Hors programme lycée / Matrice 19 exercices corrigés

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1. Formule du binome de Newton E.5130 On considère les deux matrices : I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; A = 0 2 5 0 0 − 2 0 0 0 1 Déterminer pour tout entier naturel, l’expression des puissances I n et A n . 2 En déduire l’expression de la matrice I + A 5 . E.5162 On considère la matrice A définie par : A = 1 2 3 0 1 − 3 0 0 1 Cet exercice a pour but de donner une expression de A n pour tout entier naturel n . 1 On considère la matrice B définie par B = A − I 3 . Donner l’expression de B 2 et B 3 . 2 a Peut-on utiliser la formule du binôme de Newton pour développer l’expression I 3 + B n pour n entier naturel non-nul? Justifier votre réponse. b Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 , on a: A n = n 0 · I 3 + n 1 · B + n 2 · B 2 E.5163 On considère les deux matrices A et D définie par : A = − 1 1 2 0 − 1 − 2 0 0 − 1 ; D = − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 Cet exercice a pour but de donner une expression de A n pour tout entier naturel n . 1 On considère la matrice B définie par B = A − D . Donner l’expression de B 2 et B 3 . 2 a Peut-on utiliser la formule du binôme de Newton pour développer l’expression D + B n pour n entier naturel non-nul? Justifier votre réponse. b Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 , on a: A n = ( − 1) n · n 0 · I 3 + ( − 1) n − 1 · n 1 · B + ( − 1) n − 2 · n 2 · B 2 E.5131 On considère la matrice A définie par : A = 3 1 2 0 3 − 1 0 0 3 1 Écrire la matrice A sous la forme B + C où B est une matrice diagonale carrée. 2 a Pour tout entier n , donner l’expression de C n . b Vérifier que les matrices B et C sont commutatives. c Établir l’égalité suivante pour tout entier n supérieur ou égal à 2: A n = B n + n · C · B n + n 2 · C 2 · B n − 2 2. Formule du binome de Newton et suites E.5164 Considérons la matrice A carrée de di-mension 3 définie par : A = 2 0 3 0 1 0 0 0 2 1 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = 2 · u n + 3 × 2 n pour tout n ∈ N Établir que pour tout entier n , on a: A n = 2 n 0 u n 0 1 0 0 0 2 n 2 On considère les deux matrices D et S définies par : D = 2 0 0 0 1 0 0 0 2 ; S = 0 0 3 0 0 0 0 0 0 a Montrer que : D · S = S · D . b Montrer que pour tout k 2 , on a: S k =0 3 . c À l’aide de la formule du binôme de Newton, déter-miner l’expression de A n pour tout entier naturel non-nul. 3 En déduire la formule explicite de la suite u n . 3. Matrices et nombres complexes E.5447 On considère la matrice carrée A d’ordre 2 définie par : A = 1 − 1 2 − 1 On considère les matrices P et Q définies par : P = 1 1 1 + i 1 − i ; Q = 1 2 + 1 2 · i − 1 2 · i 1 2 − 1 2 · i 1 2 · i https://chingmath.fr chapExoCorrec/5130 sacados/5130 chapExoCorrec/5162 sacados/5162 chapExoCorrec/5163 sacados/5163 chapExoCorrec/5131 sacados/5131 chapExoCorrec/5164 sacados/5164 chapExoCorrec/5447 sacados/5447
où i est le nombre complexe vérifiant : i 2 = − 1 . 1 Montrer que les matrices P et Q sont inverses l’une de l’autre. 2 Montrer que la matrice P − 1 · A · P est une matrice diago-nale. On note D cette matrice diagonale dans le reste de l’exercice. 3 a Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, la relation suivante pour tout entier naturel n : A n = P · D n · P − 1 b Justifier que pour tout entier n , on a la relation A n +4 = A n 4. Matrice diagonalisable E.5161 On considère les matrices A et P définies par : A = 5 3 − 6 − 4 ; P = 1 − 1 − 1 2 1 Montrer que la matrice P est une matrice inversible et donner l’expression de la matrice P − 1 . 2 a Établir l’existence d’une matrice D vérifiant l’égalité: A = P · D · P − 1 b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que pour tout entier naturel n , on a l’égalité: A n = P · D n · P − 1 c En déduire, pour tout entier naturel n non-nul, l’expression de A n . E.5160 On considère les matrices A et P définies par : A = 4 3 − 2 − 1 ; P = 3 1 − 2 − 1 1 Montrer que la matrice P est une matrice inversible et donner l’expression de la matrice P − 1 . 2 a Établir l’égalité suivante : A = P · 2 0 0 1 · P − 1 b En déduire, pour tout entier naturel n non-nul, l’expression de A n . E.5158 On considère la matrice A définie par : A = 2 2 − 1 − 1 − 1 1 − 2 − 4 3 et les deux matrices P et Q définies par : P = 1 − 3 − 2 − 1 1 1 − 2 − 1 0 ; Q = 1 2 − 1 − 2 − 4 1 3 7 − 2 1 Montrer que les matrices P et Q sont deux matrices in-verses l’une de l’autre. 