Hors programme lycée / Généralité sur les fonctions 37 exercices corrigés

a
1. Lecture graphique: image, antécédents E.4494 La représentation graphique de la fonc-tion f est donnée dans le repère O ; I ; J ci-dessous : 1 Justifier chacune de vos observations : a Quelle est l’image du nombre 2 par f ? b Quels sont les antécédents par f du nombre 2 ? 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 3 a Quelles sont les coordonnées du point le plus haut de la courbe C f ? b En déduire la valeur maximale prise par la fonction f . 4 Donner la valeur minimale prise par la fonction f et la valeur de x pour laquelle elle est atteint. E.4493 Un site est spécialisé dans la diffu-sion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d’internautes connectés simultanément. On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonc-tions sont proposées pour modéliser cette situation. Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction f qui modélise la situation précédente. On note x le nombre, exprimé en millier, d’internautes connec-tés simultanément et f ( x ) la durée de chargement exprimée en seconde. 1 Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8 000 personnes connectées. 2 a Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par f . b Donner une interprétation de ce résultat. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4494 sacados/4494 -8-7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-12345JOCf chapExoCorrec/4493 sacados/4493 0123456789105101520253035404550556065707580859095100105110
E.4892 Dans un pays sur une période de deux ans, les prix des denrées alimentaires ont augmenté de manière incontrôlée. L’état décide d’imposer une réduction à chacune des denrées alimentaires afin de fixer l’inflation à 5 % sur cette période de deux ans. 1 En supposant que le pourcentage d’inflation ait été de 40 % , donner les caractéristiques de la réduction que doit imposer l’état afin de ramener cette inflation à 5 % . On note x le taux de l’inflation et y le taux de la réduction imposée par l’état pour ramener l’inflation à 5 % . 2 Donner une relation liant les valeurs x et y . On admet que la valeur de y est donnée en fonction de x par la relation: y = x − 0 ; 05 1+ x 3 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x − 0 ; 05 − x 1 + x Dans un repère orthonormé O ; I ; J , on considère la courbe C f représentative de la fonction f : On répondra aux questions suivantes par lecture graphique et on donnera les résultats arrondis au dixième près : a Lorsque l’inflation est de 30 % , quelle est le taux de l’inflation fixé par l’état? b Lorsque l’état a imposé une baisse des prix de 40 % , quelle est le pourcentage de l’inflation? E.4539 On considère les deux fonctions f et g définies sur R dont leurs présentations, C f et C g , sont données dans le repère orthogonal O ; I ; J ci-dessous : 1 Graphiquement, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = g ( x ) 2 Graphiquement, déterminer la position relative des courbes C f et C g . 2. Lecture graphique: inéquations E.7250 On injecte à un patient un médica-ment et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la con-centration, en grammes en litres, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4892 sacados/4892 0,5I0,5JOCf chapExoCorrec/4539 sacados/4539 -5-4-3-2-12I-224JOCfCg chapExoCorrec/7250 sacados/7250 Temps (en heure)012345678910111213141516Concentration (g/‘)0,20,40,60,811,21,41,61,822,2
