Hors programme lycée / Géométrie complexe 24 exercices corrigés

a
1. Configuration du plan E.3811 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v ; (unité graphique: 2 cm ) . 1 Montrer que les points A d’affixe 1+i · 3 et B d’affixe 1 − i · 3 sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. Tracer ce cercle puis construire les points A et B . 2 On note O l’image du point O par la rotation r 1 de cen-tre A et d’angle − ı 2 et B l’image du point B par la rotation r 2 de centre A et d’angle + ı 2 . Calculer les affixes des points O et B et construire ces points. E.3840 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v d’unité graphique 1 cm . Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. 1 Placer les points A , B et C d’affixes respectives : z A = − 11 + 4 · i ; z B = − 3 − 4 · i ; z C = 5 + 4 · i 2 Calculer le module et un argument du quotient z A − z B z C − z B et en déduire la nature du triangle ABC . 3 Soit E l’image du point C par la rotation R de centre B et d’angle ı 4 . Montrer que l’affixe de E vérifie: z E = − 3 + 8 2 − 4 · i . Placer le point E . 4 Soit D l’image du point E par l’homothétie H de centre B et de rapport 2 2 . Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au tri-angle ABC . Placer le point D . E.3842 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v d’unité graphique 2 cm . On considère les points A et B d’affixes respectives : z A = 1 + i · √ 3 ; z B = 2 · i 1 a Écrire z A et z B sous forme exponentielle. b Placer les points A et B sur une figure que l’on com-plètera au cours de l’exercice. c Déterminer la nature du triangle OAB . 2 On note r la rotation de centre O qui transforme A en B . Pour tout point M d’affixe z , on note M l’image de M par r et z l’affixe du point M . a Calculer un argument du quotient z B z A . Interpréter géométriquement ce résultat. b En déduire l’écriture complexe de rotation r . 3 Soient Γ le cercle de centre A passant par O et Γ le cer-cle de centre B passant par O . Soit C le deuxième point d’intersection de Γ et Γ (autre que O ) . On note z C son affixe. a Justifier que le cercle Γ est l’image du cercle Γ par la rotation r . b Calculer l’affixe z I du milieu I de [ AB ] . c Déterminer la nature du quadrilatère OACB . d En déduire que I est le milieu de [ OC ] puis montrer que l’affixe de C est : z C = 1 + 2 + √ 3 · i 4 Soit D le point d’affixe z D =2 · i · √ 3 . a Justifier que le point D appartient au cercle Γ . Placer D sur la figure. b Placer D image de D par la rotation r définie à la question 2 . On note z D l’affixe de D . Montrer que : z D = − 3 + 3 · i . 5 Montrer que les vecteurs −−→ DC et −−→ DD sont colinéaires. Que peut-on en déduire? E.3819 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v ; i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument ı 2 Soient les points A , B et C d’affixes respectives : i ; 1 + i ; − 1 + i . Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A , d’affixe z , associe le point M du plan d’affixe z tel que : z = i · z + 2 z − i 1 a Déterminer les images de B et de C par l’application f . b Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i , on a la relation: ( z − i)( z − i) = 1 c Soit D le point d’affixe 1+2 · i . Placer les points A , B , C et D sur une figure (unité graphique 4 cm ) . Déduire de la question précédente une construction du point D image du point D par l’application f . 2 Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ? 2. Transformations du plan E.3820 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé. 1 Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe: https://chingmath.fr chapExoCorrec/3811 sacados/3811 Extrait Pondichery Avril 2004 chapExoCorrec/3840 sacados/3840 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2009 chapExoCorrec/3842 sacados/3842 chapExoCorrec/3819 sacados/3819 Extrait La Reunion Juin 2004 sacados/3820
