Hors programme lycée / Exponentielles et logarithmes de base a 50 exercices corrigés

a
1. Puissances rationnelles E.3913 Résoudre les équations suivantes dans R ∗ + : a x 3 = 5 b x 6 = 100 c ( x + 2) 4 = 5 d x 1 3 = 2 e x 5 2 = 6 f ( x + 1) 2 3 = 2 E.3914 Résoudre les inéquations suivantes : a x 1 2 > 5 b x 3 4 3 c ( x + 2) 2 3 1 E.3915 Écrire chaque des expressions ci-dessous sous la forme d’une puissance rationnelle: a x 2 · x 1 3 b x 1 2 · x c x 1 4 x 1 5 e x 2 · x 3 4 x 5 · x 1 4 f 3 x 5 · x 1 3 E.3917 Déterminer les expressions des fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = 3 · x 2 3 − 1 b g ( x ) = 2 4 √ x c h ( x ) = e x · x 1 4 d j ( x ) = 3 √ x + 1 · ( x + 1) 3 E.3916 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n non-nul : x n − 1 = x − 1 · x n − 1 + x n − 2 + · · · + x + 1 2 On considère le nombre A défini par : A = 1 3 5 − 1 Déterminer une expression du nombre A définie par un quotient dont le dénominateur est un nombre entier. 2. Exponentielles et logarithmes de base a E.3918 1 a Établir l’égalité suivante : 2 ln15 =e ln2 · ln15 b Comparer sans l’aide de la calculatrice, les deux nom-bres suivants : 2 ln 15 ; 4 ln 5 2 a Établir l’égalité suivante : 9 3 4 = e 3 2 · ln 3 b En déduire la comparaison des deux entiers suivants : 9 3 4 ; 3 4 3 E.3221 L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle 0 ; + ∞ , les couples solutions de l’équation ( E ): x y = y x et, en particulier, les couples consti-tués d’entiers. 1 Montrer que l’équation ( E ) est équivalente à: ln x x = ln y y 2 Soit h la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : h ( x ) = ln x x La courbe C représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x 0 est l’abscisse du maximum de la fonction h sur l’intervalle 0 ; + ∞ a Rappeler la limite de la fonction h en + ∞ et déter-miner la limite de la fonction h en 0 . b Calculer h ( x ) , où h désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrouver les variations de la fonction h . Déterminer les valeurs exactes de x 0 et de h ( x 0 ) . c Déterminer l’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses. 3 Soit – un élément de l’intervalle 0 ; 1 e . Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle 1 ; e et d’un unique nombre réel b de l’intervalle e ; + ∞ tels que h ( a )= h ( b )= – . Ainsi, le couple ( a ; b ) est solution de ( E ) . 4 On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e [ , associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ] e ; + ∞ [ tel que h ( a )= h ( b ) (on ne cherchera pas à exprimer s ( a ) en fonction de a ) . Par lecture graphique uniquement et sans justification, https://chingmath.fr chapExoCorrec/3913 sacados/3913 chapExoCorrec/3914 sacados/3914 chapExoCorrec/3915 sacados/3915 chapExoCorrec/3917 sacados/3917 chapExoCorrec/3916 sacados/3916 chapExoCorrec/3918 sacados/3918 chapExoCorrec/3221 sacados/3221 France Septembre 2004 6 points
répondre aux questions suivantes : a Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures? b Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures? c Déterminer les variations de la fonction s . Dresser le tableau de variations de s . 5 Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de ( E ) . E.3919 Résoudre les équations suivantes : a 5 x = 3 b 6 3 − x = 5 c 3 x = 2 x d 5 x +1 = 2 3 · x e 3 × 2 x − 1 = 3 2 · x +1 f 2 x + 2 x +1 = 5 x E.3926 Résoudre les inéquations suivantes : a 3 x 2 b 0 ; 2 x < 3 c 2 5 x · 3 2 x e 10 3. Manipulations algébriques: exponentielle E.2032 Donner le résultat des calculs suivants : a ln e 5 b ln e 5 · e − 2 d e ln 5 e e ln 2+ln 1 2 f e ln 2 e ln 3 g ln 10 000 + ln 100 h ln 100 ln 1 000 c ln 2e 3 3 + ln 8e 2 3 E.2015 Pour chacune des quatre affirma-tions, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant le choix effectué. Chaque question est notée sur un point, avec la règle suivante : Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une mauvaise réponse n’enlève pas de point. 1 La fonction f définie sur R par f ( x )=e − 2 · x +1 est décrois-sante sur R . 2 L’équation e x 1+e x = 4 3 a une seule solution dans R . 3 La suite définie, pour tout nombre entier naturel n , par : u n = 1 + 1 2 + · · · + 1 2 n tend vers 2 quand n tend vers + ∞ . 4 Pour tout nombre réel x , on a: 1 ; 01 x < 1 000 000 . 4. Manipulations algébriques: exponentielle et logarithme E.2038 Simplifier les expressions suivantes : a ln(2 · x 2 + x ) + ln 1 x b ln x 7 − ln x 2 c 4 · ln x − 2 · ln x E.116 Simplifier l’écriture des expressions suiv-antes : a e x · e 2 x b e 2 x − 1 4 c e ln x d e − ln x e e x · e ln x f ln e x g ln x · e x h ln e x 2 E.69 Résoudre les équations suivantes sur R . Penser à utiliser les différentes propriétés algébriques de ces fonctions : a e x + 1 1 b e 2 · x +1 > 0 ; 5 c e 2 · x < 2 · e x d ln(2 · x + 1) > − 0 ; 5 e ln( x 2 ) < 3 f ln(2 · x ) > ln x + 1 g 2 x 3 https://chingmath.fr 2468101214161820I-8-6-4-224JO chapExoCorrec/3919 sacados/3919 chapExoCorrec/3926 sacados/3926 sacados/2032 sacados/2015 sacados/2038 sacados/116 sacados/69
