale à la fois aux droites ( AG ) et ( BC ) ? 4 Pour quelles valeurs de k la distance M k N k est-elle min-imale? 5 Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan P 1 2 . Tracer la droite M 1 2 N 1 2 sur la même figure. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3241 sacados/3241 chapExoCorrec/3194 sacados/3194 EHGFADCB
E.3250 Pour chacune des huit affirma-tions (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention ˇvraiı ou ˇfauxı . Une réponse correcte rapporte 0 ; 5 point, une réponse incor-recte enlève 0 ; 25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro. 1 ˇ Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur a ; + ∞ , alors lim x ↦→ + ∞ f ( x )= −∞ ı 2 Soient f et g deux fonctions définies sur 0 ; + ∞ , g ne s’annulant pas : ˇ Si lim x ↦→ + ∞ f ( x )= −∞ et si lim x ↦→ + ∞ g ( x )=+ ∞ alors lim x ↦→ + ∞ f ( x ) g ( x ) = − 1 ı 3 ˇ Si f est une fonction définie sur 0 ; + ∞ telle que 0 f ( x ) √ x sur [0 ; + ∞ [ alors lim x ↦→ + ∞ f ( x ) x =0 ı 4 On considère un repère O ; −→ i ; −→ j du plan. ˇ Si f est une fonction définie sur R ∗ alors la droite d’équation x =0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère O ; −→ i ; −→ j ı 5 ˇ La fonction f définie sur R par f ( x )=( x 2 +3 x +1)e x est une solution sur R de l’équation différentielle: y − y =(2 x +3)e x ı 6 Soient A , B , C trois points du plan. On appelle I barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et − 2 . ˇ Si G est le barycentre des points A , B et C affectés re-spectivement des coefficients 3 , − 2 et 1 alors G est le milieu du segment [ CI ] ı 7 Soient A , B , C trois points du plan et G le barycentre de A , B et C affectés respectivement des coefficients 3 , − 2 et 1 . ˇ L’ensemble des points M du plan tels que : 3 · −−→ MA − 2 · −−→ MB + −−→ MC =1 est le cercle de centre G et de rayon 1 ı. 8 Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan. ˇ Le produit scalaire −−→ MA · −−→ MB est nul si, et seulement si, M = A ou M = B ı. 21. Exercices non-classés E.3135 On considère dans l’espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté ci-dessous : Soit I le barycentre des points pondérés ( E ; 2) et ( F ; 1) , J celui de ( F ; 1) et ( B ; 2) et enfin K celui ( G ; 2) et ( C ; 1) . On veut déterminer l’ensemble des points M équidistants de I , J et K . On note Δ cet ensemble 1 Placer les points I , J et K sur la figure ci-dessus. 2 Soit Ω le point de Δ situé dans le plan ( IJK ) . Que représente ce point pour le triangle IJK ? Pour la suite de l’exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormé suivant : A ; 1 3 −−→ AD ; 1 3 −−→ AB ; 1 3 −→ AE 3 Donner les coordonnées des points I , J et K . 4 Soit P 2 ; 0 ; 0 et Q 1 ; 3 ; 3 deux points que l’on placera sur la figure. Démontrer que la droite ( PQ ) est orthogo-nale au plan ( IJK ) . 5 Soit M un point de l’espace de coordonnées ( x ; y ; z ) . a Démontrer que M appartient à Δ si, et seulement si, le triplet ( x ; y ; z ) est solution d’un système de deux équations linéaires que l’on écrira. Quelle est la na-ture de Δ ? b Vérifier que P et Q appartiennent à Δ . Tracer Δ sur la figure. 6 a Déterminer un vecteur normal au plan ( IJK ) et en déduire une équation cartésienne de ce plan. b Déterminer alors les coordonnées exactes de Ω . E.3808 Soient A , B deux points distincts fixés d’un cercle C de centre I et M un point quelconque de ce cercle C . Le point D est défini par : −→ IA + −→ IB + −−→ IM = −→ ID 1 Prouver que les produits scalaires −−→ AD · −−→ BM et −−→ BD · −−→ AM sont nuls. En déduire à quelles droites particulières du triangle ABM le point D appartient puis préciser la nature du point D pour le triangle AMB . 2 Soit G l’isobarycentre des points A , B , M . Exprimer −→ ID en fonction de −→ IG . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3250 sacados/3250 Liban juin 2005 4 points sacados/3135 France Septembre 2006 6 points ABCDEFGH chapExoCorrec/3808 sacados/3808 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2003
E.4313 La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1 . On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [ BC ] et [ CD ] . Soit M un point quelconque du segment [ CE ] . Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 a Donner, sans justification, les coordonnées des points C , E , I et J . b Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle 0 ; 1 , tel que les coordonnées du point M soient 1 − t ; 1 − t ; t . 2 a Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [ IJ ] . b En déduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M . c Exprimer IM 2 en fonction de t . E.1665 Dans le plan, on considère la configura-tion ci-dessous : 1 Donner le programme de tracé de cette configuration en commençant par la phrase : ˇTracer le triangle ABC tel que: AC =10 cm ; BC =8 cm ; AB =6 cm ı 2 Les tracés suivants doivent être tracés à l’aide de la règle graduée et du compas : a Reproduire cette figure en vraie grandeur. b Tracer le cercle de centre K et passant par le point G . Que remarquez-vous? https://chingmath.fr sacados/4313 ABCDEFGHIJM chapExoCorrec/1665 sacados/1665 10cm6cm8cmABCKG