Avec la précision permise par le graphique, indiquer : la concentration à l’instant initial; l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0 ; 4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construc-tion nécessaires. E.4495 On considère la fonction f dont la représentation est donnée ci-dessous dans le repère ( O ; I ; J ) : 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Donner les images, par la fonction f , de 0 et 1 . 3 Donner les antécédents des nombres 0 et 1 par la fonction f . 4 Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.4503 On considère la fonction f dont la représentation est donnée ci-dessous dans le repère or-thonormé O ; I ; J ) : On s’intéresse à la fonction affine g définie par la relation: g : x ↦−→ x + 1 1 Tracer la courbe représentative de la fonction g dans le repère ci-dessus. 2 Graphiquement, résoudre l’équation: f ( x )= g ( x ) . 3 Résoudre graphiquement l’inéquation: f ( x ) g ( x ) E.4516 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre réel x est définie par la relation: f ( x ) = x 2 + x + 1 x 2 + 1 1 Répondre aux questions suivantes à l’aide de la calcula-trice: a Déterminer les minimums et les maximums de la fonc-tion f . b Dresser le tableau de variations f sur R . 2 a Résoudre l’équation: f ( x )= − 3 · x +1 . b Vérifier votre résultat à la calculatrice. E.7330 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par les relations : f ( x ) = x x 2 + 1 ; g ( x ) = − 1 2 · x + 1 À l’aide de la calculatrice, donner les coordonnées du point d’intersection des deux courbes C f et C g représentatives re-spectivement des fonctions f et g . E.4540 On considère les deux fonctions f et g définies sur R dont les représentations C f et C g sont données dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : 1 Résoudre graphiquement l’équation: f ( x )= g ( x ) . 2 Donner les positions relatives des courbes C f et C g sur R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4495 sacados/4495 -6-5-4-3-2-123I-2-1234JOCf chapExoCorrec/4503 sacados/4503 -2-1234I-224JOCf chapExoCorrec/4516 sacados/4516 chapExoCorrec/7330 sacados/7330 chapExoCorrec/4540 sacados/4540 -3-2-1234I-123JOCfCg
E.7467 Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre 0 et 25 pièces. Le montant des charges correspondant à la fabrication de x pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle 0 ; 25 par : C ( x ) = x 3 − 30 · x 2 + 400 · x + 100 On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de 247 euros. Le chiffre d’affaires est modélisé par la fonction A définie sur l’intervalle 0 ; 25 par : A ( x ) = 247 · x Dans le repère ci-dessous sont représentées les courbes C C et C A respectivement des fonctions C et A : 1 Graphiquement, conjecturer la position relative de ces deux courbes. 2 À l’aide de la calculatrice, donner l’intervalle pour lequel l’entreprise est bénéficiaire. (On arrondit les bornes de l’intervalle au centième près) . 3. Fonctions affines E.4497 Dans un repère ( O ; I ; J ) orthogonal, on représente les cinq droites ci-dessous. Déterminer les équations réduites des droites ( d 1 ) , ( d 2 ) , ( d 3 ) . E.7737 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J . 1 On considère les points A ( − 2 ; − 1 ; 5) et B (0 ; 5 ; 2 ; 25) . Déterminer l’équation réduite de la droite ( AB ) . 2 On considère les points C ( − 1 ; 1) et D (1 ; − 0 ; 5) . Déterminer l’équation réduite de la droite ( CD ) . E.4496 Le graphique ci-dessous donne la représentation de deux droites dans un repère O ; I ; J or-thonormé : 1 On considère les deux points A ( − 2 ; 3) et B (4 ; 0) appar-tenant à la droite ( d 1 ) : a Montrer que le coefficient directeur de la droite ( d 1 ) a pour valeur − 1 2 . b Déterminer l’équation réduire de la droite ( d 1 ) . 2 Déterminer l’équation réduite de la droite ( d 2 ) . 