E.2030 Simplifier les écritures suivantes : a ln x − ln(2 x ) b 2 ln x − ln x c ln 1 + 1 x + ln x E.2039 Résoudre les équations suivantes : a e x = 2 b e x = − 1 c ln x = 5 d ln x = − 2 e ln(2 · x +1) = 5 f e 3 − 2 x = 2 g 3 x = 2 h x 2 · 2 − ln x = 0 E.2037 Donner les résultats des calculs suivants : a e ln 5 b e 2 · ln 2 c e ln 2+ln 2 d e ln 9 e ln 2 e ln(e 2 · e 5 ) f ln 5 2 − ln 1 5 2 g ln 10 − 5 + ln 10 8 h ln 1 000 000 ln 1 000 5. Etude de fonctions: exponentielle E.72 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 · x + 5 − e x 1 a Résoudre l’inéquation 2 − e x > 0 dans R . b Calculer f (ln 2) . 2 a Pour tout nombre x appartenant à R , calculer f ( x ) . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . 6. Etude de fonctions: logarithme E.87 La courbe ( C ci-dessous est la représentation graphique dans le plan muni d’un repère or-thonormé d’une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ . On note f la fonction dérivée de f . La droite ( D ) est la tangente à la courbe ( C ) au point d’abscisse 4 et est parallèle à l’axe des abscisses. L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe. Partie A : Lectures graphiques 1 a Donner par lecture graphique, une valeur approchée à 0,5 près de f (2) et f (20) . b Donner la valeur exacte de f (4) . 2 Donner par lecture graphique, le tableau de variations de la fonction f ainsi que le signe de la dérivée f . Partie B: Vérifications algébriques On suppose que f ( x ) est de la forme a · x + b + c · ln x où a , b et c sont trois réels et ln désigne la fonction logarithme népérien. 1 a Exprimer f ( x ) en fonction de a , c et x . b Le maximum de f étant obtenu pour x égal à 4, en déduire une relation entre a et c . 2 a Sachant que la courbe représentative de f passe par le point A (1 ; 4 ; 5) , donner une relation entre a et b . b On sait que le point B (e ; 7 − 0 ; 5 · e) appartient à la courbe représentative de f . En déduire une relation entre a , b et c . 3 a Déduire des questions précédentes que l’on a: f ( x ) = − 0 ; 5 · x + 5 + 2 · ln x b En déduire les valeurs exactes de f (2) et f (20) et du maximum de f . c Déterminer la limite en 0 de f . https://chingmath.fr sacados/2030 sacados/2039 sacados/2037 sacados/72 chapExoCorrec/87 sacados/87 Japon - Juin 2004 - 7 points - Obligatoire x051015202530y-4-2246
E.81 Sur l’intervalle I =[0 ; 25 ; 10] , n con-sidère la fonction f définie par : f ( x )=ln x + 2 x . On note ( C ) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j , l’unité de longueur étant 2 cm . 1 Déterminer la fonction dérivée f de cette fonction f et dresser le tableau de variations de la fonction f sur I . 2 Calculer f (1) et f (1) et en déduire l’équation réduite de la tangente ( T ) à ( C ) en son point d’abscisse 1. 3 Tracer la courbe ( C ) ainsi que la tangente ( T ) 4 a Développer: ( x − 3)( x − 6) . b Résoudre dans l’intervalle l’équation: f ( x )= 1 9 . c Justifier alors que la courbe ( C ) admet deux tangentes parallèles à la droite d’équation y = x 9 . Dérivées de fonctions usuelles: F ( x ) x x 2 x 3 1 x ln x e x F ( x ) 1 2 x 3 x 2 − 1 x 2 1 x e x Conditions x =0 x> 0 E.70 On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle [1 ; 12] par : f ( x ) = x − 1 − 4 · ln x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé d’unité graphique : 1 cm . 1 a Calculer la dérivée f de la fonction f . Vérifier que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 12] , f ( x ) peut s’écrire: f ( x ) = x − 4 x b Étudier le signe de f sur l’intervalle [1 ; 12] , et en dé-duire le tableau de variations de f . c Déterminer une équation de la tangente (Δ) à la courbe en son point d’abscisse 1. 2 a Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies à 0,1 près. x 1 2 3 4 6 8 10 11 12 f ( x ) b Tracer la courbe C et la droite (Δ) dans le même repère sur la feuille papier millimétré fournie. Formulaire : La dérivée de la fonction ln sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ est la fonction qui, à x associe 1 x . E.92 Le but de l’exercice est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle 1 ; 3 par : f ( x )= x 2 − ln x x . On rappelle que e est le nombre tel que : ln e =1 . On note ( C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; −→ i ; −→ j . La courbe ( C ) est donnée en annexe à rendre avec la copie. Cette courbe permettra de contrôler l’exactitude de certains résultats, mais ne doit pas être utilisée pour justifier les réponses. Partie I On considère la fonction u définie sur l’intervalle [1 ; 3] par : u ( x ) = x 2 − 2 + 2 · ln x 1 On note u la dérivée de la fonction u . Calculer u ( x ) . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction u sur l’intervalle [1 ; 3] . 3 On admet l’existence d’un nombre unique a , appartenant à l’intervalle [1 ; 3] tel que u ( a )=0 . Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant le signe de u ( x ) . x 1 a 3 u ( x ) 0 Partie II 1 a On note f la dérivée de la fonction f . On admet que pour tout x de l’intervalle [1 ; 3] : f ( x ) = u ( x ) 2 · x 2 où u est définie dans la partie I . Déterminer selon les valeurs de x le signe de f ( x ) sur l’intervalle [1 ; 3] . b Dresser le tableau de variations de la fonction f (on ne calculera pas f ( a ) ) . 2 On note A le point de coordonnés 1 ; 1 2 . Montrer que la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point d’abscisse e est parallèle à la droite ( OA ) . 3 Tracer la droite ( OA ) et la tangente ( T ) sur l’annexe à rendre avec la copie. Placer le point B de coordonnées ( a ; f ( a )) et la tangente à la courbe ( C au point B . https://chingmath.fr chapExoCorrec/81 sacados/81 sacados/70 sacados/92 A3eaij