2 4 · − 1 + i 2 On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z telle que : z = 2 4 · − 1 + i · z Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . E.3821 Le plan complexe est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe : z A = 3 + 2 · i 1 Montrer que le point A appartient au cercle Γ de centre le point I et de rayon 2 . Sur une figure (unité graphique 1 cm ) qu’on complètera au fur et à mesure de l’exercice, placer le point I , tracer le cercle Γ , puis construire le point A . 2 On considère la rotation r de centre le point I et d’angle ı 2 . Démontrer que le point B , image du point A par la rota-tion r , a pour affixe : z B = − 1 + i · 3 + 1 Justifier que le point B appartient au cercle Γ . 3 Calculer l’affixe du point C image du point A par la symétrie de centre I . 4 Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. E.3132 Les parties A et B sont in-dépendantes On considère l’équation ( E ) : z 3 − (4+i) z 2 +(7+i) z − 4 = 0 où z désigne un nombre complexe. Partie A 1 a Montrer que ( E ) admet une solution réelle, noté z 1 . b Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z , on ait: z 3 − (4+i) · z 2 +(7+i) · z − 4 = z − z 1 · z − 2 − 2i · az + b 2 Résoudre ( E ) . Partie B Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , on considère les trois points A , B et C d’affixes respectives 1 , 2+2i et 1 − i . 1 Représenter A , B et C . 2 Déterminer le module et un argument de 2+2 i 1 − i . En dé-duire la nature du triangle OBC . 3 Que représente la droite ( OA ) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation. 4 Soit D l’image de O par la rotation d’angle − ı 2 et de centre C . Déterminer l’affixe de D . 5 Quelle est la nature de OCDB ? E.3120 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm ) . 1 a Résoudre l’équation: ( E ): z 2 − 2 3 · z +4=0 b On considère les nombres complexes : z 1 = 3 + i ; z 2 = 3 − i Et on désigne par M et N les points d’affixes respec-tives z 1 et z 2 . Déterminer le module et l’argument de z 1 et z 2 ; placer M et N sur la figure. c Déterminer les affixes des points Q et P images re-spectives de M et N par la translation de vecteur −→ w = − 2 · −→ u . Placer P et Q sur la figure. Montrer que MNPQ est un carré. 2 Soit R l’image de P par la symétrie de centre O , E l’image de P par la rotation de centre O et d’angle ı 2 , S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rapport 3 . Placer ces points sur la figure. Calculer les affixes de R et de S . Montrer que S appar-tient au segment [ MN ] . 3 On pose : a =2 − 3 : a Montrer que : 1+ a 2 =4 a ; 1 − a 2 =2 a 3 b Exprimer les affixes Z de −→ PR et Z de −→ PS en fonction de a . c Montrer que : ⏐ ⏐ Z ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ Z ⏐ ⏐ ; Z Z = e i π 3 d Déduire des questions précédentes la nature du trian-gle PRS E.3136 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On pose : a =3 ; b =5 − 2 · i ; c =5+2 · i On désigne par A , B et C les points d’affixes respectives a , b et c . Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B . a Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. b Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre complexe z − 3 z − 5+2 · i . c Déterminer alors l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 3 z − 5+2 · i soit un nombre réel strictement né-gatif. 2 Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC et Ω le point d’affixe 2 − i . a Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre Ω et d’angle − ı 2 . b Déterminer l’image Γ de Γ par la rotation r . Déter-miner une équation paramétrique de Γ . https://chingmath.fr sacados/3821 Extrait de France Septembre 2010 chapExoCorrec/3132 sacados/3132 chapExoCorrec/3120 sacados/3120 Antilles-Guyane Septembre 1998 5 points chapExoCorrec/3136 sacados/3136
