Hors programme lycée / Fonction du second degré : étude avec la forme canonique 38 exercices corrigés

a
1. Calculatrice et second degré E.4640 On considère les polynômes du sec-ond degré suivant : a 3 x 2 + 2 x − 1 b x 2 + x + 2 c − 9 x 2 + 12 x − 4 d − x 2 − 2 x + 1 e 2 x 2 + x + 3 f − 2 x 2 − x + 1 g 5 x 2 − 10 x + 5 h − 3 x 2 − 3 i − 16 x 2 − 24 x + 9 On souhaite classer ces polynômes en fonction de caractéris-tiques de leurs courbes représentatives. Pour cela, on utilise les deux critères suivants : L’ˇ orientation ı des courbes. Le nombre de points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. 1 A l’aide de la calculatrice, placer les courbes dans cha-cune des cases dont elle vérifie la propriété : Sommet en haut Sommet en bas 0 point d’ intersection 1 points d’ intersection 2 points d’ intersection Tout polynôme du second degré admet l’écriture générale: a · x 2 + b · x + c où : a est le coefficient du terme du second degré ; b est le coefficient du terme du premier degré ; c est le coefficient du terme numérique. 2 Quelle donnée numérique caractérise l’ˇ orientation ı de la courbe? 3 Pour chacun des polynômes, déterminer la valeur de : Δ = b 2 − 4 · a · c a Δ = b Δ = c Δ = d Δ = e Δ = f Δ = g Δ = h Δ = i Δ = Quelle relation observe-t-on entre la valeur de Δ pour chacun de ces polynômes et du nombre de points d’intersection de sa courbe avec l’axe des abscisses? E.4641 1 On considère le polynôme x 3 + x 2 − 3 x − 3 dont la représentation est donnée ci-contre : a L’affichage de la calculatrice une racine entière de ce polynôme. En déduire une factorisation de ce polynôme de la forme : x 3 + x 2 − 3 x − 3 = x − ¸ ˛ · x 2 + ‚ · x + ‹ b Réaliser la factorisation de ce polynôme en produit de facteurs du premier degré. 2 En suivant le raisonnement de la question précédente, réaliser la factorisation des polynômes suivants en pro-duit de facteurs du premier degré : a 2 x 3 − 2 x 2 − x + 1 b x 3 + 2 x 2 − 2 x − 4 c 2 x 3 + 3 x 2 − 4 x + 1 f − x 3 − 4 x 2 − 3 x + 2 g − 2 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 h x 3 + 3 x 2 − 2 2. Second degré: variation E.4468 Rappels : Un polynôme du second degré admet pour forme dévelop-pée réduite a · x 2 + b · x + c où a =0 . La fonction x ↦−→ a · x 2 + b · x + c a son tableau de variations dépendant du signe du coefficient du terme du second de-gré : Sa courbe représentative s’appelle une parabole et son sommet a pour abscisse − b 2 a . Dresser le tableau de variations de chacun des polynômes suiv-ants : a 4 x 2 + 4 x + 5 b − 2 x 2 − 2 x + 3 c 2 x 2 + 4 x + 2 d − 4 x 2 + 4 x + 3 e 2 x 2 + 3 x + 1 f − 4 x 2 − 4 x − 1 E.4501 1 Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes : a f ( x ) = x 2 + x − 2 b g ( x ) = − 2 x 2 + 4 x − 3 c h ( x ) = − 4 x 2 + x + 2 d j ( x ) = 2 x 2 + 2 x + 2 2 Pour chaque fonction de la question précédente, donner, sans préciser leurs valeurs, le nombre d’antécédents de 0 . E.4976 Pour chacune des fonctions, déter-miner les caractéristiques de leur extrémum et dresser le tableau de variations : a f : x ↦−→ 2 x 2 + 8 x + 1 b g : x ↦−→ − x 2 + 2 x + 1 c h : x ↦−→ x 2 + 4 x + 4 d j : x ↦−→ − 3 x 2 + 9 x − 2 e k : x ↦−→ 3 x 2 + 2 x + 2 f ‘ : x ↦−→ − x 2 + 2 3 x − 1 https://chingmath.fr sacados/4640 sacados/4641 chapExoCorrec/4468 sacados/4468 −∞∞−b2axa·x2b·xca>0−∞∞−b2axa·x2b·xca<0 chapExoCorrec/4501 sacados/4501 chapExoCorrec/4976 sacados/4976
