Hors programme lycée / Géométrie espace 25 exercices corrigés

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1. Perspectives cavalières E.575 Voici les règles pour représenter un solide en perspective cavalière: Les figures vues de face restent inchangées. Des droites parallèles sont représentées par des droites parallèles. L’alignement des points est conservé. Le rapport de longueur est conservé : en particulier un milieu reste un milieu. Les parties cachées sont représentées en pointillés. Voici des représentations incomplètes d’un cube en perspec-tive cavalière. Tracer les lignes manquantes en respectant la perspective cavalière. a b c d E.3116 On considère la pyramide à base rectan-gulaire ABCDE représentée ci-dessous en perspective caval-ière: 1 a Placer sur la figure le centre du rectangle ABCD . b Quelle propriété a été utilisée de la perspective caval-ière pour placer le point O ? 2 a Placer le centre de gravité G du triangle EBC . b Quelles propriétés de la perspective cavalière ont été utilisées pour tracer ce centre de gravité? E.4947 On considère un quart de cercle AC d’un cercle de centrer B représenté dans le plan (Fig. 1) et dans l’espace (Fig. 2) : On n’utilisera, dans cet exercice, que la règle non-graduée et le compas. 1 Dans la figure 1 : a Placer les milieux des segments [ BA ] et [ BC ] . Justifier votre construction. b Placer le milieu de l’arc AC . Justifier votre construc-tion. 2 Dans la figure 2 : a Placer les milieux des segments [ BA ] et [ BC ] . b Peut-on placer le milieu de l’arc AC ? E.4941 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. 1 Déterminer la mesure de l’angle FGB . 2 a Donner la nature du triangle BEG . Justifier votre réponse. b Donner la mesure de l’angle EBG . https://chingmath.fr chapExoCorrec/575 sacados/575 chapExoCorrec/3116 sacados/3116 ABCDE chapExoCorrec/4947 sacados/4947 ABCFig1ABCFig2 chapExoCorrec/4941 sacados/4941 ABCDEFGH
E.4943 Dans l’espace, on considère le tétraèdre régulier ABCD de côté 5 cm : toutes ces faces sont des trian-gles équilatéraux et le pied de la hauteur issue d’un sommet est le centre de la face opposée de ce sommet. 1 Dans le triangle ABC : a Dessiner la hauteur issue du sommet C . On notera I le pied de cette hauteur. Justifier votre construction. b Placer le point G centre de gravité du triangle ABC . Justifier. On admet que toutes les hauteurs d’un triangle équilatéral de côté a ont pour mesure a 3 2 : 2 Donner la mesure du segment [ CI ] . 3 a Donner la mesure du segment [ CG ] . Justifier votre réponse. b Déterminer la mesure du segment [ DG ] . 4 Déterminer le volume du tétraèdre régulier ABCD . 2. Intersections d’objets dans l’espace E.2770 Soit ABCDEFGH un cube. On con-sidère une source lumineuse M placée au-dessus du cube tel que : −−→ DH = −−→ HM Dessiner l’ombre créée par cette source lumineuse autour du cube. E.577 Dans l’espace, on considère le tétraèdre ABCD . On note M , N , P des points appartenant respective-ment aux arêtes [ DA ] , [ DC ] , [ DB ] : Tracer l’intersection du plan ( ABC ) et du plan ( MNP ) . 3. Utilisation des théorèmes E.4945 On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH représenté ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4943 sacados/4943 ABCD chapExoCorrec/2770 sacados/2770 MABCDEFGH chapExoCorrec/577 sacados/577 ABCDMNP chapExoCorrec/4945 sacados/4945
