Hors programme lycée / Comportements asymptotiques 41 exercices corrigés

a
1. Première approche E.2498 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = 3 x − 1 2 x + 1 1 Donner l’ensemble de définition de cette fonction. 2 En traçant la courbe représentative de cette fonction à votre calculatrice, faire une conjecture sur la valeur des limites suivantes : lim x ↦→ + ∞ f ( x ) ; lim x ↦→−∞ f ( x ) lim x ↦→− 1 2 + f ( x ) ; lim x ↦→− 1 2 − f ( x ) 3 a Établir la relation algébrique suivante : f ( x ) = − 5 4 x + 2 + 3 2 b En déduire la valeur des limites suivantes : lim x ↦→ + ∞ f ( x ) ; lim x ↦→−∞ f ( x ) 4 a Que peut-on dire du signe de 3 x − 1 lorsque x se rap-proche de − 1 2 ? b En déduire la valeur des limites suivantes : lim x ↦→− 1 2 + f ( x ) ; lim x ↦→− 1 2 − f ( x ) E.2499 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 3 x 2 − x + 3 3 x − 1 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Tracer la courbe représentative de cette fonction à votre calculatrice. b En effectuant des ˇ Zoom out ı, observer l’allure de la courbe au voisinage de −∞ et + ∞ . Que pouvez-vous dire sur l’allure de la courbe? 3 a Établir la relation algébrique suivante : f ( x ) = 3 3 x − 1 + x b Donner la valeur des limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) − x ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) − x 4 En déduire les observations faîtes à la calculatrice. E.6175 On considère trois fonctions f , g et h trois fonctions définies sur R ∗ + par les relations : f ( x ) = x + 2 x 2 + 3 ; g ( x ) = 2 · x − 1 √ x ; h ( x ) = 2 · x 2 + x 5 · x On donne ci-dessous un tableau de valeurs pour chacune des fonctions : x 1 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 0001 f ( x ) 3 4 2 ; 1 3 ; 01 2 ; 01 3 ; 000 1 2 ; 00 1 3 ; 000 001 2 ; 000 1 3 ; 000 000 01 x 0 ; 01 0 ; 000 1 0 ; 000 001 g ( x ) − 0 ; 98 0 ; 1 − 0 ; 999 8 0 ; 01 − 0 ; 999 998 0 ; 00 1 x 1 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 000 1 h ( x ) 3 5 0 ; 12 0 ; 5 0 ; 010 2 0 ; 05 0 ; 001 002 0 ; 005 0 ; 000 100 02 0 ; 000 5 Remarquer que, dans chaque tableau, les valeurs de x ˇ pro-gressent lentement ı vers 0 . 1 a Pour chaque tableau et à l’aide de la calculatrice, ob-server la progression des valeurs décimales arrondies de ces quotients. b Dans chaque cas, faire une conjecture sur la valeur lim-ite de ces images lorsque : ˇ x tend vers 0 par des valeurs supérieures à 0 ı Pour la fonction f , cette valeur se note : lim x ↦→ 0 x> 0 f ( x ) ou lim x ↦→ 0 + f ( x ) . 2 À l’aide de votre calculatrice, tracer les courbes représen-tatives de ces fonctions et observer la courbe au ˇ voisi-nage ı de l’axe des ordonnées. 2. Manipulations des formes indéterminées E.2514 1 a Expliquer pourquoi la limite suivante est une forme indéterminée : lim x ↦→ + ∞ x 2 − x + 1 b En justifiant l’égalité ci-dessous, donner la valeur de la limite de la question précédente : x 2 − x + 1 = x 2 1 − 1 x + 1 x 2 2 a Expliquer pourquoi la limite suivante est une forme indéterminée : lim x ↦→ + ∞ 2 x 2 + 2 x + 1 3 x 2 − 2 b En justifiant l’égalité ci-dessous, donner la valeur de la limite de la question précédente : 2 x 2 + 2 x + 1 3 x 2 − 2 = x 2 2 + 2 x + 1 x 2 x 2 3 − 2 x 2 3 La limite ci-dessous est une forme indéterminée ; à l’aide d’une transformation adéquate, déterminer la valeur de cette limite: lim x ↦→ + ∞ − 2 x 2 + 1 2 x + 1 https://chingmath.fr sacados/2498 sacados/2499 chapExoCorrec/6175 sacados/6175 sacados/2514
