Hors programme lycée / Congruence 43 exercices corrigés

a
1. Congruence E.24 On note abcd =1000 · a +100 · b + 10 · c + d l’écriture d’un entier en base dix dont les chiffres sont a , b , c et d . 1 a Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11. b Montrer que si un nombre entier n vérifie: n ≡ 10 ( mod. 11) alors on peut aussi écrire: n ≡− 1 ( mod. 11) c En déduire que si abcd est divisible par 11 alors − a + b − c + d est aussi divisible par 11. 2 a Les entiers du type abba sont-ils divisibles par 11? b Pour quelle valeur de a , l’entier 1 a 1 est-il divisible par 11? c Pour quelle valeur de a , l’entier 9 a 9 est-il divisible par 11? 3 À quelles conditions les entiers du type aab sont-ils divis-ibles par 11? E.20 Le but de cet exercice est de dé-montrer que, pour tout entier naturel n non nul, l’entier A = n · ( n 2 − 1) est un multiple de 6. 1 Dans chacun des cas suivants, calculer A et déterminer le reste dans la division euclidienne de A par 6. a n = 5 b n = 16 c n = 32 2 On suppose maintenant que le reste de la division eucli-dienne de n par 6 est 5; on peut donc écrire: n ≡ 5 ( mod. 6) . a Que peut-on en conclure pour ( n − 1) et ( n +1) ? b Quel est le reste de la division euclidienne de ( n 2 − 1) par 6 ? c Justifier alors que n ( n 2 − 1) est un multiple de 6. 3 Recopier et compléter le tableau : Reste de la division de n par 6 Reste de la division de ( n − 1) par 6 Reste de la division de ( n +1) par 6 Reste de la division de ( n 2 − 1) par 6 Reste de la division de n ( n 2 − 1) par 6 0 1 2 3 2 4 2 0 4 5 4 Conclure. E.27 1 a Trouver les plus petits entiers naturels a , b , c vérifi-ant : 100 ≡ a ( mod. 4) ; 27 ≡ b ( mod. 4) ; 95 ≡ c ( mod. 4) b En déduire le reste de la division euclidienne 27 × 100 par 4. Puis, le reste de 2 795 par 4. 2 a Calculer le reste de la division euclidienne de 10 , 100 , 1000 par 9 . b En déduire les plus petits entiers naturels a , b , c véri-fiant : 3 × 1000 ≡ a ( mod. 9) ; 7 × 100 ≡ b ( mod. 9) ; 8 × 10 ≡ c ( mod. 9) c Donner le reste de la division euclidienne de 3 785 par 9 . 3 a En utilisant une méthode équivalente à celle de la question 2 , donner les plus petits entiers naturels a et b vérifiant : 318 ≡ a ( mod. 9) ; 1 203 631 ≡ b ( mod. 9) b En utilisant les propriétés de conservation de la con-gruence, montrer que le calcul ci-dessous est faux : 3 785 × 318 = 1 203 631 E.23 Le but de l’exercice est de prouver pour les entiers à quatre chiffres, le critère de divisibilité: ˇUn entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3ı. 1 Un exemple: a Pour un entier naturel n , que signifie la phrase ˇ n est congru à 1 modulo 3 ı? Traduire à l’aide d’une congruence ˇ n est divisible par 3ı. b Pour chacun des entiers suivants, donner l’entier posi-tif le plus petit auquel il est congru modulo 3 : 10 , 100 , 1000 , 10 p où est un entier positif. c Déterminer le plus petit entier, positif auquel est con-gru l’entier 4520 modulo 3 . On remarquera que : 4520 = 4 × 1000 + 5 × 100 + 2 × 10 . 2 Quelques généralisations : On considère un entier N à quatre chiffres, quatre entiers a , b , c et d entre 0 et 9 tels que a =0 et : N = 1000 · a + 100 · b + 10 · c + d . Le chiffre des unités est d , celui des dizaines est c , des centaines b et des milliers a . a Montrer que : N ≡ a + b + c + d modulo 3. b Justifier, pour les entiers à quatre chiffres, le critère de divisibilité par 3, énoncé au début de l’exercice. c Énoncer un critère analogue de divisibilité par 9 et le démontrer pour les entiers à quatre chiffres. https://chingmath.fr chapExoCorrec/24 sacados/24 Liban - 2003 - 6 points - aux choix chapExoCorrec/20 sacados/20 chapExoCorrec/27 sacados/27 sacados/23 France - Juin 2004 - 7 points - Au choix
E.1851 Le code barre à 13 chiffres ou EAN 13 (European Article Number) est un code constitué de 13 chiffres compris entre 0 et 9, utilisé pour classifier les produits de la grande distribution : a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 On calcule: S = a 1 + 3 a 2 + a 3 + 3 a 4 + a 5 + 3 a 6 + a 7 + 3 a 8 + a 9 +3 a 10 + a 11 + 3 a 12 + a 13 Le code est accepté lorsque : S ≡ 0 ( mod. 10) . Il est refusé sinon. 1 En pratique. On considère le code A =9 780 130 515 186 . a Vérifier que A est accepté. b Au lieu du code A , on a saisi le code B = 9 770 130 515 186 en commettant une erreur sur le troisième chiffre. Montrer que le code B est refusé. c Lors de la saisie du code A , deux chiffres voisins ont été permutés. Le code C =9 780 135 015 186 est-il accepté ou refusé? Le code D =9 780 130 155 186 est-il accepté ou refusé? 2 Effet d’une erreur de saisie sur le quatrième chiffre. a On désigne par E le code 9 78 n 130 515 186 où n représente un chiffre. Si n =0 , on retrouve le code A donc E est accepté. Déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles E est accepté. b En déduire qu’une erreur de saisie sur le quatrième chiffre du code A est toujours détectée. E.11 Le célèbre tableau de DAVID: ˇLe sacre de Napoléonı immortalise l’événement du 2 décembre 1804. Sur la période considérée, toutes les années dont le millésime est multiple de 4 sont bissextiles, sauf l’année 1900. Considérons le 2 décembre 1804 comme le jour de rang 1 1 a Combien y a-t-il d’années dont le millésime est com-pris entre 1805 (inclus) et 2003 (inclus) ? b Parmi ces années, montrer qu’il y a 48 années bissex-tiles 2 Prouver que le rang du 1 er janvier 2004 est 72 714 . 