E.3182 1 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v , on considère les points : A d’affixe a où a ∈ R ; B d’affixe b +i où b ∈ R ; C image de B par la rotation de centre A et d’angle ı 3 a Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe O ; −→ v . b Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a . 2 Dans cette question, on pose a = 3 et b =0 . On con-sidère les points C d’affixe c = − i et D d’affixe d = 2+ 3 − 2i √ 3 a Quelle est la nature du triangle ABC ? b Calculer le quotient d − a c − a ; que peut-on déduire pour le triangle ACD ? c Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d’angle ı 3 . d Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur −→ AC . e Déterminer la nature du triangle BEF . E.3202 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . L’unité graphique est 2 cm . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument + ı 2 . On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. 1 Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z − 4 z =i . Écrire la solution sous forme al-gébrique. 2 Résoudre dans C l’équation z 2 − 2 z +4=0 . Écrire les so-lutions sous forme exponentielle. 3 Soient A , B , A et D les points du plan complexe d’affixes respectives : a = 2 ; b = 4 ; a = 2i ; d = 2 + 2i Quelle est la nature du triangle ODB ? 4 Soient E et F les points d’affixes respectives : e = 1 − i 3 ; f = 1 + i 3 Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ? 5 Soit C le cercle de centre A et de rayon 2 . Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit r la rotation de centre O et d’angle + ı 2 . a On désigne par E l’image par la rotation r du point E . Calculer l’affixe e du point E . b Démontrer que le point E est un point du cercle C . c Vérifier que : e − d = 3+2 e − d . En déduire que les points E , E et D sont alignés. 6 Soit D l’image du point D par la rotation r . Démontrer que le triangle EE D est rectangle. E.3855 Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démon-trée ne rapporte aucun point. Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v or-thonormé direct. 1 Soit z un nombre complexe d’argument ı 3 . Proposition 1: ˇ z 100 est un nombre réelı. 2 Soit ( E ) l’ensemble des points M d’affixe z différente de 1 du plan telle que : ⏐ ⏐ ⏐ z 1 − z ⏐ ⏐ ⏐ = 1 . Proposition 2: ˇl’ensemble ( E ) est une droite parallèle à l’axe des réelsı. 3 Soit r la rotation d’angle − ı 2 et dont le centre K a pour affixe 1+i · 3 . Proposition 3: ˇl’image du point O par la rotation r a pour affixe 1 − 3 +i · 1+ 3 ı 4 On considère l’équation ( E ) suivante : z 2 + 2 · ı 5 · z + 1 = 0 Proposition 4: ˇL’équation ( E ) a deux solutions com-plexes de modules égaux à 1 .ı 3. Annales sur les configurations du plan E.4074 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v ; l’unité graphique est 1 cm . 1 Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation: z 2 + 4 · z + 8 = 0 On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. 2 On note A et B les points du plan d’affixes respectives : a = 2 − 2 · i ; b = − a Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice. a Déterminer l’affixe c du point C , image du point B par la rotation de centre O et d’angle ı 2 . b On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle ı 2 ; démontrer que l’affixe d du point D est : d = 2 − 6 · i c Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 3 ¸ étant un nombre réel non nul, on désigne par G α , le barycentre du système : ( A ; 1) ; ( B ; − 1) ; ( C ; ¸ ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3182 sacados/3182 Antilles-Guyane Juin 2006 5 points chapExoCorrec/3202 sacados/3202 chapExoCorrec/3855 sacados/3855 Extrait Liban Juin 2008 chapExoCorrec/4074 sacados/4074
a Exprimer le vecteur −−−→ CG α en fonction du vecteur −−→ BA . b En déduire l’ensemble des points G α lorsque ¸ décrit l’ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble. c Pour quelle valeur de ¸ a-t-on : G α = D ? 4 On suppose dans cette question que ¸ =2 . Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : −−→ MA − −−→ MB + 2 · −−→ MC = 4 · 2 E.3903 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v d’unité graphique 2 cm . On considère les points A , B et C d’affixes respectives : z A = − 2 · i ; z B = − 3 + i ; z C = 3 + i 1 Écrire z A , z B et z C sous forme exponentielle. 2 En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A , B et C . 3 Faire une figure et placer le point A , tracer le cercle Γ puis placer les points B et C . 4 a Écrire le quotient z B − z A z C − z A sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. b En déduire la nature du triangle ABC . 