Le point I est le milieu du segment [ AE ] . Les milieux des différentes arêtes sont représentés sur la figure. Représenter la section du plan ( DIF ) et du parallélépipède. Justifier votre construction. E.4944 On considère la pyramide ABCDEFS de sommet S dont la base est un hexagone régulier. On note M un point du seg-ment [ SF ] . Tracer le plan section de la pyramide avec le plan ( P ) parallèle à son plan de base passant par le point M . E.582 Dans l’espace, on considère le tétraè-dre régulier ABCD : toutes ces faces sont des triangles équilatéraux. 1 a Dessiner la hauteur du triangle ABC issue du som-met C . b Dessiner la hauteur du triangle ABD issue du sommet D . 2 Démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont orthogo-nales. E.589 Dans l’espace, on considère le tétraèdre ABCD ; I et J sont les milieux respectifs des arêtes [ AD ] et [ BD ] . [ AD ] (resp. [ BD ] ) . 1 Montrer que la droite ( IJ ) est parallèle à la droite ( AB ) . Tracer le segment [ IJ ] . 2 En vous aidant d’un raisonnement similaire, tracer le point K milieu du segment [ CD ] . 3 Montrer que les deux plans ( IJK ) et ( ABC ) sont paral-lèles? E.4946 On considère la pyramide ABCDE de sommet E dont la base est un trapèze avec ( BC ) == ( AD ) . Soit M un point du segment [ BE ] . Tracer la section de la pyramide par le plan ( ADM ) . Justifier votre construction. 4. Problèmes E.578 Dans l’espace, on considère la pyramide ABCDE à base carrée; on note I et J les milieux respectifs des segments [ BC ] et [ CE ] ; M est un point de l’arête [ AB ] : https://chingmath.fr ABCDEFGHI chapExoCorrec/4944 sacados/4944 SABCDEFM chapExoCorrec/582 sacados/582 ABCD chapExoCorrec/589 sacados/589 ABCDIJ chapExoCorrec/4946 sacados/4946 ABCDEM chapExoCorrec/578 sacados/578 IJMABCDE
1 Montrer que ( EB ) est parallèle au plan ( IJM ) . 2 En déduire le tracé de l’intersection des plans ( ABE ) et ( IJM ) . On note N le point d’intersection du plan ( IJM ) avec le seg-ment [ AE ] . 3 a Justifier que les droites ( AD ) et ( IM ) sont sécantes. b Placer le point T intersection des droites ( AD ) et ( MI ) . c En déduire la position du point P intersection de la droite ( DE ) par le plan ( IJM ) . 4 Tracer la section du plan sur la pyramide. 5 Retrouver le point P d’une autre manière 5. Repérage dans la sphère E.6999 Ci-dessous sont représentés les méridiens et les parallèles du globe-terrestre : Déterminer les coordonnées géodésiques des points A , B et C . E.7000 Ci-dessous est représenté le globe ter-restre muni de son repère géodésique (méridiens et paral- lèles) : 1 Déterminer les coordonnées géodésiques des points A et B . 2 En prenant 6 370 km pour le rayon de la terre, déter-miner la distance à vol d’oiseau séparant les points A et B arrondie au kilomètre près. 6. Sections de solides E.6961 Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ j . Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SEF et SFG . Les plans ( SOA ) et ( SOC ) sont perpendiculaires. Les plans ( SOC ) et ( EAB ) sont parallèles, de même que les plans ( SOA ) et ( GCB ) . Les arêtes [ UV ] et [ EF ] des toits sont parallèles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6999 sacados/6999 N-80-60-40-200204060-120-100-40-20020406080ABC chapExoCorrec/7000 sacados/7000 N-80-60-40-200204060-120-100-40-20020406080AB chapExoCorrec/6961 sacados/6961 ABCEFGKMNPUSVO−i−j−k