3 Déterminer l’entier a compris entre 0 et 6 inclus tel que : 72 714 = a ( mod. 7) . 4 Sachant que le 1 er janvier 2004 était un jeudi, recopier et compléter le tableau suivant où k désigne un nombre entier. Rang du jour 7 k 7 k +1 7 k +2 7 k +3 7 k +4 7 k +5 7 k +6 Jour de la semaine 5 Quel jour de la semaine, Napoléon 1 er a-t-il été sacré empereur? E.19 Les questions 1 et 2 sont in-dépendantes. 1 On considère deux nombres entiers naturels a et b tel que : a est congru à 10 modulo 23 b est congru à 15 modulo 23 a Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à ( a + b ) modulo 23. b Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à a · b modulo 23. 2 a Déterminer le plus petit nombre entier naturel con-gru à 1000 modulo 111 b Montrer que pour tout nombre entier naturel n , 1000 n est congru à n modulo 111. En déduire que le nombre 10 8 +10 4 +1 est divisible par 111. E.2 Une horloge électronique a été program-mée pour émettre un bip toutes les sept heures. Le premier bip est émis le 31 décembre à minuit. 1 a À quelle heure est émis le dernier bip du 1 er janvier 2005? b À quelle heure est émis le premier bip du 2 janvier 2005? c À quelle heure est émis le dernier bip du 2 janvier 2005? d À quelle heure est émis le premier bip du 3 janvier 2005? Expliquer les réponses. 2 a Montrer que : 24 ≡ 3 ( mod. 7) b En déduire le reste de la division euclidienne de 2 × 24 par 7 et le reste de la division euclidienne de 3 × 24 par 7. Justifier les réponses. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Reste de la division euclidienne de n × 24 par 7 5 1 4 0 3 6 2 c Expliquer pourquoi l’horloge émet un bip à minuit tous les 7 jours et tous les 7 jours seulement. 3 On rappelle que l’année 2005 est une année non bissextile et comporte 365 jours. a Déterminer le plus petit entier naturel a tel que : 365 ≡ a ( mod. 7) . b À quelle date l’horloge émettra-t-elle un bip à minuit pour la dernière fois en 2005? Expliquer la réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1851 sacados/1851 chapExoCorrec/11 sacados/11 Antilles - 2004 - Au choix - 6 points chapExoCorrec/19 sacados/19 Japon - 2002 - 5 point - au choix sacados/2
E.18 Dans cet exercice, on étudie la di-visibilité par 11 en exploitant la congruence modulo 11 des puissances de 10. 1 a Vérifier que : 100 ≡ 1 ( mod. 11) . En déduire que : 10 4 ≡ 1 ( mod. 11) b Vérifier que : 10 ≡ − 1 ( mod. 11) . En déduire que : 10 3 ≡ − 1 ( mod. 11) 10 5 ≡ − 1 ( mod. 11) 2 a En utilisant l’égalité 3729=37 × 100+29 et les résul-tats précédents, montrer que 3729 est divisible par 11. b En utilisant la méthode précédente, étudier la divisi-bilité de 9 240 par 11 . 3 a En utilisant l’égalité: 3729 = 3 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 9 et les résultats précédents, montrer que 3 729 est divis-ible par 11 . b En utilisant cette méthode, étudier la divisibilité de 9 240 par 11 . 4 Étudier la divisibilité de 197 277 par 11. E.10 1 Donner le reste de la division euclidienne de 5 par 8. Donner le reste de la division euclidienne de 5 2 par 8. 2 Donner le reste de la division euclidienne de 5 86 par 8. Donner le reste de la division euclidienne de 5 87 par 8. 3 Donner est le reste de la division euclidienne de 965 87 par 8. 4 Soit n un entier naturel. Montrer que 5 2 n +1 +5 2 n +2 est un multiple de 8. E.1 Le code d’identification d’un article est formé de sept chiffres compris entre 0 et 9. Les six pre-miers chiffres identifient l’article, le septième est une clé de contrôle destinée à déceler une erreur dans l’écriture des six premiers. On notera x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 un tel code. la clé de contrôle x 7 est le reste de la division euclidienne par 10 de la somme : N =( x 1 + x 3 + x 5 )+7( x 2 + x 4 + x 6 ) 1 a Vérifier que le code suivant est correct: 2 3 4 1 5 4 7 b Calculer la clé du code suivant : 9 2 3 4 5 1 • c Un des chiffres du code suivant a été effacé : 1 1 2 • 7 7 4 . Le calculer. 2 Dans cette question un des chiffres du code est erroné : au lieu de saisir x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ,le dactylographe a frappé x 1 x 2 x 3 yx 5 x 6 x 7 a Écrire les sommes N 1 et N 2 associées respectivement aux deux codes précédents puis calculer la différence N 1 − N 2 b Montrer que l’équation 7 a =0 ( mod. 10) où a est un entier compris entre 0 et 9, a pour seule solution 0. c L’erreur de frappe sera-t-elle détectée? 3 Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 , le dactylo-graphe a frappé x 1 x 3 x 2 x 4 x 5 x 6 x 7 . a Écrire les sommes N 1 et N 2 associées à ces deux codes, puis calculer la différence N 1 − N 2 . b Donner un exemple de valeurs de x 2 et x 3 pour lesquelles la clé de contrôle ne détecte pas l’erreur. https://chingmath.fr chapExoCorrec/18 sacados/18 Japon -- 2003 -- au choix -- 5 points chapExoCorrec/10 sacados/10 Liban -- 2005 - 6 points -- au choix chapExoCorrec/1 sacados/1 Japon - 2004 - 6 points - au choix
