Hors programme lycée / Intégration 47 exercices corrigés

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ChingQuizz : 2 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Intégrale par parties E.3297 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · ln x + 1 1 On pose : I = 1 0 x 2 x +1 d x a Déterminer trois réels a , b et c tels que, pour tout x =1 : x 2 x + 1 = ax + b + c x + 1 b Calculer I . 2 Déterminer par une intégration par parties l’intégrale suivante : 1 0 x · ln( x +1) d x E.3959 À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : a 4 − 1 x · e x d x b 5 0 t · e 2 · t d t c 1 e ln t d t d 1 0 (2 · x + 1) · ln x + 1 d x e e 1 5 · ln x x 2 d x f 1 1 2 x 2 · ln x d x E.3961 À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : a 2 0 ln( x +1) ( x + 1) 2 d x b ln 3 1 e t · ( t − 1) d t c π 6 0 x · sin 3 x d x d e 1 x · (1 − ln x ) d x E.4016 La fonction f est définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 20 · x + 10 · e − 1 2 · x Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 3 . E.4294 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = ln x − 1 2 · x + 1 1 Calculer 1 1 2 ln( x ) d x . On pourra utiliser une intégration par parties. 2 Calculer, en unité d’aire, la mesure de l’aire du domaine délimité par : la courbe représentative de la fonction f , l’axe des ab-scisses ; les droites d’équation x = 1 2 et x =1 . (on admettra que la fonction f est positive sur 1 2 ; 1 ) E.4295 À l’aide d’une intégration par par-ties, montrer que : e 1 ln x x 2 d x = 1 − 2 e 2. Intégrale par parties - doubles E.3960 À l’aide d’une double intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : a 3 − 2 x 2 · e x d x b 5 1 1 − t 2 e − t d t E.4298 Le plan muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 2 · e − x On note f la fonction dérivée de f . Pour tout nombre réel a , on considère l’intégrale: I ( a ) = a 0 f ( x ) d x 1 Donner selon les valeurs de a le signe de I ( a ) . 2 À l’aide d’une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réel a : I ( a ) = 2 − 2 · e − a · 1 + a + a 2 2 3. Intégrale par parties - étude https://chingmath.fr quizzChap/1111 sacados/3297 chapExoCorrec/3959 sacados/3959 chapExoCorrec/3961 sacados/3961 chapExoCorrec/4016 sacados/4016 Extrait de France Septembre 2005 sacados/4294 sacados/4295 chapExoCorrec/3960 sacados/3960 sacados/4298
E.3983 On considère la fonction f définie sur 1 ; + ∞ par : f ( x ) = x − 1 · e 1 − x On désigne par ( C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Cette courbe est donnée dans l’annexe. Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 , on pose : F ( x ) = x 1 f ( x ) d t = x 1 ( t − 1) · e 1 − t d t 1 Démontrer que la fonction F est croissante sur 1 ; + ∞ . 2 Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout réel x appartenant à 1 ; + ∞ : F ( x ) = − x · e 1 − x + 1 3 Démontrer que sur 1 ; + ∞ , l’équation F ( x )= 1 2 est équivalente à l’équation: ln(2 x ) + 1 = x E.4004 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; l’unité graphique est 4 cm . Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= e 2 x − 1 e 2 x +1 Γ est sa courbe représentative dans le repère O ; −→ i ; −→ j . 1 Montrer que f ( x )= e − x − e − x e x +e − x ; en déduire une primitive de f . 2 Quelle est l’aire en cm 2 de la surface comprise entre Γ , la droite d’équation y = x et les droites d’équations x =0 et x =1 ? Hachurer cette surface sur la représentation graphique. 3 Calculer: 1 0 f ( x ) 2 d x 4 En utilisant une intégration par parties, montrer que : 1 0 x · 1 − f ( x ) d x = e 2 − 1 e 2 + 1 − ln e 2 + 1 2 · e . En déduire : 1 0 x · f ( x ) 2 d x E.4296 Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x ) = 1 + x · ln x Soit ¸ un nombre réel tel que 0 <¸< 1 . On pose : I ( ¸ ) = 1 α 1 − f ( x ) d x 1 À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : I ( ¸ ) = ¸ 2 2 · ln ¸ + 1 4 − ¸ 2 4 2 Déterminer lim α ↦→ 0 I ( ¸ ) 3 On admet que la fonction f est positive sur 0 ; 1 . Inter-préter graphiquement le résultat précédent. 4. Intégrale par parties - suites E.3982 Pour tout entier naturel n 2 , on considère l’intégrale I n définie par : I n = 2 1 1 x n · e 1 x d x 1 Calculer I 2 . 2 Une relation de récurrence : a Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel n 2 : I n +1 = e − √ e 2 n − 1 + (1 − n ) · I n b Calculer I 3 . E.3986 On considère la suite numérique J n définie, pour tout entier naturel n non nul, par : J n = n 1 e − t · 1 + t d t 1 Démontrer que la suite J n est croissante. 2 Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas. On définit la suite I n , pour tout entier naturel n non nul, par : I n = n 1 ( t + 1) · e − t d t a Justifier que, pour tout t 1 , on a: t + 1 t + 1 b En déduire que : J n I n . c Calculer I n en fonction de n . En déduire que la suite J n est majorée par un nombre réel (indépendant de n ) . d Que peut-on en conclure pour la suite J n ? https://chingmath.fr sacados/3983 sacados/4004 sacados/4296 Extrait Antilles-guyane Septembre 2009 chapExoCorrec/3982 sacados/3982 Extrait d'Asie Juin 2010 chapExoCorrec/3986 sacados/3986