E.2525 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ x 2 + 5 x − 6 x − 1 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer les limites de la fonction f en + ∞ et −∞ . 3 a Justifier que les deux limites ci-dessous représentent une forme indéterminée : lim x ↦→ 1 − f ( x ) et lim x ↦→ 1 + f ( x ) . b Montrer que, pour x ∈D f , on a: f ( x )= x +6 c En déduire la valeur des deux limites présentées à la question a . 3. Calculs de limites à l’infini E.3055 Déterminer les limites ci-dessous : a lim x ↦→−∞ x · (2 x + 1) b lim x ↦→ + ∞ (3 − 4 x )( x + 1) c lim x ↦→−∞ 3 x 2 + 2 x + 3 2 x + 1 d lim x ↦→ + ∞ 3 x − 4 5 + 1 x e lim x ↦→−∞ 3 2 x − 1 f lim x ↦→−∞ x 2 + x x 3 − 2 x E.3047 Parmi les limites proposées ci-dessous, donner celles représentant une forme indéterminée ; donner la valeur des autres limites: a lim x ↦→ + ∞ 2 x 4 − x 3 b lim x ↦→−∞ 5 x 3 − 2 x 2 c lim x ↦→ + ∞ 3 5 − 2 x d lim x ↦→−∞ 2 + x 2 e lim x ↦→ + ∞ x + √ x x 2 f lim x ↦→−∞ x 2 + 1 − x 4 + x E.3056 Déterminer les limites ci-dessous : a lim x ↦→ + ∞ 3 x + 2 5 − 3 x b lim x ↦→ + ∞ x 2 + 3 x − 1 2 x + 1 c lim x ↦→−∞ 3 − 2 x x 2 − 4 x + 7 d lim x ↦→ + ∞ 5 x 2 − 3 5 − 3 x 2 e lim x ↦→−∞ x 4 + 3 x + 1 x 3 − 2 x 2 + 4 f lim x ↦→ + ∞ x 100 − 5 x 44 + x 14 3 x 102 − 5 x 56 E.3096 Déterminer chacune des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ − 5 x 3 − 7 x b lim x ↦→ + ∞ 2 x 3 − 3 x 2 c lim x ↦→−∞ x 7 − 5 x 6 2 d lim x ↦→ + ∞ x 5 − x 3 + 2 − 2 x 2 − x + 2 e lim x ↦→−∞ x 3 − x 2 + 5 x 4 + 3 x + 1 f lim x ↦→−∞ x 2 − 5 x + 2 − 3 x 2 + 5 x − 1 4. Calcul de limites en un réel E.3057 Déterminer les limites ci-dessous : a lim x ↦→ 1 2 − 3 2 x − 1 b lim x ↦→ 3 − − 2 3 − x c lim x ↦→ 3 2 + 4 − x 3 − 2 x d lim x ↦→ 5 − ( x − 5)(7 − x ) 2 x − 10 e lim x ↦→ 4 − 1 8 − 2 x f lim x ↦→− 2 − 3 x 2 + 4 x − 4 2 x + 4 E.3066 Déterminer, si possible, les limites ci-dessous : a lim x ↦→ 0 + 1 x − 1 x 2 b lim x ↦→ 0 − 3 x 4 − 2 x 2 5 x 2 − x c lim x ↦→ 0 − 6 x 12 + 5 x 6 − 3 x 2 3 x 8 − 5 x 2 d lim x ↦→ 0 + 1 x sin x E.3048 Parmi les limites proposées ci-dessous, déterminer celles représentant une forme indéterminée ; don-ner la valeur des autres limites: a lim x ↦→ 0 + x 2 + 2 x b lim x ↦→ 2 x 2 − 4 x + 4 2 x 2 + x − 6 c lim x ↦→ 3 2 − 3 − 2 x d lim x ↦→ 0 x 3 − 2 x 2 x 2 − 3 x + 1 e lim x ↦→ 0 + 5 x 2 + x f lim x ↦→ 4 − 5 x + 3 − 2 x − 4 E.3102 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ 3 + 1 ( x − 3)( x − 5) b lim x ↦→− 2 + 3 x − 2 − 2 x + 1 2 + x c lim x ↦→ 0 − 2 x 2 + x 1 x − 3 x 3 d lim x ↦→ 2 5 + 10 x 2 + x − 2 − 2 x 2 − 5 x − 2 https://chingmath.fr sacados/2525 chapExoCorrec/3055 sacados/3055 sacados/3047 chapExoCorrec/3056 sacados/3056 chapExoCorrec/3096 sacados/3096 chapExoCorrec/3057 sacados/3057 chapExoCorrec/3066 sacados/3066 sacados/3048 chapExoCorrec/3102 sacados/3102
E.3097 Déterminer les valeurs des limites suiv-antes : a lim x ↦→ 0 x 4 − x 3 x 2 b lim x ↦→ 2 + x + 5 4 − 2 x c lim x ↦→− 1 x + 1 x 2 − 1 d lim x ↦→ 3 + x − 5 3 x 2 − 11 x + 6 e lim x ↦→ 1 3 + 3 x 2 + 2 x − 1 x − 1 f lim x ↦→ 2 + − 2 x 2 + 7 x − 6 x 2 − 4 x + 4 5. Calculs de limites E.2546 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ x | x | b lim x ↦→−∞ | x | x c lim x ↦→ + ∞ x 2 + 1 x d lim n ↦→ + ∞ 2 x + 1 − 2 x e lim x ↦→ + ∞ 2 x + 1 − x f lim x ↦→− 1 + 1 x + 1 − 1 x 2 + 3 x + 2 E.2618 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ 4 x 2 + 2 x − 1 − 2 x + 