3. Représentation graphique E.8207 On considère la fonction f du second degré définie sur R par la relation: f ( x ) = 0 ; 4 x 2 + 0 ; 8 x − 1 ; 2 On considère le plan muni du repère représenté ci-dessous : On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessus. 1 a À l’aide la calculatrice, compléter les tableaux de valeurs ci-dessous en y inscrivant les valeurs des im-ages arrondies au dixième près : x − 4 ; 5 − 4 − 3 − 2 − 1 ; 5 − 1 0 ; 5 1 2 f ( x ) b Tracer la représentation de la courbe C f . 2 À l’aide d’une lecture graphique : a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b Donner la nature de l’extremum de la fonction f et ses caractéristiques. E.8208 On considère la fonction f du second degré définie sur R par la relation: f ( x ) = − 0 ; 5 x 2 + x + 1 ; 5 On considère le plan muni du repère représenté ci-dessous : On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessus. 1 a À l’aide la calculatrice, compléter les tableaux de valeurs ci-dessous en y inscrivant les valeurs des im-ages arrondies au dixième près : x − 2 − 1 ; 5 − 1 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 3 f ( x ) b Tracer la représentation de la courbe C f . 2 À l’aide d’une lecture graphique : a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b Donner la nature de l’extremum de la fonction f et ses caractéristiques. E.1762 On considère la fonction : f : x ↦−→ x 2 +4 x +1 : 1 Établir l’égalité: f ( x )=( x +2) 2 − 3 2 a Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle −∞ ; − 2 b Dresser, sans justification, son tableau de variation. c Donner les caractéristiques de l’extremum de la fonc-tion f . 3 a Compléter le tableau ci-dessous de valeurs de la fonc-tion f : x − 5 − 4 − 3 ; 5 − 3 − 2 ; 5 − 2 f ( x ) x − 1 ; 5 − 1 − 0 ; 5 0 1 f ( x ) b Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans le repère ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8207 sacados/8207 x-5-4-3-2-1012y-2-11234 chapExoCorrec/8208 sacados/8208 x-2-101234y-2-112 chapExoCorrec/1762 sacados/1762 -5-4-3-2-1I-3-2-123456JO
4. Extréma E.8204 On considère la fonction f du second degré définie sur R par : f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 5 1 Établir l’identité: f ( x )=2( x − 2) 2 − 3 2 Justifier que la fonction f admet pour minimum la valeur − 3 atteint pour x =2 . E.8205 On considère la fonction f du second degré définie sur R par : f ( x ) = − 3 x 2 − 12 x − 13 1 Établir l’identité: f ( x )= − 3( x +2) 2 − 1 2 Justifier que la fonction f admet pour maximum la valeur − 1 atteint pour x = − 2 . E.425 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ 9 x 2 − 6 x − 2 1 a Donner l’ensemble de définition de la fonction f . b Calculer l’image de 1 par la fonction f . c Déterminer les antécédents de − 2 par la fonction f . 2 a Établir l’égalité: 9 x 2 − 6 x − 2=9 x − 1 3 2 − 3 . b Montrer que f admet un minimum et que celui-ci est atteint en 1 3 . E.8206 Pour chacune des fonctions du sec-ond degré ci-dessous, donner la nature de son extremum et ses caractéristiques : 1 f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 2 g ( x ) = − 3 x 2 + 6 x − 3 3 h ( x ) = x 2 + 5 x − 4 4 j ( x ) = − 5 x 2 + 4 x + 1 5. Sens de variations E.414 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = − 9 x 2 − 12 x + 1 1 Établir l’égalité: f ( x )= − 9 x + 2 3 2 +5 . 2 Démontrer que, sur −∞ ; − 2 3 , la fonction f est crois-sante. E.1760 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre réel x est définie par la relation: f ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 1 1 Établir l’égalité: f ( x )=2( x +1) 2 − 3 2 Montrer que : a f est strictement décroissante sur −∞ ; − 1 . b f est strictement croissante sur − 1;+ ∞ . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 4 En déduire que − 3 est le minimum de la fonction f . E.1753 On considère la fonction f définie sur R tel que l’image d’un nombre x est donnée par la rela-tion : f ( x ) = − 2 x 2 − 8 x + 9 . 1 a Établir l’égalité: f ( x )= − 2 · ( x +2) 2 +17 . b Établir le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle −∞ ; − 2 . 2 Dresser, sans justification, le tableau de variations de la fonction f . 3 Donner les caractéristiques de l’extrémum de la fonction f . 6. Etudes algébriques E.406 On considère la fonction f définie sur R par : f : x ↦−→ − 2 x 2 + 2 x + 12 1 Établir les égalités suivantes : − 2 x 2 + 2 x + 12 = (3 − x )(2 x + 4) = − 2 x − 1 2 2 + 25 2 2 a Justifier que la fonction f s’annule pour deux nom-bres qu’on précisera. b Justifier que la fonction f admet 25 2 pour maximum. 3 a Établir que la fonction f est croissante sur l’intervalle −∞ ; 1 2 . b Dresser, sans justification, le tableau de variations de la fonction f sur R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8204 sacados/8204 chapExoCorrec/8205 sacados/8205 chapExoCorrec/425 sacados/425 chapExoCorrec/8206 sacados/8206 chapExoCorrec/414 sacados/414 chapExoCorrec/1760 sacados/1760 chapExoCorrec/1753 sacados/1753 chapExoCorrec/406 sacados/406
E.1757 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = 8 x 2 − 8 x − 6 . 1 a Établir l’identité: f ( x ) = 4 x − 6 2 x + 1 b Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 a Établir l’identité: f ( x )=8 x − 1 2 2 − 8 . b Algébriquement, établir l’inégalité suivante pour tout nombre réel x : f ( x ) − 8 . c Sur l’intervalle −∞ ; 1 2 , établir le sens de variation de f . 3 a Dressez, sans justification, un tableau de variations de la fonction f . b Donner, sans justification, les caractéristiques de l’extrémum de la fonction f . 7. Tableau de variations et image d’intervalles E.8209 1 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 2 − x + 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b En déduire les images des intervalles suivants par la fonction f : A = − 3 ; 1 4 ; B = 1 ; 2 ; C = − 3 ; 1 2 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = − x 2 + 2 x − 4 a Dresser le tableau de variations de la fonction g . b En déduire les images des intervalles suivants par la fonction g : D = − 3 ; 0 ; E = 1 ; 3 ; G = 0 ; 3 E.405 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 4 x 2 − 16 x + 9 . 1 Établir l’égalité: 4 x 2 − 16 x +9=4( x − 2) 2 − 7 2 Montrer que : a la fonction f est décroissante sur −∞ ; 2 . b la fonction f est croissante sur 2 ; + ∞ . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 4 Déterminer l’image des intervalles suivants par la fonc-tion f : a − 2 ; 1 b 0 ; 4 c 1 ; + ∞ 8. Etude graphique et algébrique E.437 On considère la fonction f , qui à tout nombre x , associe son image f ( x ) définie par : f ( x ) = 1 2 x 2 + x − 3 2 Le graphique ci-dessous donne la représentation de la courbe C f dans le repère O ; I ; J orthonormé : Partie A : étude graphique Graphiquement, répondre aux questions suivantes : 1 Donner les antécédents du nombre 0 par f . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 4 ; 2 . 3 Donner les caractéristiques de l’extrémum de la fonction f . Partie B: étude algébrique 1 a Établir l’égalité suivante : f ( x )= 1 2 · x +3 x − 1 b Résoudre l’équation: f ( x )=0 . 