Sans calcul, justifier que : 1 le segment [ KM ] est parallèle au segment [ UV ] ; 2 le segment [ NP ] est parallèle au segment [ UK ] . 7. Tracés de sections de solides E.6814 On considère un cube ABCDEFGH donné ci-dessous. On note M le milieu du segment [ EH ] , N celui de [ FC ] et P le point tel que : −−→ HP = 1 4 · −−→ HG 1 Justifier que les droites ( MP ) et ( FG ) sont sécantes en un point L . Construire le point L . 2 On admet que les droites ( LN ) et ( CG ) sont sécantes et on note T leur point d’intersection. On admet que les droites ( LN ) et ( BF ) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection. a Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. b Construire l’intersection des plans ( MNP ) et ( ABF ) . 3 En déduire une construction de la section du cube par le plan ( MNP ) . E.6819 On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base com-mune le carré ABCD de centre I . Une représentation en per-spective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur 1 . On nomme M le milieu du segment [ DF ] et N celui du seg-ment [ AB ] . 1 Démontrer que les plans ( FDC ) et ( ABE ) sont paral-lèles. 2 Déterminer l’intersection des plans ( EMN ) et ( FDC ) . 3 Construire la section du solide ADECBF par le plan ( EMN ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6814 sacados/6814 ABCDEFGHMNP chapExoCorrec/6819 sacados/6819 Extrait Liban 2016 ABCDEFI
E.2772 On considère le tétraèdre ABCD présenté ci-dessous : Les points M , N , P appartiennent respectivement aux plans ( ABC ) , ( ACD ) , ( ABD ) . Partie A : Tracer de l’intersection de ( MNP ) et ( BCD ) . 1 a Tracer la droite ( d ) intersection des plans ( AMP ) et ( BCD ) . Justifier votre construction. Nommer M et P les points d’intersection de la droite ( d ) respectivement avec les droites ( BC ) et ( BD ) . b Sans justification, nommer X le point d’intersection des droites ( MP ) et ( d ) . 2 a Sans justification, tracer la droite ( d ) intersection des plans ( APN ) et ( BCD ) . Nommer N le point d’intersection des droites ( d ) et ( CD ) . b Justifier que les droites ( NP ) et ( d ) sont sécantes. Nommer Y le point d’intersection des droites ( NP ) et ( d ) . 3 Justifier que la droite ( XY ) est la droite d’intersection des plans ( MNP ) et ( BCD ) . Tracer la droite ( XY ) . Partie B: Tracer de la section du tétraèdre. 4 a Placer le point M  intersection de la droite ( BC ) avec la droite ( XY ) . b Justifier que la droite ( MM  ) est la droite d’intersection des plans ( ABC ) et ( MNP ) . Tracer la droite ( MM ) . c Placer le point N  intersection de la droite ( CD ) et de la droite ( XY ) . On admet que la droite ( NN  ) est la droite d’intersection des plans ( ACD ) et ( MNP ) . 5 Tracer la section du plan ( MNP ) avec le tétraèdre. E.2769 On considère le cube ABCDEDFGH et les trois points I , J , N appartenant respectivement aux arêtes [ EH ] , [ HG ] , [ AE ] ; on appelle ( P ) le plan ( IJN ) : 1 a Tracer le plan ( P ) passant par J et parallèle au plan ( EHD ) . b Tracer la droite (Δ) d’intersection des plans ( P ) et ( P ) . c Placer le point N intersection de la droite (Δ) avec le plan ( EFB ) . d En déduire la position du point M , intersection du plan ( P ) avec la droite ( AB ) . 2 Placer le point L , intersection de la droite ( BC ) avec le plan ( P ) . 3 Placer le point K , intersection de la droite ( CG ) avec le plan ( P ) . 4 Tracer la section du plan P avec le cube. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2772 sacados/2772 ABCDMNP chapExoCorrec/2769 sacados/2769 ABCDEFGHIJN