E.25 Une année bissextile compte 366 jours et une année non bissextile 365 jours. Une année est bissextile si son ˇnuméroı est divisible par 4 sauf s’il s’agit d’un siècle. Les siècles, années dont le ˇnuméroı se termine par deux zéros, ne sont, en général, pas bissextiles sauf si leur ˇnuméroı est divisible par 400. Quelques exemples: 1996 était bissextile, 1997 ne l’était pas, 1900 non plus, mais 2400 le sera. 1 Trouver les deux entiers naturels a et b inférieurs ou égaux à 6 tels que : 365 ≡ a ( mod. 7) ; 366 ≡ b ( mod. 7) . 2 a En supposant que le premier janvier d’une année non bissextile soit un lundi, expliquer pourquoi le premier janvier de l’année suivante sera un mardi. b Si le premier janvier d’une année bissextile est un lundi, quel jour de la semaine sera le premier janvier de l’année suivante? 3 Une période de quatre années consécutives compte : N = 3 × 365 + 1 × 366 . Sans calculer N , justifier que N ≡ 5 ( mod. 7) . 4 En supposant que le premier janvier d’une année soit un lundi, quel jour de la semaine sera le premier janvier qua-tre ans plus tard? Expliquer la réponse. Plus généralement, pour une date donnée, (par exemple le 1 er janvier) , chaque période de 4 années produit un dé-calage de cinq jours dans le cycle des jours de la semaine. 5 Compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n’est demandée. Nombre de périodes de quatre années J = nombre de jours de décalage dans le cycle des jours de la semaine Reste de la division de J par 7 0 0 0 1 5 5 2 10 3 3 4 5 6 7 6 a Expliquer pourquoi l’année 2004 est bissextile. b Sachant que le 29 février 2004 était un dimanche, quel jour de la semaine sera le 29 février 2008? c Quelle sera la prochaine année où le 29 février sera un dimanche? Expliquer la réponse. E.5 PAS TERMINE Dans un système d’identification des pro-duits par codes à barres, un code est une succession de 12 chiffres. Il est précédé d’un treizième chiffre appelé clé du code et qui sert à la vérification de la bonne saisie du code. Un code à barres est symbolisé par le tableau : R est la clé du code et C 1 , C 2 ,. . . , C 12 sont les chiffres du code. R , C 1 , C 2 ,. . . , C 12 sont des entiers compris entre 0 et 9. Les chiffres de rang impair ( C 1 ;C 3 ; : : : ;C 11 ) sont dans les cases grisées, ceux de rang pair dans les cases blanches. La clé est calculée de sorte que la relation suivante soit vérifiée: 3 × ( somme des chiffres de rang impair ) +( somme des chiffres de rang pair ) + R = 0 ( mod. 10) 1 Sur l’étiquette imprimée plus haut, on a: R = 4 ; C 1 = 0 ; C 2 = 1 ,. . . Vérifier que le code de l’étiquette ne contient pas d’erreur. 2 Calculer la clé correspondant au code suivant : 3 Montrer que les deux codes suivants correspondent à la même clé: 4 Sur l’étiquette ci-dessous, un des chiffres a été effacé et remplacé par la lettre a . Retrouver ce chiffre. 5 Les deux premiers chiffres, b et c de l’étiquette, ont été effacés. Montrer que : c ≡− 3 · b − 1 ( mod. 10) . En déduire les valeurs possibles du couple ( b ; c ) E.1770 Un entier naturel N s’écrit cabc dans e système de numération à base cinq où a , b , c sont non nuls, c’est-à-dire : N = c × 5 3 + a × 5 2 + b × 5 + c où a , b , c sont des entiers tels que : 0 <a < 5 ; 0 <b < 5 ; 0 <c < 5 Ce même nombre entier N s’écrit aba dans le système de numération à base huit. 1 Montrer que N =65 · a +8 · b et en déduire que : 40 · a = 126 · c − 3 b · . 2 a Justifier que 40 · a ≡ 0 ( mod. 3) . En déduire la valeur de a . b Montrer que b ≡ 0 ( mod. 2) . Déterminer les valeurs de b et c . c Donner l’écriture de l’entier N dans les bases cinq, huit et dix. https://chingmath.fr chapExoCorrec/25 sacados/25 sacados/5 chapExoCorrec/1770 sacados/1770
E.1989 Le but de cet exercice est de mon-trer, par deux méthodes différentes, que pour tout nombre entier naturel n , le nombre n 3 +5 · n est divisible par 6. Première méthode 1 Montrer que tout nombre entier naturel n est congru, modulo 6, à 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. 2 Recopier et compléter le tableau suivant avec des nom-bres entiers naturels inférieurs ou égaux à 5. n ≡ : : : ( mod. 6) 0 1 2 3 4 5 n 3 ≡ : : : ( mod. 6) 5 n ≡ : : : ( mod. 6) n 3 + 5 n ≡ : : : ( mod. 6) 3 En déduire que pour tout nombre entier naturel n , le nombre entier n 3 +5 n est divisible par 6. Deuxième méthode 1 Montrer que pour tout nombre entier naturel n : n · ( n + 1) est pair. En déduire que pour tout nombre entier naturel n : 3 · n · ( n + 1) est divisible par 6. 2 On admet que : ( n + 1) 3 + 5 · ( n + 1) = ( n 3 + 5 · n ) + 3 · n · ( n + 1) + 6 Montrer que si pour un nombre entier naturel ; n 3 +5 · n est divisible par 6, alors ( n +1) 3 +5 · ( n +1) est divisible par 6. 3 Que reste-t-il à vérifier, pour en déduire que n 3 +5 · n est divisible par 6, pour tout nombre entier naturel n ? 2. Congruence et puissance E.1849 1 a Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 des entiers 3 n pour n ∈ N : n 6 . b Recopier et compléter le tableau suivant : Puissance de 3 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 Reste modulo 7 c En déduire que, pour tout k ∈ N , 3 6 k est congru à 1 modulo 7. 2 a Déterminer le plus petit entier naturel congru à 1515 modulo 7. b Après avoir remarqué que 2004=6 × 334 , déduire du 1 le reste de la division euclidienne de 1515 2004 par 7. c Montrer que dans la division euclidienne de 1515 2006 par 7 le reste est 2. E.28 1 a Montrer que 1999 est congru à 4 modulo 7. b Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7. 