E.117 On note : k = 20 ln10 ; p 0 = 20 × 10 − 6 . On considère la fonction f définie sur [ p 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = k · ln 50 000 · x 1 a Pour tout x appartenant à l’ensemble de définition, calculer f ( x ) . b Donner le tableau de variations de la fonction f . 2 a Montrer que : f (10 · x )= k · ln(10)+ f ( x ) b Exprimer f (100 · x ) en fonction de f ( x ) . E.120 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ln x 2 · 3 − 2 · ln x 1 Montrer que pour x appartenant à 0 ; + ∞ : f ( x ) = 6 · ln x · 1 − ln x x 2 a Résoudre les inéquations suivantes : ln x 0 1 − ln x 0 b En déduire le signe de f sur ]0 ; + ∞ [ ainsi que son tableau de variations de la fonction f . 3 Calculer les extrémums de la fonction f sur [0 ; 75 ; 3] . E.90 Rappel : la fonction logarithme népérien est notée ln ; a et b étant des réels strictement positifs et n un entier naturel : ln a · b = ln a + ln b ; ln a b = ln a − ln b ln a n = n · ln a Partie A Sur la feuille annexe à rendre avec la copie, on a tracé dans un repère orthonormé la courbe ( C ) représentant la fonction logarithme népérien et la parabole ( P ) représentant la fonc-tion logarithme népérien et la parabole ( P ) représentant la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 · x 2 − 3 · x + 9 2 La fonction f est dérivable sur R et on note f sa fonction dérivée. 1 a Calculer f ( x ) pour tout réel x . b En déduire le tableau de variations de la fonction f . (on ne demande pas les limites de f à l’infini.) c Quelles sont les coordonnées exactes du point S som-met de la parabole ( P ) ? 2 On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par : g ( x )= f ( x ) − ln x =2 · x 2 − 3 · x + 9 2 − ln x et on note g sa fonction dérivée. a Montrer que, pour tout réel strictement positif x : g ( x ) = (4 · x + 1)( x − 1) x b Étudier la variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ . Justifier que le minimum de g est égal à 7 2 . c En déduire que pour tout réel strictement positif x : f ( x ) − ln x > 0 . Quelle propriété des courbes ( P ) et ( C ) , visible graphiquement, le résultat ci-dessus permet-il de justi-fier? Partie B Pour tout réel strictement positif x , on note M le point de la courbe ( p ) d’abscisse x et N le point de la courbe ( C ) de même abscisse x . On a ainsi : MN = f ( x ) − ln x = g ( x ) . (la longueur MN est exprimée dans l’unité graphique du schéma de feuille annexe.) 1 Placer les points M et N sur le schéma de la feuille an-nexe lorsque x =2 . 2 Montrer que lorsque x = 3 4 , on a: MN = 27 8 + 2 · ln 2 − ln 3 . Donner la valeur de MN arrondie au centième. 3 a À l’aide de la partie A, déterminer pour quelle valeur de x , la longueur MN est minimale. Que vaut alors cette longueur? b Tracer en rouge sur le schéma de la feuille annexe le segment [ MN ] correspondant. 4 Quelle est la limite de la longueur MN quand x tend vers 0 (avec x> 0 ) ? https://chingmath.fr sacados/117 sacados/120 chapExoCorrec/90 sacados/90
E.85 1 On considère la fonction f définie et dérivable sur R définie par : f ( x )=2 · x 2 − 3 · x + 9 2 a Calculer f ( x ) pour tout réel x b Donner les coordonnées exactes du point S sommet de la parabole 2 On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par : g ( x ) = f ( x ) − ln x = 2 · x 2 − 3 · x + 9 2 − ln x La fonction g est dérivable sur 0 ;+ ∞ a Montrer que, pour tout réel strictement positif x : g ( x ) = (4 · x + 1)( x − 1) x b Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ . Justifier que le minimum de g est égal à 7 2 c En déduire que sur 0 ; + ∞ , on a: f ( x ) − ln x> 0 . Que pouvez-vous dire des courbes représentatives de la fonction f et du logarithme népérien. E.102 Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. partie A La courbe C ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; 10] . On note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle. On précise que la droite T est tangente à la courbe C au point A de coordonnées (1 ; 2) et qu’elle passe par le point de coordonnées (0 ; 1) . 1 Répondre aux deux questions suivantes par lecture graphique : a Donner f (1) et f (1) en justifiant la valeur de f (1) . b Lire les solutions de l’équation f ( x )=0 sur l’intervalle ]0 ; 10] . 2 On sait que f ( x ) est de la forme f ( x )=ln x + a x + b , où a et b désignent deux nombres réels. a Calculer f ( x ) . b En utilisant les valeurs trouvées pour f (1) et f (1) à la question 1 , calculer a et b . c En déduire l’expression de f ( x ) . Partie B On sait désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle ]0 ; 10] par : f ( x )=ln x + 2 x − 2 . 1 a Vérifier que pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; 10] : f ( x ) = x − 2 x Étudier le signe f ( x ) b On admet que la limite de f ( x ) quand x tend vers 0 est + ∞ . Dresser le tableau de variations de la fonction f . En déduire le nombre de solutions de l’équation: f ( x ) = 0 sur l’intervalle ]0 ; 10] . 2 Le nombre 5 est-il vraiment solution de l’équation: f ( x ) = 0 ? https://chingmath.fr -12345678I-4-3-2-123456789JO sacados/85 sacados/102 -101234567891011-2-112345