E.4005 Pour tout entier naturel n , on pose : I n = π 0 e x · cos( n · x ) d x 1 Montrer que, pour tout entier naturel n : cos n · x = ( − 1) n ; sin n · ı = 0 2 À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : I n = ( − 1) n · e π − 1 1 + n 2 E.4006 On pose : I 1 = e 3 2 1 e ln x d x et I 2 = e 3 2 1 e ln x 2 d x . 1 Calculer I 1 . 2 En utilisant une intégration par parties, montrer que : I 2 = 5 4 · e 3 2 − 5 e E.4222 Pour tout entier naturel n 2 , on considère l’intégrale I n définie par : I n = 2 1 1 x n · e 1 x d x 1 Calculer I 2 . 2 Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que tout entier naturel n 2 : I n +1 = e − e 2 n − 1 + (1 − n ) · I n E.4303 Pour tout entier naturel n 2 , on considère l’intégrale I n définie par : I n = 2 1 1 x n · e 1 x d x 1 Calculer I 2 2 Démontrer à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel n 2 : I n +1 = e − e 2 n − 1 + (1 − n ) · I n 3 Calculer I 3 . 5. Intégrale par parties - probabilite E.4269 On modélise le temps d’attente en-tre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre – . La probabilité pour un client d’attendre moins de t minutes est définie par : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x Le temps moyen d’attente est donné par : lim t ↦→ + ∞ t 0 – · x · e − λ · x d x 1 À l’aide d’une intégration par parties, calculer t 0 – · x · e − λ · x d x en fonction de t . 2 En déduire que le temps moyen est 1 – 3 Le temps moyen d’attente étant de 5 min , quelle est la probabilité d’attendre plus de 10 min ? plus de 5 min ? 6. Intégrale par parties - annales E.3124 L’objectif est d’étudier quelques propriétés de la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 − x 2 · e − x Partie A : Variations de f et tracé de la courbe ( F ) Soit f la fonction définie sur l’intervalle − 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 − x 2 e − x Dans le plan ( P ) muni du repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique: 2 cm ) la représentation graphique de la fonc-tion f est notée ( F ) . 1 Déterminer la limite en + ∞ de f : interpréter graphique-ment ce résultat. 2 a Déterminer, suivant les valeurs de x de l’intervalle − 1 ; + ∞ , le signe de x 2 − 2 x − 1 et celui de f ( x ) . b Déterminer la fonction dérivée f de f . En déduire le sens de variation de f puis dresser son tableau de vari-ations ; préciser les valeurs exactes du minimum et du maximum. 3 Déterminer une équation de la tangente notée ( T ) à la courbe ( F ) au point A de ( F ) dont l’abscisse est 0 . 4 a Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0 ; 1 près, de chacun des coefficients directeurs des tangentes à la courbe ( F ) en (1 ; 0) et C ( − 1 ; 0) . b Tracer les trois tangentes à la courbe ( F ) en A , B ( A ; 0) et C ( − 1 ; 0) et la courbe ( F ) . Partie B: Intégrales et aires Les surfaces S et S 1 ( u ) du plan ( P ) , où u est un réel donné de l’intervalle 1 ; + ∞ sont définies par : S est l’ensemble des points M ( x ; y ) tels que : 0 x 1 et 0 y f ( x ) . S 1 ( u ) est l’ensemble des points M ( x ; y ) tels que : 1 x u et f ( x ) y 0 . Les aires respectives de ces surfaces sont notées A , A 1 ( u ) . Leurs valeurs exactes seront exprimées en unités d’aire. 1 Justifier l’existence de l’intégrale x 1 f ( t ) d t où x est un réel positif. En procédant par deux intégrations par parties succes- https://chingmath.fr sacados/4005 sacados/4006 Extrait Antille-Guyane Septembre 2001 sacados/4222 Extrait d'Asie Juin 2010 sacados/4303 Extrait d'Asie Juin 2010 sacados/4269 Extrait d'Antilles-guyane Septembre 2005 chapExoCorrec/3124 sacados/3124
sives, déterminer cette intégrale. 2 En déduire la valeur exacte de 0 1 f ( t ) d t . En déduire la valeur exacte de l’aire A 3 Déterminer, en fonction de u où u 1 , l’aire A 1 ( u ) puis la limite, lorsque u tend vers + ∞ , de A 1 ( u ) . Interpréter graphiquement ce résultat. 4 L’objectif est de déterminer le réel ¸ supérieur ou égal à 1 pour lequel: A 1 ( ¸ ) = A a Démontrer que, sur l’intervalle 1 ; + ∞ , l’équation A 1 ( x )= A est équivalente à: x =2 · ln(1+ x ) b Étudier le sens de variations de la fonction h définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : h ( x )= x − 2 · ln(1+ x ) . Démontrer que, sur l’intervalle 1 ; + ∞ , l’équation x =2 · ln(1+ x ) admet exactement une solution et que celle-ci, notée ¸ , vérifie la condition : 2 <¸< 3 . c Déterminer, en indiquant la méthode utilisée, un en-cadrement d’amplitude 10 − 3 de ¸ . Déterminer f ( ¸ ) sous la forme d’une fonction ra-tionnelle de ¸ puis l’encadrement de f ( ¸ ) , qu’on dé-duira du précédent, d’amplitude 2 × 10 − 4 E.3177 1 On considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = ln x − 2 x On donne ci-dessous le tableau de variations de g : Démontrer toutes les propriétés de la fonction g re-groupées dans ce tableau. 2 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 5 ln x x a Montrer que f ( x 0 )= 10 x 2 0 où x 0 est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus. b Soit a un réel. Pour a> 1 , exprimer a 1 f ( t ) d t en fonc-tion de a . 3 On a tracé dans le repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g notées respectivement ( C f ) et ( C g ) . On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0) , P 0 le point d’intersection de ( C g ) et de l’axe des abscisses, M 0 le point de ( C f ) ayant même abscisse que P 0 et H 0 le pro-jeté orthogonal de M 0 sur l’axe des ordonnées. On nomme ( D 1 ) le domaine du plan délimité par la courbe ( C f ) et les segments [ IP 0 ] et [ P 0 M 0 ] . On nomme ( D 2 ) le domaine du plan délimité par le rect-angle construit à partir de [ OI ] et [ OH 0 ] . Démontrer que les deux domaines ( D 1 ) et ( D 2 ) ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0 ; 2 de cette aire. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3177 sacados/3177 0x0∞2;32;4-∞0∞xVariationdeg P0M0(Cg(CfH0IJOij