2 Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7. a Déterminer un nombre entier naturel congru à n 3 mod-ulo 7. b En déduire que ( n 3 +1) est divisible par 7. 3 Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors ( n 3 − 1) est divisible par 7. 4 On considère le nombre : A =1999 3 +2007 3 . Sans calculer A , montrer en utilisant les résultats précé-dents que A est divisible par 7. E.7 On considère les entiers : A = 8 387 592 115 ; B = 9 276 312 516 1 a Montrer que 1 000 est divisible par 8. b Montrer que A est congru à 3 modulo 8. c Donner l’entier naturel b strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à b modulo 8. 2 Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à 8 qui sont congrus respectivement à A + B et à A · B modulo 8 . 3 a Montrer que B 2 est divisible par 8. b Montrer que A 2 n’est pas divisible par 8. c Montrer que A 100 n’est pas divisible par 8. E.8 On considère le nombre entier A = 18 2002 . 1 A est divisible par 9? Par 4? (justifier les réponses) 2 On cherche à obtenir le reste de la division euclidienne de A par 7, en utilisant des congruences. a Trouver l’entier r vérifiant : 0 r < 7 18 = r ( mod. 7) b Quel est le plus petit entier naturel non nul n tel que : r n = 1 ( mod. 7) ? c Prouver que pour tout nombre entier naturel k , 4 3 k est congru à 1 modulo 7. d En déduire le reste de la division euclidienne de A par 7. 3 Montrer que 2002 18 est divisible par 13. https://chingmath.fr sacados/1989 chapExoCorrec/1849 sacados/1849 sacados/28 Antilles Guyane - Juin 2002 - 5 points chapExoCorrec/7 sacados/7 Antilles - Septembre 2002 - 7 points - au choix chapExoCorrec/8 sacados/8 Liban - Juin 2002 - 6 points
E.1769 Pour tout entier n 1 , on considère le nombre entier: 11 n + 5 n − 7 1 a Quel est le reste de 11 dans la division euclidienne par 10? b Démontrer que, pour tout nombre entier n 1 : 11 n ≡ 1 ( mod. 10) . 2 Démontrer que, pour tout nombre entier n 1 , 5 n ≡ 5 ( mod. 10) . (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence ou s’appuyer sur des propriétés de divisibilité) 3 Quel est le chiffre des unités de l’entier 11 2007 +5 2007 − 7 ? Justifier la réponse donnée. E.1848 1 Montrer que, pour tout n ∈ N , on a: 2 3( n +1) − 1 = 8 · 2 3 n − 1 + 7 . 2 Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que la propriété suivante est vraie pour tout n ∈ N : 2 3 n − 1 est divisible par 7. E.35 1 Montrer la relation suivante pour n ∈ N : 9 · 9 n − 2 n + 7 × 2 n 2 Montrer par récurrence que 9 n − 2 n est un multiple de 7 pour tout n ∈ N . 3. Problème de clé de vérification E.15 Sur le catalogue d’une entreprise de vente par correspondance, la référence de chaque article d’un nombre à cinq chiffres x y z t u (le premier de ces chiffres x étant différent de zéro) , suivi d’une lettre majuscule choisie antre A et N , à l’exception de la lettre I . À cette lettre majuscule est associé un nombre appelé clé selon le tableau suivant : Lettre A B C D E F G H J K L M N Clé 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 À des fins du contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du nombre à cinq chiffres et de la clef obtenue grâce au tableau, soit un nombre divisible par 13. Par exemple considérons un article dont la référence est 18 501M. Le nombre à cinq chiffres est 18 501 . La clé asso-ciée à M est 11: 18501 + 11 = 18512 = 13 × 1424 . 18512 est divisible par 13, donc cette référence est correcte. 1 Les deux références suivantes sont-elles correctes? 13587 M ; 45905 A Les réponses doivent être justifiées. 2 On veut retrouver la lettre d’une référence dont il ne reste que le nombre à cinq chiffres 26014 . a Montrer que : 13 × 2001 < 26014 < 13 × 2002 . b En déduire la lettre manquante. 3 On veut retrouver un chiffre illisible dans la référence d’un article. Cette référence est 85 z 29 C ( z étant le chiffre illisible) . a Montrer que le problème revient à trouver z tel que 0 z 9 et : 8 × 10 4 +5 × 10 3 + z × 10 2 +2 × 10+9+2 ≡ 0 ( mod. 13) Cette relation sera notée ( E ) dans toute la suite. b Recopier et compléter le tableau suivant à l’aide d’entiers naturels compris entre 0 et 12. 10 0 ≡ : : : ( mod. 13) 10 1 ≡ : : : ( mod. 13) 10 2 ≡ : : : ( mod. 13) 10 3 ≡ : : : ( mod. 13) 10 4 ≡ : : : ( mod. 13) c En utilisant les propriétés des congruences et les résul-tats obtenus dans le tableau précédent, montrer que le problème revient à trouver z ( 0 z 9 ) tel que : 11 + 9 z ≡ ( mod. 13) d Déterminer le chiffre illisible de la référence. Écrire alors cette référence. E.9 Dans une entreprise de vente par cor-respondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et d’une lettre de contrôle afin d’éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l’alphabet correspondant au reste de la division de la référence numérique par 26. Exemple : la référence numérique 123 456=4748 × 26+8 et la 8 e lettre de l’alphabet est H donc la référence de l’article avec sa clé de contrôle est 123 456 H . 1 La référence numérique d’un article est 784 503 , déter-miner la lettre de contrôle correspondant à cette référence. 2 On considère la référence : : : 37 254 H où le premier chiffre a été effacé. a On note n le chiffre manquant ; Vérifier que le nombre vérifie: n · 37 254 = n × 100 000 + 37 254 b Déterminer le reste de la division de 100 000 par 26, puis de 37 254 par 26. c En déduire que : 4 · n +22=8 ( mod. 26) . d Sachant que 1 n 9 , déterminer le chiffre manquant de la référence. https://chingmath.fr sacados/1769 chapExoCorrec/1848 sacados/1848 sacados/35 sacados/15 chapExoCorrec/9 sacados/9