4. Position relative de courbes E.4542 Soit f et g deux fonctions définies sur −∞ ; 3 par les relations : f ( x ) = − x + 3 ; g ( x ) = x − 1 1 a Résoudre l’équation: − x +3=( x − 1) 2 b Vérifier si les deux solutions trouvées à la question a sont solutions de l’équation: f ( x ) = g ( x ) 2 a Sur −∞ ; 3 , établir que la fonction f est décrois-sante . b Justifier que la fonction g est croissante. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7467 sacados/7467 Nombre de pièces par jour024681012141618202224Montant en euros1000200030004000500060007000CCCA chapExoCorrec/4497 sacados/4497 x-6-5-4-3-2-10123456y-1123456(d1(d2(d3 chapExoCorrec/7737 sacados/7737 chapExoCorrec/4496 sacados/4496 xxyy-6-5-4-3-2-10123456-2-112345(d1(d2 chapExoCorrec/4542 sacados/4542
3 En déduire la position relative des courbes C f et C g . E.7419 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − x + 1 dont la courbe représentative est donnée dans le repère O ; I ; J ci-dessous : La droite ( d ) représentée ci-dessous passe par les points A (1 ; 1) et B (3 ; 2) . 1 a Déterminer l’équation réduite de la droite ( d ) . b Justifier que l’inéquation f ( x ) g ( x ) est équivalent à l’inéquation 0 ; 5 · x 2 − 1 ; 5 · x +0 ; 5 0 . 2 a À l’aide de la calculatrice, résoudre l’inéquation: 0 ; 5 · x 2 − 1 ; 5 · x +0 ; 5 0 b Conjecturer les positions relatives des courbes C f et ( d ) sur R . 5. Signes d’une fonction E.4855 On considère la fonction f définie sur R dont le tableau de variations est donnée ci-dessous : 1 Sur lesquels de ces intervalles, la fonction f est soit pos-itive, soit négative. Préciser alors son signe : a − 3 ; 5 b −∞ ; 2 c − 3 ; + ∞ 2 Sur lesquels de ces intervalles, la fonction f est soit pos-itive, soit négative. Préciser alors son signe : a − 3 ; 5 b −∞ ; 2 c − 3 ; + ∞ E.7468 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 4 3 · x − 3 2 + 1 Dans le repère O ; I ; J ci-dessous, on donne la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Graphiquement, résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) 2 . 2 a Établir l’identité suivante : f ( x ) − 2 = − 18 · x 2 + 36 · x − 16 3 · x − 3 2 + 1 b Établir le tableau de signes du polynôme: − 18 · x 2 +36 · x − 16 . c Résoudre f ( x ) 2 en justifiant votre démarche. 6. Etude de variations E.4505 On considère la fonction f admettant le tableau de signes ci-dessous : x −∞ − 3 5 + ∞ f ( x ) + 0 − 0 + Répondre aux affirmations suivantes par ˇ vrai ı, ˇ faux ı ou ˇ on ne peut pas savoir ı : 1 f (2)=6 . 2 L’équation f ( x )=0 admet exactement deux solutions. 3 La fonction f est une fonction affine. 4 L’inéquation f ( x ) < 0 a pour ensemble de solutions ] − 3 ; 5[ . 5 Le point A (0 ; 5) appartient à la courbe représentative de la fonction f . 6 Si f (1)= − 4 , alors le minimum de la fonction f sur R est − 4 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7419 sacados/7419 -2-123456I-123JO(dCf chapExoCorrec/4855 sacados/4855 -∞−325∞-2030-1Variationdefx chapExoCorrec/7468 sacados/7468 -4-3-2-123456I234JOCf chapExoCorrec/4505 sacados/4505
E.4857 On considère la fonction f définie sur − 4 ; 4 dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous : Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera, le cas échéant, des valeurs arrondies obtenues par lecture graphique. 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 Dresser le tableau de signes de la fonction f dérivée de la fonction f . E.7416 On considère la fonction définie sur R par la relation: f ( x ) = x 2 + 2 x 2 + 1 1 Pour tout nombre réel a et b , établir l’identité: f ( a ) − f ( b ) = b − a a + b a 2 + 1 b 2 + 1 2 En déduire que la fonction f est croissante sur −∞ ; 0 ( R − ) . E.4504 On considère une fonction f définie sur R dont le tableau de variations a été donné ci-dessous : Dire si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. a 3 est un antécédent du nombre − 2 b f (1) >f ( − 1) c f (1) est un nombre positif