1 b lim x ↦→− 2 3 + 3 x 2 − 1 12 x 2 + 23 x + 10 c lim x ↦→− 2 − − x 2 + x + 6 4 x 2 + 16 x + 16 d lim x ↦→ 1 − 1 1 − x 2 − 1 (1 − x ) 2 e lim x ↦→ 4 + 2 − x x − 4 f lim x ↦→ 4 + 8 − x x x − 4 Indication pour la question f , déterminer les valeurs de a , b , c vérifiant la factorisation suivante: 64 − x 3 = ( x − 4)( a · x 2 + b · x + c ) E.2537 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ x + cos x b lim x ↦→ + ∞ 2 + cos x x c lim x ↦→ + ∞ x + sin x x + cos x E.2584 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→−∞ 2 x 2 + 3 x − 1 3 x 3 − 2 b lim x ↦→ 1 2 + 3 x − 2 − 2 x 2 + 7 x − 3 c lim x ↦→− 2 − 2 x − x + 3 2 + x d lim x ↦→ 3 4 x 2 − 12 x + 9 − x 2 + 5 x − 6 e lim x ↦→−∞ x − 2 x 2 + 1 f lim x ↦→ + ∞ x − 2 x 2 + 1 E.3067 Déterminer, si possible, les limites ci-dessous : a lim x ↦→ + ∞ x 2 − 3 x − x b lim x ↦→ 1 + 1 x − x 2 x − 1 c lim x ↦→ 0 + 1 x sin x d lim x ↦→ + ∞ x 2 + 1 − x e lim x ↦→− 3 − 6 − x − 3 2 x 2 + 5 x − 3 f lim x ↦→ 0 + 1 x − x x E.3098 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ x 5 − 2 x 2 x 2 + x b lim x ↦→ + ∞ x 2 − 4 − x c lim x ↦→ 4 − 4 − 2 x x − 4 d lim x ↦→ + ∞ x 3 + 2 − x e lim x ↦→ 1 − 1 − x 2 x 2 − 4 x + 2 E.3101 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→−∞ − 3 x 4 + 2 x b lim x ↦→ + ∞ 6 x 2 − 1 x 3 x 2 − 2 x c lim x ↦→ + ∞ x 6 − 3 x 2 3 x 2 + 7 x d lim x ↦→ + ∞ 3 x − x 2 x + 3 E.2513 Donner si possible la valeur des limites suivantes ; indiquer parmi celles-ci les formes indéterminées : a lim x ↦→ + ∞ 1 x − 2 b lim x ↦→ 2 2 x + 1 3 x 2 − 3 x − 2 c lim x ↦→− 5 x 2 ( x + 5) 2 d lim x ↦→− 2 − 1 − x − 2 e lim x ↦→ + ∞ x 2 − x + 1 f lim x ↦→− 1 + x − 3 2 x + 2 6. Asymptote horizontale et verticale E.2534 En observant chacun des tableaux de variations ci-dessous, écrire les limites correspondantes aux bornes de son ensemble de définition et préciser si la fonction admet des asymptotes horizontales ou verticales: https://chingmath.fr chapExoCorrec/3097 sacados/3097 chapExoCorrec/2546 sacados/2546 chapExoCorrec/2618 sacados/2618 sacados/2537 chapExoCorrec/2584 sacados/2584 chapExoCorrec/3067 sacados/3067 chapExoCorrec/3098 sacados/3098 chapExoCorrec/3101 sacados/3101 sacados/2513 sacados/2534
a b c E.3074 Ci-dessous est représentée la courbe représentative C f de la fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 : Les asymptotes horizontales et verticales à la courbe C f ont été représentées en pointillés. Dresser le tableau de variations complet de cette fonction. 7. Asymptote oblique E.2536 1 a Étudier la limite suivante : lim x ↦→ + ∞ x 2 + 3 x − 2 2( x + 1) − 1 2 x − 1 b Donner l’équation de l’asymptote oblique de la fonc-tion f en + ∞ définie par : f ( x ) = x 2 + 3 x − 2 2( x + 1) 2 a Déterminer les valeurs de a et de b afin que : a · x + b + 2 x + 2 = − 6 x 2 − 11 x + 8 3( x + 2) b Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en + ∞ de la fonction g définie par : g ( x ) = − 6 x 2 − 11 x + 8 3( x + 2) E.3099 1 On considère la fonction f définie dont l’image d’un nom-bre x est défini par : f ( x ) = 6 x 3 + x 2 + 7 x + 9 2 x 2 − x + 3 Montrer que la droite ( d ) d’équation y =3 x +2 est l’asymptote à la courbe C f en −∞ et + ∞ . 