E.3211 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 2 ln x x 2 + x 1 Montrer que pour tout x> 1 : ln x x 2 f ( x ) ln x x 2 a Calculer I = 4 2 ln x x d x et J = 4 2 ln x x 2 d x (on pourra utiliser une intégration par parties pour cette dernière) b En déduire un encadrement de K = 4 2 f ( x ) d x . 3 la figure ci-dessous représente la courbe représentative de f (unités graphiques: en abscisse 1 cm pour 1 unité, en ordonnées 4 cm pour 1 unité) . On considère l’ensemble des points M ( x ; y ) tels que : 2 x 4 0 y f ( x ) et on note A son aire. À l’aide de l’encadrement trouvé au 2 b , donner un encadrement A en cm 2 . E.3220 1 Soit g la fonction définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : g ( x ) = 1 x ( x 2 − 1) a Déterminer les nombres réels a , b et c tels que l’on ait, pour tout x> 1 : g ( x ) = a x + b x + 1 + c x − 1 b Trouver une primitive G de g sur l’intervalle 1 ; + ∞ . 2 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 2 x x 2 − 1 2 Trouver une primitive F de f sur l’intervalle 1 ; + ∞ . 3 En utilisant les résultats obtenus précédemment, cal-culer : I = 3 2 2 x x 2 − 1 2 ln x d x On donnera le résultat exact sous la forme p · ln2+ q · ln3 , avec p et q rationnels. E.3236 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x − 1 2 − e − x Sa courbe représentative C est tracée dans le repère or-thonormé ci-dessous (unité graphique 2 cm ) . 1 a Étudier la limite de f en + ∞ . b Montrer que la droite Δ d’équation y =2 x − 2 est asymptote à C . c Étudier la position relative de C et Δ . 2 a Calculer f ( x ) et montrer que : f ( x ) = x e − x + 2 · 1 − e − x b En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f ( x ) > 0 . c Préciser la valeur de f (0) , puis établir le tableau de variations de f . 3 À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, ex-primée en cm 2 , du domaine plan limité par la courbe C , la droite Δ et les droites d’équations x =1 et x =3 . 4 a Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à Δ . b Calculer la distance, exprimée en cm , du point A à la droite Δ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3211 sacados/3211 Antilles-Guyane Septembre 2005 4 points -12345I-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8 chapExoCorrec/3220 sacados/3220 France Septembre 2004 4 points chapExoCorrec/3236 sacados/3236
E.3249 L’exercice comporte une annexe à rendre avec la copie. On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , par : f ( x ) = ln( x +1) ; g ( x ) = e x − 1 On désigne par C f et C g les courbes représentatives des fonc-tions f et g dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile; cette annexe sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat. 1 Vérifier que les courbes C f et C g ont une tangente com-mune au point O (0 ; 0) . Préciser la position de la courbe C f par rapport à cette tangente. 2 Démontrer que les courbes C f et C g sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x . 3 Soit a un nombre réel strictement positif. On se pro-pose de calculer de deux façons différentes le nombre I ( a ) = a 0 ln( x +1) d x . a En utilisant des considérations d’aires, démontrer que : I ( a ) = a · ln( a +1) − ln( a +1) 0 e x − 1 d x b En déduire la valeur de I ( a ) . c Retrouver la valeur de I ( a ) en effectuant une intégra-tion par parties. https://chingmath.fr -123I-1234JO chapExoCorrec/3249 sacados/3249 234I234JO
E.3272 But de l’exercice: approcher ln(1+ a ) par un polynôme de degré 5 lorsque a appartient à l’intervalle [0 ; + ∞ [ . Soit a ∈ [0 ; + ∞ [ . On note I 0 ( a )= a 0 1 1+ t d t et pour k ∈ N ∗ , on pose : I k ( a ) = a 0 ( t − a ) k (1 + t ) k +1 d t 1 Calculer I 0 ( a ) en fonction de a . 2 À l’aide d’une intégration par parties, exprimer I 1 ( a ) en fonction de a . 3 À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que : I k +1 ( a ) = ( − 1) k +1 a k +1 k + 1 + I k ( a ) pour tout k ∈ N ∗ 4 Soit P le polynôme défini sur R : P ( x ) = 1 5 x 5 − 1 4 x 4 + 1 2 x 3 − 1 2 x 2 + x . Démontrer en calculant I 2 ( a ) , I 3 ( a ) et I 4 ( a ) , que : I 5 ( a ) = ln(1+ a ) − P ( a ) 5 Soit J ( a )= a 0 ( t − a ) 5 d t . Calculer J ( a ) . 6 a Démontrer que pour tout t ∈ [0 ; a ] : ( t − a ) 5 (1 + t ) 6 ( t − a ) 5 b Démontrer que pour tout a ∈ [0 ; + ∞ [ : J ( a ) I 5 ( a ) 0 7 En déduire que pour tout a ∈ [0 ; + ∞ [ : ⏐ ⏐ ln(1+ a ) − P ( a ) ⏐ ⏐ a 6 6 . 8 En justifiant votre réponse, déterminer un intervalle sur lequel P ( a ) est une valeur approchée de ln(1+ a ) à 10 − 3 près. E.4000 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x − 1 2 − e − x Sa courbe représentative C est tracée dans le repère or-thonormé ci-dessous (unité graphique 2 cm ) . 