E.99 Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = (ln x ) 2 · (3 − 2 · ln x ) On note ( C ) sa courbe représentée dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique 2 cm ) . 1 a Calculer la limite de f en 0 et interpréter graphique-ment le résultat. b Calculer la limite de f en + ∞ . 2 f désignant la dérivée de f sur 0 ; + ∞ , on admet que : f ( x ) = 6 · ln x · (1 − ln x ) x : a Résoudre les inéquations : ln x 0 1 − ln x 0 b En déduire le signe de f ( x ) et les variations de f . c Calculer les extrémums de f sur l’intervalle 0 ; 75 ; 3 . 3 Dresser le tableau de variations de f . 4 Tracer la courbe ( C ) . E.82 La courbe (Γ) ci-dessous représente dans un repère orthonormé une fonction f définie sur l’intervalle [1 ; + ∞ [ . On note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle. La droite ( T ) est tangente à la courbe (Γ) au point A (1 ; 1) . La tangente à la courbe (Γ) au point B d’abscisse e est par-allèle à l’axe des abscisses. 1 Par lecture graphique : a Donner le coefficient directeur de la droite ( T ) . b Donner f (1) et f (e) . c Déterminer les réels x de l’intervalle [1 ; + ∞ [ qui véri-fient f ( x ) 0 d En traçant le plus précisément possible la tangente à la courbe (Γ) au point C , lire le coefficient directeur de cette tangente. 2 On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [1 ; + ∞ [ par : f ( x )= x 2 · 2 − ln x . a Calculer l’ordonnée du point B d’abscisse e . b Déterminer l’abscisse du point C , intersection de la courbe (Γ) avec l’axe des abscisses. 3 La dérivée f de la fonction f est définie sur l’intervalle [1 ; + ∞ [ par : f ( x )= k · ln e x où k est un nombre réel donné. a Vérifier le résultat donné pour f (e) à la question 1 b Déterminer le réel k sachant que : f e 2 = − 1 2 . c Donner l’équation de la tangente à la courbe (Γ) au point C . d Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ( T ) et de la tangente à la courbe (Γ) au point C . 7. Exponentielle, logarithme et suite E.2011 Partie A Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f ( x ) = 55 · e 0 , 5 x 1 Donner les valeurs approchées arrondies à l’unité des nombres f (1) , f (2) , f (3) et f (4) . 2 a Déterminer la fonction dérivée de la fonction f . b En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10] . 3 Résoudre dans l’intervalle [0 ; 10] , l’équation: f ( x ) = 3 000 On donnera les arrondis à l’unité des solutions éventuelle. Partie B Une étude statistique permet de considérer la fonction f de la partie A comme un modèle satisfaisant pour décrire l’évolution, de 2000 à 2010, de la puissance totale des éoli-ennes installées en France. Plus précisément, on suppose que pour l’année (2000+ x ) où x est un entier naturel, la puis-sance totale des éoliennes installées en France, exprimée en mégawatts, est donnée par f ( x ) . En utilisant ce modèle et en exploitant les résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes en donnant les justifications nécessaires. 1 Quelle était la puissance totale des éoliennes en 2001? 2 En quelle année la puissance totale des éoliennes devrait-elle dépasser 3 000 mégawatts? https://chingmath.fr sacados/99 chapExoCorrec/82 sacados/82 Antilles - 2003 - 7 points - obligatoire -10123456789-112345AB(TC sacados/2011 Antilles-Guyane - Septembre 2007 - 6 points
3 Pourra-t-on atteindre une puissance totale de 10 000 mé-gawatts en 2010? 4 Pour tout entier naturel n , on pose : u n =55 · e 0 , 5 n a Démontrer que la suite ( u n ) est une suite géométrique de raison e 0 , 5 b Dans le modèle étudié la puissance totale des éoliennes augmente donc chaque année d’un même pourcentage. Donner ce pourcentage en arrondissant le taux au dix-ième. E.33 Le but de l’exercice est l’étude de la désintégration du carbone 14, corps radioactif, et de son utilisation pour la datation des fossiles ou des squelettes. Partie A Soit N 0 le nombre d’atomes de carbone 14 à l’instant t =0 Soit N 1 le nombre d’atomes de carbone 14 un siècle après Soit N k le nombre d’atomes de carbone 14 après k siècles, k un entier naturel. On sait que le nombre d’atomes de carbone 14 diminue très lentement au cours du temps, d’environ 1 ; 24 % par siècle. 1 Justifier que la suite ( N k ) est une suite géométrique de raison 0,9876 2 Exprimer N k en fonction de N 0 et de l’entier k 3 Quelle est la limite de la suite ( N k ) ? Justifier. Partie B Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l’atmosphère du carbone 14, qui s’y désintègre très lentement, ce qui fait que le taux de carbone 14 dans l’atmosphère reste constant. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone 14 que l’atmosphère ; à leur mort, l’assimilation en carbone 14 cesse et celui-ci se désintè-gre dans les conditions vues dans la partie A . 1 Un squelette d’homme préhistorique contient 5 % de car-bone 14 initial. Justifier que l’on peut estimer son âge à 24 000 ans. 2 On admet que l’on peut ainsi estimer l’âge des fossiles qui contiennent au moins 1% du carbone initial. En utilisant des propriétés de la fonction logarithme népérien, déterminer l’âge maximum que l’on peut cal-culer. 8. Exponentielle de base a E.7472 On considère les fonctions cinq fonctions ci-dessous définies sur R : f : x ↦−→ 0 ; 2 x ; g : x ↦−→ 0 ; 95 x ; h : x ↦−→ 1 x j : x ↦−→ 1 ; 5 x ; k : x ↦−→ 3 x 1 À l’aide de la calculatrice, conjecturer le ou les sens de variation de chacune de ces fonctions. 