2 On note D la matrice définie par : I = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 a Établir l’égalité: A = P · D · Q b Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a: A n = P · D n · Q c En déduire, pour tout entier naturel n non-nul, l’expression de la matrice A n . E.5159 On considère la matrice A définie par : A = − 2 − 1 − 3 − 7 4 − 9 1 1 2 et les deux matrices P et Q définies par : P = 1 − 2 − 1 − 1 − 1 2 − 1 1 1 ; Q = − 3 1 − 5 − 1 0 − 1 − 2 1 − 3 1 Montrer que les matrices P et Q sont deux matrices in-verses l’une de l’autre. 2 Établir l’existence d’une matrice D vérifiant l’égalité: A = P · D · Q et admettant pour expression : D = a 0 0 0 b 0 0 0 c où a , b , c sont trois réels. 3 a À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que pour tout entier naturel n , on a l’égalité: A n = P · D n · Q b En déduire, pour tout entier naturel n non-nul, l’expression de la matrice A n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5161 sacados/5161 chapExoCorrec/5160 sacados/5160 chapExoCorrec/5158 sacados/5158 chapExoCorrec/5159 sacados/5159
E.5146 On considère la matrice A carrée de di-mension 3 définie par : A = 3 − 6 − 1 4 − 5 − 2 2 − 6 0 Le but de l’exercice est de déterminer une expression de la matrice A n pour tout entier naturel n . Pour cela, on considère les deux matrices carrées P et Q : P = 1 − 3 − 2 0 − 2 − 1 2 − 3 − 2 ; Q = − 1 0 1 2 − 2 − 1 − 4 3 2 1 Montrer que les matrices P et Q sont deux matrices in-verses l’une de l’autre. 2 Établir l’égalité: A = P · 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 1 · Q On note D la matrice: D = 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 1 3 a Donner l’expression de la matrice D n où n est un entier naturel. b Établir pour tout entier naturel n , l’égalité: A n = P · D n · Q c Donner l’expression de A n en fonction de n . E.5356 On considère les deux matrices de di-mensions 2 : A = − 1 − 6 1 4 ; P = 3 2 − 1 − 1 1 a Justifier que la matrice P est une matrice inversible. b Donner l’expression de la matrice P − 1 inverse de la matrice P . 2 Déterminer la valeur des réels ¸ et ˛ réalisant l’égalité suivante : A = P · ¸ 0 0 ˛ · P − 1 3 a À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n : A n = P · ¸ n 0 0 ˛ n · P − 1 b Donner l’expression de A n en fonction de n . E.6099 On considère les deux matrices : A = 4 1 − 2 1 ; P = 1 1 − 1 − 2 1 a Justifier que la matrice P est inversible et donner l’expression de la matrice inverse de P . b Notons D = P − 1 · A · P . Montrer que la matrice D est diagonale. 2 a À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n , on a: A n = P · D n · P − 1 b Donner l’expression de la matrice A n en fonction de l’entier naturel non-nul n . 5. Rappels sur les systèmes E.6118 Dans un café, voici deux commandes et le montant de leur facture : Facture : 4 ; 5 e . Facture : 10 ; 8 e Dans ce café, quels sont les prix d’un croissant et d’un café? E.6119 Dans un café, voici deux commandes et le montant de leur facture : Facture : 11 e . Facture : 14 ; 3 e Dans ce café, quels sont les prix d’un croissant et d’une canette? E.6120 Dans un café, voici deux commandes et le montant de leur facture : Facture : 15 ; 2 e . Facture : 10 e Quels sont les prix, dans ce café, d’un café et d’une canette? E.6121 1 Résoudre par la méthode de combinaisons linéaires le sys-tème suivant : ( S ) : 3 x + 2 y = 5 4 x + 3 y = 3 2 Résoudre par la méthode de la substitution le système suivant : ( T ) : 3 x + y = 16 8 x − 5 y = 12 E.6122 On considère le système ( S ) d’équations : x − 3 y = 8 4 x + y = − 7 Résoudre le système ( S ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5146 sacados/5146 chapExoCorrec/5356 sacados/5356 chapExoCorrec/6099 sacados/6099 chapExoCorrec/6118 sacados/6118 chapExoCorrec/6119 sacados/6119 chapExoCorrec/6120 sacados/6120 chapExoCorrec/6121 sacados/6121 chapExoCorrec/6122 sacados/6122
6. Exercices non-classés E.5392 On considère un processus évolutif ad-mettant la matrice de transition suivante : T = 7 10 − 3 10 1 5 1 5 1 On considère la matrice P définie par : P = 3 1 2 1 a Montrer que la matrice P est une matrice inversible et déterminer l’expression de sa matrice inverse. b Déterminer l’existence d’une matrice D diagonale véri-fiant l’égalité: T = P · D · P − 1 . c Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, la relation suivante pour tout entier naturel n : T n = P · D n · P − 1 . d En déduire l’expression de la matrice T n en fonction de l’entier naturel n . 2 On considère les deux suites a n et b n de premiers termes respectifs a 0 et b 0 et vérifiant la relation: a n +1 b n +1 = T · a n b n a À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n : a n b n = T n · a 0 b 0 b Déterminer une expression des termes de ces deux suites en fonction de n , a 0 et b 0 . c En déduire la limite de ces deux suites. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5392 sacados/5392