1 a Étudier la limite de f en + ∞ . b Montrer que la droite Δ d’équation y =2 x − 2 est asymptote à C . c Étudier la position relative de C et Δ . 2 a Calculer f ( x ) et montrer que : f ( x ) = x · e − x + 2 · 1 − e − x . b En déduire que, pour tout réel x strictement positif : f ( x ) > 0 c Préciser la valeur de f (0) , puis établir le tableau de variations de f . 3 À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, ex-primée en cm 2 , du domaine plan limité par la courbe C , la droite Δ et les droites d’équations x =1 et x =3 . 4 a Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à Δ . b Calculer la distance, exprimée en cm , du point A à la droite Δ . E.4128 Le but de cet exercice est de déter-miner une valeur approchée à 10 − 2 près de l’intégrale: I = 1 0 e − x 2 − x d x 1 a Étudier les variations de la fonction : f : x ↦−→ f ( x ) = e − x 2 − x sur l’intervalle 0 ; 1 . b Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 , on a: 1 e f ( x ) 1 2 2 Soit J et K les intégrales définies par : J = 1 0 2 + x · e − x d x ; K = 1 0 x 2 · f ( x ) d x a Au moyen d’une intégration par parties, prouver que : J = 3 − 4 e b Utiliser un encadrement de f ( x ) obtenu précédemment pour démontrer que : 1 3 · e K 1 6 . c Démontrer que : J + K =4 · I . d Déduire de tout ce qui précède un encadrement de I , puis donner une valeur approchée à 10 − 2 près de I . 7. Intégrale par parties - suites et annales E.3196 1 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x 2 e 1 − x On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 2 cm . a Déterminer les limites de f en −∞ et en + ∞ ; quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer? b Justifier que f est dérivable sur R . Déterminer sa fonc-tion dérivée f . c Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C . 2 Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale I n définie par : I n = 1 0 x n e 1 − x d x a Établir une relation entre I n +1 et I n . b Calculer I 1 , puis I 2 . c Donner une interprétation graphique du nombre I 2 . On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c . 3 a Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante : x n x n e 1 − x x n e b En déduire un encadrement de I n puis la limite de I n https://chingmath.fr chapExoCorrec/3272 sacados/3272 Antilles-Guyane Juin 2004 7 points chapExoCorrec/4000 sacados/4000 Amerique du Nord Juin 2005 5 points chapExoCorrec/4128 sacados/4128 chapExoCorrec/3196 sacados/3196 France Juin 2006 5 points
quand n tend vers + ∞ . E.3205 Partie A : étude d’une fonc-tion Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par f ( x ) = x ln( x + 1) Sa courbe représentative ( C ) dans un repère orthogonal O ; −→ u ; −→ v est donnée en annexe. 1 a Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe ( C ) au point O ? 2 On pose : I = 1 0 x 2 x + 1 d x a Déterminer trois réels a , b et c tels que, pour tout x = 1 , x 2 x + 1 = ax + b + c x + 1 b Calculer I . 3 À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2 , calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe ( C ) et les droites d’équations x =0 , x =1 et y =0 . 4 Montrer que l’équation f ( x )=0 ; 25 admet une seule so-lution sur l’intervalle [0 ; 1] . On note ¸ cette solution. Donner un encadrement de ¸ d’amplitude 10 − 2 . Partie B: étude d’une suite La suite ( u n ) est définie sur N par : u n = 1 0 x n ln( x + 1) d x 1 Déterminer le sens de variation de la suite ( u n ) . La suite ( u n ) converge-t-elle? 2 Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : 0 u n ln 2 n + 1 . En déduire la limite de la suite ( u n ) . E.3239 On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e 2 . On définit, pour tout entier naturel n 1 , l’intégrale: I n = 2 0 1 n ! (2 − x ) n e x d x 1 Calculer I 1 . 2 Établir que pour tout entier naturel n 1 : 0 I n 2 n n ! e 2 − 1 3 À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n 1 : I n +1 = I n − 2 n +1 ( n + 1)! 4 Démontrer par récurrence que : e 2 = 1 + 2 1! + 2 2 2! + · · · + 2 n n ! + I n 5 On pose, pour tout entier naturel n 1 , u n = 2 n n ! . a Calculer u n +1 u n et prouver que pour tout entier naturel n 3 : u n +1 1 2 u n . b En déduire que pour tout entier naturel n 3 : 0 u n u 3 · 1 2 n − 3 6 En déduire la limite de la suite ( u n ) puis celle de la suite ( I n ) . 7 Justifier enfin que : e 2 = lim n ↦→ + ∞ 1 + 2 1! + 2 2 2! + · · · + 2 n n ! https://chingmath.fr chapExoCorrec/3205 sacados/3205 Liban Mai 2006 7 points chapExoCorrec/3239 sacados/3239 Asie Juin 2005 7 points
