Hors programme lycée / Logique et paradoxe 13 exercices corrigés

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1. Axiome de continuité E.2285 Considérons un point X se déplaçant de A vers B en décrivant l’intégralité du segment. On décompose le parcours du point de la manière suivante : On dira que ce point arrivera à la première étape, lorsqu’il aura parcouru la moitié de [ AB ] : on notera X 1 ce point. Il sera à la seconde étape lorsqu’il aura parcouru la moitié du chemin restant, c’est-à-dire la moitié de [ X 1 B ] : ce point sera noté X 2 . La troisième étape sera la moitié de [ X 2 B ] : la moitié de la distance restante. . . Et ainsi de suite. On considère X 0 comme étant le point A de départ. 1 Placer sur la droite ci-dessous les points X 1 , X 2 , X 3 et X 4 . 2 On supposera désormais que la distance AB mesure 1 mètre. a Donner la distance X 0 X 1 , X 1 X 2 , X 2 X 3 et X 3 X 4 . b Par extrapolation, donner les mesures de X 4 X 5 , X 5 X 6 , X 6 X 7 et X 7 X 8 . c Pour n ∈ N , faîtes une conjecture quant à la distance X n − 1 X n . 3 On se propose d’étudier la somme infinie de termes : S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + · · · Pour cela, pour n ∈ N , on considère la somme à n ter-mes : S n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2 n a Écrire, sans calculer, les sommes S 3 , S 4 et S 5 . b Établir la formule : S n +1 = 1 2 + 1 2 · S n c Donner une raison pour laquelle les nombres S n se rap-prochent de la valeur 1 lorsque le nombre d’étapes de-vient très grande. On dira que S n admet une limite lorsque n tend vers + ∞ . d En notant S la valeur limite de S n lorsque n tend vers + ∞ : on notera lim n ↦→ + ∞ S n = S . Par passage à la limite de la formule 2 , on obtient l’égalité: S = 1 2 + 1 2 · S . Retrouver la valeur de S . On vient de mettre en évidence une des propriétés de l’hypothèse du continu : Tout segment peut être découpé en une infinité de segments tous de longueurs non-nulle. E.2286 Définition: (du petit Robert) dichotomie : Division, subdivision binaire (entre deux éléments qu’on sé-pare nettement et qu’on oppose) En admettant la thèse de la continuité, tout objet est divisi-ble à l’infini. On sait que √ 2 ∈ [1 ; 2] car: 1 2 < 2 2 < 2 2 Deux nombres et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. 1 < 2 < 2 Mise en place de l’algorithme: À l’étape 0 (l’étape initiale) , on sait que 2 est contenu dans l’intervalle [1 ; 2] Pour passer à l’étape suivante, on considère le milieu de cet intervalle 1 ; 5 . Puis, on compare 1 ; 5 et 2 afin de savoir si 2 est contenu dans l’intervalle [1 ; 1 ; 5] ou l’intervalle [1 ; 5 ; 2] . On obtient ainsi un nouvel intervalle correspondant à l’étape 1 . On réitère ce procédé une infinité de fois. On notera [ a n ; b n ] l’intervalle correspondant à l’étape n et u n sa longueur. 1 a Donner la valeur de u 0 , u 1 et u 2 . b Placer les points a 0 , b 0 , a 1 , b 2 , a 3 et b 4 sur la droite graduée ci-dessous. 2 a Donner la valeur de u n en fonction de n . b Donner un encadrement de b n − a n pour n =10 . En déduire la précision de l’approximation de 2 par u 10 . 3 Que devient la valeur de u n lorsque n croit vers + ∞ (on dit que n tend vers l’infini) . C’est-à-dire quel est la valeur de lim n ↦→ + ∞ u n . https://chingmath.fr sacados/2285 AB sacados/2286 12
E.2287 Achille et la tortue (paradoxe de Zénon d’Élée) Si la tortue a de l’avance sur Achille, celui-ci ne pourra jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car qu’Achille court pour atteindre le point d’où est partie la tortue, celle-ci avance de telle sorte qu’Achille ne pourra jamais annuler cette avance . On suppose que la tortue a pris un mètre d’avance, qu’Achille court à la vitesse de 2 m = s et la tortue à une vitesse de 1 m = s . On note t 0 l’instant de départ, A 0 la position initiale d’Achille et T 0 celle de la tortue. t 1 est l’instant où Achille atteint la position précédente de la Tortue. Notons A 1 cette position, la tortue continuant à avancer se trouve en T 1 . Et ainsi de suite. En se basant sur le fait qu’on puisse découper en autant de bout le parcours d’Achille et de la tortue (hypothèse de la continuité) , on croit qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue puisqu’il lui restera toujours une part du chemin à par-courir. Autre embêtement, tous ses petits segments mis bout à bout ont quelle mesure? Autrement dit, Achille rattrapera la tortue à l’infini? 