Hors programme lycée / Géométrie cartésienne 42 exercices corrigés

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1. Triangle rectangle et médiane E.943 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les deux points suivants : A ( − 4 ; − 2) ; B ( − 1 ; 2) 1 Placer les points A et B . Le graphique sera complété au fur et à mesure des questions l’exercice. 2 On note K le milieu du segment [ AB ] . Montrer que le point K a pour coordonnées : K ( − 2 ; 5 ; 0) . 3 On considère le point C de coordonnées ( − 2 ; 5 ; − 2 ; 5) . a Déterminer les longueurs AB et KC . b Que représente le segment [ KC ] pour le triangle ABC ? c En déduire que le triangle ABC est rectangle en C . E.947 On munit le plan d’un repère or-thonormé ( O ; I ; J ) d’unité 1 cm , placer les points suivants : A ( − 4 ; − 2) ; B ( − 1 ; − 5) ; C (4 ; 0) 1 Construire le repère O ; I ; J et placer les points A , B , C . 2 Montrer que : AC =2 17 . 3 On note M le milieu du segment [ AC ] . Déterminer les coordonnées du point M . 4 Déterminer la longueur du segment [ BM ] . 5 En déduire la nature du triangle ABC . E.2742 Dans le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, on considère le cercle C de centre K (2 ; 1) et de rayon 2 ; 5 , et le point A 0 ; 5 2 1 Montrer que le point A appartient au cercle C . 2 Déterminer les coordonnées du point B diamétralement opposé au point A dans le cercle C . 3 Soit C 3 2 ; 1 − 6 , justifier que le triangle ABC est rectangle en C . 4 Déterminer les coordonnées d’un point du cercle C , dont l’abscisse vaut 5 2 E.4595 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. On considère les trois points : A ( − 1 ; − 2) ; B (3 ; 4) ; C 2 ; 1 − 2 3 1 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C . 2 Déterminer les coordonnées du point D milieu du seg-ment [ AB ] . 3 On considère le point E de coordonnées ( 1 ; 1 −√ 13 ) . a Déterminer la mesure du segment [ DE ] . b Démontrer que le triangle ABE est rectangle. 4 a Déterminer les coordonnées du point F diamétrale-ment opposé à C dans le cercle de diamètre [ AB ] . b Montrer que le quadrilatère AFBC est un rectangle. E.6511 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J . Les points A , B et C ont pour coor-données : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; 1) ; C ( − 2 ; 7) 1 Justifier que le point I milieu du segment [ AC ] a pour coordonnées I − 3 2 ; 3 . 2 a Déterminer les coordonnées du point D afin que le point I soit le milieu du segment [ BD ] . b Représenter le quadrilatère ABCD dans le repère ci-dessous. c Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. 3 On admet que AC = 65 . Justifier que le quadrilatère ABCD est un rectangle. https://chingmath.fr chapExoCorrec/943 sacados/943 IJO chapExoCorrec/947 sacados/947 Groupe Est - Septembre 2003 - 6 points chapExoCorrec/2742 sacados/2742 chapExoCorrec/4595 sacados/4595 chapExoCorrec/6511 sacados/6511 xxyy-6-5-4-3-2-123I-2-12345678JO
2. triangles isométriques E.553 La figure ci-contre est composée du trian-gle ABC sur lequel nous avons construit à l’extérieur de ce triangle deux carrées : EABD et ACFG . 1 Montrer que les triangles EAC et GAB sont des triangles isométriques. 2 En déduire que : BG = EC . E.568 Soit ABCD un parallélogramme. On note I le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ DC ] . 1 Montrer que les triangles ADJ et CBI sont isométriques. 2 En déduire que : AJ = CI . E.571 Soit ABCD un parallélogramme de cen-tre O et M un point du segment [ AB ] . On note N le point d’intersection de ( OM ) et de ( DC ) . 