E.3988 Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par : f ( x ) = (1 + x ) · e − x Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 1 cm . 1 a Étudier le signe de f ( x ) sur R . b Déterminer la limite de la fonction f en −∞ . Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . c On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R . Calculer, pour tout nombre réel x , f ( x ) . En déduire les variations de la fonction f sur R . d Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle − 2 ; 5 . 2 On note I n la suite définie pour tout entier naturel n par : I n = n − 1 f ( x ) d x Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I n en fonction de n . a Montrer que, pour tout n ∈ N : I n 0 . b Montrer que la suite I n est croissante. 3 a À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b : b a f ( x ) d x = − 2 − b · e − b + 2 + a · e − a b En déduire l’expression de I n en fonction de n . c Déterminer : lim n ↦→ + ∞ I n . d Donner une interprétation graphique de cette limite. 4 Déterminer a ∈ R tel que : a − 1 f ( x ) d x = e Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire? E.3999 On considère les suites x n et y n définies pour tout entier naturel n non-nul par : x n = 1 0 t n · cos t d t ; y n = 1 0 t n · sin t d t 1 a Montrer que la suite x n est à termes positifs. b Étudier les variations de la suite x n . c Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite x n ? 2 a Démontrer que, pour tout entier naturel n non-nul : x n 1 n + 1 b En déduire la limite de la suite x n . 3 a À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non-nul : x n +1 = − ( n + 1) · y n + sin(1) . b En déduire que : lim n ↦→ + ∞ y n = 0 4 On admet que, pour tout entier naturel n non nul : y n +1 = ( n + 1) · x n − cos(1) . Déterminer : lim n ↦→ + ∞ n · x n et lim n ↦→ + ∞ n · y n 8. Intégrale par parties - équation différentielles et annales E.3125 Partie A 1 Résoudre l’équation différentielle: y  − 4 y + 4 y = 0 2 Déterminer la solution ffi de cette équation, définie sur R et qui vérifie les conditions : ffi (0) = 0 ; ffi (0) = − e Partie B 1 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − x · e 2 x +1 a Quel est, suivant les valeurs de x , le signe de f ( x ) ? b Étudier le sens de variation de f . c Déterminer les limites de f en + ∞ et en −∞ . d Dresser le tableau de variations de f . e On appelle ( C ) la représentation graphique de f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique: 4 cm ) . Quelle est la tangente à ( C ) au point O ? Écrire une équation de la tangente T à ( C ) au point d’abscisse ( − A ) . f On appelle (Γ) la représentation graphique dans le repère O ; −→ i ; −→ j de la fonction g définie sur R par : g ( x ) = e x Quelle est la tangente à (Γ) au point d’abscisse ( − A ) ? 2 On appelle h la fonction définie sur R par : h ( x ) = 1 + e · x · e x a Étudier le sens de variation de h . En déduire le signe de h ( x ) suivant les valeurs de x . b Étudier la position de ( C ) par rapport à (Γ) . c Tracer, sur le même graphique, les courbes T , ( C ) et (Γ) . 3 Soit m un réel quelconque et M le point de la courbe (Γ) d’abscisse M . a Écrire une équation de la tangente D à (Γ) en M . b La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B . Calculer, en fonction de m ; les coordonnées du milieu J du segment [ AB ] . c Prouver que J appartient à ( C ) . d Tracer ( D ) et J pour m =0 . Partie C 1 Soit x un réel quelconque. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale: I ( x ) = x 0 t · e 2 t d t 2 Soit x un réel négatif. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3988 sacados/3988 chapExoCorrec/3999 sacados/3999 sacados/3125 France Septembre 1998 11 points
Calculer l’aire A ( x ) , exprimée en cm 2 , de l’ensemble des points N dont les coordonnées ( u ; v ) vérifient : x u 0 0 v f ( x ) 3 Calculer A ( − 1) . 4 A ( x ) admet-elle une limite quand x tend vers moins l’infini? Si oui, laquelle? E.3189 Partie A On considère l’équation différentielle: ( E ) : y + y = e − x 1 Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble R des nombres réels par : u ( x ) = x e − x est une solution de ( E ) . 2 Résoudre l’équation différentielle: ( E 0 ) : y + y = 0 3 Démontrer qu’une fonction v , définie et dérivable sur R , est solution de ( E ) si, et seulement si, v − u est solution de ( E 0 ) . 4 En déduire toutes les solutions de ( E ) . 5 Déterminer la fonction f 2 , solution de ( E ) , qui prend la valeur 2 en 0. Partie B k étant un nombre réel donné, on note f k la fonction définie sur l’ensemble R par : f k ( x ) = ( x + k ) · e − x On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . 1 Déterminer les limites f k en −∞ et + ∞ . 2 Calculer f k ( x ) pour tout réel x . 3 En déduire le tableau de variations de f k . Partie C 1 On considère la suite d’intégrales ( I n ) définie par : I 0 = 0 − 2 e − x d x et pour tout entier naturel n 1 par : I n = 0 − 2 x n e − x d x a Calculer la valeur exacte de l’intégrale I 0 . b En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité: I n +1 = ( − 2) n +1 · e 2 + ( n + 1) · I n c En déduire les valeurs exactes des intégrales I 1 et I 2 . 2 Le graphique ci-dessous représente une courbe C k qui est la représentation graphique d’une fonction f k définie à la partie B . a À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant. b Soit S l’aire de la partie hachurée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I 1 et I 0 et en déduire sa valeur exacte. E.3214 Partie A La fonction f est définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 20 x + 10 e 1 2 x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique 1 cm ) . 1 Étudier la limite de la fonction f en + ∞ . 