1 Placer sur la dernière droite graduée le point A 2 et T 2 . 2 Donner les valeurs de T 0 − A 0 , T 1 − A 1 , T 2 − A 2 . 3 On accepte le fait que, à tout rang d’étude, on a: u n = T n − A n = 1 2 n . Nous allons calculer à quelle distance du point d’Achille, les participants vont se rejoindre. On note : S n = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n a Développer: 1 − 1 2 × S n b En déduire : S n = 1 − 1 2 n +1 1 − 1 2 c Donner la limite de S n lorsque n tend vers l’infini qu’on note : lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + · · · + u n ou lim n ↦→ + ∞ + ∞ k =0 u n . Remarque: Les paradoxes de Zénon ont été rapportés par Aristote dans son livre sur la physique (Livre VI) . On aurait aussi pu considérer les deux fonctions qui au temps associe la position d’Achille et de la tortue sur la droite et déterminer le point d’intersection. E.2284 L’hypothèse du continu suppose que toute partie de droite peut être découpée indéfiniment et que chaque partie à une longueur non-nulle. Cette hypothèse va à l’encontre de la conception de la matière en tant que composée d’atome ; En théorie quantique, la lu-mière est vue comme une particule (un photon) , mais égale-ment comme un phénomène vibratoire continu (une onde) . Le calcul infinitésimal est la branche des mathématiques qui étudient l’infiniment loin et l’infiniment proche. (paradoxe de Zénon d’Élée) ˇIl n’y a point de mouvement, car il faut que le mobile arrive au milieu de son parcours avant d’atteindre la finı Ce paradoxe est censé mettre en échec la continuité : on ne peut diviser indéfiniment une longueur. Le Concept de la continuité est à l’opposé du discret (théorie atomiste) . 2. Exercices non-classés E.334 On considère un entier X formé de qua-tre chiffres : X = x 3 x 2 x 1 x 0 . Par exemple, 1579 vérifie: x 3 = 1 ; x 2 = 5 ; x 1 = 7 ; x 0 = 9 1 Parmi les deux phrases suivantes, dîtes celle qui est vraie: Si x 0 vaut zéro alors X est divisible par 5. Si X est divisible par 5 alors x 0 vaut zéro 2 Parmi les deux phrases suivantes, dîtes celle qui est vraie: Pour que x 0 vaille 0, il est nécessaire que X soit divisible par 5. Pour que x 0 vaille 0, il est suffisant que X soit divisible par 5. On dit alors (rayer la mention inutile) : ˇ X est divisible par 5 ı est une condition Nécessaire Suffisante pour que ˇ x 4 vaille 0 ı. 3 Parmi les deux phrases suivantes, donner celle qui est vraie: Pour que X soit divisible par 5, il est nécessaire que x 0 vaille 0. Pour que X soit divisible par 5, il est suffisant que x 0 vaille 0. On dit alors (rayer la mention inutile) : ˇ x 0 vaut 0 ı est une condition Nécessaire Suffisante https://chingmath.fr sacados/2287 A0T0tt0 A1T1tt1 tt2 sacados/2284 chapExoCorrec/334 sacados/334
pour que ˇ X soit divisible par 5. ı 4 On considère Lorsque P est une condition à la fois nécessaire et à la fois suffisante pour Q , on dira que ces deux pro-priétés sont équivalentes et on notera : P ⇐⇒ Q Compléter les pointillés afin d’obtenir l’équivalence suiv-ante : ˇ X est divisible par 5 ı est équivalent à ˇ x 0 vaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı E.301 La phrase ˇ Je te colle si, et seulement si, tu parles ı se décompose en deux phrases : Je te colle si tu parles Je te colle seulement si tu parles Traduire chacune de ces deux phrases en une phrase s’écrivant sous la forme ˇ Si . . . Alors . . . ı (un changement de temps peut être utile pour la traduction) E.1868 Pour chacun des couples de propositions suivantes, dîtes si : A est nécessaire pour B ; A est suffisant pour B ; A est équivalent à B . A B 1 Le triangle ABC est rectangle AB 2 = AC 2 + BC 2 2 2 x + 5 = 3 x = − 1 3 −→ AI = −→ IB I milieu de [ AB ] 4 x 0 x 3 5 a = 5 a 2 = 25 E.1888 P ⇒ Q se lit ˇ P implique Q ı Signifie que si on a la propriété P est vraie alors Q sera vraie. Sa réciproque est Q ⇒ P 1 Voici quelques propriétés représentants des théorèmes connus. Donner le nom de ces théorèmes : a AB 2 + CB 2 = AC 2 = ⇒ ABC est rectangle en A . b ( CB ) == ( MN ) M ∈ [ AB ] N ∈ [ AC ] = ⇒ AB AM = AC AN = BC MN c M milieu de [ AB ] N ∈ [ AC ] ( MN ) == ( BC ) = ⇒ N milieu de [ AC ] . 