2 On considère la fonction g définie par la relation: g ( x ) = 4 x 2 − 8 x + 5 3 − 2 x Déterminer les valeurs des nombres réels a et b vérifiant : lim x ↦→ + ∞ g ( x ) − ( a · x + b ) = 0 E.3103 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est défini par : f ( x ) = 8 x 2 − 2 x − 5 2 x + 1 1 Déterminer la valeur des réels a , b , c vérifiant l’égalité: f ( x ) = a · x + b + c 2 x + 1 pour tout x ∈ R \ − 1 2 2 Justifier que la courbe C f de la fonction f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation. E.3356 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on a représenté la courbe représentative C f d’une fonction f définie sur − 3 ; 6 \ 1 Les asymptotes à la courbe C f sont représentés en pointillées. 1 Préciser la nature et l’équation de chacune des asymp-totes à la courbe C f . 2 Donner la valeur de chacune des limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ 1 + f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) https://chingmath.fr xVariationdef−∞2∞3−∞∞−∞ xVariationdef−∞−23∞−∞−1−1∞ xVariationdef−∞14∞0−∞2∞−∞∞ chapExoCorrec/3074 sacados/3074 -4-3-2-1234I-2-123JOCf sacados/2536 chapExoCorrec/3099 sacados/3099 chapExoCorrec/3103 sacados/3103 chapExoCorrec/3356 sacados/3356 -3-2-123456I-2-1234JOA
E.3350 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre réel x est définie par la relation: f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 4 2( x 2 + 1) On donne ci-dessous la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans le repère O ; I ; J : 1 a Déterminer trois réels a , b et c vérifiant la relation: f ( x ) = a · x + b + c x 2 + 1 b En déduire l’équation de l’asymptote oblique (Δ) à la courbe C f en −∞ et en + ∞ . c Tracer la droite (Δ) 2 On considère une fonction g définie sur R dont la courbe représentative C g a pour position relative avec C f : C g est en dessous de C f sur −∞ ; 1 ; C g est au-dessus de C f sur 1 ; + ∞ . a Effectuer le tracé d’une fonction g vérifiant les condi-tions ci-dessus. b Faire une conjecture quant à la valeur des deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ g ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ g ( x ) 8. Asymptote oblique et étude E.2619 On considère la fonction f définie sur R et dont l’image d’un nombre réel x est donnée par la relation: f ( x ) = 2 x 2 (2 x + 3) 2 x 2 + 2 x + 1 1 a Déterminer les deux nombres réels a et b vérifiant la relation: f ( x ) = a · x + b − 4 x + 1 2 x 2 + 2 x + 1 b Montrer que la courbe C f de la fonction f admet une asymptote oblique ( d ) en + ∞ et en −∞ dont on pré-cisera l’équation réduite. 2 Voici une représentation de cette courbe et de son asymp-tote oblique: On considère le point M de la courbe C f d’abscisse x et N est le point de la droite ( d ) d’abscisse x . Le point H est la projection orthogonale de ces deux points sur l’axe des ordonnées ; il a pour coordonnée H ( x ; 0) . Dans les prochaines questions, on étudie la distance MN pour des valeurs de x appartenant à R + : a Exprimer la distance MN en fonction de x . b Montrer que pour tout x ∈ R + , on a: ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 4 x + 1 2 x 2 + 2 x + 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 2 x Indication : on pourra se servir du fait que chaque terme est positif sur R + c En déduire l’existence d’un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ sur lequel MN 10 − 6 . E.2585 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = 4 x 2 + 10 x − 2 x + 3 1 Déterminer les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition. 2 a Déterminer la valeur des trois nombres réels a , b , c vérifiant : a · x + b + c x + 3 = 4 x 2 + 10 x − 2 x + 3 b En déduire une expression de la fonction f dérivée de la fonction f . c Dresser le tableau de variations complet de la fonction f (n’oublier aucune valeur dans le tableau) . 3 Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3350 sacados/3350 -4-3-2-12345I-3-2-123JOCf chapExoCorrec/2619 sacados/2619 ijCf(dNMH chapExoCorrec/2585 sacados/2585