5 On note r la rotation de centre A et d’angle mesurant ı 3 radians. a Montrer que le point O , image de O par r , a pour affixe − 3 − i . b Démontrer que les points C et O sont diamétralement opposés sur le cercle Γ . c Tracer l’image Γ du cercle Γ par la rotation r . d Justifier que les cercles Γ et Γ se coupent en A et B . 6 a Déterminer l’ensemble ( E ) des points M d’affixe z tels que : | z | = ⏐ ⏐ z + 3 + i | b Montrer que les points A et B appartiennent à ( E ) . E.3217 Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct, on considère ABC un triangle di-rect sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA , ACB et ABC . On considère respec-tivement les points P , Q et R centres de gravités respectifs des triangles BCA , ACB et ABC : On note a , b , c , a , b , c , p , q et r les affixes respectives des points A , B , C , A , B , C , P , Q et R . 1 a Traduire, avec les affixes des points concernés, que C est l’image de A par une rotation dont on précisera la mesure de l’angle et le centre. b Montrer que : a + b + c = a + b + c . 2 En déduire que : p + q + r = a + b + c . 3 En déduire que les triangles ABC , A B C et PQR ont le même centre de gravité. 4 Montrer que : 3( q − p ) = ( b − c ) + ( c − a ) + ( a − b ) . On admettra que, de même : 3( r − p ) = ( a − c ) + ( b − a ) + ( c − b ) . 5 Justifier les égalités suivantes : a − c =e i π 3 ( b − c ) ; b − a =e i π 3 ( c − a ) ; c − b =e i π 3 ( a − b ) 6 Déduire des questions 4 et 5 que le triangle PQR est équilatéral. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3903 sacados/3903 chapExoCorrec/3217 sacados/3217 Antilles-Guyane Septembre 2004 5 points ABCA’B’C’PQR
E.3822 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct (unité 1 cm ) . On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. On considère les points A , B , S et Ω d’affixes respectives : a = − 2 + 4i ; b = − 4 + 2i s = − 5 + 5i ; w = − 2 + 2i Soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3 . On appelle C l’image du point A par h et D l’image du point B par h ? 1 a Déterminer l’écriture complexe de h . b Démontrer que le point C a pour affixe c =4+2 i et que le point D q pour affixe d = − 2 − 4 i . 2 Démontrer que les points A , B , C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 3 Démontrer que la droite ( S Ω) est la médiatrice du seg-ment [ AB ] . 4 Soit P le milieu du segment [ AC ] . a Déterminer l’affixe p du point P . b Démontrer que ! − p d − b = − 1 2 · i . En déduire une mesure de l’angle −−→ BD ; −→ P Ω . 5 Soit Q le milieu du segment [ BD ] . Que représente le point Ω pour le triangle PQS ? 4. Annales sur les transformations du plan E.3175 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité graphique 2 cm ) , on considère les points A , B et C d’affixes respectives : z A = 2 ; z B = 1 + i 3 ; z C = 1 − i 3 Partie A. 1 a Donner la forme exponentielle de z B puis de z C . b Placer les points A , B et C . 2 Déterminer la nature du quadrilatère OBAC . 3 Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que : | z | = | z − 2 | Partie B. À tout point M d’affixe z tel que z = z A , on associe le point M d’affixe z défini par : z = − 4 z − 2 1 a Résoudre dans C l’équation: z = − 4 z − 2 . b En déduire les points associés aux points B et C . c Déterminer et placer le point G associé au centre de gravité G du triangle OAB . 2 a Question de cours : Prérequis : le module d’un nombre complexe z quel-conque, noté | z | , vérifie | z | 2 = z · z où z est le conjugué de z . Démontrer que : pour tous nombres complexes z 1 et z 2 : ⏐ ⏐ z 1 × z 2 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ z 1 ⏐ ⏐ × ⏐ ⏐ z 2 ⏐ ⏐ . pour tout nombre complexe z non nul : ⏐ ⏐ ⏐ 1 z ⏐ ⏐ ⏐ = 1 | z | b Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2 : ⏐ ⏐ z − 2 ⏐ ⏐ = 2 | z | | z − 2 | c On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D , où D est l’ensemble défini à la ques-tion 3 de la partie A . Démontrer que le point M associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ . E.3156 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité graphique: 1 cm ) . Partie A Dans le repère O ; −→ u ; −→ v , on considère la courbe H d’équation : y 2 − x 2 =16 . 