d Pour x ∈ ]0 ; 1[ , on a: f ( x ) 0 e Le minimum de la fonction f est − 1 . E.4545 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 2 · (5 − x ) 3 + 1 Établir que la fonction f est décroissante sur R . E.4537 Soit f la fonction dont l’image d’un nom-bre x est définie par la relation: f ( x ) = − 2 · x + 1 + 3 1 Justifier que l’ensemble de définition de la fonction f est : D f = − 1 ; + ∞ 2 Établir que la fonction f est décroissante sur son ensem-ble définition. E.4570 1 Soit f la fonction définie par la relation: f ( x ) = − 2 · x 3 + 2 Justifier que la fonction est décroissante sur −∞ ; 1 . 2 Soit g la fonction définie par la relation: g ( x ) = − 2 x + 1 3 Justifier que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle − 1 ; + ∞ . E.7334 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 + x + 2 1 Soit a et b deux nombres réels quelconques. Déterminer l’identité: f ( a ) − f ( b ) = a − b · b 2 + a · b + a 2 + 1 2 Établir que la fonction f est strictement croissante sur −∞ ; 0 E.7485 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − x 1 a Soit a et b deux nombres réels quelconques. Établir l’identité: f ( a ) − f ( b ) = a − b a 2 + a · b + b 2 − 1 b En déduire que la fonction f est croissante sur 1 ; + ∞ . 2 a Établir le tableau de signes du polynôme: − 3 · x 2 − x + 2 b On considère la fonction g définie sur R par la relation: g ( x ) = x 3 + 3 · x 2 − 2 Dans un repère orthonormé O ; I ; J , on note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g . Déterminer la position relative des courbes représenta-tives des fonctions f et g . E.7466 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 2 + x − 2 1 Pour tout nombre réel a et b , établir l’égalité: f ( a ) − f ( b ) = a − b b + a + 1 2 Établir que la fonction f est croissante sur 0 ; + ∞ . 7. Points d’intersection E.4669 On considère les deux fonctions définies sur R par les relations : f ( x ) = 1 2 · x 2 + x − 2 ; g ( x ) = x + 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4857 sacados/4857 -4-3-2-1234I-2-12JOCf chapExoCorrec/7416 sacados/7416 chapExoCorrec/4504 sacados/4504 xVariationdef−∞-201∞537-13 chapExoCorrec/4545 sacados/4545 chapExoCorrec/4537 sacados/4537 chapExoCorrec/4570 sacados/4570 chapExoCorrec/7334 sacados/7334 chapExoCorrec/7485 sacados/7485 chapExoCorrec/7466 sacados/7466 chapExoCorrec/4669 sacados/4669
On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé. Le graphique ci-dessous donne la courbe C f représentative de la fonction f . 1 Compléter le tableau de valeurs : x − 2 0 2 g ( x ) 2 On considère la droite ( d 1 ) passant par le point de coor-données (0 ; − 2) et ayant pour coefficient directeur g (0) . a Déterminer l’équation réduite de la droite ( d 1 ) . b Tracer la représentation de la droite ( d 1 ) dans le repère ci-dessus. 3 On considère la droite ( d 2 ) passant par le point d’abscisse − 2 de la courbe C f et ayant g ( − 2) pour coefficient di-recteur. Tracer la représentation de la droite ( d 2 ) dans le repère ci-dessus. 4 a Quelle conjecture peut-on émettre sur le lien de la courbe C f et de la fonction g ? b Utiliser cette conjecture pour tracer la tangente ( d 3 ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . 8. Problèmes de modélisation: équation E.7418 On considère la fonction inverse f définie sur R ∗ par la relation: f ( x ) = 2 x dont la courbe représentative est donnée ci-dessous dans le repère O ; I ; J : Pour x ∈ 0 ; 5 , les points représentés ci-dessus sont définis par : A ( x ; 0) et E est le point de la courbe C f d’abscisse x . D (5 ; 0) et C est le point de la courbe C f d’abscisse 5 . Les points B et D sont placés de telle sorte que le quadrilatère ABCD soit un rectangle On considère le domaine 1 Justifier que pour tout x ∈ 0 ; 5 , on a: A 1 ( x ) = 1 ; A 2 ( x ) = 2 − 2 5 · x 2 À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur de x pour laquelle les deux domaines D 1 et D 2 ont la même valeur. Rappels: https://chingmath.fr -5-4-3-2-123I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/7418 sacados/7418 D1D2ABCDE2345I23JO largeur(‘Longueur(LRectangleALבpetitebase(bgrandeBase(Bhauteur(hTrapèzeABb×h2côté(cCarrédAc2ABCTrianglerectangleAAB×AC2base(bhauteur(hTriangleAb×h2rayon(rDiamètre(DCercleP2×ı×rAı×r2