E.3 Le numéro I.N.S.E.E. est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite : Le premier chiffre est 1 s’il s’agit d’un homme, 2 s’il s’agit d’une femme ; les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance ; les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ; les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ; les trois chiffres suivants désignent la commune de nais-sance ; les trois chiffres suivants désignent le numéro d’inscription sur le registre civil; les deux derniers chiffres désignent la clé K , calculée de la manière suivante : Soit A le nombre entier constitué par les 13 chiffres de gauche, soit r le reste de la division euclidienne de A par 97, alors K =97 − r Les 13 premiers chiffres (sans clé) du nombre I . N . S . E . E . de Sophie sont 2 850 786 183 048 . On note A ce nombre et r le reste de la division euclidienne de A par 97. 1 Donner le mois de l’année de naissance de Sophie. 2 a Déterminer les deux entiers a et b tels que : A = a × 10 6 + b avec 0 b< 10 6 . b En utilisant le reste de 100 dans sa division euclidienne par 97; montrer que : 10 6 ≡ 27 ( mod. 97) c En déduire le reste r de la division euclidienne de A par 97. 3 Déterminer la clé K du numéro I.N.S.E.E. de Sophie. 4 Sophie, à qui l’on demande les treize premiers chiffres de son numéro I.N.S.E.E., inverse les deux derniers chiffres et répond 2 850 786 183 084 à la place de 2 850 786 183 048 . On note B la réponse de Sophie. a Calculer la différence B − A et en déduire que le reste de la division euclidienne de B par 97 est égal à 21. b L’erreur faite par Sophie peut-elle être détectée ? E.1850 Tous les ouvrages publiés sont identifiés par un numéro ISBN (International Standard Book Number) qui indique la langue de publication, l’éditeur et la référence de l’ouvrage chez cet éditeur. Un numéro ISBN est constitué de neuf chiffres (c’est-à-dire neuf entiers compris entre 0 et 9) suivis d’une espace et d’une clé. Cette clé est un chiffre ou la lettre X (le 10 en numérotation romaine) . Pour déterminer la clé d’un numéro ISBN dont les neuf pre-miers chiffres sont abcdefghi , on calcule l’entier: N = a +2 · b +3 · c +4 · d +5 · e +6 f · +7 · g +8 · h +9 · i puis on déterminer l’entier r compris entre 0 et 10 qui est congru à N modulo 11 . Si l’entier r est strictement inférieur à 10 , la clé est égale à r ; si l’entier r est égal à 10 , la clé est X . 1 Vérifier que la clé du numéro ISBN 190190340 0 est cor-recte. 2 Calculer la clé du numéro ISBN dont les 9 premiers chiffres sont : 103 241 052. 3 Le quatrième chiffre du numéro ISBN d’un ouvrage est illisible. On le note d . La clé de ce numéro est 4 et le numéro se présente ainsi : 329 d12 560 4. a Montrer que : 4 · d ≡ 2 ( mod. 11) . b En déduire le chiffre d . 4 Le premier chiffre et le neuvième chiffre du numéro ISBN d’un ouvrage sont illisibles. On les note a et i . La clé de ce numéro est 9 et le numéro se présente ainsi : a32 100 50i. a Montrer que : a ≡ 2 − 9 · i ( mod. 11) . b Donner deux valeurs possibles du couple ( a ; i ) . 4. Codage E.21 Les codes secrets des cartes ban-caires sont formés de quatre chiffres pris de 0 à 9. Pierre n’a pas noté celui de sa carte bancaire dans son agenda, mais comme il a peur de l’oublier, il a quand même noté la forme ˇ cryptée ı de son code secret de façon que son code se-cret ne soit pas découvert si son agenda était perdu. Pierre réalise toujours son cryptage de la façon suivante : Il choisit deux chiffres a et b , appelés ˇ clés du cryptage ı, qui vont lui servir à tout le cryptage. Il remplace chaque chiffre n de son code secret par le chiffre p , appelée forme cryptée de n , qu’il calcule à l’aide de la formule suivante : p ≡ a × n + b ( mod. 10) L’objectif de la partie A est de retrouver le code secret de la carte bancaire de Pierre, connaissant les clés de cryptage. L’objectif de la partie B est de retrouver les clés de cryptage. Les parties A et B sont donc indépendantes. Partie A Pierre a choisi ici: a = 3 ; b = 7 Alors: p ≡ 3 × n + 7 ( mod. 10) Par exemple, la forme cryptée du chiffre 5 sera le chiffre 2. Car : 3 × 5 + 7 = 22 ; 22 ≡ 2 ( mod. 10) 1 Reproduire et compléter la table de cryptage ci-dessous correspondant à la formule de Pierre. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p 6 9 2 1 2 Pierre a inscrit 8 5 0 3 dans son agenda qui est la forme cryptée de son code secret, quel est son véritable code secret? Partie B https://chingmath.fr chapExoCorrec/3 sacados/3 Antilles - 2003 - 7 points - Obligatoire chapExoCorrec/1850 sacados/1850 chapExoCorrec/21 sacados/21