2 Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 3 Établir que l’équation f ( x )=10 admet une unique so-lution strictement positive ¸ dans l’intervalle 0 ; + ∞ . Donner la valeur arrondie de ¸ à 10 − 3 près. 4 Tracer la courbe C . 5 Calculer l’intégrale: I = 3 0 f ( x ) d x Partie B On note y ( t ) la valeur, en degré Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t , t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t =0 , est y (0)=10 . On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ associe y ( t ) , est solution de l’équation différentielle: ( E ) : y + 1 2 · y = 20 · e − 1 2 t 1 Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle ( E ) sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle ( E ) , définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ , qui prend la valeur 10 à l’instant 0 . a On note g une solution quelconque de l’équation dif-férentielle ( E ) , définie sur 0 ; + ∞ vérifiant g (0)= 10 . Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , de l’équation différentielle: ( E ) : y + 1 2 · y = 0 b Résoudre l’équation différentielle ( E ) . c Conclure. 3 Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondi à la minute. 4 La valeur „ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières https://chingmath.fr chapExoCorrec/3189 sacados/3189 Asie Juin 2006 7 points x-4-3-2-101234y-2-1123 chapExoCorrec/3214 sacados/3214 France Septembre 2005 7 points
heures est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 3 . Calculer la valeur exacte de „ , puis donner sa valeur ar-rondie au degré. 9. Intégrale et volumes E.4018 On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : f ( x ) = 1 1 + e − x Soit – un réel positif, on note V ( – ) l’intégrale: 0 − λ ı · f ( x ) 2 d x On admet que V ( – ) est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour − – x 0 . 1 Déterminer les nombres réels a et b tels que pour tout nombre réel x : e 2 · x e x + 1 2 = a · e x e x + 1 + b · e x e x + 1 2 2 Exprimer V ( – ) en fonction de – . 3 Déterminer la limite de V ( – ) lorsque – tend vers + ∞ . E.4328 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x 2 · ln x La courbe ( C ) est la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe ( Ox ) de la région plane délimitée par la courbe ( C ) , l’axe ( Ox ) et les droites d’équations : x = 1 e ; x = 1 On note V une mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce solide et on admet que : V = 1 1 e ı · f ( x ) 2 d x 1 Montrer qu’une primitive de la fonction : x ↦−→ x 4 · ln x sur 0 ; + ∞ est la fonction : x ↦−→ x 5 25 · 5 · ln x − 1 . 2 En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, que : V = ı 125 · 2 − 37 e 5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4018 sacados/4018 -4-3-2-1I-1JO sacados/4328 Extrait de Polynesie Juin 2011
E.3216 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x )= x · e − x +2 Les deux parties peuvent être abordées indépendamment. Partie A 1 Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; + ∞ [ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative. 2 a Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = ln( x ) sur 1 ; + ∞ . b Montrer que la fonction g définie sur R ∗ + par : g ( x ) = ln( x ) − f ( x ) est strictement croissante sur 1 ; + ∞ . En déduire que l’équation f ( x )=ln( x ) admet une unique solution ¸ sur 1 ; + ∞ [ . c Déterminer la valeur de ¸ arrondie à 10 − 3 près. Partie B 1 À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer : I = 3 0 x 2 e − 2 x d x 2 On définit le solide S obtenu par révolution autour de l’axe ( Ox ) de la courbe d’équation y = f ( x ) pour 0 x 3 dans le plan ( xOy ) (repère orthonormé d’unité 4 cm ) . On rappelle que le volume V du solide est donné par : V = ı 3 0 f ( x ) 2 d x a Exprimer V en fonction de I . b Déterminer le volume du solide arrondie à 1 cm 3 près. E.3229 On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j , la courbe représentative de la fonction f dériv-able sur R , solution de l’équation différentielle: ( E ) : y + y = 0 et telle que f (0)= e . 1 Déterminer f ( x ) pour tout x réel. 2 Soit t un réel donné de l’intervalle 1 ; e . Résoudre dans R l’équation e 1 − x = t d’inconnue x . 3 Soit A le point d’abscisse 0 et B le point d’abscisse 1 de la courbe. On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de l’arc de courbe AB comme représenté ci-dessous. On note V son volume. On admet que : V = ı · e 1 (1 − ln t ) 2 d t Calculer V à l’aide de deux intégrations par parties suc-cessives. 10. Anciennes annales (avant 2012) E.3138 1 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 · e − x a Déterminer les limites de f en −∞ et + ∞ . b Calculer f ( x ) et montrer que : f ( x ) = 2 x − x 2 + 5 x − 4 · e − x . c Dresser le tableau de variations de f . d Tracer la courbe C représentative de f dans https://chingmath.fr chapExoCorrec/3216 sacados/3216 Antilles-Guyane Septembre 2004 5 points chapExoCorrec/3229 sacados/3229 234I23JOAB -2-12I23JO chapExoCorrec/3138 sacados/3138
