Hors programme lycée / Fonction paire et impaire 27 exercices corrigés

a
1. Introduction E.2165 Étude théorique: 1 On considère une fonction f dont la courbe représenta-tive C f admet le point I de coordonnées ( a ; b ) comme centre de symétrie. Prenons deux points M ( x ; y ) et N ( x ; y ) de la courbe C f symétriques par rapport au point I . Le graphique ci-dessous illustre cette situation : On suppose que les points M et N sont tels que : x<a<x (quitte à inverser le rôle de M et N ) . a En utilisant le fait que le point I est le milieu du seg-ment [ MN ] , exprimer les coordonnées du point I en fonction des coordonnées des points M et N . b On pose h = x − a , en déduire la relation suivante : f ( a + h ) + f ( a − h ) 2 = b 2 Effectuons la démarche inverse : nous allons montrer que sous certaines conditions, la courbe d’une fonction admet un centre de symétrie. Supposons l’existence d’une fonction g et d’un point I ( a ; b ) tels que : Pour tout h ∈ R tel que ( a + h ) ∈D g alors ( a − h ) ∈D g g ( a + h ) + g ( a − h ) 2 = b Dans le reste de l’exercice, supposons que h est un nom-bre réel tel que ( a + h ) ∈D g . Notons N le point de C g d’abscisse ( a + h ) : a Quelle propriété de la fonction g permet d’affirmer que la courbe C g admet un point d’abscisse ( a − h ) ? On notera M le point de la courbe de C g ayant pour abscisse ( a − h ) . b Notons M ce point ; établir que les coordonnées du point N sont : M ( a − h ; 2 · b − g ( a + h )) c Montrer que le point I est le milieu du segment [ MN ] . d Justifier que la courbe C g admet le point I comme centre de symétrie. Étude d’une fonction : On considère la fonction ‘ définie sur R \{ 2 } par la relation: ‘ ( x ) = 3 x + 2 2 x − 1 Voici la courbe représentative de cette fonction : 3 Quelle conjecture peut-on émettre sur une propriété géométrique de cette courbe? 4 a Montrer que : ‘ 1 2 + h = 7 4 h + 3 2 . b Montrer que : ‘ 1 2 − h = − 7 4 h + 3 2 c En déduire la valeur de : ‘ 1 2 − h + ‘ 1 2 + h 2 d Que peut-on en déduire sur la courbe C ? 2. Etude de la parité E.3315 Étudier la parité des fonctions ci-dessous : a f ( x ) = x − 1 · x + 1 b g ( x ) = 3 x 3 − 2 x c h ( x ) = x 2 + 1 x d j ( x ) = cos 3 · x 3 E.3609 1 Justifier que la fonction suivante est paire: f : x ↦−→ e x + e − x 2 Justifier que la fonction suivante est impaire: g : x ↦−→ e x − e − x 3. Axe de symétrie des courbes https://chingmath.fr chapExoCorrec/2165 sacados/2165 ijIMN -5-4-3-2-123456I-3-2-123456JOC chapExoCorrec/3315 sacados/3315 chapExoCorrec/3609 sacados/3609
E.3316 1 On considère la fonction f définie sur R dont l’image de x est définie par : f ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f . a Soit h un nombre réel. Déterminer les expressions sim-plifiées en fonction de h de : f ( − 1 − h ) ; f ( − 1 + h ) b En déduire une propriété géométrique de la courbe C f . 2 On considère la fonction g définie sur R \{ 1 } définie par : g ( x ) = x 2 − x + 1 x − 1 Justifier que la courbe C g , représentative de la fonction g , admet le point de coordonnée (1 ; 1) pour centre de symétrie. 4. Centre de symétrie des courbes E.2302 On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par la relation: f ( x ) = x 2 − 4 x + 7 2 x − 4 Montrer que le point I (2 ; 0) est le centre de symétrie de la courbe C f E.2807 On considère la fonction f définie sur R − {− 3 } dont l’image de x est donnée par la relation: f ( x ) = x 2 + 10 x + 20 2 x + 6 Montrer que la courbe C f représentative de la fonction f ad-met pour centre de symétrie le point K ( − 3 ; 2) E.2520 On considère la fonction f définie par la relation: f : x ↦−→ 6 x + 4 3 x + 1 1 Donner l’ensemble de définition de cette fonction. 