1 Sans isométrie: a Démontrer que les triangles MBO et NDO sont des triangles isométriques b En déduire que O est milieu du segment [ MN ] . c Que pouvez-vous dire du quadrilatère BNDM . 2 Avec les isométries : a Montrer que le point O est le milieu du segment [ MN ] . b Montrer que les triangles AMO et CNO sont isométriques. E.567 Soit C un cercle de centre O , et A , B deux points du cercle. Sur la corde [ AB ] du cercle, nous plaçons les points I et J tels que : AI = IJ = JB On note respectivement M et N les points d’intersection des demi-droites [ OI ) et [ OJ ) avec le cercle C . 1 Quelle est la nature du triangle ABO ? 2 Montrer que les triangles AIO et OJB sont isométriques. 3 Quelle est la nature du triangle IJO ? 4 Montrer que les droites ( IJ ) et ( MN ) sont parallèles E.556 Soit C un cercle de centre O . On consid-ère le carré ABCD ayant ses sommets A et C sur le cercle. On utilisera les propriétés des angles inscrits et angles au cen-tre. 1 Montrer que [ MN ] est un diamètre de C . 2 Montrer que : NOC =90 o Que peut-on dire des longueurs CM et CN ? 3 En remarquant que NCM =90 o , comparer les deux an-gles MCB et NCD . 4 En déduire que les triangles NDC et MCB sont isométriques. On vient d’établir que l’égalité de longueurs suivante : ND = BM https://chingmath.fr chapExoCorrec/553 sacados/553 ABCDEFG chapExoCorrec/568 sacados/568 ABCDIJ chapExoCorrec/571 sacados/571 ABCDMNO chapExoCorrec/567 sacados/567 ABIJMNOC chapExoCorrec/556 sacados/556 OABCDMNC
E.569 On considère la configuration suivante : 1 Reproduire sur votre cahier une figure ayant les mêmes propriétés que celle ci-dessus. ABCD est un parallélogramme O est le centre de ce parallélogramme E est la projection orthogonale de D sur la droite ( AC ) F est la projection orthogonale de B sur la droite ( AC ) 2 Que peut-on dire des angles EOD et BOF ? 3 Montrer que les triangles ODE et OBF sont isométriques. 4 En déduire que : OE = OF . E.555 Soient ABC un triangle isocèle en A et Δ la médiatrice du segment [ AB ] . On note D le point d’intersection des droites Δ et ( BC ) . On place le point E sur la droite ( AD ) comme ci-contre et vérifiant AE = CD . 1 a Que peut-on dire des angles DAB , DBA et ACB ? Justifier. b Comparer les angles DCA et EAB . 2 En déduire que les triangles ADC et AEB sont isométriques E.559 Soit ABC un triangle équilatéral. Soient M , N et P trois points appartenant respec-tivement aux segments [ AB ] , [ BC ] et [ AC ] tel que : AM = BN = CP 1 Démontrer que les triangles APM , BMN et CNP sont des triangles isométriques 2 En déduire que le triangle MNP est un triangle équilatéral. 3. triangles semblables E.566 Dans la figure ci-contre, les points A , B , C et D sont quatre points du cercle C . Montrer que les triangles DCM et ABM sont semblables. E.570 Soient trois points E , D et F trois points d’un cercle C . La bissectrice de l’angle EDF coupe C en K et coupe la droite ( EF ) en M . 1 Justifier l’égalité des angles EDK et EFK . 2 Justifier l’égalité des angles DEF et DKF . 3 En déduire que les triangles DEM et FKM sont sem-blables. https://chingmath.fr chapExoCorrec/569 sacados/569 ABCDEFO chapExoCorrec/555 sacados/555 ABCDE chapExoCorrec/559 sacados/559 ABCMNP chapExoCorrec/566 sacados/566 CDBAMC chapExoCorrec/570 sacados/570