2 a Établir l’égalité suivante : f ( x )= 1 2 · x +1 2 − 2 b Démontrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle −∞ ; − 1 . E.4869 On considère la fonction f définie par l’expression : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c où a , b , c sont des nombres réels. La parabole C f représentative de la fonction f admet pour sommet le point de coordonnées ( − 1 ; 2) et elle passe par le point de coordonnées ( − 3 ; 0) . Déterminer, sans justification, les valeurs des nombres réels a , b et c . https://chingmath.fr chapExoCorrec/1757 sacados/1757 chapExoCorrec/8209 sacados/8209 chapExoCorrec/405 sacados/405 chapExoCorrec/437 sacados/437 -4-3-2-12I-2-12JOCf chapExoCorrec/4869 sacados/4869
E.6689 La courbe ci-contre est la représentation d’une fonction f définie sur − 2 ; 3 . 1 Graphiquement, répondre aux questions suivantes : a Quelles sont les images de 0 et 2 par f ? b Donner, si possible : les antécédents éventuels de − 4 par f ; les antécédents éventuels de 4 par f ; c Quelles sont les solutions de l’équation: f ( x )= − 7 4 ? d Quelles sont les solutions de l’inéquation: f ( x ) < 0 ? 2 On admet que la fonction f est définie sur R et admet pour expression : f ( x ) = − x 2 + x + 2 . a Justifier que : f ( x )=( − x +2)( x +1) b Résoudre l’équation: f ( x )=0 c À l’aide d’un tableau de signes, résoudre l’inéquation f ( x ) 0 . d Justifier que : f ( x )= − x − 1 2 2 + 9 4 . En déduire la croissance de f sur l’intervalle − 2 ; 1 2 . 9. Problèmes E.4878 On considère la figure ci-dessous : Elle vérifie les conditions suivantes : Le triangle ABC est rectangle en A tel que : AB = 3 m ; AC = 2 cm Le point D est défini par : D ∈ [ AB ) ; D ∈ [ AB ] Le point E est défini par : E ∈ [ AC ) ; E ∈ [ AC ] On a la relation: BD + CE =10 m . On note x et y les longueurs respectives des segments [ BD ] et [ CE ] . 1 a Établir l’identité: 2 x 2 − 18 x + 153 = 2 x − 9 2 2 + 225 2 b Déterminer les valeurs de x et de y afin que la longueur du segment [ DE ] soit minimale. 2 Déterminer les valeurs possibles de x et de y afin que l’aire de la partie hachurée mesure 15 m 2 10. Modélisation E.2865 On veut construire le long d’un bâti-ment une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10 m . Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d’une allée de 3 m de large comme l’indique le croquis ci-dessous. L’ensemble est clôturé sur les trois côtés [ AB ] , [ BC ] et [ CD ] . On s’intéresse à la longueur L de la clôture : L = AB + BC + CD . On note x et y les dimensions en mètres de l’aire de jeu (la valeur de x et de y sont nécessairement positifs) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6689 sacados/6689 -2-123I-4-22JO chapExoCorrec/4878 sacados/4878 fichierPlus/4878/ ABCDE2my3mx chapExoCorrec/2865 sacados/2865 3yxABCD
1 Exprimer la longueur L de la clôture en fonction des valeurs de x et de y . 2 On dispose de 100 mètres de clôture qu’on souhaite en-tièrement utilisé: a Exprimer, dans ces conditions, la valeur de y en fonc-tion de x . b Justifier que la valeur de x doit être inférieure à 44. c Justifier que l’aire de jeux a pour aire: A ( x ) = 88 x − 2 x 2 3 a Justifier l’égalité ci-dessous : A ( x ) = 968 − 2( x − 22) 2 b En déduire la croissance de la fonction A sur l’intervalle 0 ; 22 . c Dresser, sans justification, le tableau de variations de la fonction A sur l’intervalle 0 ; 44 . 4 En déduire les dimensions afin que les 100 mètres de clô-tures soient utilisés et que l’aire de jeu soit maximale. E.2877 Un menuisier dispose d’une baguette de bois de 100 centimètres de longueur et de 3 centimètres de largeur. Il souhaite utiliser toute la longueur de cette baguette pour la confection d’un cadre en bois à l’image du dessin ci-dessous : 1 a Déterminer la valeur de y en fonction de x . b En déduire les valeurs possibles de x . 