2 a Établir la relation: f ( x ) = 2 3 x + 1 + 2 b En déduire l’écriture de la fonction g vérifiant que la relation suivante pour tout x ∈D f : f ( x ) = g (3 x + 1) 3 Établir que la courbe représentative C f admet pour cen-tre de symétrie le point de coordonnée − 1 3 ; 2 4 On considère la droite ( d ) d’équation y = x +2 . Déterminer l’ensemble des abscisses des points , sous forme de réunion d’intervalles, sur lesquels ( d ) se retrouve au-dessus de C f . E.3985 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x + 2 − 4 · e x e x + 3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rap-porté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . On note I le point de C d’abscisse ln 3 . Montrer que le point I est le centre de symétrie de la courbe C . E.4300 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 4 · e x e x + 7 On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . 1 Vérifier que pour tout réel x , on a: f ( x )= 4 1+7 · e − x 2 Démontrer que le point I 1 de coordonnées (ln 7 ; 2) est un centre de symétrie de la courbe C . 3 Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe C au point I . 5. Axe et centre de symétries de courbes E.2171 1 Montrer que la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 6 1 2 x 2 + x + 2 admet la droite d’équation x = − 1 comme axe de symétrie. 2 Montrer que la fonction g définie sur R \{− 1 } par : g ( x ) = x 2 + 4 x + 2 x + 1 admet le point I ( − 1 ; 2) comme centre de symétrie. E.2198 1 Établir que la courbe représentative de la fonction f définie sur R \{ 2 } par : f ( x ) = 2 x + 1 2 − x admet le point I (2 ; − 2) comme centre de symétrie. 2 Soit g une fonction définie sur R dont l’image de x est donnée par la relation: g ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 4 − x 2 − 2 x − 3 Montrer que la courbe C g admet la droite d’équation x = − 1 pour axe de symétrie. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3316 sacados/3316 chapExoCorrec/2302 sacados/2302 chapExoCorrec/2807 sacados/2807 chapExoCorrec/2520 sacados/2520 sacados/3985 sacados/4300 chapExoCorrec/2171 sacados/2171 chapExoCorrec/2198 sacados/2198
E.2216 1 On considère la fonction f définie sur [ − 5 ; 1] dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − x 2 − 4 x + 5 Montrer que la courbe C f admet la droite d’équation x = − 2 comme axe de symétrie. 2 On considère la fonction g définie sur R \{− 1 } par la re-lation: g : x ↦→ x 2 + 3 x + 3 x + 1 Montrer que la courbe C g admet le point ( − 1 ; 1) comme centre de symétrie. 6. Symétrie et asymptotes obliques E.3366 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = 3 x 3 + 4 x 2 − 5 x + 4 4( x 2 + 1) Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f . 1 a Déterminer la valeur des réels a , b , c vérifiant la re-lation: f ( x ) = a · x + b + c · x x 2 + 1 b Montrer que la courbe C f admet une asymptote oblique (Δ) dont on précisera l’équation. c Étudier la position relative de la courbe C f et de la droite (Δ) . 2 Établir que la courbe C f admet le point de coordonnée (0 ; 1) comme centre de symétrie. 3 a Établir que la dérivée f de la fonction f admet pour dérivée : f ( x ) = x 2 + 5 3 x 2 − 1 4 x 2 + 1 2 b Dresser le tableau de variations de la fonction f . Remarque: on admettra les deux résultats suiv-ants : f 3 3 = 1 − 3 4 ≈ 0 ; 57 f − 3 3 = 1 + 3 4 ≈ 1 ; 43 4 Effectuer le tracé de la courbe C f . 7. Symetries et dérivées E.2392 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 3 x + 6 2 x 2 + 8 x + 7 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Montrer que la courbe représentative de la fonction f ad-met pour centre de symétrie le point A de coordonnée A ( − 2 ; 0) . 3 Montrer que l’expression du nombre dérivée de f en x s’exprime par la relation: f ( x ) = − 3 · 2 x 2 + 8 x + 9 (2 x 2 + 8 x + 7) 2 4 Établir que la courbe représentative de la fonction f ad-met pour axe de symétrie la droite d’équation x = − 2 . E.3505 Soit f une fonction f définie sur R véri-fiant la limite suivante : lim h ↦→ 0 f (2+ h ) − f (2) h = − 1 2 1 Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction f en 2 . 