E.4889 Dans un cadre économique, on ap-pelle fonction de satisfaction une fonction f définie et dériv-able sur une partie de R et à valeurs dans l’intervalle 0 ; 100 . On dit qu’il y a ˇ saturation ı lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100 . La fonction v , dérivée de la fonction f , est appelée fonction ˇ envie ı. On a donc : v = f . On dit qu’il y a ˇ envie ı lorsque v est positive, sinon on dit qu’il y a ˇ rejet ı. Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée quotidienne de travail qui lui convient le mieux, sachant qu’elle a la possibilité d’y consacrer entre 0 et 8 heures par jour. En début de journée, elle est de plus en plus efficace, mais après un certain temps sa productivité ne la satisfait plus. Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d’heures x passées quotidiennement à travailler. La courbe représentant sa satisfaction f est donnée ci-dessous. La tangente à cette courbe au point d’abscisse 4 est parallèle à l’axe des abscisses. La courbe passe par l’origine du repère et la tangente en ce point passe par le point de coordonnées (1 ; 50) . 1 Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : a Pour quelle durée de travail quotidien y a-t-il ˇ satura-tion ı? b Sur quel intervalle y a-t-il ˇ envie ı? c Sur quel intervalle y a-t-il ˇ rejet ı? d Donner v (4) . On admettra que la fonction v est ici une fonction affine définie sur l’intervalle 0 ; 8 . 2 Justifier que son expression est : v ( x )= − 25 2 · x +50 3 a Justifier que la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − 25 4 · x 2 + 50 · x + c où c ∈ R b Déterminer la valeur du nombre réel c . 4 En déduire les valeurs de x pour lesquelles la satisfaction prend la valeur 75 . 9. Annales 1L E.7484 Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gammes pour les télé-phones mobiles. On modélise : les recettes par la fonction R définie sur 0 ; 6 ; 5 par : R ( x ) = − 2 · x 3 + 4 ; 5 · x 2 + 62 · x les coûts par la fonction C définie sur 0 ; 6 ; 5 par : C ( x ) = 20 · x + 10 Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représen-tant les recettes C R et les coûts C C en fonction du nombre de produits fabriqués exprimé en centaines d’unités. Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d’euros. 1 Graphiquement, conjecturer la position relative de ces deux courbes. 2 À l’aide de la calculatrice, donner l’intervalle pour lequel l’entreprise est bénéficiaire. (on arrondit les bornes de l’intervalle au centième près) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4889 sacados/4889 x012345678y102030405060708090100 chapExoCorrec/7484 sacados/7484 01234567820406080100120140160180200CRCC
E.199 Un artisan vend des pots de miel et des pots de confiture ar-tisanale à des supermarchés et à des magasins spécialisés en produit du terroir. Partie A Au cours du mois de janvier l’artisan a vendu 900 pots. On sait que : 2 3 sont des pots de miel dont 55 % sont vendus à des magasins spécialisés; 20 % des pots de confiture sont vendus aux supermarchés. Compléter le tableau 1 de l’annexe 2, à rendre avec la copie. Partie B 1 Fabrication et conditionnement de la confiture On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 160] par : f ( x ) = 0 ; 25 x 2 + 500 La fabrication complète de la confiture et son condition-nement en cartons représentent un coût pour l’artisan. Pour x cartons, prêts à la vente, ce coût (en euros) est donné par f ( x ) . a Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 du tableau 2 l’annexe (obtenu à l’aide d’un tableau) pour obtenir par copie automatique vers la base les nombres f ( x ) ? Compléter la colonne B . b La représentation graphique, notée F , de la fonction f est l’une des deux courbes du graphique de l’annexe. Identifier la courbe F sur le graphique. 