E.560 Soit ABC un triangle isocèle en A . 1 On note I et J les milieux respectifs des segments [ AC ] et [ AB ] . Démontrer que : BI = CI 2 La bissectrice de l’angle ABC coupe [ AC ] en K et la bissectrice de l’angle ACB coupe [ AB ] en L . Démontrer que : BK = CL 3 La hauteur issue de B , coupe [ AC ] en M et la hauteur issue de C , coupe [ AB ] en N . Démontrer que : BM = CN E.563 Soit ABC et AMN deux triangles tels que les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles et tels que : AB = 9 4 ; BC = AM = 3 2 1 Calculer la longueur du seg-ment [ MN ] . 2 Tracer la hauteur issue de A du triangle ABC . Noter H le pied de la hauteur. Noter H le pied de la hauteur du triangle AMN issue de A . Justifier. 2 Avec votre règle, mesurer la longueur AH . Puis, à l’aide du théorème de Thalès, déterminer la longueur AH . 3 Calculer le rapport A ire ( ABC ) A ire ( MNP ) . Démontrer que ce rapport est égal à 9 4 . E.554 Soit C un cercle de centre O et A un point extérieur à C . On mène par A deux demi-droites interceptant chacune le cercle en deux points. Le graphique ci-dessous : 1 Montrer que : ACD = BEA 2 Que pouvez-vous dire des triangles ACD et ABE ? Jus-tifier. 3 a Montrer que : AD × BE = AB × DC b On suppose que : AD = 3 ; 7 cm ; AB = 3 ; 3 cm ; DC = 6 ; 8 cm En déduire la mesure de BE au millimètre près. E.561 Soit ABC un triangle. On construit ex-térieurement au triangle ABC deux triangles rectangles et isocèles en A . 1 Montrer que : FB = CE . 2 On note I et J les milieux respectifs des segments [ FB ] et [ CE ] . Montrer que A est sur la médiatrice du segment [ IJ ] E.4681 On considère un triangle ABC rectangle en B et tel que : ABC = 34 o On note H le pied de la hauteur, dans le triangle ABC , issue du sommet C . 1 Déterminer la mesure de l’angle CAB . 2 Démontrer l’égalité suivante : CBH = ACH https://chingmath.fr sacados/560 sacados/563 ABCMN chapExoCorrec/554 sacados/554 OABCDE chapExoCorrec/561 sacados/561 ABCEF sacados/4681 vient de quatrieme ... a adapter pour la seconde ABCH34o
E.4723 Dans un triangle ABC , on considère un point M , intérieur à ce triangle, réalisant l’égalité suivante : CAM = CBM On note P et Q les projetés orthogonaux du point M respec-tivement sur la droite ( AC ) et sur la droite ( BC ) . On note I , J et K les milieux respectifs des segments [ AB ] , [ AM ] et [ BM ] . 1 a Justifier l’égalité: AJ = JP . b Établir l’égalité: JP = IK . 2 Établir l’égalité: IJ = KQ . 3 a Justifier que le quadrilatère IJMK est un parallélo-gramme. b Montrer que les angles PJI et IKQ sont de mesures égales. 4 En déduire que le triangle IPQ est un triangle isocèle. E.4901 On considère un carré ABCD de sens direct. Le point M est un point de la demi-droite [ BC ) n’appartenant pas au segment [ BC ] . On note N le point d’intersection des droites ( CD ) et ( AM ) , et P le point d’intersection de la droite ( BC ) et de la droite passant par A perpendiculaire à ( AM ) . On définit le point Q comme le milieu du segment [ PN ] . On note I le centre du carré ABCD . 1 a Montrer que les angles DAN et BAP sont de mesures égales. b Démontrer que les triangles ADN et ABP sont isométriques. 2 a Montrer l’égalité suivante : DN = DC . b Démontrer les triangles ABQ et CBQ sont isométriques. 3 En déduire le lieu géométrique du point Q lorsque le point M décrit la demi-droite [ Cx ) . 4. Sangaku E.6398 Voici la représentation d’un san-gaku: Il est composé de deux demi-disques et d’un disque tous tan-gents entre eux. Détermine les mesures IH et OH en fonction de la longueur JI . 5. Lieu géométrique E.4650 Dans le plan, on considère un cercle C de centre O et [ AB ] un diamètre de ce cercle. Le point C est un point du cercle C distincts de A et de B . À tout point M du cercle C , distinct de A et de B , on associe la construction suivante : la droite ( d ) parallèle à la droite ( AC ) passant par le point M ; elle intercepte une seconde fois le cercle C en D . la droite ( d ) parallèle à la droite ( BC ) passant par le point M ; elle intercepte une seconde fois le cercle C en E . on note G le centre de gravité du triangle MDE . Préciser le lieu géométrique du point G lorsque le point M se déplace sur le cercle C . https://chingmath.fr sacados/4723 IJKABCMPQ¸o¸o sacados/4901 A verifier ABCDIxMNPQ chapExoCorrec/6398 sacados/6398 Sangaku OABIJH chapExoCorrec/4650 sacados/4650