2 Dire si la réciproque de ces théorèmes est vraie. E.1968 1 Placer 4 points A , B , C et D dans le plan. 2 On considère le point M vérifiant la relation: −−→ AM = 3 · −→ AC + 5 · −−→ CB + 2 · −−→ BD a Montrer que : −−→ AM =3 ·−−→ AB +2 ·−−→ CD b Placer le point M . 3 Soit N le point du plan vérifiant la relation: −−→ AN = 5 · −→ AC + 2 · −−→ CB − 3 · −−→ AD a Exprimer le vecteur −−→ AN en fonction uniquement des vecteurs −−→ AB et −−→ CD . b Placer le point N dans le plan. E.2728 Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes : a Si x < 2 alors x < 3 b Si x < 3 alors x < 2 c Si x 3 alors x < 3 d Si x < 3 alors x 3 e Si x =2 alors 2 x +3=7 f Si 2 x + 3 = 7 alors x = 2 g Si 2 x − 5 alors x < 3 h Si x < 3 alors 2 x − 5 < 2 E.36 1 En remarquant que 10 x =9 x + x , montrer que la propriété ˇ 10 n +1 est multiple de 9 ı, dépendant de n , est hérédi-taire. 2 Pour autant, justifier que cette propriété est toujours fausse? E.114 1 On dispose de deux galettes de riz de forme carré: la pre-mière a pour côté 10 cm et la seconde 15 cm . On souhaite fabriquer deux galettes ayant même côté dont la somme de leurs aires vaut la somme des deux premières galettes. Quel est cette longueur? 2 Supposons maintenant que les deux galettes est respec-tivement pour longueur de leurs côtés a et b . Établir alors qu’une galette moyenne aura pour côté : a 2 + b 2 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/301 sacados/301 sacados/1868 sacados/1888 A faire et finir sacados/1968 sacados/2728 Extrait du manuel "Ressourcres pour la classe de seconde" - dgesco 2009 sacados/36 sacados/114
E.2012 Une entreprise de recyclage récupère un lot de digicodes, ayant tous un clavier identique à celui représenté ci-contre. Chacun de ces digicodes a été programmé pour fonctionner avec un code constitué de deux signes choisis parmi les douze figurants sur ce clavier. Par exemple A 0 , BB , 43 sont des codes possibles. Pour remettre en état de fonctionnement un tel digicode, il faut retrouver son code. Pour faciliter une telle recherche, a été inscrit sur le boîtier de chaque digicode un nombre R qui dépend du code. Ce nombre a été obtenu de la manière suivante : Le code est considéré comme un nombre écrit en base 12 : A est le chiffre dix et B le chiffre 11. Le nombre R inscrit sur le boîtier est le reste de la divi-sion euclidienne du code, converti en base 10, par 53. R est donc un nombre écrit en base 10 et tel que 0 R 53 . 1 Combien y a-t-il de codes possibles? 2 On suppose que le code d’un digicode est AB . a Écrire en base 10 le nombre dont l’écriture en base 12 et ( AB ) douze . b Déterminer le nombre R inscrit sur le boîtier de ce digicode. 3 Sur le boîtier d’un digicode est inscrit le nombre R égal à 25. Démontrer que (21) douze peut être le code de ce digicode. 4 On considère la fonction f , extrait d’un algorithme, où l’argument R est un entier naturel : Fonction f(R) L ← liste vide n ← 0 Tant que 53n+R 143 Ajouter la valeur de 53n+R en fin de la liste L n ← n+1 Fin Tant que Renvoyer L a Quelle est la liste renvoyée par la fonction f lorsque la fonction f est appelée avec pour argument la valeur R =25 ? b On suppose que le nombre R inscrit sur le boîtier d’un digicode est 25 . Quels sont les trois codes possibles de ce digicode? 5 Dire si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Si l’affirmation est considérée comme étant fausse, en ap-porter la preuve. Affirmation : quelle que soit la valeur de R la fonction f permet de trouver trois codes parmi lesquels se trouve le code secret. https://chingmath.fr sacados/2012 9AB678345012