E.2765 On considère la pyramide ABCDE à base carrée représentée ci-dessous. Les points I , J , K sont les milieux respectifs des arêtes [ CE ] , [ BC ] , [ AB ] : 1 a Justifier que les droites ( BE ) et ( IJ ) sont parallèles. b Préciser la position de la droite ( d ) d’intersection des plans ( ABE ) et ( IJK ) . Puis, effectuer le tracé de la droite ( d ) . On note L le point d’intersection des droites ( d ) et ( AE ) . On remarquera que le point L appartient au plan ( IJK ) . 2 Dans cette question, nous allons étudier l’intersection du plan ( IJK ) avec l’arête [ ED ] : a Déterminer l’emplacement du point T , intersection du plan ( IJK ) avec la droite ( AD ) . b Justifier que la droite ( LT ) appartient au plan ( ADE ) . c En déduire la position du point M , intersection du plan ( IJK ) avec l’arête [ ED ] . 3 Représenter la section de la pyramide ABCDE avec le plan ( IJK ) . E.2794 On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous et les points I , J milieux respectifs des arêtes [ AD ] et [ DC ] : 1 a Déterminer la position sur la figure du point M in-tersection de la droite ( AB ) avec le plan ( IJF ) . b Déterminer la position sur la figure du point P inter-section de la droite ( AE ) avec le plan ( IJF ) . 2 a Déterminer le point N , intersection de la droite ( BC ) avec le plan ( IJF ) . b Déterminer le point Q , intersection de la droite ( GC ) avec le plan ( IJF ) . 3 Tracer sur la figure ci-dessus la section du cube avec le plan ( FIJ ) . Voir en animation la correction: 8. Annales E.6902 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On définit les points I et J respectivement par : −→ HI = 3 4 · −−→ HG ; −→ JG = 1 4 · −−→ CG 1 Sur la figure ci-dessous, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan ( IJK ) où K est un point du segment [ BF ] . 2 Sur la figure ci-dessous, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan ( IJL ) où L est un point de la droite https://chingmath.fr chapExoCorrec/2765 sacados/2765 ABCDEKJI chapExoCorrec/2794 sacados/2794 ABCDEFGHIJ r495-1 chapExoCorrec/6902 sacados/6902 KABCDEFGHIJ
( BF ) . 3 Existe-t-il un point P de la droite ( BF ) tel que la section du cube par le plan ( IJP ) soit un triangle équilatéral? Justifier votre réponse. 9. Exercices non-classés E.3123 Dans l’espace muni du repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé direct, nous considérons les points A de coordonnées 0 ; 0 ; 8 , B de coordonnées 0 ; 0 ; 8 , C de coordonnées 4 ; 0 ; 8 . 1 a Réaliser la figure comportant les points définis dans l’exercice (unité graphique: 1 cm ) . b Démontrer que : Les droites ( BC ) et ( BA ) sont orthogonales ; Les droites ( CO ) et ( OA ) sont orthogonales ; La droite ( BC ) est orthogonale au plan ( OAB ) . c Déterminer le volume, en cm 3 , du tétraèdre OABC . d Démontrer que les quatre points O , A , B , C se trou-vent sur une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. 2 À tout réel k de l’intervalle ouvert 0 ; 8 , est associé le point M 0 ; 0 ; k . Le plan ı qui contient M et est orthogonal la droite ( OB ) rencontre les droites ( OC ) , ( AC ) , ( AB ) respective-ment en N , P , Q . a Déterminer la nature du quadrilatère ( MNPQ ) . b La droite ( PM ) est-elle orthogonale à la droite ( OB ) ? Pour quelle valeur de k , la droite ( MP ) est-elle orthog-onale à la droite ( AC ) ? c Déterminer MP 2 en fonction de k . Pour quelle valeur de k , la distance PM est-elle minimale? E.6879 Dans l’espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O . Soit D le point de l’espace tel que O ; −→ OA ; −−→ OB ; −−→ OD soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées 0 ; 0 ; 3 dans ce repère. 1 Soit U le point de la droite ( SB ) de cote 1 . Construire le point U sur la figure. 2 Soit V le point d’intersection du plan ( AEU ) et de la droite ( SC ) . Montrer que les droites ( UV ) et ( BC ) sont parallèles. Construire le point V sur la figure. 3 On admet que le point K 5 6 ; − 1 6 ; 0 est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUV E . Déterminer l’aire du trapèze AUV E . https://chingmath.fr LABCDEFGHIJ sacados/3123 chapExoCorrec/6879 sacados/6879 ABCDEOS