2 Quelles similitudes peut-on trouver entre ces différentes fonctions? E.7473 On considère les deux fonctions f et g admettant chacune une expression de la forme : f : x ↦−→ q x ; g : x ↦−→ q x où q; q ∈ 0 ; + ∞ Les fonctions f et g sont des fonctions exponentielles respec-tivement de base q et q . 1 Par observation du sens de variation de chacune des fonc-tions f et g . Que peut-on dire de la base q de chacune d’elles? 2 Graphiquement et par l’image du nombre 1 , déterminer l’expression des fonctions f et g . E.7475 On considère les trois fonctions f , g et h où les représentations graphiques sont données ci-dessous dans un repère O ; I ; J ci-dessous : Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base q . Laquelle? On précisera la valeur de sa base q . 9. Introductions aux fonctions exponentilles https://chingmath.fr chapExoCorrec/33 sacados/33 chapExoCorrec/7472 sacados/7472 chapExoCorrec/7473 sacados/7473 -4-3-2-1234I234JOCfCg chapExoCorrec/7475 sacados/7475 -4-3-2-1012-11234Cf -4-3-2-1012-11234Cg -4-3-2-1012-11234Ch
E.7471 On considère la suite u n géométrique de premier terme 1 et de raison 1 ; 75 définie pour tout entier naturel n positif ou nul. Ci-dessous est donné, le tableau de valeurs des onze premiers termes de la suite arrondies au millième près et leur représen-tation graphique associée: 1 a Donner la valeur du produit u 2 × u 5 . La valeur du résultat pouvait-il être prévu? Justifier. b Sans calcul, donner la valeur du produit u 6 × u 3 . 2 En pointillé, a été tracée la courbe reliant les points n ; u n . Notons C cette courbe et notons f la fonction ayant pour représentation la courbe C . a Donner la valeur des images : f (1) ; f (3) Vérifier que : f (1+3) = f (1) × f (3) . b Par lecture graphique, déterminer les images des nom-bres 4 ; 5 et 6 ; 5 . Vérifier l’égalité: f (2) × f (4 ; 5) = f (6 ; 5) E.7470 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout entier n positif ou nul par : u n = 2 ; 6 n v 0 = 3 ; v n +1 = 1 ; 8 · v n 1 Donner les éléments caractéristiques des suites u n et v n . 2 Compléter le tableau de valeurs, en arrondissant au mil-lième près : n 0 1 2 3 4 5 u n v n E.2014 On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 3] par : f ( x ) = 2 · ln x − x 2 + 2 où ln désigne la fonction logarithme népérien. 1 Déterminer : lim x ↦→ 0 f ( x ) . 2 Montrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; 3] : f ( x ) = 2 · (1 − x )(1 + x ) x Dresser le tableau de variations de f . 3 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 5 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées) . a Préciser le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 2. b Tracer la courbe C et la droite T sur feuille de papier millimétré. c À l’aide du graphique, déterminer le nombre de solu-tions de l’équation f ( x )=0 dans l’intervalle ]0 ; 3] . d À l’aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au dixième de chacune de ces solutions. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7471 sacados/7471 01234567891050100150200250300 123456789101112ABnun0111,7523,06335,35949,379516,413628,723750,265887,9649153,93710269,389 chapExoCorrec/7470 sacados/7470 sacados/2014 France - Septembre 2006 - 6 points
E.83 Rappels: a étant une constante réelle, la fonction x ↦−→ ln( a · x ) a pour fonction dérivée x ↦−→ 1 x . x et y étant deux réels strictement positif : ln( x · y ) = ln x + ln y ; ln x y = ln x − ln y x étant un réel strictement positif : exp(ln x )= x Le son se manifeste par des variations de pression de l’air. L’unité de mesure de la pression de l’air est le Pascal. La pression de l’air s’exerce sur le tympan de l’oreille hu-maine. Pour une pression supérieure ou égale à 20 × 10 − 6 Pascals s’exerçant sur son tympan, l’oreille humaine perçoit un son dont le niveau se mesure en décibels. On note : p 0 = 20 × 10 − 6 . Pour une pression de p Pascals s’exerçant sur le tympan, avec p p 0 , le niveau sonore perçu est de f ( p ) décibels où : f ( p ) = 20 ln(20) · ln p p 0 C’est-à-dire : f ( p )= 20 ln(10) · ln(50000 · p ) 1 Quel est le niveau sonore perçu pour une pression de 2 Pascals? de 0,2 Pascals? de 0,002 Pascals? 2 On note k = 20 ln 20 et I = p 0 ; + ∞ . Donc, f est la fonction définie sur l’intervalle I par : f ( x ) = k · ln(50 000 · x ) . On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle I . a Préciser la valeur de f ( p 0 ) . b Pour tout réel x appartenant à l’intervalle I , calculer f ( x ) . En déduire le sens de variations de la fonction f sur l’intervalle I . c Interpréter les résultats du a et du b en termes de pression s’exerçant sur le tympan et de niveau sonore perçu. 3 À partir d’un niveau sonore de 120 décibels, on ressent une douleur. Déterminer la pression p correspondant à ce niveau sonore. 4 a Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle I : f (10 · x ) = k · ln(10) + f ( x ) . On en déduit que: f (10 · x )=20+ f ( x ) et on dit que: ˇle niveau sonore augmente de 20 décibels quand la pres-sion s’exerçant sur le tympan est multipliée par 10.