E.2535 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation: f ( x ) = 6 x 2 + x + 1 2 x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . a Déterminer l’expression de la fonction dérivée de f . b Dresser le tableau de signes de la fonction f . c En déduire le tableau de variations de la fonction f . d En étudiant les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition, compléter le tableau de variation. 2 Montrer que la fonction f admet en −∞ et en + ∞ la droite ( d ) d’équation y =3 x − 1 pour asymptote oblique. E.3306 Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle − 3 ; + ∞ , croissante sur les inter-valles − 3 ; − 1 et 2 ; + ∞ et décroissante sur l’intervalle − 1 ; 2 . On note f sa fonction dérivée sur l’intervalle − 3 ; + ∞ . La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . Elle passe par le point A ( − 3 ; 0) et admet pour asymptote la droite Δ d’équation y =2 x − 5 Les réponses ne seront pas justifiées. Notation: une réponse exacte rapporte 0 ; 5 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 25 point l’absence de réponse ne rap-porte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0 . 1 L’équation f ( x )=4 admet exactement deux solutions dans l’intervalle − 3 ; + ∞ . 2 lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ 3 lim x ↦→ + ∞ ⏐ ⏐ ⏐ f ( x ) − (2 x − 5) ⏐ ⏐ ⏐ = + ∞ . 4 f (0) = 1 5 f ( x ) > 0 pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle − 2 ; 1 E.3581 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x 3 + 3 2 · x et soit C la courbe représentative de f dans un repère or-thonormé O ; I ; J . 1 a Étudier les variations de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b Préciser les équations des asymptotes de C (pour déterminer l’une de ces asymptotes, on étudiera lim x ↦→ + ∞ f ( x ) − x 3 ) . c Tracer la courbe C . 2 a Soit m un nombre réel et soit Δ la droite d’équation y = m . Discuter, suivant les valeurs de m , le nombre de points d’intersection de Δ et de C . b Pour tout m> 2 , on appelle A et B les points d’intersection de Δ et de C . Soit I le milieu du seg-ment [ AB ] . Montrer que, quand m décrit l’intervalle √ 2 ; + ∞ , I décrit une partie, que l’on précisera, de la droite D d’équation x = 3 2 · y . 9. Encadrement E.2545 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ − 2 x 2 − 2 x − 3 x 2 − 2 x − 3 1 Déterminer l’ensemble de définition D f . 2 Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et + ∞ . 3 a Dresser le tableau de signes de l’expression x 2 − 2 x − 3 . b En déduire la valeur des limites suivantes : lim x ↦→− 1 − f ( x ) ; lim x ↦→− 1 + f ( x ) lim x ↦→ 3 − f ( x ) ; lim x ↦→ 3 + f ( x ) 4 a Établir que la dérivée de la fonction f est : https://chingmath.fr sacados/2535 chapExoCorrec/3306 sacados/3306 -3-2-123456I-2-1234567JO chapExoCorrec/3581 sacados/3581 Aix-Marseille 1988 sacados/2545