2 Supposons que la fonction f est paire: a Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en − 2 . b À main levée, représenter une courbe C f et ses deux tangentes en − 2 et 2 vérifiant une telle situation. 3 Supposons que la fonction f est impaire: a Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en − 2 . b À main levée, représenter une courbe C f et ses deux tangentes en − 2 et 2 vérifiant une telle situation. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2216 sacados/2216 chapExoCorrec/3366 sacados/3366 -3-2-123I-123JO chapExoCorrec/2392 sacados/2392 chapExoCorrec/3505 sacados/3505
E.2393 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − 6 x − 1 3 x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Montrer l’égalité suivante : f ( x )= 1 3 x +1 − 2 b En déduire que la courbe représentative C f admet pour centre de symétrie le point I de coordonnée − 1 3 ; − 2 . 3 Donner l’expression de la fonction dérivée de la fonction f . 4 Montrer que la courbe représentative C f de la fonc-tion dérivée f admet comme axe de symétrie la droite d’équation x = − 1 3 . 8. Symétries et intégrales E.4221 On considère la fonction f définie sur − 1 ; 1 par : f ( x ) = 3 2 · ⏐ ⏐ x ⏐ ⏐ − 1 2 1 Étudier la parité de la fonction f . 2 Montrer que cette fonction est la densité d’une loi de probabilité sur − 1 ; 1 . 9. Symétries de courbes E.411 1 a Dans le repère ci-dessous, placer les points A ( − 3 ; 4) , B (4 ; 2) et C ( − 1 ; − 2) . b Placer les images des points A , B , C par rapport la symétrie d’axe ( yy ) , puis par rapport à la symétrie de centre O (l’origine du repère) . c Compléter le tableau suivant : Coordonnées du point de l’image par ( yy ) de l’image par O A ( − 3 ; 4) B (4 ; 2) C ( − 1 ; − 2) d Compléter les phrases suivantes : Les points ( x ; y ) et ( − x ; y ) sont symétriques par rap-port à l’axe ( yy ) si, et seulement si, : : : : : : Les points ( x ; y ) et ( − x ; y ) sont symétriques par rap-port à l’origine O si, et seulement si, : : : : : : 2 On considère les fonctions suivantes : f : x ↦−→ x 2 ; g : x ↦−→ x 3 − x ; h : x ↦−→ | 2 x − 1 | a Compléter le tableau suivant : x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 ( x ; f ( x )) ( x ; g ( x )) ( x ; h ( x )) b Réaliser une conjecture quant à la possibilité que les courbes C f , C g et C h admette la droite ( yy ) comme axe de symétrie ou l’origine du repère comme centre de symétrie. c Tracer les courbes représentatives de ces fonctions sur votre calculatrice. 3 Étude algébrique des fonctions f et g : a Exprimer f ( − x ) en fonction de x . Simplifier l’écriture de f ( − x ) . Que remarque-t-on? b Exprimer g ( − x ) en fonction de x . Simplifier l’écriture de g ( − x ) . Que remarque-t-on? https://chingmath.fr chapExoCorrec/2393 sacados/2393 sacados/4221 sacados/411 -4-224I-4-224JO
E.413 Pour chacune des fonctions suivantes, don-ner leurs ensembles de définition puis étudier leurs parités : a f : x , −−−−−→ 1 − x 2 b g : x , −−−−−→ | x | x ( x 2 − 1) c h : x , −−−−−→ 3 x 2 − x + 1 d j : x , −−−−−→ 3 x ×| x | E.415 On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] dont on connait uniquement le tableau de variations suivant : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f ( x ) 0 1 2 ; 5 1 − 2 − 0.5 0 1 2 On suppose de plus que cette fonction est strictement mono-tone sur chacun des intervalles suivants : [0 ; 2] , [2 ; 4] et [4 ; 8] . 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 Donner un encadrement de f ( x ) dans chacun des cas suivants : a 0 x 4 b 4 <x < 8 c 2 x < 7 3 Tracer, en noir, une représentation possible la fonction f dans le repère ci-dessous. 4 Dans cette question, on considère la fonction f 1 définie sur [ − 8 ; 8] comme le prolongement paire de la fonction f : a Compléter correctement le tableau ci-dessous : x − 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 f 1 ( x ) b Donner l’ensemble des antécédents de 1. c Tracer dans le repère ci-dessous la courbe représenta-tive de f 1 en rouge. 