Hors programme lycée / Fonctions associées et composée de fonctions 54 exercices corrigés

a
1. Introduction de composée E.2197 Soit f la fonction définie dont l’image de x est définie par : f ( x ) = x − 1 x − 2 1 Établir l’égalité suivante : x − 1 x − 2 =1+ 1 x − 2 On note g la fonction inverse. À la question précédente, nous venons d’établir que : f ( x ) = g ( x − 2) + 1 2 Par quelle transformation du plan, obtient-on la courbe C f représentative de la fonction f à partir de l’hyperbole C g représentative de la fonction inverse? La figure ci-dessous représente l’hyperbole obtenue par la fonction inverse et I son centre de symétrie. 3 Placer correctement le repère pour que cette courbe soit la représentation de la fonction f . E.2215 On considère le plan munit d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) . 1 Soit f une fonction définie sur [ − 6 ; 6] dont voici la courbe représentative : a Déterminer l’ensemble des antécédents du nombre − 1 . b Déterminer les images des intervalles suivants : − 6 ; − 1 ; 3 ; 6 ; − 3 ; 2 − 5 ; − 3 ∪ 0 ; 1 c Déterminer les antécédents de tous les nombres for-mant l’intervalle − 2 ; − 1 2 On considère également la fonction g définie sur − 3 ; 3 dont voici la représentation graphique : a Déterminer les images des nombres suivant par la fonc-tion g ◦ f : − 3 ; 4 b Déterminer l’image de l’intervalle 0 ; 4 par la fonction g ◦ f . 2. Composée de fonctions E.1159 On considère la fonction f dont la courbe représentative est donnée dans le repère O ; I ; J ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2197 sacados/2197 CfI chapExoCorrec/2215 sacados/2215 -6-5-4-3-2-123456I-3-2-123JOCf -3-2-123I-3-2-123JOCg chapExoCorrec/1159 sacados/1159
Dans ce repère, sont également données les courbes représen-tatives associées à la fonction f dont voici les expressions algébriques : g : x ↦→ f ( x +2) ; h : x ↦→ f (2 · x ) ; j : x ↦→ f ( x − 2) k : x ↦→ 2 · f ( x ) ; ‘ : x ↦→ f ( x ) − 2 Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative. E.2158 Soit f une fonction définie sur l’intervalle [ − 4 ; 2] dont la représentation est donnée dans le repère ( O ; I ; J ) ci-dessous : On définit la fonction g par la relation: g : x ↦−→ f ( x − 2) 1 Pour quelle valeur de x , êtes-vous capable de donner la valeur de g ( x ) ? Quel est l’ensemble de définition de la fonction g ? 2 Compléter le tableau de valeurs suivant : x − 4 − 2 0 1 2 3 4 f ( x ) × × g ( x ) × 3 Tracer la courbe C g représentative de la fonction g . 4 Que pouvez-vous dire des courbes C f et C g ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.2702 On considère les deux repères ( O ; I ; J ) dans lesquels ont été tracées des courbes représentatives de polynômes de second degré : 1 La courbe C f est la courbe représentative de la fonction f définie par : f : x ↦−→ x 2 + 2 x + 4 La fonction g est définie, explicitement par la fonction f , par la relation suivante : g ( x ) = f ( x + ¸ ) + ˛ où ¸ ∈ R et ˛ ∈ R . a Déterminer, à l’aide des représentations de ces deux fonctions, les valeurs des nombres réels ¸ et ˛ . b Déduire la forme développée réduite de l’expression de f ( x ) . 2 Les courbes C 1 à C 6 sont les représentations de fonctions définies par la relation: x ↦−→ ¸ · x 2 où ¸ est un nombre réel. Déterminer pour chaque fonction la valeur de ¸ . https://chingmath.fr -4-3-2-1234I-3-2-123JOCfC1C2C3C4C5 chapExoCorrec/2158 sacados/2158 -4-3-2-1234I-3-2-123JOCf sacados/2702 -3-2-123I-123456789JOCfCg -3-2-123I-6-5-4-3-2-123456JOC1C2C3C4C5C6