f ( x ) = 6 x ( x + 3) ( x − 3)( x + 1) 2 b Dresser le tableau de variations complet de la fonction f . 5 a Résoudre l’inéquation: f ( x ) 100 b Le résultat de la question précédente correspond-il à ceux de la question 3 ? Justifier votre réponse. 6 a Résoudre l’inéquation: f ( x )+2 6 × 10 2 b Résoudre l’inéquation: − 6 × 10 − 2 f ( x )+2 c En déduire les solutions de l’encadrement suivant : | f ( x ) + 2 | 6 × 10 − 2 7 Les résultats trouvés à la question précédente sont-ils concordants avec les résultats obtenus à la question 2 . 10. Limites et fonctions homographiques E.593 1 Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction f : x ↦−→ 2+ x x − 3 . Voici un des paradoxes de Zénon d’Élée (500 - 430 Avant Jésus-Christ) : ˇIl n’y a point de mouvement, car il faut que le mobile arrive au milieu de son parcours avant d’atteindre la finı 2 a Ainsi, nous allons nous déplacer sur une droite graduée du point A (4) vers le point B (3) : on dira que c’est un déplacement vers la gauche, mais égale-ment que l’on se dirige vers 3, mais en restant avec des valeurs supérieures à 3, on notera x ↦−→ 3 + . En se déplaçant à la manière de Zénon d’Élée, on notera : u 0 l’abscisse de position initiale: c’est-à-dire 4; u 1 l’abscisse de la moitié du parcours restant : 3,5; u 2 l’abscisse de la moitié du parcours restant : 3,25; . . . Compléter le tableau suivant : n 0 1 2 3 4 5 6 7 u n 4 3 ; 5 3 ; 25 b Vérifier, en vous servant des fonctions et du tableau de valeurs de votre calculatrice, que la valeur de u n peut s’exprimer en fonction de la valeur de n par la relation (fonctionnelle) suivante : u n = 3 + 1 2 n c Donner, pour les trois premières précisions demandées dans le tableau ci-dessous, à partir de quelle valeur de n , u n est une valeur approchée de 3: Précision 10 − 1 10 − 2 10 − 3 10 − 10 Valeur de n d Pour utiliser cette formule dans le tableau, nous allons la transformer : 3 + 1 2 n − 3 < 0 ; 5 × 10 − 10 3 + 1 2 n − 3 × 10 10 < 0 ; 5 1 2 n × 10 10 < 0 ; 5 Déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant cette inégalité. e Existe-t-il un n vérifiant u n =3 ? Peut-on dire qu’il existe un rang N à partir duquel u n devienne une valeur approchée de 3 à 10 − 100 près. On notera que lim n ↦→ + ∞ u n =3 . Cela signifie que la posi-tion u n sera aussi proche que l’on souhaite de 3, pour autant qu’on augmente la valeur n . 3 a Montrer que : f ( x )=1+ 5 x − 3 b Soit n un nombre entier, on pose x =3+ 1 2 n . Donner l’expression de f ( x ) en fonction de n . Simplifier cette écriture. c Compléter le tableau suivant à l’aide des valeurs ex-actes : x 4 3 ; 5 3 ; 25 3 ; 125 3 ; 0625 3 ; 03125 f ( x ) d Que peut-on dire de la valeur de f ( x ) lorsque x s’approche de plus en plus vers 3 par la gauche. On notera cette valeur lim x ↦→ 3 + f ( x ) . e Que peut-on dire de la position relative de la courbe représentative de f et de la droite d’équation x =3 . On dira que la droite d’équation x =3 est une asymptote verticale à la courbe représentative C f . https://chingmath.fr sacados/593 x-4-20246810y-6-4-22468
4 Que peut-on dire de lim x ↦→ 3 − f ( x ) ; c’est-à-dire de la valeur limite de l’image de x lorsque x vers 3 par la droite (en gardant des valeurs inférieures à 3) . Nous allons maintenant étudier le comportement de la fonc-tion f lorsque x va tendre vers + ∞ . 