2 Vente de la confiture Un carton de confiture est vendu 30 euros. On considère la fonction g qui, au nombre entier x de cartons vendus, associe le prix de vente g ( x ) , en euro, de ces x cartons ( pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 160] ) . a Exprimer g ( x ) en fonction de x . b Tracer sur le graphique de l’annexe la courbe représen-tative G de la fonction g . c Par lecture graphique indiquer pour quelles valeurs de x on a g ( x ) f ( x ) . 3 Étude du bénéfice On considère la fonction bénéfice b définie sur l’intervalle [0 ; 160] par : b ( x )=30 x − f ( x ) a Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 du tableau pour obtenir par copie automatique vers le bas les nombres b ( x ) ? Compléter alors la colonne C . b Sur le graphique de l’annexe, identifier la courbe représentative de la fonction b et noter cette courbe E . En s’aidant du graphique et du tableau 2, donner le tableau de variations de la fonction b . c Déduire de la question précédente le nombre de cartons à vendre pour que le bénéfice réalisé soit maximum. Quel est ce bénéfice maximum? Annexe Pots de miel Pot de confiture artisanale Total Supermarchés Magasins Spécialisés Total 600 900 https://chingmath.fr sacados/199 Guadeloupe, Guyane, Martinique - Juin 2005 - 12 points 12345678910ABCxf(xb(x0200000300000204060801001201401606900-2100 x020406080100120140160y-10001000200030004000500060007000
E.201 Dans cet exercice, on s’intéresse au profil d’une piste de skate-board dans un parc de loisirs. Un bureau d’étude souhaite donner à cette piste, large de huit mètres, une forme parabolique ayant un dénivelé maxi-mum (on appelle dénivelé la différence d’altitude entre deux points.) . Compte tenu des contraintes liées au terrain, ce bureau utilise pour trouver un modèle de piste, des fonctions f définies sur l’intervalle [0 ; 8] par : f ( x ) = ax 2 + bx + c où a , b et c sont trois coefficients réels donnés. Les courbes représentatives de ces fonctions seront des profils possibles pour cette piste. Pour cela, on s’intéresse à deux fonctions particulières f 1 et f 2 . On fournit, en annexe (à rendre avec la copie) , un tableau obtenu à partir d’un tableur. Ce tableau donne les coefficients a , b et c pour chacune de ces fonctions. Ainsi, on a: f 1 ( x ) = 4 x 2 − 32 x + 28 ; f 2 ( x ) = 4 x 2 − 28 x + 28 . Sur cette annexe, on fournit également les portions de paraboles correspondant à ces deux fonctions. Partie A Reconnaissance des profils 1 Quelle formule saisir dans la cellule B6 pour que, par copie vers la droite, on obtienne les valeurs prises par la fonction f 1 lorsque x varie? Compléter la ligne 6 en utilisant éventuellement la calcu-latrice. 2 Quelle formule saisir dans la cellule B7 pour que, par copie vers la droite, on obtienne les valeurs prises par la fonction f 2 lorsque x varie? Compléter la ligne 7 en utilisant éventuellement la calcu-latrice. 3 Indiquer sur le graphique celle des deux courbes qui représente la fonction f 1 . On la notera P 1 . Justifier ce choix. 4 Si on copie vers le bas la formule saisie dans la cellule B7 à la question 1 , obtiendra-t-on la formule saisie en B7 à la question 2 ? Justifier. Partie B Recherche du profil au dénivelé le plus important On rappelle qu’un dénivelé est la différence d’altitude entre deux points. 