3. Composé et expressions E.2154 Dans chacune des questions suivantes, donner l’expression algébrique de f ◦ g ( x ) en fonction de x : a f ( x ) = 3 x + 1 et g ( x ) = 2 − x b f ( x ) = x 2 et g ( x ) = x − 4 c f ( x ) = x − 4 et g ( x ) = x 2 d f ( x ) = x et g ( x ) = 3 x + 2 e f ( x ) = 3 x + 2 et g ( x ) = 1 x f f ( x ) = − 2 x + 1 et g ( x ) = 2 x + 1 E.2166 On considère les trois fonctions suivantes définies sur R : f : x ↦−→ − 1 2 x + 1 ; g : x ↦−→ x 2 ; h : x ↦−→ 2 x − 1 On définit une nouvelle fonction F appelée ˇ la composée des fonctions f , g et h ı : L’image de x a pour valeur la valeur des images successives de x par les fonctions f , g et h . Le diagramme suivant présente cette situation pour le cas particulier x =6 : F : 6 f ↦−→ − 2 g ↦−→ 4 h ↦−→ 7 1 a Montrer que F (4) = 1 . b Déterminer les images de − 4 et de 3 par la fonction F . c Déterminer l’ensemble des antécédents de 97 par la fonction F . 2 a Parmi les trois proposition, donner l’expression de F ( x ) : A = − 1 2 · 2 x − 1 2 + 1 ; B = 2 · − 1 2 x + 1 2 − 1 C = − 1 2 x + 1 + x 2 + 2 x − 1 b Donner l’expressoin développée et réduite de la fonc-tion F 3 Pour chaque question, donner une écriture algébrique de la fonction F obtenue par composition des fonctions f , g et h (aucune factorisation ou développement n’est de-mandé) . a f : x ↦−→ x 2 ; g : x ↦−→ 3 x + 2 ; h : x ↦−→ 1 x b f : x ↦−→ 1 x ; g : x ↦−→ x ; h : x ↦−→ 3 x + 1 4 On considère la fonction F obtenue par composition des fonctions f , g , h définies ci-dessous : f : x ↦−→ 2 x ; g : x ↦−→ 3 x + 2 ; h : x ↦−→ x a Effectuer le calcul suivant : h g f (2) b Que représente ce calcul vis-à-vis de la fonction F ? c Donner l’écriture algébrique de la fonction F La composée de f , g , h se note h ◦ g ◦ f E.4652 On considère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = 1 − √ x 2 1 Pour x ∈ 0 ; 1 , établir l’égalité suivante : f ◦ f ( x ) = x 2 Pour x ∈ 1 ; + ∞ , déterminer une expression simplifiée de la fonction f ◦ f . 4. Composé et tableau de variation E.3308 On considère la fonction f définie sur R par la relation suivante : f ( x ) = − 2 x 2 − 4 x + 6 1 a Déterminer la forme factorisée de l’expression f ( x ) . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . (On indiquera également les deux racines de la fonction f ) 2 On considère la fonction g définie sur R admettant le tableau de variations suivant : a Faire une conjecture sur la valeur des limites suivantes : lim x ↦→ + ∞ g ◦ f ( x ) ; lim x ↦→−∞ f ◦ g ( x ) b Justifier que la fonction f ◦ g est décroissante sur l’intervalle −∞ ; 0 . c Justifier et préciser la monotonie de la composée g ◦ f sur chacun des deux intervalles suivants : −∞ ; − 3 ; − 3 ;1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2154 sacados/2154 chapExoCorrec/2166 sacados/2166 sacados/4652 chapExoCorrec/3308 sacados/3308 −∞08∞-11-3∞xVariationdeg
E.2300 On considère une fonction f définie sur − 5 ; 4 dont le tableau de variations est donnée ci-dessous : Déterminer le tableau de variations des fonctions associées à f présentées ci-dessous : a g : x ↦−→ f ( x +2) b h : x ↦−→ − 2 · f ( x ) c j : x ↦−→ f ( x − 2) + 1 E.1160 On considère les fonctions suivantes : g : x ↦−→ 1 − 2 x ; h : x ↦−→ x ; j : x ↦−→ x 2 k : x ↦−→ 1 x ; ‘ : x ↦−→ 2 x 2 − 3 x + 1 1 Pour chaque question, donner l’écriture simplifiée de f ( x ) : a f = k ◦ g ◦ k b f = g ◦ j ◦ k c f = j ◦ h d f = l ◦ j 2 On considère la fonction m définie par la chaîne de com-position suivante : m : x , −−−−−→ ‘ ( x ) h , −−−−−→ h ‘ ( x ) a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction m . b En déduire le tableau de variations de la fonction m . Justifier votre démarche. E.2162 On considère la fonction f , définie sur R , dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = − 3 2 x − 1 2 + 1 On note g , la fonction affine définie par : g : x ↦−→ 2 x − 1 . 1 Déterminer l’intervalle I tel que : g I = R + 2 Justifier que la fonction f est monotone sur I . 