ı b Exprimer, pour tout réel x appartenant à l’intervalle I , f (100 · x ) en fonction de f ( x ) et énoncer la propriété du niveau sonore correspondante. E.3178 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . On s’intéresse aux fonctions f dérivables sur 0 ; + ∞ vérifi-ant les conditions : (1) : pour tout réel x appartenant à 0 ; + ∞ , f ( x ) = 4 − f ( x ) 2 (2) : f (0) = 0 On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simul-tanément (1) et (2) . Les deux parties peuvent être traitées de manière indépen-dante. L’annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Partie A. Étude d’une suite: Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f , on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0 ; 2 . On obtient ainsi une suite de points notés ( M n ) , d’abscisse x n et d’ordonnée y n telles que : x 0 =0 et pour tout entier naturel n , x n +1 = x n + 0 ; 2 y 0 =0 et pour tout entier naturel n , y n +1 = − 0 ; 2 · y 2 n + y n + 0 ; 8 1 a Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau ci-dessous. n 0 1 2 3 4 5 6 7 x n 0 0 ; 2 0 ; 4 y n 0 0 ; 8000 1 ; 4720 Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10 − 4 près. b Placer, sur le graphique ci-dessous, les points M n pour n entier naturel inférieur ou égal à 7 . c D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite ( y n ) et sur sa convergence? https://chingmath.fr sacados/83 chapExoCorrec/3178 sacados/3178 2I2JO
2 a Pour x réel, on pose p ( x )= − 0 ; 2 x 2 + x +0 ; 8 . Montrer que si x ∈ [0 ; 2] alors p ( x ) ∈ [0 ; 2] . b Montrer que pour tout entier naturel n : 0 y n 2 . c Étudier le sens de variation de la suite ( y n ) . d La suite ( y n ) est-elle convergente? Partie B. Étude d’une fonction : Soit g la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = 2 · e 4 x − 1 e 4 x + 1 et C g sa courbe représentative. 1 Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2) . 2 a Montrer que C g admet une asymptote Δ dont on donnera une équation. b Étudier les variations de g sur 0 ; + ∞ . 3 Déterminer l’abscisse ¸ du point d’intersection de Δ et de la tangente à C g à l’origine. 4 Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe C g et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B . E.5388 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 + ln x x 2 et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous : 1 a Étudier la limite de f en 0 . b Que vaut lim x ↦→ + ∞ ln( x ) x ? En déduire la limite de la fonc-tion f en + ∞ . c En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C . 2 a On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ : f ( x ) = − 1 − 2 · ln x x 3 b Résoudre sur l’intervalle 0 ; + ∞ l’inéquation: − 1 − 2 · ln x > 0 En déduire le signe de f ( x ) sur l’intervalle 0 ; + ∞ . c Dresser le tableau des variations de la fonction f . 3 a Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précis-era les coordonnées. b En déduire le signe de f ( x ) sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 4 Pour tout entier n 1 , on note I n l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des ab-scisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = 1 e et x = n . a Démontrer que : 0 I 2 e − 1 2 . On admet que la fonction F , définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : F ( x ) = − 2 − ln( x ) x est une primitive de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b Calculer I n en fonction de n . c Étudier la limite de I n en + ∞ . Interpréter graphique-ment le résultat obtenu. E.5171 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x + e − x On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A 1 Étudier les variations de la fonction f sur 0 ; + ∞ . 2 Déterminer la limite de f en + ∞ . 3 Montrer que ( C ) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. (Question hors programme 2012) . Partie B On considère la suite u n n 1 à termes positifs définie par : u 1 = 0 ; u n +1 = f ( u n ) = u n + e − n pour tout n ∈ N 1 Démontrer que, pour tout réel x positif, ln(1+ x ) x . On pourra étudier la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x − ln(1+ x ) . 2 En déduire, que pour tout entier naturel n non nul : ln( n +1) ln( n ) + 1 n . 3 Démontrer que, pour tout entier naturel n non-nul : f ln( n ) = ln( n ) + 1 n . 4 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : ln( n ) u n . 5 En déduire la limite de u n n 1 . Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : u n 1 + 1 2 + · · · + 1 n − 1 6 a Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2 , on a: 1 k k k − 1 1 x d x b En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal 2 , on a: u n 1 + ln( n − 1) 7 Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on a montré que : ln( n ) u n 1 + ln( n − 1) Démontrer que la suite u n ln( n ) n 2 converge vers 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5388 sacados/5388 23I-1JOCf chapExoCorrec/5171 sacados/5171 Liban Mai 2011 7 points