1 En utilisant le tableau et le graphique, donner les tableaux de variation de f 1 , puis de f 2 sur l’intervalle [0 ; 8] . Donner le maximum et le minimum pour les deux fonctions sur cet intervalle. 2 Calculer le dénivelé maximum, en mètres, pour chacun des deux profils. 3 Quel est le profil qui offre le plus grand dénivelé? https://chingmath.fr sacados/201 1234567ABCDEFGHIJKCoe∑.abcpourf14-3228pourf24-2828x01233,545678f1(x280-20-32-36f2(x284 largeur(enm)-10123456789altitude(enm)-40-30-20-10102030405060
E.200 Dans cet exercice, on désire étudier une loi de marché relative à une revue intitulée Mots en fonc-tion du prix de l’abonnement annuel. On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 200 par : f ( p ) = − 50 · p + 12 500 On admet que cette fonction donne le nombre d’abonnés en fonction du prix p , en euros, de l’abonnement annuel à cette revue Mots . Partie A. Nombre d’abonnés 1 Lorsque l’abonnement est fixé à 50 e , quel est le nombre d’abonnés? 2 Quelle est l’image de 52 par f ? Que représente cette image? 3 Justifier que toute augmentation de 2 e du prix de l’abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d’abonnés à cette revue Mots . 4 Le nombre d’abonnés à la revue Mots est de 5 000 . Quel est alors le prix de l’abonnement annuel? 5 En utilisant la fonction f , justifier que pour ce produit : ˇplus un produit est cher, plus la demande diminueı. Partie B. Étude de la recette On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue Mots perçu par l’éditeur de la revue. 1 Le prix de l’abonnement est égal à 50 e . Calculer la recette correspondante. 2 Le prix de l’abonnement est fixé à 40 e . Calculer la recette correspondante. 3 Le nombre d’abonnés est égal à 5 000 . Calculer la recette. 4 Le prix de l’abonnement est égal à p euros. Exprimer la recette en fonction de p et f ( p ) . 5 On définit la fonction R sur l’intervalle 0 ; 200 par : R ( p ) = − 50 · p 2 + 12 500 · p Vérifier que R ( p ) est égal à la recette correspondant à un prix de l’abonnement égal à p euros. 6 Le graphique de la fonction R est donné en annexe (à rendre avec la copie) . En utilisant ce graphique et en laissant apparaître tous les tracés nécessaires, répondre aux questions suivantes : a Quel est le prix de l’abonnement annuel à cette revue Mars qui rend la recette maximale? Quel est alors le montant de la recette? b Donner l’ensemble des solutions de l’inéquation: R ( p ) 500 000 7 Calculer le nombre d’abonnés qui correspond à la recette maximale. https://chingmath.fr sacados/200 Guadeloupe - septembre 2004 - 8 points Prix de l’abonnement(ene)050100150200Recette(ene)0100 000200 000300 000400 000500 000600 000700 000800 00090
E.206 Dans cet exercice, on s’intéresse au profil d’une piste de skate-board dans un parc de loisirs. Un bureau d’étude souhaite donner à cette piste, large de huit mètres, une forme parabolique ayant un dénivelé maximum (on appelle dénivelé la différence d’altitude entre deux points) . Compte tenu des contraintes, liées au terrain, ce bureau utilise pour trouver un modèle de piste, des fonctions f définies sur l’intervalle [0 ; 8] par : f ( x ) = ax 2 + bx + c où a , b et c sont trois coefficients réels donnés. Les courbes représentatives de ces fonctions seront des profils possibles pour cette piste. Pour cela, on s’intéresse à deux fonctions particulières f 1 et f 2 . On fournit, en annexe (à rendre avec la copie) , un tableau obtenu à partir d’un tableau. Ainsi, on a: f 1 ( x )=4 x 2 − 32 x +28 et f 2 ( x )=4 x 2 − 28 x +28 . Sur cette annexe, on fournit également les portions de paraboles correspondant à ces deux fonctions. Partie A Reconnaissance des profils 1 Quelle formule saisir dans la cellule B6 pour que, par copie vers la droite, on obtient les valeurs prises par la fonction f 1 lorsque x varie? Compléter la ligne 6 en utilisant éventuellement la calcu-latrice. 