E.6032 On considère une équerre dont les deux sommets de son hypoténuse sont situés respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées. Lorsque l’équerre glisse dans ces conditions, quel est le lieu géométrique du sommet de l’angle droit? 6. Cercles et tangentes E.1450 On considère la configuration donnée ci-dessous : 1 À l’aide de l’équerre, vérifier que la droite (Δ) est une tangente du cercle C de centre O . 2 Tracer le cercle C de centre P et tangent à la droite (Δ) . Par quel (s) point (s) passe (ent) de la figure, le cercle C passe-t-il?. E.1094 Soit C un cercle de centre O et A un point situé à l’extérieur du cercle C . On note C le cercle ayant pour diamètre [ OA ] . On note M et N les deux points d’intersection des cercles C et C . 1 Réaliser une figure représentant cette configuration. 2 Que peut-on dire de la droite ( AM ) relativement au cer-cle C ? Justifier votre affirmation. E.1093 On considère la configuration suivante : ˇ Soit ( d ) une droite et H un point de cette droite. C est un cercle tangent à la droite ( d ) ayant pour point de contact le point H .ı Effectuer le tracé d’une telle configuration et indiquer une méthode de construction. E.2936 Dans le plan, on considère le triangle ABC rectangle en B et M un point du segment [ AC ] tel que AMB soit un angle droit ; les point N et P sont les images du point M , respectivement par les symétries d’axes ( BC ) et ( AB ) : 1 a Justifier les égalités suivantes de longueurs : BM = BN = BP b Montrer que : PBN =180 o . c Justifier que le cercle C de diamètre [ NP ] admet la droite ( AC ) comme tangente au point M . 2 a Démontrer que les points B , C , M , N sont cocy-cliques d’un cercle qu’on nommera C . b Donner la position de la droite ( AB ) relativement au cercle C . https://chingmath.fr sacados/6032 chapExoCorrec/1450 sacados/1450 OCABCP chapExoCorrec/1094 sacados/1094 chapExoCorrec/1093 sacados/1093 chapExoCorrec/2936 sacados/2936 ABCMNP
E.1840 On considère un cercle C , un point O et les deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) tangentes au cercle passant par le point O . On considère une droite ( D ) passant par O et comprise entre les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) : on est libre de placer la droite ( D ) à n’importe quel endroit, mais assujetti à ces deux contraintes. Le but de cet exercice est de déterminer l’ensemble décrit par I lorsque la droite ( D ) décrit l’ensemble des droites passant par O et comprise entre ( d 1 ) et ( d 2 ) : 1 a Où se trouve le point I lorsque la droite ( D ) est tel que les points M et N soient diamétralement opposés? b Tracer la droite ( D ) à trois endroits différents ainsi que le point I associé. 2 a Faîtes une conjecture quant à l’ensemble de points décrit par le point I . b Établir cette conjecture. 7. Rappels sur la trigonometrie E.531 On considère le triangle rectangle-isocèle en C ci-contre. On note x la mesure du côté AC . 