2 Donner l’expression de l’aire A ( x ) de l’intérieur du cadre en fonction de x . 3 a Établir l’égalité suivante : A ( x ) = − ( x − 28) 2 + 484 b Établir la croissance de la fonction A sur l’intervalle 6 ; 28 . c Dresser le tableau de variations de la fonction A , puis en donner l’aire maximale atteinte par le cadre. E.3024 Dans une fête foraine, le gérant de l’attraction ˇ la chenille en folie ı fait le constat suivant : Son manège peut accueillir 70 personnes par tour ; S’il fixe le prix à 1 e , son manège est plein à chaque tour ; Chaque fois qu’il augmente le prix de 0 ; 50 e , il perd 5 clients. On note x le prix d’une place : le nombre x appartient à l’intervalle 1 ; + ∞ [ . On s’intéresse à la valeur de la recette faîte par cette attrac-tion à chaque tour en fonction du prix x des places ; on note R ( x ) la valeur de cette recette. 1 Justifier que le la recette admet l’expression : R ( x ) = 80 x − 10 x 2 2 a Dresser le tableau de variations de la fonction R . b En déduire la recette maximale que peut réaliser cette attraction. Quel doit-être le prix d’un tour pour réaliser ce maximum? 3 Le gérant souhaite réaliser une recette supérieure à 150 e à chaque tour de manège. Déterminons les prix possibles d’une place réalisant cette condition : a Développer l’expression : ( x − 4) 2 − 1 . En déduire l’expression de la forme canonique de l’expression R ( x ) − 150 . b Factoriser l’expression : ( x − 4) 2 − 1 2 . Puis, factoriser l’expression R ( x ) − 150 . c Déterminer les solutions de l’équation: R ( x )=150 . d En utilisant la question précédente et le tableau de variations de la fonction R , donner sans justification l’ensemble des solutions de l’inéquation R ( x ) 150 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2877 sacados/2877 xcmycm3cm chapExoCorrec/3024 sacados/3024
E.4852 On considère le triangle isocèle ABC de dimensions : OA = 8 cm ; OC = 5 cm [ CO ] représente la hauteur du triangle ABC issue du sommet C . On souhaite inscrire un rectangle MNPQ à l’intérieur du triangle et centré autour de l’axe ( OC ) comme représenté ci-dessus. On note x la longueur du segment [ OP ] . 1 Justifier brièvement les valeurs possibles prises par la variable x . 2 Déterminer la mesure du segment [ NP ] en fonction de la longueur x . 3 Démontrer que l’aire A du rectangle MNPQ a pour ex-pression en fonction de x : A ( x ) = − 5 4 · x 2 + 10 · x 4 Pour quelle valeur l’aire du rectangle MNPQ est maxi-male? E.3078 Un joueur de basket se trouvant au point A effectue un lancer franc vers le panier situé en B ; la trajectoire du ballon passe par un sommet nommé S . Joe, le mathématicien assis dans les gradins, se sert d’un repère O ; I ; J orthonormé pour modéliser cette trajectoire : Il relève les coordonnées des points suivants : A (1 ; 1) ; B (7 ; 2) ; S (4 ; 5 ; y S ) (Joe n’a pas eu le temps de relever l’ordonnée du sommet S ) . En négligeant le frottement dans l’air, Joe sait que tout projec-tile décrit une trajectoire parabolique dont l’équation cartési-enne est de la forme : ( E ) : y = a · x 2 + b · x + c 1 a En utilisant les coordonnées du sommet S , justifier l’égalité suivante : b = − 9 a b Justifier que les nombres réels a et b vérifie le système d’équations : c − 8 a = 1 c − 14 a = 2 c En déduire l’équation ( E ) représentant la courbe C . 