3 Préciser le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles I et R \ I . E.2164 Donner le sens de variation des fonctions ci-dessous sur l’intervalle précisé. Aucune justification n’est demandée : a f : x, −−−−−→ 2 − 3 x sur −∞ ; 2 3 b g : x, −−−−−→ 2(3 − x ) 2 +1 sur [3 ; + ∞ [ c h : x, −−−−−→ 2 ( x +1) 2 +1 sur ] −∞ ; − 1[ d j : x, −−−−−→ x 2 − 3 x +2 sur R − e k : x, −−−−−→− 3 x − 1 sur R + f ‘ : x, −−−−−→− 2 3 − x +1 sur ] −∞ ; 3] E.2195 1 On considère les deux fonctions suivantes : f : x ↦−→ 3 x − 2 ; g : x ↦−→ 5 − x Déterminer les fonctions f ◦ g et g ◦ f . 2 Soit h la fonction définie par : h : x ↦−→ 2 ( x + 1) 2 − 1 a Écrire la chaîne de composée de fonctions de référence caractérisant h . b Justifier et préciser la monotonie de la fonction h sur ] −∞ ; − 1[ . 3 Sans aucune justification, donner le sens de variation des fonctions suivantes sur l’intervalle précisé : a j : x ↦−→ − 3( x + 1) 2 sur − 1 ; + ∞ b k : x ↦−→ x + x 2 sur R + c ‘ : x ↦−→ − 2 x 2 − 1 + 2 sur −∞ ; − 1 d m : x ↦−→ 3 x − 1 − ( x − 2) 2 sur 1 3 ; 2 E.2217 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = ( x + 1)(2 − x ) 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Montrer que pour tout x ∈D f , on a: f ( x ) = − x − 1 2 2 + 9 4 b Déterminer la chaîne de composition de fonction de référence caractérisant la fonction f . c Justifier la monotonie de la fonction f sur les deux intervalles: I = D f ∩ −∞ ; 1 2 et J = D f ∩ 1 2 ; + ∞ . d Dresser le tableau de variations de la fonction f . 5. Composée de fonctions E.421 La plupart des fonctions utilisées sont des fonctions composées à partir des fonctions de référence. La fonction x ↦−→ x 2 +1 peut être vue comme la composée de fonctions de référence de la manière suivante : x f , −−−−−→ x 2 g , −−−−−→ x 2 + 1 h , −−−−−→ √ x 2 + 1 où f : x ↦−→ x 2 g : x ↦−→ x + 1 h : x ↦−→ x 1 Décomposer les fonctions suivantes à l’aide des fonctions de références : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2300 sacados/2300 xVariationdef−5−214−21−33 chapExoCorrec/1160 sacados/1160 chapExoCorrec/2162 sacados/2162 chapExoCorrec/2164 sacados/2164 chapExoCorrec/2195 sacados/2195 chapExoCorrec/2217 sacados/2217 sacados/421
a x , −−−−−→ 3 x 2 − 1 b x , −−−−−→ 2 3 + x 2 c x , −−−−−→ 2 − 2 x + 3 2 On définit a et b deux éléments de l’intervalle 1 ; 5 tel que a<b . Pour chacune des fonctions de la question 1 , comparer les images des nombres a et b . 3 En analysant vos résultats de la question 1 , compléter les deux phrases suivantes : La composée de deux fonctions croissantes est . . . . . . . . . La composée d’une fonction croissante et d’une fonc-tion décroissante est . . . . . . . . . 4 Que peut-on dire du sens de variation de la somme de deux fonctions croissantes? de deux fonctions décrois-santes? d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante? Justifier par une démonstration ou un contre-exemple chacune de vos affirmations. E.1943 On considère les trois fonctions suivantes : f : x ↦−→ − 1 2 x + 1 ; g : x ↦−→ x 2 ; h : x ↦−→ 2 x − 1 On définit une nouvelle fonction F appelée ˇ la composée des fonctions f , g et h ı : L’image de x a pour valeur la valeur des images succes-sives de x par les fonctions f , g et h . Le diagramme suivant représente cette situation pour le cas particulier x =6 : F : 6 f ↦−→ − 2 g ↦−→ 4 h ↦−→ 7 1 a Montrer que F (4)=1 . b Déterminer les images de − 4 et 3 par la fonction F . c Déterminer l’antécédent de 97 par la fonction F . 2 a Parmi les trois expressions suivantes, quel est celle qui représente F ( x ) : A = − 1 2 (2 x − 1) 2 + 1 ; B = 2 − 1 2 x + 1 2 − 1 C = − 1 2 x + 1 + x 2 + 2 x − 1 b Donner l’écriture développée et réduite de la fonction F 3 Pour chaque question, donner une écriture algébrique de la fonction F obtenue par composition des fonctions f , g et h (aucune factorisation ou développement n’est de-mandé) . a f : x ↦−→ x 2 ; g : x ↦−→ 3 x + 2 ; h : x ↦−→ 1 x b f : x ↦−→ 1 x ; g : x ↦−→ x ; h : x ↦−→ 3 x + 1 4 On considère la fonction F obtenue par composition des fonctions f , g , h définies ci-dessous : f : x ↦−→ 2 x ; g : x ↦−→ 3 x + 2 ; h : x ↦−→ x