5 a On considère la suite de nombre défini par v n =3+2 n . Compléter le tableau ci-dessous : n 1 2 3 4 5 v n b Compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes : x v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 f ( x ) c Que peut-on de la valeur de f lorsque x tend vers + ∞ . On notera cette valeur lim x ↦→ + ∞ f ( x ) (la valeur limite de l’image de x par la fonction f lorsque x tend vers + ∞ ) . d Que peut-on dire de la position relative de la courbe relativement à la droite d’équation y =1 ? On dira que la droite d’équation y =1 est une asymptote horizon-tale à la courbe représentative C f . e Imaginer rapidement quelle sera la valeur de lim x ↦→−∞ f ( x ) . E.594 On appelle fonction homographique toute fonction dont l’expression algébrique est de la forme a · x + b c · x + d avec a , b , c et d des nombres réels fixés. 1 a Pour quelle valeur de x cette fonction n’est pas définie. b Que pouvez-vous dire dans le cas où c =0 et d =0 . On admet la proposition suivante : Proposition: toute fonction x ↦−→ a · x + b c · x + d homo-graphique peut s’écrire sous la forme x ↦−→ ¸ + ˛ c · x + d 2 Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer son ensemble de définition, ainsi que leurs valeurs de ¸ et ˛ : g : x ↦−→ 3 x + 2 x + 1 ; h : ↦−→ x 1 − 2 x k : x ↦−→ 2 x − 4 5 + 2 x 3 En déduire pour chacune d’elles l’équation de leurs asymptotes horizontales et verticales. 11. Exercices non-classés E.2500 y = 1 = ( − x + 1) + 2 = (( x + 2) 2 + 1) E.2524 Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer leur ensemble de définition puis aux bornes de leur ensemble de définition, déterminer les limites ˇ à gauche ı et ˇ à droite ı. f : x ↦−→ 3 x + 1 x − 2 ; g : x ↦−→ 1 (2 x − 1)(3 x + 5) h : x ↦−→ x + 2 4 x 2 + 4 x + 1 ; j : x ↦−→ 2 x − 4 x 2 − 1 k : x ↦−→ x + 2 2 x 2 + 5 x + 2 E.2586 Faire un truc avec 2 x + 2 + 2 x − 4 e qui a pour dérivée 2( x − 4)( x − 2) ( x − 3) 2 Super pour étudier dérivée et tableau de signe. E.2589 Après avoir dressé le tableau de variation, donner le maximum trace la courbe pour faire exo y = (4 x 2 − 12 x + 9) = ( − x 2 + 5 x − 6) E.3106 faire exercice de la forme limite en 0 2 x 2 + x 1 x − 3 x 3 et 2 x 2 + x 1 x − 3 x 3 https://chingmath.fr sacados/594 sacados/2500 sacados/2524 sacados/2586 sacados/2589 sacados/3106
E.3652 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )=e x − x − 1 et soit ( C ) sa courbe représentative dans un repère or-thonormé du plan. La droite ( D ) d’équation y = − x − 1 est asymptote à ( C ) . On a représenté ci-dessous la courbe ( C ) et la droite ( D ) . 1 Soit a un nombre réel. Écrire, en fonction de a , une équation de la tangente ( T ) à ( C ) au point M d’abscisse a . 2 Cette tangente ( T ) coupe la droite ( D ) au point N d’abscisse b . Vérifier que : b − a = − 1 . 3 En déduire une construction, à effectuer sur la feuille an-nexe, de la tangente ( T ) à ( C ) au point d’abscisse 1 ; 5 . On fera apparaître le point N correspondant. E.2290 On considère la fonction f définie sur R ∗ par la relation: f ( x ) = 3 · x 3 + 2 · x 2 · x 3 − 2 · x 2 + x 1 Soit g la fonction définie sur R par : g ( x ) = 3 · x 2 + 2 2 · x 2 − 2 · x + 1 Montrer que f est la restriction sur R ∗ de la fonction g . 2 En déduire la limite de la fonction f en 0. C’est-à-dire la valeur de lim x ↦→ 0 x =0 f ( x ) . E.3576 Étudier la fonction f définie par : f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 − x + 4 x 2 + 1 Elle a une asymptote oblique, une asymptote horizontale et une tangente horizontale super pour la trace E.3577 étude de √ x 2 x + 1 ?? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3652 sacados/3652 Extrait Nouvelle-Caledonie Novembre 2007 -4-3-2-12I-2-1234JO chapExoCorrec/2290 sacados/2290 sacados/3576 sacados/3577