2 Un second joueur effectue son lancer; Joe obtient l’équation représentant la seconde trajectoire : ( E ) : y = − 1 8 · x 2 + 7 6 · x − 1 24 a Déterminer les valeurs de a et de b vérifiant l’égalité ci-dessous : − 3 x 2 + 28 x − 49 = x − 7 a · x + b b En déduire les abscisses où la balle sera à une hauteur de 2 m . E.2988 Un bateau doit naviguer entre le rivage et un rocher. Ce rocher se situe à 8 km du bord. Par mesure de sécurité, le capitaine souhaite rester à égale distance du rocher et du rivage. Pour modéliser ce problème, on utilisera le repère O ; −→ i ; −→ j dont le point O est le projeté orthogonal du point R sur le rivage. On note ( x ; y ) les coordonnées du bateau dans ce repère. 1 Exprimer en fonction de x et de y de la distance séparant le bateau : a du rocher b du rivage 2 a En utilisant l’égalité BR = BM , exprimer la valeur de y en fonction de x . b Quel est le nom de la trajectoire du bateau? 11. Problèmes et tableau de signes E.2985 Dans le plan, on considère un rect-angle ABCD tel que : DC = 7 cm ; DA = 5 cm Les points I , J , K , L sont des points appartenant respective-ment aux côtés [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] vérifiant les relations : DK = CJ = BI = LA = x cm https://chingmath.fr chapExoCorrec/4852 sacados/4852 ABCMNPQO chapExoCorrec/3078 sacados/3078 2345678I2345JOABS chapExoCorrec/2988 sacados/2988 BMRO8km−i−j chapExoCorrec/2985 sacados/2985
1 Justifier, brièvement, que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. 2 a Déterminer les valeurs possibles pour x . b Justifier que l’aire du parallélogramme IJKL a pour expression en fonction de x : A ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 35 c En déduire le tableau de variations de la fonction A . d Donner le minimum de la valeur de l’aire de IJKL et la valeur de x pour lequel il est atteint. 3 On souhaite déterminer les valeurs de x pour lesquels, A est supérieure à 25 cm 2 . a Déterminer les valeurs de a et b de nombres réels véri-fiant l’égalité: 2 x 2 − 12 x + 10 = ( a · x + b )( x − 5) . b En déduire les solutions de l’inéquation: A ( x ) 25 cm 2 . E.3003 Dans le plan, on considère le cercle C de diamètre [ AB ] tel que AB =5 cm . Soit M un point du segment [ AB ] , on construit respectivement les cercles C et C  de diamètres respectifs [ AM ] et [ MB ] . On repère la position du point M par la mesure de AM qu’on note x ; on s’intéresse à l’aire de la partie hachurée qu’on note A ( x ) . 1 Décrire brièvement les valeurs prises par la variable x . 2 Déterminer une expression de A en fonction de x . On considère la fonction qui à x associe A ( x ) 3 Dresser le tableau de variations de la fonction A ( x ) . 4 a Déterminer la valeur des réels a et b tels que : − 2 x 2 + 10 x − 8 = ( x − 4)( a · x + b ) b Résoudre l’inéquation suivante : A ( x ) 2 · ı 12. Calculatrice et polynome E.4635 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x réel est définie par la relation: f ( x ) = − 2 x 3 − 12 x 2 + 2 x + 12 La représentation de cette fonction est donnée dans la capture d’écran ci-contre d’une calculatrice. Parmi les expressions suivantes, une seule représente la forme factorisée de ce polynôme. Laquelle? a 2( x − 1)( x + 1)( x − 6) b 2( x − 1)( x + 1)( x + 6) c 2(1 − x )( x + 1)( x + 6) d 2(1 − x )( x + 1)( x − 6) Vérifier votre réponse. E.4634 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x réel est définie par la relation: f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 La représentation de cette fonction est donnée dans la capture d’écran ci-contre d’une calculatrice. Parmi les expressions suivantes, une seule représente la forme factorisée de ce polynôme. Laquelle? a ( x + 2)( x − 1)( x − 4) b ( x − 2)( x + 1)( x + 4) c ( x − 1)( x − 2)( x + 4) d ( x + 4)( x − 1)( x + 2) Vérifier votre réponse. https://chingmath.fr ABCDIJKLxcm chapExoCorrec/3003 sacados/3003 ABMCCC sacados/4635 sacados/4634