un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique: 1 cm ) . 2 Pour n ∈ N ∗ , on pose : I n = 1 0 x n · e − x dx a À l’aide d’une intégration par parties, calculer I 1 . b On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2 : I n = n · I n − 1 − 1 e . Déterminer I 2 et I 3 . c Soit A l’aire, exprimé en cm 2 , du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe ( C ) et les droites d’équation x =0 et x =1 . Calculer A . 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur R . On définit la fonction v sur 0 ; + ∞ par v ( x )= u 1 x . a On suppose que u est croissante sur l’intervalle [ a ; b ] (où 0 <a<b ) . Déterminer le sens de variation de v sur 1 b ; 1 a . b On définit maintenant la fonction g par g ( x )= f 1 x sur 0 ; + ∞ , où f est la fonction définie dans la ques-tion 1 . Déterminer les limites de g en 0 et en + ∞ . c Déduire des questions précédentes le tableau de varia-tions de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . E.3201 Première partie Calculer l’intégrale: 1 0 x · e x d x . Deuxième partie La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal O ; −→ OI ; −→ OJ , la ligne courbe C reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f ( x )= x · e x . Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-dessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B . On ad-met que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe C . Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l’extérieur de la cible avec une probabilité de 1 2 et que les probabilités d’atteindre les parties A et B sont proportion-nelles à leurs aires respectives. 1 Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est égale à 1 2e . Quelle est la probabilité d’atteindre la partie B ? 2 On lance de manière indépendante trois fléchettes : a Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A . Définir la loi de probabilité de X . En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique. b Soit E l’événement : ˇ Exactement deux fléchettes at-teignent la partie A ı. Calculer la probabilité de E arrondie au millième près. c Soit F l’événement : ˇ les trois fléchettes atteignent la partie B ı. Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte) . Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ? 3 On lance cette fois de manières indépendante n fléchettes. a Déterminer en fonction de n la probabilité p n pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A . b Déterminer le plus petit entier n ∈ N tel que p n 0 ; 99 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3201 sacados/3201 MNI2JOPartieBPartieA
E.3222 La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = ln x x + 1 − x 1 a Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f ( x ) est du signe de : N ( x ) = − 2 x · x − 1 + ln x b Calculer N (1) et déterminer le signe de N ( x ) en dis-tinguant les cas 0 <x< 1 et x> 1 . c En déduire le sens de variation de f sur 0 ; + ∞ et les coordonnées du point de C d’ordonnée maximale. 2 On note A ( ¸ ) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la par-tie du plan grisée sur la figure, où ¸ désigne un réel de 0 ; 1 . a Exprimer A ( ¸ ) en fonction de ¸ (on pourra utiliser une intégration par parties) . b Calculer la limite de A ( ¸ ) lorsque ¸ tend vers 0. Don-ner une interprétation graphique de cette limite. On définit une suite u n n ∈ N par son premier terme u 0 élé-ment de 1 ; 2 et : pour tout entier naturel n : u n +1 = ln u n u n + 1 3 a Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2] , la double inégalité: 0 ln x x 1 b Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u n appartient à 1 ; 2 . 4 En remarquant que, pour tout n ∈ N , u n +1 = f ( u n )+ u n , déterminer le sens de variation de la suite u n . 5 a Montrer que la suite ( u n ) n ∈ N est convergente. On note ‘ sa limite. b Déterminer la valeur exacte de ‘ . E.3262 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f (0) = 1 f ( x ) = 1 2 · x 2 · 3 − 2 · ln x + 1 si x> 0 On note C la courbe représentative de f dans un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A 1 a Calculer lim x ↦→ 0 f ( x ) . Que peut-on en déduire pour la fonction f ? b Déterminer la limite de f en + ∞ . 2 a Étudier la dérivabilité de f en 0 . b Montrer que f est dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ et calculer f ( x ) pour x> 0 , f désignant la fonction dérivée de f . 3 Étudier le sens de variations de f sur [0 ; + ∞ [ , puis dresser son tableau de variations. 4 Montrer que l’équation f ( x )=0 possède une solution unique ¸ sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Déterminer la valeur de ¸ arrondie à 10 − 2 près. Partie B 1 Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x =1 . 2 On considère la fonction g : x ↦→ f ( x ) − 2 x − 1 2 définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ . a Calculer g ( x ) , puis g  ( x ) où g et g  désignent respec-tivement les fonctions dérivées première et seconde de g . Étudier le sens de variations de g . En déduire le signe de g ( x ) sur 0 ; + ∞ . b Étudier le sens de variations de g . En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D . 3 Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique 2 cm ) Partie C n est un entier naturel non nul. 1 Exprimer en fonction de n le réel: I n = 1 1 n x 2 · ln x d x (on pourra utiliser une intégration par parties) 2 En déduire en fonction de l’entier n , l’aire A n exprimée en cm 2 du domaine plan délimité par la courbe C , la tangente D et les deux droites d’équation x = 1 n et x =1 . 3 calculer lim n ↦→ + ∞ A n et interpréter le résultat obtenu. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3222 sacados/3222 ¸23I-4-3-2-1JO chapExoCorrec/3262 sacados/3262