1 Montrer que H est la réunion de deux courbes C et C où C est la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f ( x )= x 2 +16 et où C est l’image de C par une transformation simple que l’on précisera. 2 a Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation) . b Montrer que la droite d’équation y = x est une asymp-tote de C . c Tracer H dans le repère O ; −→ u ; −→ v . On nomme A et B les points de la courbe d’abscisses respectives − 3 et 3 . On considère le domaine D du plan constitué des points M ( x ; y ) vérifiant : − 3 x 3 ; x 2 + 16 y 5 Hachurer le domaine D et exprimer l’aire de D à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer. Partie B On appelle r la rotation de centre O et d’angle − ı 4 . 1 a Donner l’écriture complexe de r . b On désigne par x et y les coordonnées du point M , image du point M ( x ; y ) du plan. Vérifier que : x = 1 2 · ( x + y ) y = 1 2 · ( − x + y ) Déterminer les coordonnées des points A et B , im-ages respectives de A et B par la rotation r . Placer les points A et B dans le repère O ; −→ u ; −→ v . 2 Soit H l’hyperbole d’équation : x · y = 8 . https://chingmath.fr sacados/3822 chapExoCorrec/3175 sacados/3175 chapExoCorrec/3156 sacados/3156
a Tracer H dans le repère O ; −→ u ; −→ v . b Montrer que H est l’image de H par la rotation r . 3 Soit D l’image de D par la rotation r . On admet que D est l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan vérifiant : 2 x 4 · 2 ; 8 x y 5 · 2 − x . a Hachurer D . b Calculer l’aire de D , exprimée en cm 2 . En déduire l’aire de D arrondie à 10 − 3 près. 5. Autes annales E.3901 Le plan est muni d’un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v . Soit A , B et P les points d’affixes respectives : a = 5 + 5 · i ; b = 5 − 5 · i ; p = 10 On considère un point M , distinct de O , d’affixe z . On note U le point d’affixe u , image du point M par la rota-tion R A de centre A et d’angle de mesure − ı 2 . On note T le point d’affixe t , image du point M par la rota-tion R B de centre B et d’angle de mesure ı 2 . Soit D l’image du point M par la symétrie de centre O . 1 Démontrer que l’affixe du point U est u =i(10 − z ) ; ex-primer en fonction de z l’affixe du point T puis justifier que le quadrilatère MUDT est un parallélogramme de centre O . 2 Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z tels que : z · z − 5 · z − 5 · z = 0 Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans Γ . 3 On suppose que le point M est distinct de O , A et P . Les points O , M et U sont donc distincts deux à deux. a Démontrer que les points O , M et U sont alignés si, et seulement si,: u z = u z b Démontrer que les points O , M et U sont alignés si, et seulement si, M appartient à Γ . 4 Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que OMU soit un triangle isocèle en O . Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère MUDT ? 5 Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que u z soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadri-latère MUDT dans le cas où M est un point de la droite ( OP ) privée de O et P . Prouver finalement qu’il existe une unique position du point M tel que MUDT soit un carré. 6. Exercices non-classés E.4236 Le plan complexe est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe z A = √ 3+2 · i 1 Montrer que le point A appartient au cercle Γ de centre le point I et de rayon 2 . 2 On considère la rotation r de centre le point I et d’angle ı 2 . Démontrer que le point B image du point A par la rota-tion r a pour affixe : z B = − 1 + i · 3 + 1 Justifier que le point B appartient au cercle Γ . 3 Calculer l’affixe du point C , image du point A par la symétrie centrale du point I . 4 Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. E.4248 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i ; b = 1 + i On note : r A la rotation de centre A et d’angle ı 2 ; r B la rotation de centre B et d’angle ı 2 ; r O la rotation de centre O et d’angle − ı 2 . On considère : le point C d’affixe c =3 · i ; le point D image de C par r A ; le point G image de D par r B ; le point H image de C par r 0 . On note d , g et h les affixes respectives des points D , G et H . 1 Démontrer que d = − 2+i . 2 Déterminer g et h . 3 Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3901 sacados/3901 sacados/4236 sacados/4248 Extrait Amerique du Nord Mai 2011