10. Annales - Term L? E.2013 Des pucerons envahissent une roseraie. Des coccinelles, prédateurs des pucerons, sont in-troduites dans cette roseraie. Au bout de vingt jours, on constate que le nombre des pucerons peut être estimé à 770, soit 0 ; 77 millier. On s’intéresse à l’évolution du nombre des pucerons (ex-primé en milliers) présents dans la roseraie en fonction de la durée écoulée depuis l’introduction des coccinelles. On note f cette fonction et t cette durée. L’unité de durée est un jour. Lorsque l’on introduit les coccinelles, on a donc t =0 . 1 Des études ont montré que le nombre de pucerons (ex-primé en milliers) en fonction de la durée t écoulée depuis l’introduction des coccinelles, était modélisé par la fonc-tion f définie, pour tout nombre réel t élément de [0 ; 20] par : f ( t ) = (2 · t + 2) · e − kt où k est un nombre réel positif constant. a Quel est le nombre de pucerons au moment où les coc-cinelles sont introduites dans cette roseraie? b Déterminer la valeur exacte de k puis sa valeur ar-rondie au millième près. Dans toute la suite de l’exercice, on considère que la fonc-tion f définie pour tout nombre réel t élément de [0 ; 20] par f ( t )=(2 · t +2)e − 0 , 2 t , représente correctement l’évolution du nombre des pucerons en fonction de la durée t . On note f la fonction dérivée de f et ( C ) f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. 2 a Démontrer que, pour tout nombre réel t de [0 ; 20] : f ( t ) = ( − 0 ; 4 · t + 1 ; 6)e − 0 , 2 · t b Combien de jours après, l’introduction des prédateurs le nombre de pucerons va-t-il commencer à diminuer? c Calculer f (0) . Utiliser ce nombre dérivé pour cal-culer, sans utiliser de calculatrice, une approximation du nombre des pucerons présents dans la roseraie au bout d’un jour. 3 Le graphique donné en annexe 2 est un dessin de ( C f ) . Ce graphique est à compléter et à rendre avec la copie. a À l’aide des informations données ou obtenues précédemment, placer les unités du repère. b On estime que les pucerons ne posent plus de problème dès que leur nombre est devenu inférieur à 1 000 . Lire graphiquement au bout de combien de jours ce seuil sera atteint. laisser apparents les traits de construction util-isés pour cette lecture. E.75 Partie A On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle 1 ; 25 par : f ( x ) = 5 · x − 50 ; g ( x ) = exp x 100 − 100 1 a Donner le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 1 ; 25 . b Déterminer la dérivée g ( x ) . c Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 25] . d Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. On prendra pour unité graphique : 2 cm pour 5 unités en abscisse. 1 cm pour 20 unités en ordonnée. Indication : pour la courbe représentative de la fonction g , on se limitera à représenter les points dont l’abscisse est comprise entre 1 et 10. Partie B 2 On considère la fonction h définie sur l’intervalle 1 ; 25 par h ( x )=30 · ln x − 2 · x +10 . On note h la dérivée de h . a Montrer que : h ( x )= 30 − 2 · x x . b Étudier le sens de variation de la fonction h sur l’intervalle 1 ; 25 . c Montrer que la fonction h passe par un maximum. On donnera la valeur par laquelle ce maximum est atteint et la valeur prise alors par la fonction. d Tracer la courbe représentative de la fonction h dans le même repère qu’à la question 1 . Partie C Les gains exprimés en milliers d’euros de trois chanteurs sont fonction du nombre x de semaines écoulées depuis la sortie simultanée de leurs albums et sont données par f ( x ) , g ( x ) et h ( x ) . 3 Dans cette question, aucune justification n’est demandée. Il s’agit seulement d’interpréter les données. a Quelle fonction correspond au gain du chanteur A sur lequel les producteurs ont investi près de 100 mil- https://chingmath.fr chapExoCorrec/2013 sacados/2013 Durée en jours05101520Nombre de pucerons en milliers246 chapExoCorrec/75 sacados/75 Japon - 2003 - 8 points - Obligatoire
liers d’euros et dont le succès est phénoménal après quelques semaines de promotion acharnée? b Quelle fonction correspond au gain du chanteur B , inconnu, qui obtient un succès très rapide mal-gré l’absence d’investissement promotionnel avant de s’essouffler au bout de quinze semaines? c En vous inspirant des questions du 1 et 2 , décrire l’évolution du gain du chanteur C . 4 Par lecture graphique : a Déterminer le nombre de semaines qui s’écoule avant que le chanteur C gagne plus que le chanteur B . b Déterminer le nombre de semaines qui s’écoule avant que le chanteur A gagne plus que le chanteur B . E.76 Partie A On considère la fonction g définie sur R par : g ( x )=e x − 2 · x . 1 Calculer g ( x ) où g désigne la dérivée de g puis dresser le tableau de variations de g . 2 En déduire que pour tout réel x de R , g ( x ) > 0 . Partie B On considère la fonction f définie sur R par : f ( x )=e x − x 2 . 1 Déterminer la limite de f en −∞ puis la limite de f en + ∞ . Pour la limite en + ∞ on pourra remarquer que pour x non nul f ( x ) peut s’écrire: x 2 · e x x 2 − 1 2 Calculer f ( x ) où f désigne la fonction dérivée de la fonc-tion f , puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de f . 3 On admet que l’équation f ( x )=0 admet au moins une solution dans R . a Calculer f ( − 1) et f (0) . b Montrer que la solution de l’équation f ( x )=0 est unique et qu’elle appartient à l’intervalle − 1 ; 0 . c En utilisant une calculatrice pour calculer f ( x ) pour différentes valeurs de x , donner la valeur de cette solu-tion arrondie à 10 − 3 près. Justifier la valeur retenue. E.97 1 Soit f une fonction définie sur I =[20 ; 150] par : f ( x ) = 2 · x + 13122 x a Montrer que sur l’intervalle I : f ( x ) = 2 x 2 · ( x − 81)( x + 81) En déduire que sur l’intervalle I , f ( x ) est du signe de ( x − 81) . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle I . 