E.3251 Partie A On considère la suite ( u n ) définie, pour tout entier naturel n non-nul, par : u n = 1 0 (1 − t ) n · e t d t . 1 Montrer que la fonction f : t ↦→ (2 − t ) · e t est une primitive de g : (1 − t ) · e t sur 0 ; 1 . En déduire la valeur de u 1 . 2 Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non-nul : u n +1 = ( n + 1) · u n − 1 ( R ) Partie B On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices dif-férentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite ( u n ) en utilisant pour le calcul la relation de récur-rence ( R ) ci-dessus. Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices: Valeur de n Valeur de u n affichée par la première calculatrice la deuxième calculatrice 1 7,1828182845E-01 7,1828182846E-01 2 4,3656365691E-01 4,3656365692E-01 3 3,0969097075E-01 3,0969097076E-01 4 2,3876388301E-01 2,3876388304E-01 5 1,9381941508E-01 1,9381941520E-01 6 1,6291649051E-01 1,6291649120E-01 7 1,4041543358E-01 1,4041543840E-01 8 1,2332346869E-01 1,2332350720E-01 9 1,0991121828E-01 1,0991156480E-01 10 9,9112182825E-02 9,9115648000E-01 11 9,0234011080E-02 9,0272128000E-02 12 8,2808132963E-02 8,3265536000E-02 13 7,6505728522E-02 8,2451968000E-02 14 7,1080199309E-02 1,5432755200E-01 15 6,6202989636E-02 1,3149132800E+00 16 5,9247834186E-02 2,0038612480E+01 17 7,2131811612E-03 3,3965641216E+02 18 -8,7016273909E-01 6,1128154189E+03 19 -1,7533092042E+01 1,1614249296E+05 20 -3,5166184085E+02 2,3228488592E+06 21 -7,3858986580E+03 4,8779825043E+07 22 -1,6249077047E+05 1,0731561499E+09 23 -3,7372887209E+06 2,4682591448E+10 24 -8,9694930302E+07 5,9238219474E+11 25 -2,2423732585E+09 1,4809554869E+13 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite ( u n ) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice? Partie C Dans cette partie, on se propose d’étudier la suite ( u n ) à par-tir de la définition : pour tout n ∈ N ∗ : u n = 1 0 (1 − t ) n · e t d t 1 Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : u n 0 . 2 a Montrer que pour tout réel t de l’intervalle 0 ; 1 et pour tout n ∈ N ∗ : (1 − t ) n e t e × (1 − t ) n b En déduire que pour tout n non-nul : u n e n +1 . 3 Déterminer la limite de la suite ( u n ) . Partie D Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence ( R ) vérifiée par la suite ( u n ) : u n +1 = ( n + 1) · u n − 1 Étant donné un réel a , on considère la suite ( v n ) définie par : v 1 = a ; v n +1 =( n +1) · v n − 1 pour tout n ∈ N ∗ 1 En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non-nul n : v n = u n + ( n !) · ( a + 2 − e ) où n ! désigne le produit des n premiers entiers naturels non-nuls. 2 Étudier le comportement de la suite ( v n ) à l’infini suivant les valeurs de a . (On rappelle que lim n ↦→ + ∞ n !=+ ∞ ) 3 En déduire une raison susceptible d’expliquer les résul-tats affichés par les deux calculatrices. 11. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/3251 sacados/3251 Liban juin 2005 8 points
E.79 Partie I Soit f une fonction définie sur l’intervalle 1 ; 8 , strictement décroissante, dont la représentation graphique C dans un repère orthonormé est donnée ci-contre. La courbe C con-tient les points A (1 ; 2) , B (2 ; 0) et C (4 ; − 1) . 1 En utilisant la représentation graphique, donner, suivant les valeurs de x , le signe de f ( x ) . 2 On suppose que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 8] f ( x ) s’écrit: f ( x )= − 2+ 4 x Retrouver par le calcul, le résultat du 1 . Partie II On considère la fonction F définie sur l’intervalle 1 ; 8 par : F ( x ) = 5 − 2 x + 4 ln( x ) . 1 Montrer que F a pour dérivée la fonction f de la partie I . 2 Étudier les variations de la fonction F sur l’intervalle 1 ; 8 , puis dresser son tableau de variation. 3 C F désigne la courbe représentative de la fonction F dans un repère orthogonal d’unités graphiques : en abscisse 1 cm , en ordonnée 2 cm . a Soit la droite Δ , tangente à la courbe C F en son point d’abscisse 1. Montrer que le coefficient directeur de la droite Δ est égal à 2. b Tracer la courbe C F et la droite Δ . Formulaire : La dérivée de la fonction ln sur l’intervalle 0 ; + ∞ est la fonction qui, à x , associe 1 x . E.4014 Restitution organisée de connais-sances: Démontrer la formule d’intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dériv-ables, à dérivées continues sur un intervalle a ; b . Soient les deux intégrales définies par : I = π 0 e x · sin x d x ; J = π 0 e x · cos x d x 1 Démontrer que : I = − J ; I = J +e π +1 2 En déduire les valeurs exactes de I et de J . E.3996 Soit I un intervalle de R . Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient continues sur I . Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle a ; b de I . https://chingmath.fr chapExoCorrec/79 sacados/79 -1012345678-2-1123ABC chapExoCorrec/4014 sacados/4014 chapExoCorrec/3996 sacados/3996 Extrait d'Antilles Guyane Septembre 2007