1 Compléter le tableau : ACB CAB Mesure en degré 2 a À l’aide du théorème de Pythagore, exprimer la mesure du côté [ AB ] en fonction de x . b Dans le triangle rectangle ABC , déterminer le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle CAB . c Compléter le tableau : ¸ cos ¸ sin ¸ tan ¸ 45 o E.537 On considère un triangle ABC rectangle en C . On note : ¸ = CAB ; ˛ = ABC 1 En fonction des mesures des côtés du triangle ABC : a Exprimer les valeurs de cos ¸ et sin ˛ . b Comparer les valeurs de tan ¸ et tan ˛ . 2 Justifier que pour ¸ ∈ 0 ; 90 , on a: cos ¸ = sin ı 2 − ¸ tan ı 2 − ¸ = 1 tan ¸ 3 En exprimant cos ¸ et sin ¸ en fonction des mesures des côtés du triangle ABC et en utilisant le théorème de Pythagore, mettre en évidence la formule suivante : cos ¸ 2 + sin ¸ 2 = 1 8. théorème médiane E.8103 Rappel: dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) : La distance AB est définie par : AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 Notons I le milieu du segment [ AB ] . Le point I a pour coordonnées : I x A + x B 2 ; y A + y B 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on con- sidère les deux points suivants : A ( − 4 ; − 2) ; B ( − 1 ; 2) https://chingmath.fr chapExoCorrec/1840 sacados/1840 OIMN(d1(d2(DCA chapExoCorrec/531 sacados/531 ABCx chapExoCorrec/537 sacados/537 ¸˛ACB chapExoCorrec/8103 sacados/8103
1 Placer les points A et B . Le graphique sera complété au fur et à mesure des questions l’exercice. 2 On note K le milieu du segment [ AB ] . Montrer que le point K a pour coordonnées : K ( − 2 ; 5 ; 0) . 3 On considère le point C de coordonnées ( − 2 ; 5 ; − 2 ; 5) . a Déterminer les longueurs AB et KC . b Que représente le segment [ KC ] pour le triangle ABC ? c En déduire que le triangle ABC est rectangle en C . E.5292 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) : 1 Placer les trois points A , B , C dans le repère ci-dessous : A (3 ; − 3) ; B ( − 4 ; 3) ; C ( − 5 ; − 1) 2 Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [ AB ] . 3 a Déterminer les longueurs AB et MC . b Établir que le triangle ABC est rectangle en C . 4 Soit N un point de l’axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées du point N afin que les vecteurs −−→ BN et −−→ CM soient colinéaires. E.3038 On considère le triangle ABC équilatéral dont les côtés mesurent 6 cm ; on note I , J , K les milieux re-spectifs des milieux [ BC ] , [ AC ] , [ AB ] ; M est le centre de gravité du triangle ABC . 1 Déterminer la longueur du segment [ BJ ] et [ BM ] . 2 Déterminer la valeur des différents produits scalaires suivants : a −→ AC · −−→ AB b −→ AC · −→ IC c −−→ MC · −−→ MA d −−→ CM · −−→ MI 9. Exercices non-classés E.6031 La ville ˇ Promenade ı souhaite emménager un terrain de forme carré traversé par une rivière traversant latéralement le terrain. La figure ci-dessous représente le terrain et la rivière est la partie hachurée : À quelle distance d doit-on placer le pont pour que la distance parcourue par un visiteur soit minimale? https://chingmath.fr IJO chapExoCorrec/5292 sacados/5292 -6-5-4-3-2-1234I-3-2-1234JO chapExoCorrec/3038 sacados/3038 sacados/6031 120m77m8mdEntréeSortie
E.6030 On considère un carré ABCD et un point M appartenant au segment [ AB ] . On construit à l’intérieur du carré: un carré ayant le segment [ AM ] pour côté ; un triangle isocèle admettant le segment [ MB ] pour base principale. On considère le domaine D du plan formé de ces deux figures. Voici trois représentations de cette situation : Déterminer la position du point M pour l’aire du domaine D soit la moitié de celle du carré ABCD . E.6033 Dans la figure ci-contre, est représenté le demi-cercle C de diamètre [ AB ] , les axes ( Ax ) et ( By ) sont perpendiculaires