2 On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par : g ( x ) = 2 · x 2 − 3 · x + 9 2 − ln x La fonction g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ et on note g sa fonction dérivée : a Montrer que, pour tout réel strictement positif x : g ( x ) = (4 · x + 1)( x − 1) x . b Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ 3 Soit f la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = (ln x ) 2 · (3 − 2 ln x ) a f désignant la dérivée de f sur ]0 ; + ∞ [ , on admet que f ( x ) = 6 · ln x · (1 − ln x ) x . ln x 0 1 − ln x 0 b En déduire le signe de f ( x ) et les variations de f . c Calculer les extremums de f sur l’intervalle [0 ; 75 ; 3] 4 On désigne par f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 2 · x + 5 − e x On note f la fonction dérivée de f . On appelle Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. a Résoudre dans R l’inéquation d’inconnue x : 2 − e x > 0 b Calculer la valeur exacte de f (ln 2) . c Déterminer les limites de f en −∞ et en + ∞ . d Calculer f ( x ) puis dresser le tableau de variations complet de la fonction f . 5 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x + 3 e x − 1 e 2 x = x + 3 · e − x − e − 2 x Et la fonction g définie sur R par : g ( x ) = 1 − 3 · e − x + 2 · e − 2 x a Montrer que pour tout réel x : g ( x )= (e x − 1)(e x − 2) e 2 x b Étudier le signe de g ( x ) suivant les valeurs de x . c Montrer que, pour tout réel x , f ( x )= g ( x ) . En déduire le tableau de variations de f sur R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/76 sacados/76 sacados/97
E.88 On considère la fonction d définie sur [0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = 1000 · e x · ln(0 , 94) 1 Montrer que pour tout entier n : (0 ; 94) n = e n · ln(0 , 94) 2 Donner une valeur arrondie à l’entier le plus proche de : f 1 7 et f 365 7 . 3 a Pour tout nombre x ∈ [0 ; + ∞ [ , calculer f ( x ) . b Donner une valeur de ln(0 ; 94) arrondie au dixième et en déduire le sens de variations de f sur [0 ; + ∞ [ . 4 Montrer que l’équation f ( x )=500 , vérifie x = ln(0 ; 5) ln(0 ; 94) E.113 Les parties A et B sont indépendantes Partie A Pour effectuer un examen médical, on injecte par piqûre intramusculaire une dose de 3 cm 3 d’une substance médica-menteuse dans le sang d’un malade à l’instant t =0 ( t est ex-primé en heures) . Celle-ci passe alors progressivement dans le sang. La diffusion atteint son maximum au bout d’une heure. La courbe de l’annexe représente la quantité de substance présente dans le sang à l’instant t . 1 Construire sur la feuille annexe la tangente à la courbe au point d’abscisse 2, sachant que son coefficient directeur est égal à ( − 0 ; 9) . 2 À partir du graphique commenter l’évolution de la quan-tité de substance médicamenteuse contenue dans le sang. 3 Pour pouvoir effectuer l’examen, il faut que la quantité de substance médicamenteuse présente dans le sang soit supérieure ou égale à 0 ; 5 cm 3 . Graphiquement, déter-miner le temps disponible pour faire cet examen. Partie B On a injecté par piqûre intraveineuse 1 cm 3 de médicament à un malade à l’instant t =0 . La substance se répartir im-médiatement dans le sang et elle est ensuite progressivement éliminée. Expérimentalement, on montre que la quantité q ( t ) de substance présente dans le sang à l’instant t est donnée par la relation q ( t )=e − 0 , 15 · t où t est exprimée en heures. 1 Quel volume de ce produit reste-t-il au bout de 90 min-utes? 2 Quel volume de ce produit le malade a-t-il éliminé au bout d’une demi-heure? d’une heure? 3 On donne q ( t )= − 0 ; 15 · e − 0 , 15 · t où q désigne la fonction dérivée de la fonction q . Étudier les variations de la fonction q sur l’intervalle [0 ; 9] puis tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal en prenant pour unités 2 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées. 11. Exercices non-classés E.100 Donner, dans chaque cas, l’ensemble de définition ainsi que la fonction dérivée de chaque fonction pro-posée : 1 f ( x ) = 2 · ln x + 2 · x 2 f ( x ) = 3 · ln(5 − 3 · x ) + 2 3 f ( x ) = ( x + 1) · ln x E.103 À l’aide de la calculatrice, déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ 0 + ln x x b lim x ↦→ + ∞ ln x x c lim x ↦→ 0 + x 2 − ln x d lim x ↦→ + −∞ x 2 − e x e lim x ↦→ + ∞ x 2 − e x f lim x ↦→ + ∞ x 2 · e x E.3774 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x + 2 − 4 · e x e x + 3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rap-porté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 2 cm . 1 a Démontrer que la droite D 1 d’équation y = x +2 est asymptote à la courbe C . . b Étudier la position de C par rapport à D 1 . 2 a On note f la fonction dérivée de f . Calculer f ( x ) et montrer que, pour tout réel x , on a: f ( x ) = e x − 3 e x + 3 2 b Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f . 3 Déterminer l’équation de la tangente D 2 à la courbe C au point d’abscisse 0 . 4 On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C . Tracer la courbe C , les droites D 1 et D 2 . On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm . https://chingmath.fr sacados/88 sacados/113 Instantten heures2345678IQuantité présente dans le sang (encm3)23JO chapExoCorrec/100 sacados/100 sacados/103 chapExoCorrec/3774 sacados/3774 Inspire de La Reunion Juin 2009