Pierre a fait des émules. Quentin utilise la même formule que Pierre : p ≡ a × n + b ( mod. 10) Mais en prenant deux autres valeurs de a et b parmi les chiffres de 0 à 9. Pierre prétend pouvoir déterminer la formule de Quentin (c’est-à-dire trouver les nombres a et b ) , car ce dernier lui a avoué les formes cryptées de deux chiffres : La forme cryptée du chiffre 3 est le chiffre 3 . La forme cryptée du chiffre 4 est le chiffre 2 . 1 Établir que découvrir a et b revient à résoudre le système d’inconnue ( a ; b ) : 3 a + b ≡ 3 ( mod. 10) 4 a + b ≡ 2 ( mod. 10) où a et b sont des chiffres de 0 à 9. 2 Pierre prétend que le couple (9 ; 6) est une solution de ce système. Montrer qu’il a raison E.17 Les parties I et II sont indépen-dantes. Partie I Nathalie communique avec une amie en fabriquant des mes-sages codés. Chaque lettre de l’alphabet est repérée par son rang x , 1 x 26 : 1 pour A , 2 pour B , etc. . . La lettre de rang x est codée par la lettre de rang y tel que : 1 y 26 ; y ≡ x + 10 ( mod. 26) Exemples: La lettre V a pour rang x =22 ; on a : 1 y 26 ; y ≡ 32 ( mod. 26) donc y =6 . La lettre V est codée par la lettre F . 1 Recopier et dresser le tableau ci-dessous pour toutes les lettres de l’alphabet. Lettre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 22 y 11 6 Codage K F 2 Retrouver le codage du mot ˇ ARITHMETIQUE ı. 3 Décoder le mot ˇ OEBY ı. Partie II 1 Remarquant que 999=27 × 37 , démontrer que : 10 3 ≡ 1 ( mod. 37) ; 10 30 ≡ 1 ( mod. 37) 2 Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a: 10 3 n ≡ 1 ( mod. 37) . 3 En déduire que l’entier N =10 10 +10 20 +10 30 est un mul-tiple de 37. (On pourra remarquer que 10 10 =10 9 × 10 ) . E.22 ˇ La lutte incessante entre concepteurs et briseurs de codes a permis une série de remarquables per-cées scientifiques. Les concepteurs ont cherché à élaborer des codes toujours plus sophistiqués pour protéger les communica-tions, alors que les décrypteurs imaginaient perpétuellement des méthodes plus performantes pour les attaquer... Leur tra-vail a accéléré le développement technologique, notamment dans le cas de l’ordinateur.... L’art de communication secrète, aussi appelé cryptographie, fournira à l’âge de l’information ses verrous et ses clefs ı. Histoire des codes secrets - Simon Singh Le code ASCII (American Standard Code for Information In-terchange) en informatique, permet d’associer à chaque car-actère (lettre, signe de ponctuation, chiffre,. . . ) un nombre entier n , compris entre 0 et 255. Le tableau ci-dessous donne les codes attribués aux lettres de l’alphabet : Lettre A B C D E F G H I J K L M Code ASCII 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z Code ASCII 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 1 ˇChiffrementı à clé utilisant l’arithmétique Le procédé suivant permet de masquer le mot initial: à chaque nombre n , du Code ASCII correspondant à une lettre donnée, on associe le reste de la division de 7 n par 256. Exemple: Codage de la lettre B Code ASCII de la lettre B : 66. Calcul du nouveau code de la lettre B : 7 × 66 = 462 ; 462 = 256 × 1 + 206 . Nouveau code de la lettre B : 206 Ainsi le mot BONJOUR sera codé : Mot B O N J O U R Code ASCII 66 79 78 74 79 85 82 Nouveau codage 206 41 34 6 41 83 62 Codage du mot CLE a Code ASCII de C : 67 ; 7 × 67 = 469 Déterminer le reste de la division euclidienne de 469 par 256, en déduire le nouveau code de la lettre C . b De la même façon, déterminer le nouveau code de la lettre L, puis de la lettre E, puis de la lettre F, en déduire le codage du mot CLEF. 2 ˇDéchiffrementı : Soit x le nouveau code de la lettre à découvrir et n son code ASCII. a Justifier que : x =7 · n ( mod. 256) b En déduire que : 193 · x = n ( mod. 256) . On admet que n est le reste de la division euclidienne de 183 · x par 256. c Vérifier que pour x =206 , on a bien n =66 qui corre-spond à la lettre B . d Décoder le mot suivant : 206 199 213 https://chingmath.fr chapExoCorrec/17 sacados/17 sacados/22 Liban - 2004 - 7 points - au choix
E.4 Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l’habitude de communiquer à l’aide de messages codés. Ils réalisent toujours leur cryptage de la façon suivante : Chaque lettre de l’alphabet munie de son numéro d’ordre n est remplacée par la lettre de l’alphabet munie du numéro d’ordre p (1 p 26) obtenue à l’aide de la formule : p = 3 × n + 7 ( mod. 26) Par exemple la forme cryptée de L est Q car: 3 × 12+7=43 et 43 = 17 ( mod. 26) . 1 Reproduire et compléter la table de cryptage ci-dessous (aucune justification n’est demandée) . lettre A B C D E F G H I J K L M N n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 p 17 forme cryptée J Q lettre O P Q R S T U V W X Y Z n 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 p 1 forme cryptée A 2 Arthur a envoyé le message suivant à Wilson: MIJUZ CZRI OJ IV RLLHOV . Retrouver la forme décryptée du message. 3 Wilson désire lui répondre : MERCI . Donner la forme cryptée de ce message. 5. Propriété du pgcd et ppcm E.3865 Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. ˇIl existe un seul couple ( a ; b ) de nombres entiers na-turels, tel que : a<b ; PPCM ( a ; b ) − PGCD ( a ; b )=1 ı E.3866 Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. ˇOn considère l’équation: ( E ): x 2 − 52 x +480=0 où x est un entier naturel. Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation ( E ) .