à la droite ( AB ) . M est un point quelconque de la demi-droite [ Ax ) . N est le point d’intersection, autre que B , du demi-cercle C et de la droite ( MB ) . P est le point d’intersection de la droite ( AN ) et de l’axe ( By ) . Que peut-on dire de la fonction f définie par : f : AM −→ BP E.6034 Deux boules se trouvent au fond d’une boite cubique d’arête 15 cm . La grande boule a un rayon 3 fois supérieur à la petite boule. La coupe transversale donnée ci-contre montre qu’elles sont ˇ par-faitement emboitées ı au fond de cette boîte. Déterminer le rayon de chacune de ces boules. E.2958 Dans le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) , on considère la courbe représentative C f de la fonc-tion carrée. 1 Soit M un point de l’axe des abscisses ayant pour ab-scisse x ; N est le point d’abscisse x appartenant à la perpendiculaire à la droite ( JM ) passant par le point O . Le but de cette question est de montrer que le point N appartient à la courbe C f : a Exprimer MQ en fonction de ¸ et x . b Justifier que l’angle JOQ a pour mesure ¸ . c Exprimer QJ en fonction de ¸ . d Justifier l’égalité: tan ¸ = 1 x e Montrer que : MN = x 2 . f Justifier que le point N appartient à la courbe C f 2 Soit A un point de la courbe C f d’abscisse x ; on note B le projeté orthogonal du point A sur l’axe des abscisses. a Justifier que : OJB = AOB b En déduire que BCO est un angle droit. E.4616 Le plan est muni d’un repère O ; I ; J quelconque représenté ci-dessous. On considère les quatre points A , B , C et D : 1 Donner les coordonnées des points A , B , C et D dans le repère O ; I ; J . 2 Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. https://chingmath.fr sacados/6030 ABCDMABCDMABCDM sacados/6033 xyCABMNP4cm sacados/6034 sacados/2958 A verifier OIJMNCfAB¸ chapExoCorrec/4616 sacados/4616 OIJABCD
E.921 Le plan est muni d’un repère or-thonormé ( O ; I ; J ) . L’unité de longueur est le centimètre. 1 a Placer le point A (5 ; 3) . b Déterminer la distance IA . 2 On considère le cercle C de centre I et de rayon 5 et le point B − 1 ; 21 . a Démontrer que les points A et B appartiennent au cer-cle C . b Tracer le cercle C et placer le point B . 3 a Placer le point C , image du point A par la symétrie de centre I . b Établir, sans aucun calcul, que le triangle ABC est rectangle en B . 4 a Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD soit un rectangle b Déterminer par le calcul les coordonnées du point D . E.4526 On considère les trois repères ci-dessous : O ; I ; J : P ; K ; L : Q ; M ; N : 1 Donner le nom de chacun de ces repères. 2 On considère les point A , B et C de coordonnées : A (3 ; − 1) ; B (0 ; − 2) ; C (2 ; 2) a Placer les points A , B et C dans chacun des repères. b Vérifier, à l’aide de l’équerre, que le triangle ABC est rectangle en A dans le repère O ; I ; J . c Quelle est la nature du triangle ABC dans les deux autres repères? E.8292 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et les trois points A , B , C représentés ci-dessous : 1 Donner les coordonnées des points A , B , C . 2 a Placer le point D afin que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. b Donner les coordonnées du point D . 3 a Placer le point E afin que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme. b Donner les coordonnées du point E . https://chingmath.fr chapExoCorrec/921 sacados/921 chapExoCorrec/4526 sacados/4526 -4-3-2-1234I-2-12JO -4-3-2-1234K-4-224LP -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1M2345678910-5-4-3-2-1QN2345 chapExoCorrec/8292 sacados/8292 -4-3-2-1234I-2-123JOABC