5 Dans cette question, on considère la fonction f 2 définie sur [ − 8 ; 8] comme le prolongement impaire de la fonction f : a Compléter correctement le tableau ci-dessous : x − 8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 f 2 ( x ) b On considère les points du plan suivant : A ( − 4 ; 2) ; B (3 ; 1) ; C (4 ; − 2) ; D ( − 3 ; − 1) Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. c Tracer dans le repère ci-dessous la courbe représenta-tive de f 2 en vert. E.422 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I centré en O . On définit les deux fonctions suivantes : g : x ↦−→ f ( x ) + f ( − x ) 2 ; h : x ↦−→ f ( x ) − f ( − x ) 2 Étudier la parité de la fonction g et h . 2 Soit j une fonction impaire définie sur D j tel que 0 ∈ D j . Montrer que : j (0)=0 E.423 Donner l’ensemble de définition et la par-ité des fonctions suivantes : a f : x ↦−→ x ( x + 2) 2 b g : x ↦−→ x 2 − 1 c h : x ↦−→ 1 ( x − 4)( x + 4) d j : x ↦−→ 1 2 x · | x | E.1754 On se place dans un repère orthogonal ( O ; I ; J ) 1 a Soit M un point du plan de coordonnée ( x ; y ) . Don-ner les coordonnées de l’image du point M par la symétrie orthogonal d’axe ( OJ ) . b Soit f une fonction définie sur R , vérifiant pour tout nombre réel x : f ( x ) = f ( − x ) Montrer que la fonction f est paire. 2 a Soit M un point du plan de coordonnée ( x ; y ) . Don-ner les coordonnées de l’image du point M par la symétrie centrale de centre O . b Soit f une fonction définie sur R , vérifiant pour tout nombre réel x : f ( x ) = − f ( − x ) Montrer que la fonction f est impaire. https://chingmath.fr chapExoCorrec/413 sacados/413 chapExoCorrec/415 sacados/415 0IJ chapExoCorrec/422 sacados/422 chapExoCorrec/423 sacados/423 sacados/1754
E.1759 1 Pour chacune des fonctions, calculer les images de-mandées : Calculer f ( − 6) , f ( − 2) , f (0) , f (2) et f (6) . Calculer g ( − 7) , g ( − 1) , g (0) , g (1) et g (7) . Calculer h ( − 3) , h (0) et g (3) . Calculer k ( − 3) , k ( − 2) , k (0) , k (2) et k (3) . 2 Pour chacune des fonctions suivantes dites si elle est paire, impaire ou aucun des deux. 10. Symétrie de courbes E.426 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ 1 4 · x 2 − 2 · x − 1 1 À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs arrondies au centième près : x − 2 − 0 ; 5 1 2 3 3 ; 5 4 f ( x ) x 4 ; 5 5 6 7 8 ; 5 10 f ( x ) 2 Effectuer le tracé de la courbe C f dans le repère O ; I ; J ci-dessous : 3 Cette courbe possède un axe de symétrie, tracer cet axe sur votre représentation. https://chingmath.fr sacados/1759 -8-6-4-202468-4-224C -8-6-4-202468-4-224 -8-6-4-202468-4-224Ch -8-6-4-202468-4-224Ck -8-6-4-202468-4-224C chapExoCorrec/426 sacados/426 -2-12345678910I-5-4-3-2-1234JO
E.8187 Dans un repère O ; I ; J or-thonormé, on considère la courbe C f représentative de la fonc-tion f définie par un polynôme du second degré. Pour seule connaissance de la fonction f , on a le tableau de valeurs ci-dessous : x − 5 − 3 − 2 0 2 4 f ( x ) 36 0 − 9 − 9 15 63 1 Donner l’équation de l’axe de symétrie de la courbe C f . 2 Donner les deux antécédents du nombre 0 par la fonction f . 3 Donner l’expression de la fonction f . E.404 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre réel x est définie par : f ( x ) = − 2 x 2 + 4 x + 3 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b Préciser les caractéristiques de l’extrémum de la fonc-tion f . 2 Soit h un nombre quelconque positif : a Déterminer la forme développée et réduite des deux expressions suivantes : f (1 − h ) ; f (1+ h ) b Que peut-on dire sur les deux points de C f d’abscisses respectives (1 − h ) et (1+ h ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8187 sacados/8187 chapExoCorrec/404 sacados/404