ı E.4118 Soit U n la suite numérique définie par : U 0 = 0 U n +1 = 2 · U n + 1 pour tout n ∈ N 1 Montrer que, pour tout entier naturel n , U n +1 et U n sont premiers entre eux. 2 Montrer que pour tout entier naturel n : U n = 2 n − 1 3 Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n p : U n = U p · U n − p + 1 + U n − p La notation pgcd ( a ; b ) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b . 4 Montrer pour n p l’égalité: pgcd ( U n ; U p ) = pgcd ( U p ; U n − p ) 5 Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd ( U n ; U p ) = U pgcd ( n ; p ) Déterminer l’entier: pgcd ( U 2005 ; U 15 ) . 6. Petit théorème de Fermat E.3192 Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4 n − 1 , lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : ˇ Si p est un nombre entier premier et a un entier naturel premier avec p , alors a p − 1 − 1 ≡ 0 ( mod. p ) ı Partie A. Quelques exemples. 1 Démontrer que, pour tout entier naturel n , 4 n est congru à 1 modulo 3 . 2 Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 4 28 − 1 est divisible par 29 . 3 Pour 1 n 4 , déterminer le reste de la division de 4 n par 17 . En déduire que, pour tout entier k , l’entier 4 4 k − 1 est divisible par 17 . 4 Pour quels entiers naturels n l’entier 4 n − 1 est-il divisible par 5? 5 À l’aide des questions précédentes, déterminer quatre di-viseurs premiers de 4 28 − 1 . Partie B. Divisibilité par un entier premier Soit p un entier premier différent de 2 . 1 Démontrer qu’il existe un entier n 1 tel que : 4 n ≡ 1 ( mod. p ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4 sacados/4 chapExoCorrec/3865 sacados/3865 chapExoCorrec/3866 sacados/3866 Extrait Liban Juin 2010 sacados/4118 Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2005 chapExoCorrec/3192 sacados/3192
2 Soit n 1 un entier naturel tel que 4 n ≡ 1 ( mod. p ) . On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4 b ≡ 1 ( mod. p ) et r le reste de la division euclidienne de n par b : a Démontrer que 4 r ≡ 1 ( mod. p ) . En déduire que r = 0 . b Prouver l’équivalence : 4 n − 1 est divisible par p si, et seulement si, n est multiple de b . c En déduire que b divise p − 1 . E.4275 On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : ˇ Si p est un entier premier et q un entier naturel premier avec p , alors q p − 1 ≡ 1 ( mod. p ) . ı On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = 2 n + 3 n + 6 n − 1 Soit p un entier premier strictement supérieur à 3 . 1 Montrer que : 6 × 2 p − 2 ≡ 3 ( mod. p ) ; 6 × 3 p − 2 ≡ 2 ( mod. p ) 2 En déduire que : 6 · u p − 2 ≡ 0 ( mod. p ) . E.3252 1 On considère l’équation ( E ) : 109 x − 226 y =1 où x et y sont des entiers relatifs. a Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation ( E ) ? b Montrer que l’ensemble des solutions de ( E ) est l’ensemble des couples de la forme (141+226 k ; 68+109 k ) , où k appartient à Z . En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier na-turel non nul e tels que : 109 d =1+226 e . (On précisera les valeurs des entiers d et e ) 2 Démontrer que 227 est un entier premier. 3 On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que : a 226 . On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante : à tout entier de A , f associe le reste de la division euclidienne de a 109 par 227; à tout entier de A , g associe le reste de la division euclidienne de a 141 par 227. a Vérifier que : g f (0) =0 . On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat: Si p est un entier premier et a un entier non divisible par p alors a p − 1 ≡ 1 ( mod. p ) b Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A : a 226 ≡ 1 ( mod. 227) . c En utilisant 1 b , en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A : g f ( a ) = a . Que peut-on dire de : f g ( a ) = a ? E.3625 1 On considère l’ensemble : A 7 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 a Pour tout élément de A 7 écrire dans le tableau figurant en annexe l’unique élément y de A 7 tel que : a · y ≡ 1 ( mod. 7) . b Pour x entier relatif, démontrer que : l’équation 3 x ≡ 5 ( mod. 7) équivaut à x ≡ 4 ( mod. 7) . c Pour x entier relatif, montrer que les seuls entiers re-latifs x solutions de l’équation a · x ≡ 0 ( mod. 7) sont les multiples de 7 . 2 Dans toute cette question, p est un entier premier supérieur ou égal à 3 . On considère l’ensemble A p = 1 ; 2 ; ::: ; p − 1 des entiers naturels non nuls et stricte-ment inférieurs à p . Soit a un élément de A p . a Vérifier que a p − 2 est une solution de l’équation: a · x ≡ 1 ( mod. p ) . b On note r le reste dans la division euclidienne de a p − 2 par p . Démontrer que r est l’unique solution x dans A p , de l’équation a · x ≡ 1 ( mod. p ) . c Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que x · y ≡ 0 ( mod. p ) si, et seulement, si x est un multiple de p où y est un multiple de p . d Application : p =31 . Résoudre dans A 31 les équations : 2 x ≡ 1 ( mod. 31) et 3 x ≡ 1 ( mod. 31) . À l’aide des résultats précédents, résoudre dans Z l’équation: 6 x 2 − 5 x + 1 ≡ 0 ( mod. 31) E.3867 On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : ˇ soit p un entier premier et a un entier naturel premier avec p ; alors a p − 1 − 1 est divisible par p ı. 1 Soit p un entier premier impair. a Montrer qu’il existe un entier naturel k , non nul, tel que : 2 k ≡ 1 ( mod. p ) . b Soit k un entier naturel non nul tel que 2 k ≡ 1 ( mod. p ) et soit n un entier naturel. Montrer que, si k divise n , alors: 2 n ≡ 1 ( mod. p ) . c Soit b tel que 2 b ≡ 1 ( mod. p ) , b étant le plus petit en-tier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b , que : si 2 n ≡ 1 ( mod. p ) alors b divise n . 