a Effectuer le calcul suivant : h g f (2) b Que représente ce calcul vis-à-vis de la fonction F ? c Donner l’écriture algébrique de la fonction F E.1944 On considère la fonction F définie comme la composée des trois fonctions de référence suivante : f : x ↦−→ 2 x − 2 ; g : x ↦−→ x 2 ; h : x ↦−→ − x + 1 1 a Déterminer le sens de variation des fonctions f et h sur R . b Donner les intervalles sur lesquels la fonction g est monotone. Préciser. On souhaite étudier le sens de variation de la fonction F uniquement sur l’intervalle ] −∞ ; 1] . Pour cela, on considère dans la suite de l’exercice deux nom-bres réels a et b appartenant à l’intervalle ] −∞ ; 1] vérifiant la relation: a <b : 2 Justifier l’inégalité suivante : f ( a ) <f ( b ) 3 a Quel est le sens de variation de la fonction g sur R − ? b Quel est le signe des deux nombres 2 a − 2 et 2 b − 2 ? c En déduire la comparaison de : (2 a − 2) 2 et (2 b − 2) 2 4 a En utilisant le sens de variation de la fonction h , déterminer le sens de comparaison des nombres suiv-ants : − (2 a − 2) 2 +1 et − (2 b − 2) 2 +1 . 5 En déduire le sens de variation de la fonction F sur ] −∞ ; 1] E.1964 Soit f une fonction dont l’image d’un nombre x est définie par : f : x ↦−→ 1 √ x + 1 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Décomposer cette fonction à l’aide de trois fonctions de référence. 3 Prouver la décroissance de la fonction f sur D f . E.1966 On considère la fonction f dont les images sont définies de manière algébrique par : f : x ↦−→ − 2 x 2 − 1 1 Donner l’ensemble D f de définition de la fonction f . 2 Décomposer la fonction f à l’aide de quatre fonctions de référence. 3 a Sur ] −∞ ; 0] ∩D f , établir la décroissance de la fonc-tion f b Prouver la croissance de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + ∞ [ ∩D f 4 Donner le tableau de variations de la fonction f . https://chingmath.fr sacados/1943 sacados/1944 sacados/1964 sacados/1966
E.2124 On considère la fonction F obtenue par composée des fonctions f , g , h suivante : f : x ↦−→ 2 x + 4 ; g : ↦−→ 1 x h : ↦−→ 1 − x 1 a Donner, parmi les expressions algébriques ci-dessous, celle qui représente la fonction F : A =1 − 2 · 1 x +4 ; B =(2 x +4)+ 1 x +(1 − x ) ; C =1 − 1 2 x +4 b Justifier que : f ( x ) = 2 x + 3 2 x + 1 2 a Donner le sens de variation des fonctions f et h sur l’intervalle R . b Donner les intervalles sur lesquels la fonction g est monotone. Préciser. 3 Pour étudier le sens de variation de la fonction F sur l’intervalle −∞ ; − 2 , nous considérons deux nombres a et b appartenant à −∞ ; − 2 et vérifiant : a <b a Comparer f ( a ) et f ( b ) . b Quel est le signe de 2 a +4 et 2 b +4 ? c Donner le sens de variation de la fonction g sur R − . d En déduire le sens de comparaison de 1 2 a +4 et 1 2 b +4 . e Comparer les deux nombres suivants : 1 − 1 2 a +4 ; 1 − 1 2 b +4 . f En déduire le sens de comparaison de F ( a ) et F ( b ) . g Donner le sens de variation de la fonction F sur −∞ ; − 2 . E.1761 1 Après avoir observé le sens de variation sur votre calcu-latrice de chacune des fonctions suivantes, appuyez votre observation au travers d’une preuve algébrique. a Soit f la fonction définie par la formule : f ( x ) = x + 3 sur R . b Soit g la fonction définie par la formule : g ( x ) = − 1 4 x − 1 sur R . c Soit j la fonction définie par la formule : j ( x ) = 3(1 − x ) 2 + 2 sur R . d Soit k la fonction définie par la formule : k ( x ) = x sur l’intervalle R + . e Soit l la fonction définie par la formule : l ( x ) = 1 x 2 sur R ∗ 2 a Établir l’identité: x 2 +2 x +1=( x +1) 2 b On considère la fonction m définie sur R par la rela-tion : m ( x )= x 2 +2 x +1 . Établir la stricte décroissance de la fonction m sur ] −∞ ; − 1] . E.1758 1 Étudier le sens de variation des fonctions suivantes : f définie sur R par la relation: f ( x )=2 x − 1 g définie sur R par la relation: g ( x )= − 2 x − 1 h définie sur R par la relation: h ( x )= x 2 k définie sur R par la relation: k ( x )=( x − 1) 2 − 2 l définie sur R ∗ par la relation: l ( x )= 1 x m définie sur R \{ 3 } par la relation: m ( x )= 1 ( x − 3) 2 2 a Établir la relation: x 2 − 2 x − 1=( x − 1) 2 − 2 b Établir le sens de variation de la fonction n définie sur R par la relation: n ( x ) = x 2 − 2 x − 1 6. Opérations sur les fonctions E.2148 1 Pour chacune des questions, donner sans justification le sens de variation des fonctions f , g et f + g : a f : x ↦−→ 2 x + 1 ; g : x ↦−→ 3 x + 1 b f : x ↦−→ 3 x + 1 ; g : x ↦−→ 3 − 2 x c f : x ↦−→ − 3 x + 1 ; g : x ↦−→ x − 1 2 On considère les deux fonctions f et g définies par : f : x ↦−→ 2 x − 2 ; g : x ↦−→ 3 − x a Développer l’expression f ( x ) · g ( x ) . b Dresser le tableau de variations de la fonction f · g . https://chingmath.fr sacados/2124 sacados/1761 sacados/1758 chapExoCorrec/2148 sacados/2148
E.2157 Soit f une fonction définie sur l’intervalle − 4 ; 4 dont la représentation est donnée dans le repère ( O ; I ; J ) ci-dessous : On considère le tableau ci-dessous : x -4 -2 0 0,5 2 2,5 3 4 f ( x ) g ( x ) 1 Compléter la ligne des valeurs prises par la fonction f . 2 Soit g la fonction définie sur l’intervalle [ − 4 ; 4] dont l’image d’un nombre x ∈ [ − 4 ; 4] est donnée par la rela-tion : g ( x ) = f ( x ) + 2 a Compléter la troisième ligne du tableau de valeurs ci-dessus. b Dans le repère O ; I ; J , tracer la courbe C g représen-tative de la fonction g . 3 Quelle relation existe entre les courbes C f et C g ? E.2159 Soit f une fonction définie sur l’intervalle [ − 4 ; 4] dont la représentation est donnée ci-dessous dans le repère ( O ; I ; J ) orthonormé : Soit g et h deux fonctions définies sur [ − 4 ; 4] par : g ( x ) = 2 · f ( x ) ; h ( x ) = 1 2 · f ( x ) 1 Compléter le tableau suivant de valeurs : x − 4 − 3 − 2 − 5 4 0 5 4 2 3 4 f ( x ) g ( x ) h ( x ) 2 Tracer les courbes représentatives C g et C h respectives des fonctions g et h dans le repère ci-dessus. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2157 sacados/2157 -4-3-2-1234I-1234JOCf chapExoCorrec/2159 sacados/2159 -4-3-2-1234I-3-2-123JOCf
E.2160 Soit f une fonction définie sur l’intervalle [ − 4 ; 4] dont la représentation est donnée dans le repère ( O ; I ; J ) ci-dessous : On considère la fonction g définie sur [ − 4 ; 4] par la relation: g ( x ) = − f ( x ) 1 Compléter le tableau de valeurs suivant : x -4 -3 -2 -1 0 1 2 2,5 4 f ( x ) g ( x ) 2 Tracer la courbe C g représentative de la fonction g . 3 Quelle relation existe-t-il entre les courbes C f et C g ? E.2695 On considère les deux fonctions f et g définies sur R : f : x ↦−→ x + 2 ; g : x ↦−→ (3 x − 2)(2 x + 4) 1 Déterminer la forme simplifiée des expressions suivantes : a f + g ( x ) b f × g ( x ) c f g ( x ) 2 Donner l’ensemble de définition de la fonction f g . E.408 On considère la fonction f définie sur −∞ ; 4 dont le tableau de variations est donné ci-dessous : On considère les fonctions g , h et j définies par : g ( x ) = f ( x ) + 2 ; h ( x ) = 2 · f ( x ) ; j ( x ) = − f ( x ) Dresser les tableaux de variation des fonctions g , h et j . E.6572 On considère la fonction f admettant le tableau de variations suivant : Dresser, sans justification le tableau de variations de la fonc-tion g définie par la relation: g ( x ) = 3 · f 2 · x E.7378 On considère la fonction f définie sur 1 ; 7 dont le tableau de variations est donnée ci-dessous : 1 Sans justification, dresser les tableaux de variations des fonctions g et h définies par : g ( x ) = 2 · f ( x ) ; h ( x ) = f ( x ) + 2 2 On considère la fonction j définie par la relation: j ( x ) = f ( x − 2) a Donner l’ensemble de définition de la fonction j . b Dresser, sans justification, le tableau de variations de la fonction j . 