E.4636 1 On considère les deux fonc-tions f et g définies par : f ( x ) = − x 3 + x 2 + 4 x + 2 g ( x ) = − x − 1 Les représentations de ces deux fonctions sont données dans la capture d’écran ci-contre d’une calculatrice. a Utiliser votre calculatrice pour décrire l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = g ( x ) b Pour chacune des deux égalités ci-dessous, déterminer les valeurs des réels ¸ , ˛ et ‚ réalisant ces égalités: − x 3 + x 2 + 5 x + 3 = x + 1 ¸ · x 2 + ˛ · x + ‚ − x 3 + x 2 + 5 x + 3 = x − 3 ¸ · x 2 + ˛ · x + ‚ c À l’aide de la question précédente, affirmer la conjec-ture de la question a . 2 On considère les deux fonctions f et g définies par : f ( x ) = 2 x 3 − 5 x + 6 ; g ( x ) = x + 2 Suivre la démarche de la question précédente pour déter-miner l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = g ( x ) E.4633 1 À l’aide de la calculatrice, conjecturer la forme factorisée des polynômes suivants : a x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 b x 3 − 3 x 2 − x + 3 c − x 3 − x 2 + 4 x + 4 d 3 x 2 − 6 x 2 − 3 x + 6 e 4 x 3 + 8 x 2 − 4 x − 8 f − 2 x 3 + 4 x 2 + 6 x 2 Vérifier algébriquement vos conjectures de la question précédente. E.4639 Résoudre les inéquations suivantes : a x 3 − 4 x 2 + x + 6 < 0 b 2 x 3 + 4 x 2 − 6 x 0 c − 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x + 4 > 0 d 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 2 0 E.4638 On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont ex-primées en cm . Déduire la ou les valeurs de x pour lesquelles cette boîte pos-sède une aire de 144 cm 2 . E.4637 Sur un ancien terrain vague de forme rectangulaire de longueur 16 m et 12 m , la municipalité souhaite construire un jardin d’enfants avec une allée faisant le tour l’aire de jeu : L’aire de jeu est représentée ci-dessous par la partie hachurée : Quelle (s) dimension (s) peut avoir la largeur de l’allée afin que l’aire de jeu soit la même que celle de l’allée? 13. Exercices non-classés E.4879 Soit ABCD un rectangle de dimen-sion 6 cm et 4 cm . On considère les points E et G , situés hors du rectangle ABCD , appartenant respectivement aux demi-droites [ AB ) et [ AD ) et le point F tels que le quadrilatère AGFE est un rectangle. On note x et y les deux distances suivantes : x = DG ; y = BE On impose aux points E et G de former un rectangle AEFG dont le périmètre est de 28 cm . 1 a Montrer que la longueur y s’exprime en fonction de x par : y =4 − x b En déduire les valeurs possibles de x . On note A l’aire de la partie hachurée (celle du polygone BEFGDC ) . 2 Établir que l’aire de la partie hachurée s’écrit en fonction de x est obtenue par l’égalité: A ( x ) = − x 2 + 2 x + 24 3 Dresser le tableau de variations de la fonction A sur R . (on indiquera la valeur de l’extrémum local) . 4 Étudions les valeurs extrêmes prises par l’aire hachurée de cette figure : a Quelle est l’aire maximale de la partie hachurée? Pour https://chingmath.fr sacados/4636 sacados/4633 sacados/4639 sacados/4638 16cmxx10cm sacados/4637 1612xx chapExoCorrec/4879 sacados/4879 4cm6cmyxABCDEFG
quelles valeurs de x est-elle atteinte? b Quelle est l’aire minimale de la partie hachurée? Pour quelle valeur de x ce minimum est-il réalisé? https://chingmath.fr