E.3859 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé. Soit ( C ) le cercle de centre O et de rayon 1 . On considère le point A de ( C ) d’affixe : z A = e i · π 3 1 Déterminer l’affixe z B du point B image de A par la rotation de centre O et d’angle 2 ı 3 . Déterminer l’affixe z C du point C image de B par la rotation de centre O et d’angle 2 ı 3 . 2 a Justifier que ( C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC . Construire les points A , B et C sur la feuille de papier millimétré. b Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. 3 Soit h l’homothétie de centre O et de rapport − 2 . a Compléter la figure en plaçant les points P , Q et R images respectives des points A , B et C par h . b Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier. 4 Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas . a Donner l’écriture complexe de h . b Calculer z A + z B + z C . En déduire que A est le milieu du segment [ QR ] . c Que peut-on dire de la droite ( QR ) par rapport au cercle ( C ) ? E.3968 Partie 1: Restitution organ-isée de connaissances Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v or-thonormé direct. Prérequis: On rappelle que l’écriture complexe d’une simil-itude directe du plan est de la forme z = ¸ · z + ˛ , où ¸ est un nombre complexe non-nul et ˛ est un nombre complexe. Soient A , B , C , D quatre points du plan ; on suppose d’une part que les points A et C sont distincts et d’autre part que les points B et D sont distincts. Démontrer qu’il existe une unique similitude directe telle que : s ( A ) = B ; s ( C ) = D Partie 2: Le plan complexe est rapporté au repère A ; −−→ AB ; −−→ AD or-thonormé direct tel que : −−→ AB ; −−→ AD = ı 2 [2 · ı ] On considère le point C tel que ABCD est un carré. Soit E le milieu du segment [ AD ] , on considère le carré EDGF tel que : −−→ ED ; −−→ EF = ı 2 [2 · ı ] . 1 a Faire une figure en plaçant les points A , B , C , D , E , F , G . On complètera la figure au cours de l’exercice. b Préciser les nombres complexes a , b , c , d , e , f , g , affixes respectives des points A , B , C , D , E , F et G . c Montrer qu’il existe une unique similitude directe s du plan telle que : s ( D ) = F ; s ( B ) = D 2 On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s . a Déterminer le rapport k et l’angle „ de la similitude directe s . b Donner l’écriture complexe de cette similitude. c Déterminer le centre Ω de la similitude directe s . E.3128 Le plan est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct (unité graphique 2 cm ) . On complétera la figure au fur et à mesure de l’exercice . Soit I le point d’affixe 2i . On nomme f la transformation qui, à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z tel que z =i · z . 1 a Préciser la nature de f ainsi que ses éléments carac-téristiques. b Déterminer l’affixe du point A , image par f du point A d’affixe 1+ 2+i . c Montrer que les points A , I et A sont alignés. 2 a Montrer que l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que M , I et M sont alignés, est le cercle de cen-tre Ω d’affixe 1+i et de rayon 2 . b Vérifier que le point A appartient à (Γ) . c Déterminer l’ensemble (Γ ) décrit par le point M lorsque le point M décrit (Γ) . 3 Soit B le point d’affixe 2+2i et B l’image de B par f . a Démontrer que les droites ( AB ) et ( A B ) sont perpen-diculaires. b Soit C le point d’intersection des droites ( AB ) et ( A B ) . Déterminer la nature du quadrilatère OACA . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3859 sacados/3859 chapExoCorrec/3968 sacados/3968 chapExoCorrec/3128 sacados/3128