2 Soit q un entier premier impair et l’entier A =2 q − 1 . On prend pour p un facteur premier de A . a Justifier que : 2 q ≡ 1 ( mod. p ) b Montrer que p est impair. c Soit b tel que 2 b ≡ 1 ( mod. p ) , b étant le plus petit en-tier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant 1 , que b divise q . En déduire que b = q . d Montrer que q divise p − 1 , puis montrer que p ≡ 1 ( mod. 2 q ) . 3 Soit A 1 =2 17 − 1 . Voici la liste des entiers premiers in-férieurs à 400 et qui sont de la forme 34 m +1 , avec m entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que A 1 est premier. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4275 sacados/4275 chapExoCorrec/3252 sacados/3252 Liban Juin 2005 5 points sacados/3625 chapExoCorrec/3867 sacados/3867
E.3868 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on pose : A ( n ) = n 4 + 1 L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A ( n ) . 1 Quelques résultats : a Étudier la parité de l’entier A (11) . b Montrer que, quel que soit l’entier n , A ( n ) n’est pas un multiple de 3 . c Montrer que tout entier d diviseur de A ( n ) est premier avec n . d Montrer que, pour tout entier d diviseur de A ( n ) : n 8 ≡ 1 ( mod. d ) 2 Recherche de critères : Soit d un diviseur de A ( n ) . On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que : n k ≡ 1 ( mod. d ) a Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s , montrer que s divise k . b En déduire que s est un diviseur de 8 . c Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d − 1 . On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. 3 Recherche des diviseurs premiers de A ( n ) dans le cas où n est un entier pair. Soit p un diviseur premier de A ( n ) . En examinant suc-cessivement les cas : s = 1 ; s = 2 ; s = 4 conclure que p est congru à 1 modulo 8. 4 Indication : dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera en compte dans l’évaluation. Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs pre-miers de A (12) . Indication : la liste des entiers premiers congrus à 1 mod-ulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137. . . . E.4327 On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est un entier premier et a est un entier naturel non divisible par p , alors a p − 1 ≡ 1 ( mod. p ) . On considère la suite u n d’entiers naturels définie par : u 0 = 1 ; u n +1 =10 · u n +21 pour tout entier n ∈ N 1 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . 2 a Démontrer par récurrence que, pour tout entier na-turel n : 3 · u n = 10 n +1 − 7 b En déduire, pour tout entier naturel n , l’écriture déci-male de u n . 3 Montrer que u 2 est un entier premier. On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite u n par certains entiers premiers. 4 Démontrer que, pour tout entier naturel n , u n n’est pas divisible ni par 2 , ni par 3 , ni par 5 . 5 a Démontrer que, pour tout entier naturel n : 3 · u n ≡ 4 − ( − 1) n ( mod. 11) b En déduire que, pour tout entier naturel n , u n n’est pas divisible par 11 . 6 a Démontrer l’égalité: 10 16 ≡ 1 ( mod. 17) . b En déduire que, pour tout entier naturel k , u 16 k +8 est divisible par 17 . E.8701 Déterminer l’ensemble des couples ( p ; q ) d’entiers premiers vérifiant tels que p q et que le produit p × q divise la somme 2 p +2 q 7. PPCM E.3863 Dans tout l’exercice x et y désig-nent des entiers naturels non nuls vérifiant x<y . S est l’ensemble des couples ( x ; y ) tels que : PGCD ( x ; y ) = y − x 1 a Calculer le PGCD (363 ; 484) . b Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ? 2 Soit n un entier naturel non nul ; le couple ( n ; n +1) appartient-il à S Justifier votre réponse. 3 a Montrer que ( x ; y ) appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que : x = k · ( y − x ) ; y = ( k + 1)( y − x ) b En déduire que pour tout couple ( x ; y ) de S , on a: PPCM ( x ; y ) = k · ( k + 1) · ( y − x ) 4 a Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228 . b En déduire l’ensemble des couples ( x ; y ) de S tels que : PPCM ( x ; y ) = 228 E.4280 On considère l’équation ( F ): x 2 − 52 · x +480=0 où x est un entier naturel. Montrer qu’il n’existe pas deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation ( F ) . https://chingmath.fr sacados/3868 chapExoCorrec/4327 sacados/4327 Polynesie Juin 2011 7 points A voir dans quelle categorie le mettre chapExoCorrec/8701 sacados/8701 chapExoCorrec/3863 sacados/3863 chapExoCorrec/4280 sacados/4280 Extrait de Liban Juin 2010
E.3864 1 Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que : PGCD ( a + b ; a · b ) = p où p est un entier premier. a Démontrer que p divise a 2 . (On remarquera que a 2 = a ( a + b ) − a · b ) b En déduire que p divise a . On constate donc, de même, que p divise b . c Démontrer que PGCD ( a ; b ) = p . 2 On désigne par a et b des entiers naturels tels que a b . a Résoudre le système : PGCD ( a ; b ) = 5 PPCM ( a ; b ) = 170 b En déduire les solutions du système : PGCD ( a + b ; a · b ) = 5 PPCM ( a ; b ) = 170 https://chingmath.fr sacados/3864 Antilles guyane Septembre 2001 5 points