7. Composition: racines E.4983 On considère la fonction f polynomiale du second degré définie par la relation: f ( x ) = − x 2 − 2 · x + 3 On construit la fonction g par la relation: g : x ↦−→ f ( x ) 1 Conjecture sur la fonction g : Après avoir tracé la courbe représentative de la fonction g à l’aide de la calculatrice: a Conjecturer l’ensemble de définition de la fonction g . b Conjecturer le sens de variation de la fonction g sur les intervalles − 3 ; − 1 et − 1 ; 1 . 2 Étude de la fonction g : a Déterminer les zéros de la fonction f , puis compléter le tableau de variations ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2160 sacados/2160 -4-3-2-1234I-3-2-123JOCf chapExoCorrec/2695 sacados/2695 chapExoCorrec/408 sacados/408 -∞−214−5−22−1Variationdefx chapExoCorrec/6572 sacados/6572 −21∞-∞2−1xVariationdef chapExoCorrec/7378 sacados/7378 137451xVariationdef chapExoCorrec/4983 sacados/4983
b Justifier que la fonction g est définie sur − 3 ; 1 . c Justifier que la fonction g est décroissante sur − 1 ; 1 . E.4982 1 On considère la fonction f dont l’image de x est donnée par la relation: f ( x ) = 2 · x − x 2 a Dresser le tableau de signes de la fonction suivante : x ↦−→ 2 x − x 2 b En déduire l’ensemble de définition de la fonction f . 2 On considère la fonction g définie par : g : x ↦−→ x 3 − 3 x − 2 a Développer l’expression : ( x +1) 2 · ( x − 2) b Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g . E.5030 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = 3 − 2 · x 2 · x + 3 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction de la fonction f . 2 On considère la fonction g définie sur R \ − 3 2 par la relation: g ( x ) = 3 − 2 · x 2 · x + 3 a Déterminer les réels a et b réalisant l’identité suivante : g ( x ) = a + b 2 · x + 3 b Établir le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle − 3 2 ; + ∞ . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de définition. E.1484 1 On considère les deux fonctions suivantes : f : x ↦−→ x 2 ; g : x ↦−→ x 2 a Comparer les ensembles de définition des deux fonc-tions f et g . b Que peut-on dire de ces deux fonctions sur l’intervalle 0 ; + ∞ ? 2 On considère les fonctions suivantes : h : x ↦−→ x ; j : x ↦−→ x 3 x ; k : x ↦−→ x x a Déterminer l’ensemble de définition de chacune de ces fonctions. b Établir que ces fonctions sont toutes égales sur un in-tervalle. Lequel? E.8165 1 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 6 · x 2 − 11 · x − 10 a Déterminer les zéros de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . (On y indiquera ses zéros) 2 On considère la fonction g définie par : g ( x ) = 6 · x 2 − 11 · x − 10 a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g . b Dresser le tableau de variations de la fonction g . E.3079 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = − 2 x 2 − x − 6 1 a Factoriser l’expression : x − 1 2 2 − 25 4 b Justifier l’égalité suivante : f ( x )= − 2 ( x − 3)( x +2) 2 a Établir le tableau de signes de l’expression : ( x − 3)( x + 2) . b Déterminer l’ensemble définition de la fonction f . 3 En déduire, sur l’intervalle 3 ; + ∞ , la monotonie de la fonction f . 8. Composition: inverses E.6571 On considère la fonction f définie par l’expression : f ( x ) = 2 · x 2 − 6 · x + 4 On construit une fonction g définie par l’expression : g ( x ) = 1 2 · x 2 − 6 · x + 4 1 Conjecture sur la fonction g : Après avoir tracé la courbe représentative de la fonction g à l’aide de la calculatrice: a Conjecturer l’ensemble de définition de la fonction g b Conjecturer le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle −∞ ; 1 . 2 Étude de la fonction g : a Déterminer les zéros de la fonction f , puis compléter le tableau de variations ci-dessous : b Justifier que la fonction g n’est pas définie pour x =1 et x =2 . https://chingmath.fr −∞.........∞−∞0...0−∞xVariationdef chapExoCorrec/4982 sacados/4982 chapExoCorrec/5030 sacados/5030 chapExoCorrec/1484 sacados/1484 chapExoCorrec/8165 sacados/8165 chapExoCorrec/3079 sacados/3079 chapExoCorrec/6571 sacados/6571 −∞.........∞∞0...0∞xVariationdef