2 Quelle formule saisir dans la cellule B7 pour que, par copie vers la droite, on obtienne les valeurs prises par la fonction f 2 lorsque x varie? Compléter la ligne 7 en utilisant éventuellement la calcu-latrice. 3 Indiquer sur le graphique celle des deux courbes qui représente la fonction f 1 . On la notera P 1 . Justifier ce choix. 4 Si on copie vers le bas la formule saisie dans la cellule B6 à la question 1 obtiendra-t-on la formule saisie en B7 à la question 2 ? Justifier. Partie B Recherche du profil au dénivelé le plus important On rappelle qu’un dénivelé est la différence d’altitude entre deux points. 1 En utilisant le tableau et le graphique, donner les tableaux de variation de f 1 , puis de f 2 sur l’intervalle 0 ; 8 . Donner le maximum et le minimum pour les deux fonctions sur cet intervalle. 2 Calculer le dénivelé maximum, en mètres , pour chacun des deux profils. 3 Quel est le profil qui offre le plus grand dénivelé? https://chingmath.fr sacados/206 largeur (enm)-10123456789Altitude (en dm)-40-30-20-10102030405060 1234567ABCDEFGHIJKCoe`cientabcPourf1Pourf2x01233;545678f1(x280-20-32-36f2(x284
E.2026 Partie A À un instant donné, le taux d’alcoolémie correspond à la quan-tité d’alcool pur contenu dans un litre de sang. Il s’exprime en grammes (d’alcool pur) par litre (de sang) : g=‘ . Après ingestion d’alcool, le taux d’alcool dans le sang aug-mente et atteint très rapidement son maximum. Ce taux maximum d’alcoolémie peut être estimé par la formule suiv-ante (formule de Widmark) : T = A P × K où T est le taux maximum d’alcoolémie, P est la masse de la personne, en kilogrammes, K est le coefficient de diffusion : il est de 0,7 pour les hommes et de 0,6 pour les femmes A est la masse d’alcool pur ingéré, en grammes. On estime qu’un verre de boisson alcoolisée (un verre de vin, 25 c‘ de bière, un verre d’apéritif. . . ) contient environ 10 g d’alcool pur. Par exemple un homme de 60 kg ayant absorbé 4 verres de boisson alcoolisée atteint un taux max-imum d’alcoolémie de : 40 60 × 0 ; 7 ≈ 0 ; 95 . 1 Estimer le taux maximum d’alcoolémie d’un homme de 70 kg qui a bu un apéritif et quatre verres de vin. Arrondir le résultat au centième. 2 Estimer la masse d’alcool ingéré par une femme de 50 kg présentant un taux maximum d’alcoolémie de 1 ; 02 g=‘ . Partie B Le taux d’alcoolémie d’une personne varie aussi en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente l’évolution du taux d’alcoolémie, en fonction du temps, d’un homme de 80 kg ayant consommé plusieurs boissons alcoolisées en peu de temps. L’origine des temps (l’heure 0) est le moment de l’ingestion, c’est-à-dire de la prise d’alcool. 1 a Combien de temps après l’ingestion le taux maxi-mum d’alcoolémie est-il atteint? b Quel est le taux maximum d’alcoolémie de cet homme? 2 a Quel est le taux d’alcoolémie de cet homme 3 heures après l’ingestion d’alcool? b Quel est le pourcentage de diminution du taux d’alcoolémie 3 heures après ingestion d’alcool par rap-port à sa valeur maximum? Arrondir le résultat à 1 % . 3 En France, selon la législation en vigueur, le taux d’alcoolémie autorisé pour conduire un véhicule ne doit pas dépasser 0 ; 5 g=‘ . a Deux heures après l’ingestion d’alcool, pourquoi la per-sonne observée ne peut-elle pas prendre le volant? b Combien de temps après l’ingestion d’alcool cette per-sonne peut-elle prendre le volant? https://chingmath.fr sacados/2026 Temps en heures01234567Taux d’alcoolémie eng=l0.20.40.60.811.21.4