c Justifier que la fonction g est croissante sur −∞ ; 1 . E.7377 On considère la fonction f définie par l’expression : f ( x ) = − x 2 − 2 · x + 3 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . On justifiera la construction de ce tableau et on y insérera les zéros de la fonction f . 2 a On considère la fonction g définie par l’expression : g ( x ) = − x 2 − 2 · x + 3 Sans justification, dresser le tableau de variations de la fonction g . b On construit une fonction h définie par l’expression : h ( x ) = 1 − x 2 − 2 · x + 3 Sans justification, dresser le tableau de variations de la fonction h . E.7303 On considère les deux fonctions f et g définies sur R \ 2 par les relations : f ( x ) = 1 x − 2 ; g ( x ) = 1 x − 2 2 Sans justification, donner le sens de variations des fonctions f et g sur l’intervalle −∞ ; 2 . 9. Un peu plus loin - composée de fonctions E.4977 On considère les deux fonctions f et g définie sur − 4 ; 4 par les relations : f ( x ) = 2 x + 1 ; g ( x ) = x 2 − 3 On donne les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g dans le repère O ; I ; J ci-dessous : 1 Par lecture graphique, compléter les tableaux de valeurs suivants : x − 3 2 − 1 − 1 2 0 1 2 f ( x ) x − 2 − 1 0 1 2 g ( x ) 2 On considère le programme de calcul suivant : Prendre un nombre x ; Déterminer l’image de x par la fonction f ; on note ce nombre x ; Déterminer l’image de x par la fonction g ; on note ce nombre g f ( x ) . On peut noter ce programme de calcul par la chaine : x f , −−−−−→ f ( x ) g , −−−−−→ g f ( x ) a Déterminer les valeurs des expressions suivantes : g f ( − 1) ; g f − 1 2 b Compléter le tableau de valeurs suivant : x − 3 2 − 1 − 1 2 0 1 2 g f ( x ) On vient de créer une nouvelle fonction qui à un nombre x associe l’image g f ( x ) . Cette fonction s’appelle la fonction composée de f par g et se note g ◦ f . 3 Tracer dans le repère ci-dessus la courbe C g ◦ f représen-tative de la fonction g ◦ f . 4 Donner l’expression, en fonction de x , de la fonction g ◦ f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7377 sacados/7377 chapExoCorrec/7303 sacados/7303 chapExoCorrec/4977 sacados/4977 -4-3-2-1234I-3-2-12JOCgCf
E.2719 On considère les deux fonctions f et g définies sur R dont les tableaux de variation sont donnés ci-dessous : 1 Déterminer la valeur des expressions suivantes : a g ◦ f (1) b g ◦ f (5) c f ◦ g (8) 2 a Justifier que la fonction g ◦ f est croissante sur l’intervalle ] −∞ ; 1] . b Déterminer le sens de variation de la fonction g ◦ f sur l’intervalle 1 ; 5 3 Dresser le tableau de variations sur R de la fonction com-posée g ◦ f . E.2234 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 dont la courbe C f représentative est don-née ci-dessous dans le repère ( O ; I ; J ) orthonormé : 1 Calculer les images suivantes : a f ◦ f (1) b f ◦ f ( − 2) c f ◦ f (3) 2 On définit la fonction f n comme la fonction composée n fois de la fonction f par elle-même. Déterminer la valeur des images suivantes : a f 3 (1) b f 3 ( − 3) c f 4 ( − 1) E.2698 On considère deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [ − 3 ; 3] dont les courbes, respective-ment C f et C g , représentatives sont données dans un repère O ; I ; J orthonormé : 1 Déterminer la valeur des expressions suivantes : a f ◦ g ( − 2) b f ◦ g (1 ; 5) c f ◦ g (2) 2 Déterminer la valeur des expressions suivantes : a g ◦ f ( − 3) b g ◦ f (0) c g ◦ f (1) E.4979 On considère les deux fonctions suiv-antes : f : x ↦−→ x 2 − 2 ; g : x ↦−→ x 1 a Donner les ensembles de définition des fonctions f et g . b Peut-on parler de l’image de 1 par la fonction g ◦ f ? Justifier votre réponse. 2 a Dresser le tableau de signes de la fonction f . b Donner l’ensemble de définition de la fonction g ◦ f . E.2327 On considère la fonction f définie sur R dont le tableau de variations est donnée ci-dessous : Dresser le tableau de variations des fonctions g , h , j définies ci-dessous : 1 g ( x ) = f ( x +2) 2 h ( x ) = f (3 x ) 3 j ( x ) = f (2 x +1) E.4978 Pour chacun des couples de fonctions ci-dessous, déterminer l’expression de la fonction g ◦ f : 1 f : x ↦−→ 3 x − 5 ; g : x ↦−→ x 2 2 f : x ↦−→ x 2 − 1 ; g : x ↦−→ − 2 x + 4 3 f : x ↦−→ x 2 + 1 ; g : x ↦−→ x 2 + 1 10. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/2719 sacados/2719 -∞15∞383-2xVariationdef −∞-238∞∞0−45∞xVariationdeg chapExoCorrec/2234 sacados/2234 -4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/2698 sacados/2698 -3-2-123I-3-2-123JOCf -3-2-123I-3-2-123JOCg chapExoCorrec/4979 sacados/4979 chapExoCorrec/2327 sacados/2327 -∞02∞∞−230Variationdefx chapExoCorrec/4978 sacados/4978
E.409 On considère trois fonctions : f : x , −−−−−→ 3 x − 1 ; g : x , −−−−−→ x 2 h : x , −−−−−→ 2 x − 1 Chacune de ses fonctions sont des fonctions de référence. 1 On considère la fonction composée f par g puis par h . C’est-à-dire que l’image de 2 se calcule par cette fonc-tion composée de la manière suivante : 2 f , −−−−−→ 5 g , −−−−−→ 25 h , −−−−−→ 49 a Calculer l’image par cette fonction des nombres − 1 , 0 et 1 . b Calculer les antécédents de 127 . c Donner une écriture algébrique de cette fonction com-posée. 2 Nous allons faire le travail inverse. Voici de nouvelles fonctions, décomposez-les en fonctions de références. a k ( x ) = 3 x 2 + 1 b ‘ ( x ) = 1 3 x + 1 c m ( x ) = 1 − x 2 d n ( x ) = 3 x + 5 2 E.2825 1 Soit f une fonction définie sur R . On considère la fonc-tion : g : x ↦−→ − 2 · f ( x ) + 5 a Si f est croissante, justifier que la fonction g est décroissante. b Si f est décroissante, justifier que la fonction g est croissante. 2 On considère la fonction h définie par la relation: h ( x ) = − 2 x 2 + 5 Déduire, de la question précédente, que la fonction h est croissante sur R − . 3 Justifier chacune des assertions suivantes : a j : x ↦−→ 5 − 2 x est croissante sur R ∗ + . b k : x ↦−→ 2 · ( x + 2) 2 − 5 est croissante sur − 2 ; + ∞ . E.2849 On considère une fonction f définie sur R dont voici le tableau de variations : On considère la fonction g dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: g ( x ) = 2 f ( x ) − 1 + 3 1 Déterminer l’image des nombres − 1 et 3 par la fonction g . 2 Déterminer le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ] −∞ ; 3] . E.2720 Soit g la fonction définie par la relation: g ( x ) = 1 − 5 x 2 + 3 x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de cette fonction. 2 Justifier que le polynôme Q = − 5 x 2 +3 x +1 admet le tableau de variations suivant : 3 Dresser le tableau de variations de la fonction g . (On n’indiquera que les sens de variations) E.5056 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 1 x + 1) 2 + 2 Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle − 1 ; + ∞ . E.2717 On considère la fonction f définie sur R ∗ définie par la relation: f ( x ) = 2 · 1 x 2 − 3 · 1 x + 5 1 Dresser le tableau de signes et le tableau de variations du polynôme du second degré : P ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 5 2 En remarquant que la fonction f est la composée de la fonction inverse avec ce polynôme du second degré, établir que la fonction est décroissante 0 ; 4 3 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f (ne pas chercher à compléter le tableau avec les valeurs des im-ages.) E.2718 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/409 sacados/409 chapExoCorrec/2825 sacados/2825 chapExoCorrec/2849 sacados/2849 -∞-13∞∞52∞xVariationdef chapExoCorrec/2720 sacados/2720 -∞3−√2910310√2910∞-∞029200∞VariationdeQx chapExoCorrec/5056 sacados/5056 chapExoCorrec/2717 sacados/2717 chapExoCorrec/2718 sacados/2718